A partir de la serie geométrica infty x^nn=0, encuentre la suma de la serie

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(sumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1},,|x|

El propósito principal de esta pregunta es encontrar la suma de la serie $sumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1}$ comenzando con $sumlimits_{n=0}^ {infty}x^n$.

El concepto de secuencia y serie es uno de los conceptos más fundamentales de la aritmética. Una secuencia se puede denominar como una lista detallada de elementos con o sin repetición, mientras que una serie es una suma de todos los elementos de una secuencia. Algunos de los tipos más comunes de series incluyen series aritméticas, series geométricas y series armónicas.

Supongamos que ${a_k}=1,2,cdots$ es una secuencia en la que cada término sucesivo se calcula sumando una constante $d$ al término anterior. En esta serie, la suma de los primeros términos $n$ está dada por $S_n=sumlimits_{k=1}^{n}a_k$ donde $a_k=a_1+(k-1)d$.

La suma de los términos de una sucesión geométrica se considera como la serie geométrica y tiene la siguiente forma:

$a+ar+ar^2+ar^3+cdots$

donde $r$ es la razón.

Matemáticamente, una serie geométrica $sumlimits_{k}a_k$ es una serie en la que la razón de dos términos sucesivos $dfrac{a_{k+1}}{a_{k}}$ es una función constante de la índice de suma $k$.

La serie $sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$ se llama serie armónica. Esta serie se puede considerar como la serie de números racionales que tienen números enteros en el denominador (crecientemente) y uno en el numerador. Las series armónicas se pueden usar para comparaciones debido a su naturaleza divergente.

Respuesta experta

La sucesión geométrica dada es:

$sumlimits_{n=0}^{infty}x^n=1+x+x^2+x^3+cdots$

La forma cerrada de esta serie es:

$sumlimits_{n=0}^{infty}x^n=dfrac{1}{1-x}$

Ya que, $sumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1}=1+2x+3x^2+4x^3+cdots$ (1)

$=(1+x+x^2+x^3+cpuntos)+(x+2x^2+3x^3+4x^4+cpuntos)$

Como $1+x+x^2+x^3+cdots=dfrac{1}{1-x}$, obtenemos:

$sumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1}=dfrac{1}{1-x}+x(1+2x+3x^2+4x^3+cdots ps

Y de (1):

$sumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1}=dfrac{1}{1-x}+xsumlimits_{n=0}^{infty}nx ^{n-1}$

$sumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1}-xsumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1}=dfrac{1 {1-x}$

$(1-x)sumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1}=dfrac{1}{1-x}$

$sumlimits_{n=0}^{infty}nx^{n-1}=dfrac{1}{(1-x)^2}$

Ejemplo 1

Determina la suma de una secuencia geométrica infinita que comienza en $a_1$ y tiene $n^{th}$ término $a_n=2times 13^{1-n}$.

La solución

Para $n=1$, $a_1=2times 13^{1-1}$

$=2veces $13^0

$=2veces $1

$=2$

Para $n=2$, $a_2=2times 13^{1-2}$

$=2veces 13^{-1}$

$=dfrac{2}{13}$

Ahora $r=dfrac{2}{13}div 2=dfrac{1}{13}$

Como $|r|

$S_{infty}=dfrac{a_1}{1-r}$

Aquí, $a_1=2$ y $r=dfrac{1}{13}$.

Por lo tanto, $S_{infty}=dfrac{2}{1-dfrac{1}{13}}$

$S_{infty}=dfrac{26}{12}=dfrac{13}{6}$

Ejemplo 2

Dada la serie geométrica infinita:

$1+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{3^2}+dfrac{1}{3^3}+cdots$, encuentra su suma.

La solución

Primero encuentra la razón común $r$:

$r=dfrac{dfrac{1}{3}}{1}=dfrac{1}{3}$

Dado que la razón $|r|

$S_{infty}=dfrac{a_1}{1-r}$

donde $a_1$ es el primer término.

$S_{infty}=dfrac{1}{1-dfrac{1}{3}}=dfrac{3}{2}$

Ejemplo 3

Dada la serie geométrica infinita:

$dfrac{12}{1}+dfrac{12}{2}+dfrac{12}{3}+cdots$, encuentra su suma.

La solución

Primero encuentra la razón común $r$:

$r=dfrac{dfrac{12}{2}}{dfrac{12}{1}}=dfrac{12}{2}times dfrac{1}{12}=dfrac{1} {2}$

Dado que la razón $|r|

$S_{infty}=dfrac{a_1}{1-r}$

donde $a_1=dfrac{1}{2}$ es el primer término.

$S_{infty}=dfrac{dfrac{12}{1}}{1-dfrac{1}{2}}=24$