Cuando estudiamos números complejos, es importante que también aprendamos cómo podemos combinar y sumar dos números complejos. El proceso de sumar números complejos en realidad no es nuevo para nosotros, por lo que es una reintroducción de lo que ya hemos experimentado en el pasado.
Al sumar números complejos, agrupamos las partes reales y las partes imaginarias juntas.
Sumar números complejos es como sumar dos binomios. Al final de este artículo, comprenderá por qué esto es así. También aplicaremos las diversas propiedades de la suma en el contexto de los números complejos.
Avancemos y comencemos por ver primero lo que constituyen los números complejos.
¿Cómo sumar números complejos?
Recuerda que la forma general de un número complejo es $a + bi$, donde $a$ es la parte real del número y $bi$ es la parte imaginaria del número.
Al sumar dos números complejos, tratamos cada parte como variables independientes. Esto significa que solo podemos agregar “términos similares”, donde los términos representan números reales y números imaginarios.
Dados $a + bi$ y $m + ni$, su suma puede determinarse sumando $a$ y $b$ junto con las partes imaginarias, $bi$ y $ni$.
$begin{alineado}(a + bi) + (m + ni) &= (a + b) + (m +n)i end{alineado}$
Esta es la forma general para guiarnos cuando sumamos dos números complejos.
Esto significa que si queremos sumar $4 – 2i$ y $9 + 7i$, agrupamos los términos como se muestra a continuación.
$begin{alineado} ({color{azul}4 }- {color{verde}2i }) + ({color{azul}9 } + {color{verde}7i }) &= ({ color{azul}4 } + {color{azul}9 }) + ({color{verde}-2 + 7})iend{alineado}$
La simplificación de los dos grupos nos llevará a la suma simplificada de los dos números complejos.
$begin{alineado} ({color{azul}4 } + {color{azul}9 }) + ({color{verde}-2 + 7})i &= 13 + 5iend{alineado} PS
Podemos usar el mismo principio cuando sumamos otros números complejos. También es útil saber que las propiedades de suma que usamos para los números reales seguirán aplicándose a los números complejos.
Propiedad de la suma de números complejos
Veamos cómo se aplican las propiedades de la suma a los números complejos. De nuevo, usamos $a + bi$ y $m + ni$ para representar dos números complejos.
Propiedad conmutativa
Cuando se invierte el orden de dos números complejos, la suma sigue siendo la misma.
Avancemos y verifiquemos esto usando dos formas generales de números complejos.
$begin{alineado} (a + bi) + (m + ni) &= (a + m) + (b + n)i\(m + ni) + (a + bi) &= (m + a ) + (n + b)i\&=(a +m) + (b + n)i\\(a + bi) + (m+ ni) &= (m + ni) + (a + bi )end{alineado}$
De esto podemos ver que $(a + bi) + (m+ ni)$ siempre será igual a $(m+ ni) + (a + bi)$.
Propiedad asociativa
Digamos que tenemos un tercer número complejo, $p + qi$, entonces si sumamos los dos primeros números complejos seguidos del tercer número complejo, el resultado será el mismo si sumamos primero los dos últimos números complejos.
PS [(a + bi) + (m + ni)] + (p + qi) = (a + bi) + [(m + ni) + (p + qi)]PS
$begin{alineado} (a + bi) + (m + ni) &= (a + m) + (b + n)i\(m + ni) + (a + bi) &= (m + a ) + (n + b)i\&=(a +m) + (b + n)i\\(a + bi) + (m+ ni) &= (m + ni) + (a + bi )end{alineado}$
De esto podemos ver que $(a + bi) + (m+ ni)$ siempre será igual a $(m+ ni) + (a + bi)$.
$begin{alineado} [(a + bi) + (m + ni)] + (p + iq) &= [(a + m) + (b + ni)] + (p + qi)\&= (a + m + p) + (b + n + q)i\(a + bi) + [(m + ni) + (p + qi)] &= (a + bi) + [(m + p) + (n + q)i ]\&= (a + m + p) + (b + n + q)i\\ [(a + bi) + (m + ni)] + (p + qi) &= (a + bi) +[ ( m + ni) + (p + qi)]end{alineado}$
Acabamos de verificar la propiedad asociativa como se muestra arriba. Esto significa que la propiedad asociativa se aplicará efectivamente a todos los números complejos.
propiedad cero
Cuando un número complejo se suma a cero, el resultado siempre será el número complejo dado. En otras palabras, $(a + bi) + 0 = a + bi$.
Esta propiedad es un poco intuitiva, pero siempre podemos seguir adelante y verificar esto para practicar también la suma de números complejos.
$ begin{alineado} (a + bi) + 0 &= (a + bi) + (0 + 0i)\&= (a + 0) + (b + 0)i\&= a + bi fin{alineado}$
Acabamos de explorar todo lo que necesitamos aprender sobre la suma de números complejos. Sigamos adelante y probemos algunos problemas para comprobar nuestro conocimiento.
Ejemplo 1
¿Cuál de las siguientes declaraciones devuelve el valor correcto para $(-2 + 4i) + (6 – 5i)$?
una. $-8 – $9i
B. $4 – $1
contra $4 – $9i
D. $8 – i$
Solución
Para sumar dos números complejos, simplemente sumamos las partes reales y las partes imaginarias.
$ begin{alineado} (-2 + 4i) + (6- 5i) &= (-2 + 6) + (4 – 5)i\&=(4) + (-1)i\&= 4 – iend{alineado}$
Esto significa que la suma de $(-2 + 4i)$ y $(6 – 5i)$ es $4 – i$. Esto hace B La respuesta correcta.
Ejemplo 2
¿Cuál de los siguientes devuelve el valor correcto para $(-2sqrt{5} + 7i) + (6sqrt{5} – 9i)$?
una. $4sqrt{5} – $2i
B. $8sqrt{5} + 2i$
contra 4$sqrt{5}–16i$
D. 8$sqrt{5} + 16i$
Solución
Suma los dos números complejos combinando las partes reales y las partes imaginarias.
$begin{alineado} (-2sqrt{5} + 7i) + (6sqrt{5} – 9i) &= (-2sqrt{5} + 6sqrt{5}) + (7 + -9)i end{alineado}$
Tenga en cuenta que al sumar expresiones radicales, simplemente sumamos el coeficiente si comparten el mismo valor dentro de la raíz cuadrada.
$begin{alineado} (-2sqrt{5} + 6sqrt{5}) + (7 + -9)i &= (-2 + 6)sqrt{5} + 2i\&=4 sqrt{5} + 2iend{alineado}$
Por lo tanto, la suma de $(-2sqrt{5} + 7i)$ y $(6sqrt{5} – 9i)$ es igual a $4sqrt{5} + 2i$ haciendo a ser la respuesta correcta.
Ejemplo 3
¿Cuál de las siguientes declaraciones devuelve el valor correcto para $( -3 + sqrt{-27}) + (6 + sqrt{-48})$?
una. $-3 + 7sqrt{3}i$
B. $3 + $7sqrt{3}i
contra $-3 + 16sqrt{3}i$
D. $9 – $16{$3}i
Solución
Empecemos reescribiendo $sqrt{-27}$ y $sqrt{-48}$ en términos de $i$. Usa el hecho de que $i = sqrt{-1}$.
| $sqrt{-27}$ | begin{alineado} sqrt{-27} &= sqrt{27 cdot -1} \&= sqrt{27} cdot sqrt{-1}\&= 3sqrt{3} cdot sqrt{-1}\&=3sqrt{3}iend{alineado} |
| $sqrt{-48}$ | begin{alineado} sqrt{-48} &= sqrt{48 cdot -1} \&= sqrt{48} cdot sqrt{-1}\&= 4sqrt{3} cdot sqrt{-1}\&= 4sqrt{3}iend{alineado} |
Reescribe la expresión y reemplaza $sqrt{-27} = 3sqrt{3}i$ y $sqrt{-48} = 4sqrt{3}i$. Luego, combine las partes real e imaginaria de los números.
$begin{alineado} (-3 + sqrt{-27}) + (6 + sqrt{-48}) &= (-3 + 3sqrt{3}i) + (6 + 4sqrt{ 3}i)\&= (-3 + 6) + (3sqrt{3} + 4sqrt{3})i\&= 3 + 7sqrt{3}iend{alineado}$
Por lo tanto, tenemos $( -3 + sqrt{-27}) + (6 + sqrt{-48}) = 3 + 7sqrt{3}i $ haciendo B ser la respuesta correcta.
Ejemplo 4
Evalúa y simplifica las siguientes expresiones.
una. $(-2 + 5i) + (-4 – 6i) + (-3 + 4i)$
B. $(-8 + sqrt{50}i) + (3 – sqrt{98}i) + (6 – sqrt{18}i)$
contra $(-12 + sqrt{-49}) + (8 – sqrt{-25}) + (-9 – sqrt{-64})$
Solución
La primera expresión requiere un enfoque simple: agregue las partes reales separadas de las partes imaginarias.
$begin{alineado}(-2 + 5i) + (-4 – 6i) + (-3 + 4i) &= [(-2) + (-4) + (-3)] + [5 + (-6) + 4]i\&=-9 + 3iend{alineado}$
una. La suma sería igual a $-9 + 3i$.
Primero simplifiquemos los radicales de la segunda expresión.
| $sqrt{50}$ | $begin{alineado}sqrt{50} &= sqrt{25 cdot 2} \&= sqrt{25} cdot sqrt{2}\&= 5sqrt{2}end{ alineado}$ |
| $sqrt{98}$ | $begin{alineado}sqrt{98} &= sqrt{49 cdot 2} \&= sqrt{7} cdot sqrt{2}\&= 7sqrt{2}end{ alineado}$ |
| $sqrt{18}$ | $begin{alineado}sqrt{18} &= sqrt{9 cdot 2} \&= sqrt{9} cdot sqrt{2}\&= 3sqrt{2}end{ alineado}$ |
Reescribe la expresión original y reemplaza $sqrt{50}$, $sqrt{98}$ y $sqrt{18}$ con $5sqrt{2}$, $7sqrt{2}$ y $3 sqrt{ 2}$. Luego podemos combinar las partes reales y las partes imaginarias para encontrar la suma de la expresión.
$begin{alineado}(-8 + 5sqrt{2}i) + (3 – 7sqrt{2}i) + (6 – 3sqrt{2}i) &= (-8 + 3 + 6) + (5sqrt{2} – 7sqrt{2} – 3sqrt{2})i\&= 1 – 5sqrt{2}i end{alineado}$
B. Esto significa que la suma de la expresión es igual a $1 – 5sqrt{2}i$.
Siempre tenemos valores negativos dentro de las raíces cuadradas, así que reescribamos esos términos particulares usando el hecho de que $sqrt{-1} = i$.
| $sqrt{-49}$ | $begin{alineado}sqrt{-49} &= sqrt{49 cdot -1}\&=sqrt{49} cdot sqrt{-1}\&=7 sqrt{-1 }\&=7i end{alineado}$ |
| $sqrt{-25}$ | $begin{alineado}sqrt{-25} &= sqrt{25 cdot -1}\&=sqrt{25} cdot sqrt{-1}\&=5 sqrt{-1 }\&=5i end{alineado}$ |
| $sqrt{-64}$ | $begin{alineado}sqrt{-64} &= sqrt{64 cdot -1}\&=sqrt{64} cdot sqrt{-1}\&=8 sqrt{-1 }\&=8i end{alineado}$ |
Reescribe la expresión para que tengamos las partes imaginarias en términos de $i$. Luego podemos combinar las partes de los números reales e imaginarios para encontrar la suma de la expresión.
$begin{alineado}(-12 + sqrt{-49}) + (8 – sqrt{-25}) + (-9 – sqrt{-64}) &= (-12 + 7i) + ( 8 + 5i) + (-9 – 8i)\&=(-12 + 8 + -9)+ (7 + 5 – 8)i \&= -13-4iend{alineado}$
