(a) Encuentre el valor medio $f$ en el intervalo dado. (b) Encuentre c tal que $f_{promedio} = f(c)$. Ecuación dada a continuación

Este problema tiene como objetivo encontrar la valor medio de una función en un intervalo dado y también encontrar el Pendiente de esta función. Este problema requiere el conocimiento de teorema fundamental del calculo y técnicas básicas de integración.

Para encontrar el valor promedio de una función en un intervalo dado, vamos a integrar y dividimos la función por la longitud del intervalo, por lo que la fórmula se convierte en:

[ f_{ave} = dfrac{1}{b-a}  int_{a}^{b} f(x) ,dx ]

Para encontrar $c$, usaremos el teorema del valor mediolo que indica que existe un punto $c$ en el intervalo tal que $f(c)$ es igual al valor medio de la función.

Respuesta experta

Nos dan una función con sus límites:

$f(x) = (x – 3)^2 , [2, 5] ps

Parte A:

La fórmula para calcular $f_{promedio}$ es:

[  dfrac{1}{b-a}  int_{a}^{b} f(x) ,dx ]

donde $a$ y $b$ son los límites distintos de la integral que son respectivamente $2$ y $5$, y $f(x)$ es la función con respecto a $x$, dada por $(x-3) ^ 2$.

Al insertar valores en la fórmula, obtenemos:

[  dfrac{1}{5-2}  int_{2}^{5} (x-3)^2  ,dx ]

Sustituyente $u = x – 3$

luego tomando su derivada: $du = dx$

Cambiar el limite superior $u = 5 – 3$, es decir, $u = 2$

Tan bueno como límite inferior $u = 2 – 3$, es decir, $u = -1$

Resuelva el problema aún más:

[  =dfrac{1}{3}  int_{-1}^{2} u^2  ,du ]

[  =dfrac{1}{3} left[dfrac{u^3}{3} right]_ {-1}^{2} ]

[ = dfrac{1}{3} left[dfrac{2^3}{3} – dfrac{-1^3}{3} right] ]

[ = dfrac{1}{3} left[dfrac{8}{3} + dfrac{1}{3} right] ]

[ = dfrac{1}{3} times dfrac{9}{3} ]

[ f_{ave}= 1 ]

Es la media de la función.

Parte B:

$f(c) = (c – 3)^2$

Como se muestra en el problema, $f_{promedio} = f(c)$, y dado que $f_{promedio}$ es igual a $1$ como se calculó en la parte $a$, nuestra ecuación se convierte en:

[ 1 = (c – 3)^2 ]

resolver para $c$:

[ pm 1 = c -3 ]

resolver para $-1$ y $+1$ por separado:

[ -1 = c – 3]

[ c =  2]

[ +1 = c – 3]

[ c =  4]

Los resultados numéricos

Parte A: $f_{promedio} = 1$

Parte B: $c = 2 , c = 4$

Ejemplo

Ecuación dada:

$f(x) = (x – 1) , [1, 3] ps

Parte A:

Pon los valores en la formula para calcular $f_{ave}$

[  dfrac{1}{3-1}  int_{1}^{3} (x-1) ,dx ]

Sustituyente $u = x – 1$

Luego diferenciando $du = dx$

Limite superior $u = 3 – 1$, es decir, $u = 2$

Límite inferior $u = 1 – 1$, es decir, $u = 0$

[  =dfrac{1}{2}  int_{0}^{2} u  ,du ]

[  =dfrac{1}{2} left[dfrac{u^2}{2} right]_ {0}^{2} ]

[  =dfrac{1}{2} left[dfrac{4}{2} – dfrac{0}{2} right] ]

[  =dfrac{1}{2} left[2 right] ]

[  = 1 ]

Parte B:

$f(c) = (c – 1)$

Como en la pregunta $f_{promedio} = f(c)$, y $f_{promedio}$ es igual a $1$ calculado en la parte $a$.

[ 1 = (c – 1) ]

resolver para $c$:

[ pm 1 = c -1 ]

resolver para $-1$ y $+1$ por separado:

[ -1 = c – 1]

[ c =  0]

[ +1= c – 1]

[ c =  2]