Agujeros de funciones racionales: explicación y ejemplos

Agujeros de funciones racionales: explicación y ejemplos

¿Alguna vez has notado esos puntos o huecos que a veces tienen las funciones? Se llaman los agujeros de las funciones racionales. ¿Tienes curiosidad por saber por qué estos puntos permanecen vacíos?

Los agujeros en una función racional son el resultado de compartir factores comunes compartidos por el numerador y el denominador.

Estas son coordenadas por las que pasa la función pero que no son parte del dominio y rango de la función.

Cuando una característica contiene agujeros, en realidad los necesitamos como puntos de referencia al graficar la curva de la característica. Pero para enfatizar que no son parte de las soluciones de la función, los dejamos como puntos vacíos.

No te preocupes. Aprenderemos más sobre agujeros y cómo podemos manipular funciones racionales para encontrarlos en las próximas secciones. También aprenderemos a encontrar las expresiones de funciones racionales dados sus huecos, intersecciones y asíntotas.

¿Qué es un agujero en una función racional?

Cuando el numerador y el denominador de una función racional comparten un divisor común, $x- a$, Hay un agujero $boldsymbol{(a, f(a))}$. También significa que $a$ no se incluirá en el alcance de la función.

¿Qué representan estos agujeros? Estos son los valores o coordenadas por los que puede pasar la gráfica de una función pero que no están definidas por la función, de ahí los puntos vacíos.

Examinemos el gráfico a continuación para comprender mejor los agujeros de una función racional.

El gráfico anterior contiene tres puntos vacíos: $(-1, -2)$, $left(0, -dfrac{1}{2}right)$ y $left(3, dfrac{ 2}{ 5}derecha)$. Esto significa que la función también tiene tres agujeros.

La gráfica muestra que la gráfica tiene discontinuidades en el agujero y su asíntota vertical en $x = -2$. Por lo tanto, nuestro ejemplo particular tiene el siguiente dominio y rango:

Dominio $(-infty, -2) cup (-2, -1) cup (-1, 0) cup (0, 3) cup (3, infty)$
Variar $(-infty, -2) cup (-2, -0.5) cup (-0.5, 0.4) cup (0.4, 1) cup (1, infty)$

¿Cómo encontrar huecos en una función racional?

Ahora que entendemos la importancia de comprender qué representan los agujeros de las funciones racionales, es hora de que aprendamos a determinar los agujeros que puede tener una función.

Aquí hay algunos pasos útiles para recordar al encontrar agujeros en una función racional:

  1. Expresar el numerador y el denominador de la función racional en forma factorizada.
  2. Busque factores comunes compartidos por el numerador y el denominador.
  3. Iguale cada factor común a $0$, luego resuelva para $x$.
  4. Simplifica la expresión de la función.
  5. Sustituya los valores de $x$ del paso 3 en la expresión de la función simplificada para encontrar la coordenada $y$ del agujero.
  6. Escribe el agujero como una coordenada, $(x, y)$, usando los valores de los pasos 3 y 5.

Sí, puede que hayas adivinado correctamente. Encontrar agujeros en funciones racionales requerirá que apliquemos nuestro conocimiento de factorización, así que consulte estas técnicas de factorización sobre las que hemos escrito en el pasado si necesita un repaso:

¿Por qué no aplicar los seis pasos mencionados para encontrar los agujeros de $f(x) = {-3x^3 + 6x^2 + 3x – 6}{4x^3 – 4x}$?

Primero, expresemos tanto el numerador como el denominador de $f(x)$ en forma factorizada.

Ahora que $f(x)$ está factorizado, observe los factores comunes compartidos entre el numerador y el denominador. En nuestro caso, tenemos $x – 1$ y $x + 1$.

Esto significa que hay huecos en $x= -1$ y $x = 1$. Para encontrar sus correspondientes coordenadas $y$, reemplaza estos valores con $x$ en la forma simplificada de $f(x)$.

$begin{alineado}f(x) &= dfrac{-3cancel{(x – 1)}cancel{(x + 1)}(x – 2)}{ 4xcancel{(x – 1) ) )}undo{(x + 1)}}\&=-dfrac{3(x-2)}{4x}end{alineado}$

$boldsymbol{x}$ $boldsymbol{f(x)} =-dfrac{3(x-2)}{4x}$ $boldsymbol{(x, y)}$
$-1$ $-dfrac{9}{4}$ $izquierda(-1, dfrac{9}{4}derecha)$
$1$ $dfrac{3}{4}$ $izquierda( 1, dfrac{3}{4}derecha)$

Esto significa que $f(x)$ tiene huecos en $left( -1, dfrac{9}{4}right)$ y $left( 1, dfrac{3}{4}right) $ .

Estos se presentarán como puntos vacíos por los que pasará la gráfica de $f(x)$.

Aquí está la gráfica de $f(x)$ a lo largo de sus agujeros y asíntotas. Esto confirma que la curva de la función puede pasar por estos agujeros, pero estos valores no serán parte del dominio y rango de la función.

¿Por qué no escribimos el rango y el dominio de $f(x)$?

Dominio $(infty, -1) cup (-1, 0) cup (0, 1) cup (1, infty)$ o $ xin mathbb{R}: {x neq -1 , x neq 0, x neq 1}$
Variar $left(infty, -dfrac{9}{4}right) cup left(-dfrac{9}{4}, -dfrac{3}{4}right) cup left (-dfrac{3}{4}, dfrac{3}{4}right) cup left(dfrac{3}{4}, inftyright)$ o $yin mathbb{ A}: left {y neq – dfrac{9}{4}, y neq – dfrac{3}{4}, y neq dfrac{3}{4} right}$

¿Listo para probar más problemas? ¡No te preocupes, hemos preparado algunos para ti! Asegúrese de seguir todas las técnicas y pasos mencionados en este artículo.

Ejemplo 1

Encuentra los agujeros encontrados en las siguientes funciones racionales.

una. $f(x) = dfrac{-2(x – 1)(x + 2)(x + 3)}{x^2(x – 1)(x + 4)(x – 3)}$
B. $g(x) = dfrac{x^2 – 25}{x^2 – 9x + 20}$
contra $h(x) = dfrac{x^3 – 7x + 6}{x^4 + 4x^3 +x^2 – 6x}$

Solución
Dado que el numerador y el denominador de $f(x)$ ya están en forma factorizada, podemos verificar si tienen factores comunes. Para esta función, podemos ver que $(x -1)$ es un factor compartido por el numerador y el denominador, por lo que hay una brecha en $x = 1$.

Simplifique $f(x)$ y luego sustituya $x = 1$ en la forma simplificada de $f(x)$.
$ begin{alineado} f(x) &= dfrac{-2cancel{(x – 1)}(x + 2)(x + 3)}{x^2cancel{(x – 1)} (x + 4)(x – 3)}\ &=dfrac{-2(x + 2)(x+3)}{(x+4)(x-3)}\\f(1 )&= dfrac{-2(1 +2)(1 +3)}{(1 + 4)(1 – 3)}\&=dfrac{-2(12)}{5(-2) }\&=dfrac{12}{5}end{alineado}$
una. Esto significa que $f(x)$ tiene un agujero en $left(1, dfrac{12}{5}right)$.
Primero factorice el numerador y el denominador de $g(x)$ y luego reescriba $g(x)$.
$begin{alineado} g(x)&=dfrac{x^2 – 25}{x^2 – 9x + 20} \&= dfrac{(x – 5)(x +5)}{( x-4)(x-5)}end{alineado}$
Podemos ver que $x – 5$ es un factor común compartido por el numerador y el denominador, así que simplifique $g(x)$ y luego sustituya $x = 5$ en la forma simplificada de $g(x)$.
$begin{alineado} g(x)&=dfrac{cancel{(x – 5)}(x +5)}{(x-4)cancel{(x-5)}}\&= dfrac{x+5}{x-4}\\g(5)&= dfrac{5 + 5}{5 – 4}\&=10end{alineado}$
B. De esto podemos ver que $g(x)$ tiene un agujero en $(5, 10)$. El numerador y el denominador de $h(x)$ tienen grados más altos que los ejemplos anteriores, así que analicemos el proceso de factorización realizado en ambos.

Numerador $ begin{alineado} x^3 – 7x + 6 &= x^3 – x – 6x + 6\&=x(x^2-1) -6(x -1)\&=x(x -1)(x + 1) -6(x -1)\&=(x-1)[x(x+1)-6]\&=(x-1)(x^2 + x -6)\&=(x -1)(x – 2)(x +3)end{alineado}$
Denominador $ begin{alineado} x^4 + 4x^3 +x^2 – 6x &= x(x^3 + 4x^2 +x – 6)\&=x(x^3 +3x^2 +x ^2+x-6)\&=x[x^2(x+3)+ (x-2)(x +3)]\&=x[(x+3)(x^2 + x -2)]\&=x[(x+3)(x -1)(x +2)]end{alineado}$
$h(x) = dfrac{( x -1)(x – 2)(x +3)}{ x(x+3)(x -1)(x+2)}$

Podemos ver que el numerador y el denominador de $h(x)$ comparten factores comunes de $x – 1$ y $x + 3$. Simplifica $h(x)$ y reemplaza cada uno de estos valores con la forma simplificada de $h(x)$.

$ begin{alineado} h(x) &= dfrac{cancel{( x -1)}(x – 2)cancel{( x + 3)}}{ xcancel{( x + 3)} cancel{( x -1)}(x+2)}\&= dfrac{x – 2}{x(x + 2)}end{alineado}$

$boldsymbol{x}$ $boldsymbol{h(x)} =dfrac{x-2}{x(x + 2)}$ $boldsymbol{(x, y)}$
$-3$ $-$3 $(-3, -15)$
$1$ $1$ $(1, -3)$

contra Esto significa que $h(x)$ tiene huecos en $(-3, -15)$ y $(1, -3)$.

Ejemplo 2

La gráfica de $f(x)$ pasa por las intersecciones $x$, $(-2, 0)$ y $(-1, 0)$, y su gráfica también se muestra a continuación.

Usa la información provista para encontrar una expresión que pueda representar $f(x)$.

Solución

Como tenemos $(-2, 0)$ y $(-1, 0)$ como la intersección $x$ de la función, el numerador de $f(x)$ tiene $(x + 2)$ y $( x + 1)$ como factores.

El gráfico muestra un agujero en $x = 1$, por lo que $x – 1$ es un factor común compartido por el numerador y el denominador.

¿Por qué no escribimos lo que tenemos hasta ahora?

$f(x) = adfrac{(x + 2)(x + 1)(x – 1)}{(x – 1)}$

La variable $a$ representa la constante que podríamos necesitar para $f(x)$.

Considerando que existe una asíntota vertical en $x = 2$, el denominador tiene $x -2$ como factor.

$f(x) = adfrac{(x + 2)(x + 1)(x – 1)}{(x – 1)(x – 2)}$

Cuando $f(x)$ se simplifica y sustituimos $x = 1$, podemos igualar el resultado a $-12$ para encontrar $a$.

$ begin{alineado} f(1)&=adfrac{(1 + 2)(1 + 1)}{1 – 2}\&=a cdot dfrac{6}{-1}\ &=-6a\\-12&=-6a\a&=2end{alineado}$

Esto significa que la gráfica se puede representar por $f(x) = dfrac{2(x + 2)(x + 1)(x – 1)}{(x – 1)}$.

Revisa estos problemas adicionales para poner a prueba tu conocimiento de las funciones racionales y sus agujeros.