El orden de las operaciones se puede definir como un procedimiento estándar que lo guía sobre qué cálculos comenzar en una expresión con múltiples operaciones aritméticas. Sin un orden de operación coherente, se pueden cometer grandes errores durante el cálculo.
Por ejemplo, una expresión que implica más de una operación, como resta, suma, multiplicación o división, requiere una forma estándar de saber qué operación realizar primero.
Por ejemplo, si desea resolver un problema como; 5 + 2 x 3, el problema es ¿qué operación comienza primero?
Debido a que este problema tiene dos opciones para resolverlo, entonces, ¿cuál es la respuesta correcta?
Si hacemos primero la suma y luego la multiplicación, el resultado es:
5 + 2 x 3 = (5 + 2) x 3 = 10 x 3 = 30
Si primero hacemos la multiplicación seguida de la suma, el resultado es:
5 + 2×3 = 5 + (2×3) = 5 + 6 = 11
Para ver cuál es la respuesta correcta, existe un mnemotécnico “PEMDAS”, que es útil porque nos recuerda el orden correcto de las operaciones.
PEMDAS
PEMDAS es un acrónimo que significa paréntesis, exponentes, multiplicación, suma y resta. El orden de las operaciones es:
P es para paréntesis: (), corchetes []llaves {} y barras de fracción.
E es para exponente incluyendo raíces.
M es para multiplicación.
D es para División.
A es para la adición.
S es para Resta.
Reglas PEMDAS
Comience siempre calculando todas las expresiones entre paréntesis
Simplifique todos los exponentes, como raíces cuadradas, cuadrados, cubos y raíces cúbicas.
Multiplica y divide de izquierda a derecha
Finalmente, suma y resta de la misma manera, trabajando de izquierda a derecha.
Una forma de dominar este orden de operación es recordar una de las siguientes tres frases; Elige el que recordarás más fácilmente.
“Grandes elefantes destruyen ratones y caracoles”.
“Los elefantes rosas destruyen ratones y caracoles”.
Ejemplo 1
Resolver
30 ÷ 5×2+1
Solución
Debido a que no hay paréntesis ni exponentes, comience con la multiplicación y luego con la división, trabajando de izquierda a derecha. Completa la operación por adición.
30 ÷ 5 = 6
6×2=12
12 + 1 = 13
NOTA: Cabe señalar que, aunque la multiplicación en PEMDAS viene antes de la división, sin embargo, la operación de ambas aún se realiza de izquierda a derecha.
Multiplicar antes de dividir da la respuesta incorrecta:
Realiza multiplicaciones y divisiones, comenzando de izquierda a derecha.
4×3=12
5 + 12 ÷ 6 – 1
Comenzando desde la derecha;
12 ÷ 6 = 2
5 + 2 – 1 = ?
5 + 2 = 7
7 – 1 = ?
7 – 1 = 6
Ejemplo 3
simplificar 3 2 + [6 (11 + 1 – 4)] ÷ 8×2
Solución
Para resolver este problema, PEMDAS se aplica de la siguiente manera;
Comience la operación acercándose al paréntesis.
Comience dentro de los paréntesis hasta que se eliminen todas las agrupaciones. Se hace la adición;
11 + 1 = 12
Realiza la resta; 12 – 4 = 8
Entrena con apoyos como; 6×8 = 48
Ejecutar exponentes como; 32 = 9
9 + 48 ÷ 8 x 2 = ?
Calcula multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha;
48÷8=6
6×2=12
Ejemplo 4
Evalúa la expresión; 10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3
Solución
Al aplicar la regla PEMDAS, la multiplicación y la división se evalúan de izquierda a derecha. Es recomendable insertar paréntesis para recordar el orden de operación
10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3
= (10÷2) + (12÷2 × 3)
= 23
Ejemplo 5
Tarifa 20 – [3 x (2 + 4)]
Solución
Primer trabajo sobre las expresiones entre paréntesis.
= 20 – [3 x 6]
Calcula los paréntesis restantes. = 20 – 18
Finalmente, realice una resta para obtener 2 como respuesta.
Ejemplo 6
Práctica (6 – 3) 2 – 2×4
Solución
Comienza abriendo los paréntesis
= (3)2 – 2×4
= 9 – 2×4
ahora haz la multiplicacion
= 9 – 8
Completa la operación por resta para obtener 1 como respuesta correcta.
Ejemplo 7
Resolver la ecuación 2 2 – 3 × (10 – 6)
Solución
Calcula dentro de los paréntesis. = 2 2– 3×4
Calcula el exponente. = 4 – 3×4
Haz la multiplicación. = 4 – 12
Completa la operación por resta. = -8
Ejemplo 8
Simplifica la expresión 9 – 5 ÷ (8 – 3) x 2 + 6 usando el orden de las operaciones.
Solución
Practica entre paréntesis
= 9 – 5 ÷ 5×2+6
= 9 – 1×2 + 6
Realiza la multiplicación
= 9 – 2 + 3
Suma y luego resta
= 7 + 6 = 13
Conclusión
En conclusión, a veces una expresión puede contener dos operaciones al mismo nivel.
Por ejemplo, si una expresión contiene tanto un cuadrado como un cubo, se puede calcular primero uno u otro. Realice siempre la operación de izquierda a derecha siguiendo la regla PEMDAS. Si encuentra una expresión sin símbolos de agrupación como llaves, corchetes y paréntesis, puede hacerlo más fácil agregando sus propios símbolos de agrupación.
El trabajo con expresiones que tienen fracciones se resuelve simplificando primero el numerador seguido del denominador. El siguiente paso es simplificar el numerador y el denominador si es posible.
La inducción matemática es una técnica elegante aplicada en matemáticas para probar enunciados, teoremas y fórmulas. Aprender inducción matemática te hace apreciar los teoremas y fórmulas que has aprendido y los matemáticos y teóricos detrás de ellos.
La inducción matemática es una técnica de prueba sofisticada en matemáticas en la que primero probamos que la teoría se cumple para el primer valor o término y luego la usamos para probar la afirmación general.
En un mundo donde podemos buscar rápidamente fórmulas y teoremas en línea, ayuda a conservar nuestra capacidad de pensar más allá de lo que ya se da y aprender a analizar.ze cosas por nosotros mismos.
Una de las primeras técnicas que aprenderás es el uso de la inducción matemática. De hecho, hay muchas fórmulas de suma para series comunes que hemos encontrado donde podemos usar la inducción matemática para probar su fórmula.
En este artículo, aprenderemos el proceso de usar la inducción matemática e incluso trabajaremos en algunos ejemplos. Por eso es importante familiarizarse con las técnicas algebraicas comunes, incluidas las siguientes:
Además de aprender una técnica de prueba esencial, también podremos comprobar nuestras habilidades algebraicas, así que profundicemos directamente en nuestro tema principal.
¿Qué es la inducción matemática?
La inducción matemática es una técnica sofisticada en matemáticas que puede ayudarnos probar enunciados generales mostrando que el primer valor es verdadero. entonces podemos probar que el enunciado es verdadero para dos valores consecutivos y demuestra que el es cierto para todos los valores.
Sigamos adelante y probemos este ejercicio mental para comprender mejor el proceso de inducción matemática:
Imagina una serie de fichas de dominó a punto de caer, y queremos demostrar que todas las fichas de dominó caerían.
Si cae el dominó al comienzo de la serie de dominó.
Si podemos demostrar que cuando cae una ficha de dominó entre conjuntos, cae todo el conjunto.
Podemos concluir que el efecto dominó puede ocurrir.
Aquí hay otro: imagina una escalera infinita, y queremos demostrar que podemos llegar a todos los peldaños de la escalera.
Si la inducción matemática es cierta, nuestro primer objetivo es ver si podemos llegar al primer peldaño de la escalera. Cuando lo hacemos, podemos demostrar que podemos alcanzar cierto peldaño en la escalera.
A estas alturas ya tienes una idea de cómo realizamos la inducción matemática. En general, el proceso en sí requiere dos pasos principales:
1. Demuestra que el enunciado matemático es verdadero para el primer valor.
2. Suponga que la afirmación sigue siendo verdadera para un valor dado, de modo que demuestre que el valor posterior también devolverá una afirmación verdadera.
Cuando podemos demostrar estas dos condiciones por inducción matemática, podemos concluir que el enunciado es verdadero para todos los valores.
¿Cómo hacer una inducción matemática?
Ahora que podemos ver cuán beneficioso es para nosotros aplicar la inducción matemática para probar declaraciones, comprendamos el principio de esta técnica. Estos son los puntos importantes cuando se utiliza la inducción matemática para probar una afirmación:
Dado que $n$ es un número natural y $P_n$ es una instrucción que depende del valor de entrada, $n$.
i) Si el enunciado es verdadero para $P_1$, y
ii) si asumimos que $P_k$ también es cierto, tenemos que demostrar que $P_{k + 1}$ es cierto para todos los enteros positivos, $k$.
Si podemos satisfacer estas dos condiciones, entonces podemos concluir que la declaración, $P_n$, es verdadera para todos los valores de $n$.
Esto significa que podemos probar enunciados por inducción matemática mostrando que el primer y $(n + 1)$ésimo término son verdaderos.
¿Por qué no aplicar esto para demostrar que la fórmula para la suma de los primeros $n$ enteros pares siempre será igual a $n(n+1)$?
Ejemplo de prueba de inducción matemática
Para mostrar nuestra comprensión de la inducción matemática, analicemos un ejemplo y describamos los pasos importantes que debemos seguir para probar la afirmación de que el primer entero par $n$ compartirá una suma de $n(n+1)$.
Esto significa que queremos mostrar que $2 + 4 + 6 + 8 + …+ (2n – 2)+ 2n = n(n + 1)$ o como sumatoria es $sum_{i=1}^{n} 2i = n(n + 1)$. Para comprender mejor el comportamiento de la serie, echemos un vistazo a la tabla de valores a continuación.
2do paso: Supongamos que $sum_{i=1}^{n} 2i = n(n + 1)$ es cierto para $n = k$. Tenemos que demostrar que el enunciado también es cierto para $n = k + 1$.
Tenga en cuenta que $sum_{i=1}^{k + 1} 2i$ es el resultado cuando encontramos $sum_{i=1}^{k} 2i$ más el siguiente término, $2(k + 1 PS
Esto muestra que $sum_{i=1}^{k + 1} 2i = (k + 1)[(k + 1) + 1]$ mostrando que la fórmula es verdadera para $k + 1$.
De la discusión anterior:
i) Hemos demostrado que la fórmula es verdadera cuando $i= 1$.
ii) Dado que la fórmula se aplica a $i = n$, hemos demostrado que la fórmula también se aplica a $i = n + 1$.
Esto quiere decir que por inducción matemática podemos confirmar que $ sum_{i=1}^{n} 2i = n(n + 1)$. De hecho, es cierto que la suma del primer $n$ésimo número par es igual al producto de $n$ y $n + 1$.
¿Quieres probar más problemas de inducción matemática? No te preocupes; ¡Hemos preparado más ejemplos para ti!
Ejemplo 1
Demuestra que la suma de los primeros $n$ números naturales se puede determinar usando la fórmula $dfrac{n(n + 1)}{2}$.
Solución
Nuestro objetivo es demostrar que $1 + 2 + 3 + … + n = dfrac{n(n + 1)}{2}$ y podemos usar la inducción matemática para demostrarlo.
Podemos comenzar comprobando si la fórmula es verdadera para $k = 1$. (Tenga en cuenta que $ n = k $)
Hemos demostrado que la fórmula se aplica a $k = 1$. Ahora suponga que la fórmula se aplica a $n = k$. Esto significa que podemos asumir que $1 + 2 + 3 + …k = dfrac{k(k + 1)}{2}$ es verdadero.
Solo significa que podemos encontrar la suma de los primeros términos $k +1$ sumando la suma de los primeros términos $k$ a $(k + 1)$. Trabajemos en la expresión resultante y veamos si podemos demostrar que $S_{k + 1}$ es igual a $dfrac{(k + 1)[(k + 1)+1]{2}$.
Por lo tanto, hemos demostrado que $S_{k + 1}$ es igual a $dfrac{(k+1)[(k+1)+1]{2}$ Como hemos demostrado que la fórmula se aplica para el valor inicial y para $k +1$, podemos concluir que la fórmula, $1+ 2+ 3+ …+n = dfrac{n( n + 1) {2} $, es cierto.
Ejemplo 2
Demuestre que la suma de los primeros $n$ los cubos consecutivos se pueden determinar elevando al cuadrado la suma de los primeros términos $n$.
Solución
Lo que queremos es mostrar que $1^3+ 2^3 + 3^3 + ….+n^3 = (1 + 2 + 3+…+n)^2$. Comencemos mostrando que la fórmula se aplica cuando $k = 1$.
Como hemos demostrado que $S_1 = 1^3 = 1$, ahora podemos pasar al siguiente paso. Supongamos que la fórmula se aplica cuando $n=k$, por lo que la suma de los primeros cubos $k$ es igual a $(1 + 2 +3 +…+k)^2$. Utilizar el fórmula, $1+2+3+…+n = dfrac{n(n+1)}{2}$, para reescribir $S_k$
Con estas formas en mente, mostremos que la fórmula también se aplicará a $S_{k + 1}$. Sabemos que $S_{k + 1} = S_k + (k + 1)^3$, así que veamos si podemos demostrar que en realidad es igual a $[1 + 2 + 3 +…+ k + (k +1)]^2$.
Este formulario todavía no es lo que queremos para $S_{k+1}$ – nuestro objetivo es mostrar que $S_{k+1}$ como $[1 + 2 + 3 +…+ k + (k +1)]^2$ o $izquierda[dfrac{(k +1)( k+2)}{2}right]^2$. Sigamos manipulando nuestra expresión y podemos hacerlo factorizando $(k+1)^2$.
Hemos demostrado que la fórmula se aplica a $k+1$, por lo que por inducción matemática podemos concluir que la fórmula, $1^3+ 2^3 + 3^3 + ….+n^3 = (1 + 2 + 3+…+n)^2$, es cierto para todos los $n$.
Factorizar expresiones trigonométricas implica dividir los términos de una expresión trigonométrica por un término común. Esto se hace a menudo con el propósito de hacer más explícita una identidad trigonométrica.
Este proceso de factorización funciona de la misma forma que la factorización de polinomios.
Cuando se trabaja con identidades trigonométricas, la factorización es importante. Esto puede ayudar a simplificar expresiones complejas. Esto, a su vez, los hace más fáciles de diferenciar e integrar.
Dado que este artículo se centra en la factorización, repase leyendo sobre la factorización de polinomios.
Esta sección cubre:
Cómo factorizar expresiones trigonométricas
Factorizar expresiones trigonométricas e identidades trigonométricas
Factorización de consolidación
Cómo factorizar expresiones trigonométricas
Para factorizar expresiones trigonométricas, recuerde cómo factorizar polinomios.
Esto primero requiere encontrar el máximo factor común de todos los términos en una expresión. Luego factoriza el MCD dividiendo cada término por el MCD. Finalmente, coloque el MCD fuera del paréntesis.
Para un polinomio $ 4x ^ 3-6x ^ 2 + 2x $, el MCD es $ 2x $. Primero, divida cada término en esta expresión por $ 2x $ para obtener $ 2x ^ 2-3x + $ 1. Por lo tanto, la expresión factorizada es $ 2x (2x ^ 2-3x + 1) $.
Ahora, la factorización de expresiones trigonométricas funciona de la misma manera. En este caso, sin embargo, las funciones de trigonometría también se pueden factorizar.
A veces, cuando todos los términos de una expresión son funciones trigonométricas, una función trigonométrica se puede dividir por otra para crear una función diferente. Por ejemplo, $ frac {sinx} {cosx} = tanx $ y $ frac {sinx} {tanx} = cosx $.
Factorizar expresiones trigonométricas puede facilitar su resolución, diferenciación o integración. Esto también es cierto al factorizar polinomios. Sin embargo, otra ventaja de factorizar funciones trigonométricas es que puede revelar identidades trigonométricas. Entonces simplifica las funciones.
Factorizar expresiones trigonométricas e identidades trigonométricas
Como se señaló anteriormente, la factorización de expresiones trigonométricas puede revelar identidades trigonométricas.
Esto se debe a que la parte que se factoriza y / o la parte restante pueden ser parte de una identidad trigonométrica. Suelen ser un doble ángulo o una identidad pitagórica.
Por ejemplo, considere $ frac {sin ^ 4x} {cos ^ 2x} + sin ^ 2x $. Ahora, el MCD de esta expresión es $ sin ^ 2x $. Factorizando esto, obtenemos $ sin ^ 2x (tan ^ 2x + 1) $. Por la identidad pitagórica $ tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x $. Por lo tanto, es $ sin ^ 2x (sec ^ 2x) = frac {sin ^ 2x} {cos ^ 2x} = tan ^ 2x $.
Factorización de consolidación
En algunos casos, más de un término en una expresión puede contener un factor común, pero no otras expresiones. Estos términos restantes tienen un factor común mayor diferente.
A veces, factorizar estos grupos por separado ayuda a simplificar el problema. Esto es especialmente cierto cuando los términos restantes (las partes entre paréntesis) de los dos grupos son iguales.
Por ejemplo, considere la expresión $ 2sinxcos ^ 3x + 3cos ^ 2x-2sin ^ 3xcosx-3sin ^ 2x $. Los dos primeros términos tienen un MCD de $ cos ^ 2x $ y los dos segundos tienen un MCD de $ -sin ^ 2x $. Luego factoriza esto como $ cos ^ 2x (2sinxcosx + 3) -sin ^ 2x (2sinxcosx + 3) $.
Ahora hay dos términos con un MCD de $ 2sinxcosx + $ 3. Teniendo esto en cuenta, obtenemos $ (2sinxcosx + 3) (cos ^ 2x-sin ^ 2x) $. Sin embargo, ambos paréntesis contienen identidades de trigonometría, por lo que es $ (sin (2x) +3) (cos (2x)) $.
Ejemplos de
Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas relacionados con la factorización de expresiones trigonométricas y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
Encuentra el MCD de $ tan ^ 2xsinx + cos ^ 2xsin ^ 2x + cot ^ 2xsin ^ 3x $.
Solución
El máximo factor común de esta expresión es en realidad $ sinx $. Se vuelve más claro después de usar identidades cocientes.
Por lo tanto, la expresión original es igual a $ frac {sin ^ 3x} {cos ^ 2x} + cos ^ 2xsin ^ 2x + frac {cos ^ 2xsin ^ 3x} {sin ^ 2x} $. Simplificando esto hace $ frac {sin ^ 3x} {cos ^ 2x} + cos ^ 2xsin ^ 2x + cos ^ 2xsinx $.
Por lo tanto, el MCD es $ sinx $, y factorizarlo da $ sinx (tan ^ 2x + cos ^ 2xsinx + cos ^ 2x).
Ejemplo 2
Factoriza el MCD de $ cot ^ 2xtanx + cotxsinx + cos ^ 2x $.
Solución
Como en el primer ejemplo, ayuda simplificar primero. Utilice identidades recíprocas y cocientes para hacer esto.
La expresión entonces se convierte en $ frac {cos ^ 2x} {sin ^ 2x} frac {sinx} {cosx} + frac {cosx} {sinx} sinx + cos ^ 2x $.
Para simplificar, es:
$ frac {cosx} {sinx} + cosx + cos ^ 2x $.
Aquí está más claro que el MCD es $ cosx $. Al factorizar esto, obtenemos:
Utilice la factorización y las identidades trigonométricas para simplificar $ tan ^ 2xcosx (1 + cot ^ 2x + 2sinxcosx) = $ tan ^ 2xcosx + tan ^ 2xcosxcot ^ 2x + 2sinxcos ^ 2xtan ^ 2x $.
Solución
Antes incluso de simplificar, hay algunos términos comunes obvios. Sería útil tenerlos en cuenta. Más precisamente, $ tan ^ 2xcosx $ es común a todos los términos de la expresión.
El MCD de los dos términos es $ 2cot ^ 2x $. Al factorizar esto, obtenemos:
$ 2cot ^ 2x ((1-cos ^ 2x) -sin ^ 2x) $.
Pero, según la identidad pitagórica, $ 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x $. Por lo tanto, el término entre paréntesis es igual a $ 0 $ y la expresión completa es igual a cero.
Problemas de práctica
Factoriza la expresión $ sin ^ 4x-cos ^ 4x $.
¿Cuál es el MCD de la expresión $ 10tanxcosxsinx + 6sin ^ 3xcos ^ 3c + 4cscxsin ^ 2x $?
Factoriza la expresión $ 4secxcscx-2secx-2cscx + $ 1 por agrupación.
Usa la identidad pitagórica y la factorización para simplificar la expresión $ cosx-sin ^ 2xcosx $.
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación $ tan ^ 2x + 2tanx + 1 = $ 0. Luego usa la función arcotangente para encontrar todas las soluciones de la ecuación.
Clave de respuesta
Es la diferencia de los cuadrados. Se factoriza como $ (sin ^ 2x-cos ^ 2x) (sin ^ 2x + cos ^ 2x) $ = $ sin ^ 2x-cos ^ 2x $ por la identidad pitagórica.
El MCD de esta expresión es $ 2sin ^ 2x $.
$ (2cscx-1) (2secx-1) $
$ cos ^ 2x $
$ (tanx + 1) (tanx + 1) = $ 0. Las soluciones son $ – frac { pi} {4} + n pi $ para cualquier número entero $ n $.
Es matemática, así que te acostumbras a la idea de reglas. Las matemáticas se tratan de usar lógica, reglas y organización para que pueda obtener la misma respuesta cada vez que tenga un problema. Si las reglas cambiaran, 1 + 1 no siempre sería igual a 2. Sería demasiado confuso.
Si has estudiado ciencias, sabes leyes. Existe la ley de la gravedad y las leyes del movimiento en física. Las matemáticas también tienen leyes. Establecen reglas que siempre te permiten hacer ciertas cosas. Ya ha utilizado tres de estas leyes en estas páginas adicionales. ¿Recuerdas cómo podemos reorganizar números o agrupar números cuando sumamos? Podemos hacer esto porque hay leyes que dicen que todo está bien y que los cálculos seguirán funcionando bien.
Cuando reorganiza los números, usa el Ley de adición conmutativa. La palabra traspuesta puede parecer grande, pero solo significa reorganizar. Si lo desea, puede llamarlo ley de adición o reordenamiento. La ley nos permite desplazar todos los aditivos en cualquier problema de adición.
Por ejemplo: 1 + 95 + 1345 + 2 + 15 + 7 =? • Este es un poco extraño de ver. 1 + 2 + 7 + 15 + 95 + 1345 =? • Cuando se reorganiza, es un poco más fácil imaginar sumar los números.
No puedes simplemente reorganizar nada. Siempre debes prestar atención a los paréntesis y similares operaciones. Pero para la adición, reorganice los valores como desee. Si fueras matemático, usarías letras llamadas variables para escribir la idea. En matemáticas, usamos letras para representar cualquier número que queramos. Aprenderá más sobre variables en álgebra. Por ahora, debes saber que “a” y “b” pueden ser cualquier número que imagines. La descripción oficial de la ley conmutativa es …
a + b = b + a
El orden no importa cuando se mira la función de suma.
Ahora sabe que también puede reorganizar los números. También puede agruparlos. Ya lo ha hecho en varios de sus problemas.
Por ejemplo: 1 + 5 + 9 + 6 + 5 + 4 =? • Reorganizar los valores y agruparlos … (1 + 9) + (5 + 5) + (6 + 4) =? • Es mucho más fácil ver que la respuesta es 30 cuando se agrupan.
Los matemáticos vieron que la agrupación era útil, por lo que hicieron una ley llamada Ley de adición asociativa. La ley también examina cómo los números pueden relacionarse entre sí. Podrías tener una fiesta de dos y una fiesta de tres. La ley te permite separar grupos y mover cosas. Por ejemplo…
¿Ves cómo acabamos de mover esos paréntesis? Hemos creado nuevos grupos de sumandos. También debe tener en cuenta que podemos agrupar cualquier número de sumandos. Cualquier cosa que le facilite la solución del problema. Sin embargo, esta ley solo funciona para sumar números. Debe tener cuidado con los paréntesis y otras operaciones como la resta o la división.
Por ejemplo: (75-1 + 2) x (3-4 + 25) • No puede reorganizarlos ni agruparlos de ninguna otra manera. • Debe estar atento a otros símbolos del problema. • La adición es especial. No todas las operaciones matemáticas son asociativas.
La forma oficial de describir la ley de la suma asociativa usando variables se vería así …
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
Ya sabes cómo sumar cero a un número: 1 + 0 = 1. Zero no vale nada cuando está solo. Puede agregar cero a cualquier número y obtener el mismo número en la suma. Puede hacerlo gracias a otra ley de las matemáticas. La ley de “la suma de cero” se llama Ley de adición de identidad. Cualquier número agregado a cero es igual a sí mismo. Se llama oficialmente Identidad aditiva.
Una gráfica de puntos es una visualización gráfica de datos que muestra la frecuencia con la que ocurre cada punto de datos o un rango de puntos de datos.
Un diagrama de puntos es ideal para enfatizar la forma general y la distribución de un conjunto de datos. Muestra la misma información general que los diagramas e histogramas de tallos y hojas.
Antes de continuar con esta sección, asegúrese de revisar la frecuencia relativa.
Esta sección cubre:
¿Qué es un diagrama de puntos?
Cómo trazar puntos
Cómo leer un diagrama de puntos
Definición de la gráfica de puntos
¿Qué es un diagrama de puntos?
Un diagrama de puntos es una presentación gráfica de datos que enfatiza la forma general de los datos cuantitativos. Para ello, enumera todos los valores de datos posibles en la parte inferior y muestra un punto encima del valor cada vez que se produce ese valor de datos.
En algunos casos, el diagrama de puntos enumera los valores a la izquierda, con los puntos extendidos hacia la derecha. Además, los valores enumerados en la parte inferior pueden ser rangos o incrementos menores que uno, según los datos. Por ejemplo, un diagrama de puntos que muestra la temperatura corporal puede variar en incrementos de $ 0.1 grados Fahrenheit.
De cualquier manera, los valores aumentarán de izquierda a derecha o de arriba a abajo en los gráficos de puntos.
A pesar del nombre, algunos diagramas de puntos pueden usar otras imágenes en lugar de puntos. Por ejemplo, un investigador de vida silvestre puede usar un pequeño gráfico de un animal.
Esta vista funciona bien para conjuntos de datos de tamaño pequeño a mediano. El uso de un diagrama de puntos facilita ver los valores atípicos, los clústeres y el modo de un conjunto de datos.
Cómo trazar puntos
Para hacer un diagrama de puntos, primero observe los datos recopilados.
¿Los datos son continuos? Cual es su alcance?
Puede ser mejor tener un diagrama de puntos con un rango para datos continuos o datos con rangos muy grandes. De lo contrario, utilice valores discretos como puntos de datos. Estos pueden ser decenas, números enteros, números medidos a la décima más cercana, números medidos a la centésima más cercana, etc.
Enumere estos valores o rangos de menor a mayor de izquierda a derecha.
A continuación, averigüe con qué frecuencia ocurre cada punto de datos. Cree un número correspondiente de marcas (puntos) encima de cada punto de datos.
¡Eso es! Entonces es el momento de analizar la pantalla.
Cómo leer un diagrama de puntos
Lea un diagrama de puntos examinando primero la forma general de los datos.
Un diagrama de puntos que tiene relativamente forma de campana indicará una “distribución normal”. El que está sesgado hacia la izquierda o hacia la derecha indica valores atípicos. Un diagrama de puntos sin una forma global puede mostrar una verdadera aleatoriedad en los datos observados.
¿Porque es esto importante?
A veces, los métodos tradicionales para resumir datos, incluida la media, la mediana y la moda, pueden no ofrecer una imagen completa.
Por ejemplo, considere los siguientes conjuntos de datos:
5, 5, 5, 5, 5
0, 5, 5, 5, 10.
Estos dos conjuntos de datos tienen la misma media, mediana y moda (5). Sin embargo, sucede algo muy diferente en el segundo conjunto de datos. Hay más variación en los datos, pero esto solo queda claro al observar los puntos individuales.
Un diagrama de puntos sería una buena visualización de estos datos.
Compare las dos pantallas. Uno muestra uniformidad, mientras que el otro muestra cierta variación.
Los diagramas de puntos también son una excelente manera de detectar grupos de datos. Por ejemplo, facilitarían la detección de que un maestro está dando una gran cantidad de B, incluso si su nota promedio fuera una C.
Definición de la gráfica de puntos
Un diagrama de puntos es una visualización estadística que traza la frecuencia de aparición de valores de datos en un conjunto de datos. Se utiliza para mostrar la distribución de datos e identificar valores atípicos y agrupaciones.
Los diagramas de puntos funcionan mejor para datos numéricos en conjuntos de datos de tamaño pequeño a mediano. Pueden mostrarse por sí solos o junto con otros gráficos de resumen y estadísticas.
Ejemplos de
Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas relacionados con gráficos de puntos y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
Describe la forma general del diagrama de puntos ilustrado. ¿Qué puede concluir de los datos de esta pantalla?
Solución
Los datos están agrupados aproximadamente en el centro.
¿Por qué? Porque los dos números con más puntos están justo en el medio. Cuatro tienen puntos de datos de $ 4 y cinco tienen $ 5.
Esto significa que el valor de cuatro aparece cuatro veces en el conjunto. Asimismo, el valor de cinco ocurre cinco veces.
Además, hay más números por debajo del modo ($ 5) que por encima.
También hay un valor atípico claro con el número $ 10 $. La siguiente cifra más alta que se produce es de $ 7 y hay pocas lagunas de datos.
Ejemplo 2
Utilice el diagrama de puntos que se muestra para encontrar las estadísticas de resumen del conjunto de datos. Es decir, encuentre el rango, la mediana, la moda y la media.
Solución
Una de las ventajas de los gráficos de puntos es que muestran valores de datos individuales. De hecho, es posible derivar el conjunto de datos a partir de un diagrama de puntos discreto.
En este caso, cada punto corresponde a un punto de datos. Por tanto, el conjunto es:
Este conjunto de datos ya está clasificado de menor a mayor. Esto facilita encontrar la mediana. Los dos dígitos del medio del conjunto de datos son $ 13, por lo que el promedio de los dos también es $ 13.
El modo también cuesta $ 13. Se puede ver en la pantalla del gráfico ya que $ 13 $ tiene la mayor cantidad de puntos. Alternativamente, esto queda claro en el conjunto de datos, ya que este es el número más indicado.
El rango es la diferencia entre los valores más alto y más bajo en el conjunto de datos. En este caso, $ 19 es el valor más alto y $ 10 es el más bajo. Por lo tanto, el rango es de $ 19 a $ 10 = $ 9.
Finalmente, es necesario encontrar el promedio o el promedio. Recuerde que esta es la suma de todos los puntos de datos dividida por el número de puntos de datos.
Primero, cuente el número de puntos. Hay $ 12 en total. Por lo tanto, $ 12 será el denominador.
El rango para este conjunto de datos es $ 9, siendo el valor más bajo $ 1 y el valor más alto $ 10. Por lo tanto, primero cree una recta numérica que oscile entre $ 1 y $ 10.
Luego, coloque puntos encima de cada número correspondiente al número de veces que aparece cada número en el conjunto de datos. $ 1 $ aparece dos veces, así que ponga dos puntos. $ 4 $ ocurre una vez. $ 5 $ y $ 6 $ aparecen tres veces, mientras que $ 7 $ aparecen $ 4 $ veces. $ 8 $ solo ocurre dos veces, y $ 9 $ y $ 10 $ ambos ocurren una vez.
Por lo tanto, el diagrama de puntos se verá así.
Ejemplo 4
Cree gráficos de puntos para los dos conjuntos de datos dados. Luego usa la forma de las gráficas de puntos para compararlas.
Conjunto de datos 1: (1.2, 1.2, 1.2, 1.2, 1.2, 1.3, 1.3, 1.3, 1.4, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8)
Conjunto de datos 2: (1.2, 1.3, 1.4, 1.4, 1.5, 1.5, 1.5, 1.6, 1.6, 1.7, 1.8)
Solución
Dado que todos los puntos de datos en ambos conjuntos están entre $ 1.2 y $ 1.8 con incrementos de $ 0.1, la recta numérica en el diagrama de puntos debe reflejar esto. Es decir, la línea digital debería extenderse de $ 1.2 a $ 1.8 en incrementos de $ 0.1.
A continuación, observe cuántas veces aparece cada número en cada conjunto de datos.
En el primero, $ 1.2 $ ocurre $ 5 veces. $ 1.3 $ y $ 1.4 $ aparecen dos veces, mientras que $ 1.5, $ 1.6 y $ 1.8 $ aparecen una vez. Por lo tanto, el diagrama de puntos se verá así.
En el segundo conjunto de datos, $ 1.2, 1.3, 1.7, $ y $ 1.8 $ aparecen una vez cada uno. $ 1.4 $ y $ 1.6 $ aparecen dos veces cada uno, y $ 1.5 $ aparecen tres veces. Por lo tanto, su diagrama de puntos se ve así.
Los gráficos de puntos muestran que el primer conjunto de datos está sesgado hacia la izquierda. Es decir, la mayoría de sus puntos están agrupados alrededor del extremo inferior. En el segundo conjunto de datos, los datos se distribuyen de manera más normal (en forma de campana). La mayoría de los puntos de datos están en el centro, con algunos a cada lado.
Ejemplo 5
Cree gráficos de puntos para los dos conjuntos de datos dados. Luego, busque las estadísticas resumidas de ambos. Es decir, encuentre el rango, la mediana, la moda y la media. Luego compare los dos conjuntos según la forma y las estadísticas resumidas.
Conjunto de datos 1: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
Conjunto de datos 2: (1, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 10)
Solución
Ambos conjuntos de datos oscilan entre $ 1 y $ 10, por lo que las gráficas de puntos deben tener rectas numéricas con el mismo rango.
En el primer conjunto de datos, cada número entre $ 1 y $ 10 aparece exactamente una vez. Entonces, el diagrama de puntos se verá así.
En el segundo conjunto de datos, $ 1, 6, $ y $ 10 $ aparecen una vez cada uno. $ 3 $ y $ 7 $ aparecen dos veces cada uno, y $ 5 $ aparecen $ 3 $ veces. Por lo tanto, su diagrama de puntos se ve así.
El primer conjunto de datos se distribuye de manera más uniforme, mientras que el segundo tiene más puntos de datos en el centro.
¿Cómo se comparan sus estadísticas resumidas?
El rango para los dos conjuntos de datos es de $ 10 a 1 = $ 9.
En el primer caso, la mediana es de $ 5,5, mientras que en el segundo es de $ 5. El promedio del primero también es de $ 5,5, mientras que el promedio del segundo es de $ 5,2. $ 5 $ también es el modo del segundo, pero el primer conjunto de datos no tiene modo.
Estas estadísticas resumidas son muy similares, pero las formas generales del conjunto de datos son muy diferentes.
Problemas de práctica
Describe la forma general del diagrama de puntos ilustrado.
Cree una lista de los puntos de datos en el conjunto de datos basándose en la gráfica de puntos dada.
Encuentra el promedio de los datos según el diagrama de puntos.
Cree un diagrama de puntos para los datos proporcionados. (-1, -1, -1, 0, 0, 1, 3, 8)
Cree gráficos de puntos para los dos conjuntos de datos y utilícelos para comparar los conjuntos de datos.
Clave de respuesta
1. El diagrama de puntos está inclinado hacia la derecha.
Aunque ambos conjuntos de datos tienen la misma media y están sesgados hacia la izquierda, el primero tiene un valor atípico importante. El segundo tiene varios valores atípicos “más pequeños”.
Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.
Esta es la última página antes de comenzar a trabajar con números, contar y el resto de las matemáticas. Acabamos de cubrir la forma en que observa y identificar objetos. La noción de agrupación de objetos es la segunda parte de las ideas de observación. Por ejemplo, si una pregunta le pregunta acerca de las bolas azules en un cubo, deberá separar mentalmente esas bolas del grupo y comenzar a observar sus características. Cuando estudias sumas, adición Consiste en formar grupos. Estos grupos pueden estar formados por un objeto o por millones. Además, el último grupo es más grande que los dos grupos más pequeños.
Ejemplo: Un grupo de cinco lápices se combina con un grupo de cuatro lápices. 5 + 4 = 9 (El último grupo tiene nueve lápices).
Sustracción es lo opuesto a la suma. Elimina un grupo de otro grupo cuando resta. El grupo final será más pequeño que el primer grupo.
Ejemplo: Comience con un grupo de ocho dulces. Tome un grupo de tres caramelos. 8 – 3 = 5 (Terminas con un pequeño grupo de cinco caramelos).
Cuando llegas a multiplicación sección, se verá como un complemento. En lugar de combinar dos grupos, está combinando varios grupos. Es como preguntar: “¿Qué pasa si tengo tres grupos de cuatro objetos?” Puede agregarlos, pero lleva demasiado tiempo. Necesita multiplicar para averiguar cuál es el tamaño del grupo final.
Ejemplo: ¿Cuántos objetos hay en seis grupos de tres? Suma: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 Multiplicación: 6 x 3 = 18 (Terminas con dieciocho elementos en el grupo final).
La división no es lo opuesto a la multiplicación, pero es como una versión invertida de la multiplicación. Dentro división, comienza con un grupo grande y luego su objetivo es dividirlo en partes iguales. Mirando el ejemplo anterior, un grupo de 18 se puede dividir en seis grupos de tres. Pregúntese: “¿Cuántos grupos de este tamaño pueden obtener de este grupo más grande?” ”
Ejemplo: Si divido este gran grupo de veinticuatro en tres grupos más pequeños, ¿cuántos habrá en cada grupo? 24 ÷ 3 = 8 (Tendrá ocho elementos en cada grupo pequeño).
