2pir – Explicación completa y ejemplos detallados

2pir es la circunferencia de un círculo.

La circunferencia (o perímetro) de un círculo es la longitud total del límite del círculo. La circunferencia es una medida lineal y sus unidades se expresan principalmente en centímetros, metros o pulgadas.

Un círculo es una figura redonda cerrada, y todos los puntos en el límite del círculo son equidistantes del centro del círculo. En geometría, solo nos interesa calcular el área y la circunferencia del círculo. En este tema, hablaremos la circunferencia del círculo, su prueba y ejemplos relacionados.

¿Qué es 2pir?

$2pi r$ es la fórmula para la circunferencia de un círculo, y la circunferencia de un círculo es el producto de dos constantes: “$2$” y “$pi$;” mientras que “$r$” es el radio del círculo.

También encontrará la pregunta Cuál es el área 2pir del círculo? La respuesta a esta pregunta es no, el area del circulo es $pi r^{2}$.

Si recortamos un círculo, lo ponemos en línea recta y medimos su longitud, esto nos dará la longitud total del límite de un círculo. Como el círculo es una figura cerrada y necesitamos una fórmula para calcular el límite total del círculo, aquí es donde la fórmula nos ayuda.

Deberíamos usar los elementos importantes del círculo utilizado para calcular el área y la circunferencia del círculo y estos elementos importantes.

1. Centro del círculo

2. Diámetro del círculo

3. Radio del círculo

Centro del círculo: El centro de la circunferencia es el punto fijo de la circunferencia situado equidistante de cualquier punto del límite de la circunferencia.

Centro del círculo

diámetro del círculo: El diámetro del círculo es la distancia total de un punto del círculo al otro punto, siempre que la línea trazada se cruce con el centro del círculo. Es por tanto una línea que toca distintos extremos o límites del círculo que pasa por el centro. Se anota “$dfrac{r}{2}$”.

Diámetro de un círculo

radio del circulo: El radio del círculo es la distancia total entre cualquier punto en el límite del círculo y el centro del círculo y está representado por “$r$”.

radio de un circulo

Cómo probar que la circunferencia de un círculo es 2pir

La circunferencia del círculo es la longitud total del límite del círculo y no se puede calcular usando una regla o una escala como lo hacemos con otras figuras geométricas. el circulo tiene una forma curva, y necesitamos usar la fórmula para calcular la circunferencia del círculo. Al derivar la fórmula 2pir como la circunferencia del círculo, usamos un valor constante $pi$ y un valor variable de radio “$r$”.

El $pi$ tiene un valor constante de $3.14159$ o $dfrac{22}{7}$. El valor de $pi$ es relación de la circunferencia del círculo al diámetro del círculo.

$pi = dfrac{C}{D}$ (1)

Aquí mismo,

contra = circunferencia del círculo

D = Diámetro del círculo

La fórmula para el diámetro del círculo está dada por:

$D = dfrac{r}{2}$

Entonces, insertando el valor de “D” en la ecuación “1”:

$pi = dfrac{C}{(dfrac{r}{2})}$

$C = 2.pi.r$

Por lo tanto, la circunferencia del círculo está dada por $2.pi.r$

circunferencia de un circulo

prueba alternativa

Considere un círculo que tiene un origen centrado con radio “r” en un plano XY.

Podemos escribir la ecuación del círculo en la forma:

$x^{2} + y^{2} = r$

O

X = punto en el eje X

allí = punto en el eje Y

r = radio del circulo

Si solo tomamos la parte del primer cuadrante del círculo, entonces puede obtener la longitud o el arco de la línea circular.

$L = 4 int_{a}^{b}sqrt{(x^{‘}(theta))^{2}+ (y^{‘}(theta))^{2}}$

Aquí mismo,

$x = r.costheta$

$y = r.sentheta$

$x^{‘}(theta) = -r.sentheta$

$y^{‘}(theta) = r.costheta$

$L = 4 int_{a}^{b}sqrt{(-r.sentheta)^{2}+ (y^{‘}(r.costheta)^{2}}$

$L = 4 int_{0}^{dfrac{pi}{2}}sqrt{r^{2}sin^{2}theta + r^{2}cos^{2}theta } ps

$L = 4 int_{0}^{dfrac{pi}{2}}sqrt{r^{2}(sen^{2}theta + cos^{2}theta)}$

$L = 4 int_{0}^{dfrac{pi}{2}}sqrt{r^{2}(1)}$

$L = 4 int_{0}^{dfrac{pi}{2}}sqrt{r^{2}}$

$L = 4 int_{0}^{dfrac{pi}{2}}r$

$ L = 4 [ r] _ {0}^{dfrac{pi}{2}}$

$L = 4r dfrac{pi}{2}$

$L = 2pi r$.

¿Por qué la circunferencia es 2pir y no Pid?

Usualmente usamos $2pi r$ en lugar de $pi d$ porque un círculo es ugeneralmente dado en términos de radio en lugar de diámetro. Tenga en cuenta que el diámetro $d$ es igual al doble del radio, es decir, $d=2r$, por lo que podemos escribir $2pi r = pi d$, y ambas fórmulas son igualmente válidas.

calculadora 2pir

Para calcular la circunferencia, necesitamos El valor de $pi$ y radio. Ya sabemos que el valor de $pi$ viene dado por $dfrac{22}{7}$, mientras que el valor del radio está dado o calculado si nos dan el área del círculo.

Si nos dan el valor del diámetro en lugar del radio, primero calcularemos el valor del radio usando la fórmula para el diámetro del círculo $D =dfrac{r}{2}$.

Aplicaciones de la circunferencia del círculo.

Aquí hay algunas aplicaciones reales de la circunferencia del círculo:

  1. Esta fórmula se utilizará siempre que nos encontremos con una forma circular en la vida real.
  2. La rueda es considerada uno de los mejores inventos de la historia de la humanidad. La fórmula de la circunferencia es fundamental para diseñar el modelo de una rueda.
  3. La fórmula se utiliza para resolver diferentes problemas trigonométricos, especialmente las ecuaciones del círculo.
  4. El centro de un ventilador de techo tiene forma circular, por lo que debemos usar esta fórmula para calcular el perímetro del centro.
  5. Las diferentes formas de monedas, botones y relojes circulares son todas aplicaciones de la circunferencia del círculo, y tenemos que usar esta fórmula al diseñar todo esto.
  6. La fórmula $2pi r$ también se usa para calcular la velocidad promedio de un objeto que se mueve en una trayectoria circular. La fórmula para calcular la velocidad de un objeto que se mueve en una trayectoria circular está dada por 2pir/t.

Ejemplo 1:

Si el radio del circulo es de 20 cm ¿cual sera la circunferencia del circulo?

Solución:

Radio del circulo $= 20 cm$

Circunferencia del círculo $= 2.pi.r$

C$= 2 pi . $20

C$= 125.6$cm

Ejemplo 2:

Si el diámetro del círculo es de 24 cm, ¿cuál será la circunferencia del círculo?

Solución:

Diámetro $= 24$

Radio del círculo $= dfrac{24}{2} = 12$

Circunferencia del círculo $= 2.pi.r$

$C = 2 pi.12$

$C = 75,36 cm$

Ejemplo 3:

El perímetro de un alambre cuadrado es de $250 cm$. Si se usa el mismo hilo para formar un círculo, ¿cuál será la circunferencia del círculo? También necesitas calcular el radio y el diámetro del círculo.

Solución:

Sabemos que el perímetro de el hilo cuadrado = la cantidad total de hilo utilizado para crear el cuadrado. Esto también igualará la circunferencia del círculo porque si usamos el mismo hilo para formar el círculo, la longitud de la circunferencia seguirá siendo la misma.

Circunferencia del circulo $= 250$ cm

$C = 2.pi.r$

$250 = 2veces pi veces r$

$r = dfrac{250}{pi veces r}$

Ejemplo 4:

La diferencia entre la circunferencia y el diámetro de un balón de fútbol es $10$ cm. ¿Cuál será el radio del fútbol?

Solución:

Sea el radio de la pelota de fútbol $= r$

Como se indica en el comunicado, circunferencia – diámetro $= 10$cm

Circunferencia del globo $= 2.pi.r$

Diámetro del globo $= 2.r$

$2. Pi. r – 2r = $10

$r (2pi – 2) = $10

$r (4,28) = $10

$r = dfrac{10}{4,28} = aproximadamente $2,34 cm.

Ejemplo 5:

Un pastor quiere construir un límite circular para mantener su ganado a salvo de perros y depredadores. ¿Cuál será el costo total estimado si el radio de $30 metros del límite circular se cobra a $15 por metro?

Solución:

vamos a calcular la longitud total del límite circular luego multiplícalo por $15.

Circunferencia del límite $= 2.pi.r$

$C = 2 times 3.14 times $30

$C = $188.4 metro

Costo total del límite circular $= 188,4 m times $15 dfrac{1}{m} = $2826$

2pir versus pi r^2

La principal diferencia entre estos es que la circunferencia dada por $2pi r$ es la longitud total del límite del círculo, mientras que el área delimitada por un círculo de radio $r$ está dada por $pi r^2 $. Muchos alumnos confunden la circunferencia del círculo con el área del círculo y sus correspondientes fórmulas. Recuerda que la circunferencia es una longitud y sus unidades se miden en centímetros, metrosetc, mientras que las unidades de área son metros cuadrados o centímetros cuadrados, etc.

Ejemplo 6:

Calcula el valor de 2pir y $2pi r^2$ si el área del círculo es $64 cm^{2}$.

Solución:

La fórmula del área del círculo está dada por:

Área del círculo $= pi r^{2}$

$64 = 3,14 veces r^{2}$

$r^{2} = $20,38

$r = aproximadamente 4,51 cm$

$2.pi.r = 2 times 3.14 times 4.51 = aproximadamente $28.32 cm.

$2.pi. r^{2} = 2 times 3,14times 20,38 = aproximadamente 128 cm^{2}$

El valor de 2pir y $2pi r^2$ también se puede calcular usando la calculadora 2pir y 2pir^2.

Preguntas prácticas:

  1. La rueda de un carro tiene un radio de $7$ metros. Ignorando la fricción y otros factores, si la rueda del automóvil gira una vez, ¿qué distancia recorrerá el vehículo?
  2. El Sr. Alex trabaja como maestro en una escuela y llevó a su clase a un campamento de verano cerca de un bosque. Había un árbol enorme cerca de la casa de campo y el Sr. Alex prometió a la clase una caja de chocolates si podían calcular el diámetro del árbol sin usar una cinta métrica. La circunferencia del árbol es de $48.6 pies. Ayude a la clase a determinar el diámetro del árbol.
  3. Un alambre de cobre se dobla para formar una forma cuadrada. El área del cuadrado es $100 cm^{2}$. Si el mismo alambre se dobla para formar un círculo, ¿cuál será el radio del círculo?
  4. Supongamos que el área de una pista circular es de 64 m^{2}$. ¿Cuál será la circunferencia de la pista?

clave de respuesta:

1.

El radio de la rueda es $= 7 metros$

Distancia recorrida durante una revolución de la rueda = circunferencia de la rueda

C $= 2.pi.r$

$C = 2 times 3.14 times 7 = $43.96 metros

2.

Circunferencia del árbol $= 48.6$ pies

$C = 2.pi.r$

$48,6 = 2 veces 3,14 veces r$

$48,6 = 6,38 veces r$

$r = dfrac{48,6}{6,38} = 7,62 pi$

Diámetro del eje $= 2times r = 2times 7,62 = 15,24$ ft.

3.

Todos los lados del cuadrado son iguales. Llamemos a todos los lados “a”.

Área del cuadrado $= a^{2}$

Área del cuadrado $= 100 cm^{2}$

$a^{2} = $100

$a = 104$ cm

Perímetro del cuadrado $= 4times a = 4 times 10 = 40 cm$.

Si se usa el mismo hilo para formar un círculo, la longitud total del límite o superficie sigue siendo la misma. Por lo tanto, la circunferencia del círculo $= 40$ cm.

$C = 2.pi.r$

$40 = 2.pi.r$

$r = $6,37cm

4.

Área de la pista circular $= 64 m^{2}$

Formula para area de circulo $= pi.r^{2}$

$r^{2} = dfrac{113}{3.14} cong 36$

$r = sqrt{36}$

$r = 6$ metro

Circunferencia de la pista circular $= 2.pi.r$

$C = 2pitimes 6 = $37.68 metro