Ángulo agudo – Explicación y ejemplos

Ángulo agudo – Explicación y ejemplos

Un ángulo agudo es un ángulo mayor que un ángulo cero y menor que un ángulo recto.

En grados, un ángulo agudo tiene más de $ 0 grados y menos de $ 90 grados. En radianes, un ángulo agudo es un ángulo cuya medida es mayor que 0 $ radianes y menor que $ frac { pi} {2} $ radianes.

Los ángulos agudos se utilizan matemáticamente en geometría, trigonometría y cálculo. También tienen aplicaciones en ciencia e ingeniería, incluidas la astronomía y la arquitectura.

Antes de pasar a esta sección, asegúrese de revisar las propiedades y los tipos de ángulos. Un vistazo rápido a los triángulos también podría ayudar.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es un ángulo agudo?
  • Triángulos agudos
  • Ángulos complementarios
  • Definición de ángulo agudo
  • Ejemplo de ángulo agudo

¿Qué es un ángulo agudo?

Un ángulo agudo es un ángulo con una medida menor que la medida de un ángulo recto. Dado que muchos sistemas (incluidos los que se utilizan para funciones trigonométricas) utilizan ángulos negativos, las definiciones generalmente establecen que un ángulo agudo también debe ser mayor que un ángulo cero.

En grados, un ángulo agudo $ alpha $ tiene una medida entre $ 0 $ y $ 90 $ grados. En radianes, la medida de alfa está entre $ 0 y $ frac { pi} {2} $ radianes.

Un mnemónico fácil de recordar, la definición de agudo en inglés proviene del uso común de la palabra “lindo” para describir algo pequeño, como un cachorro. Por tanto, los ángulos agudos son ángulos pequeños.

Triángulo agudo

Todos los triángulos tienen al menos dos ángulos agudos.

Esto se debe a que un triángulo con dos ángulos rectos tiene un tercer ángulo con una medida de $ 0, por lo que ese “triángulo” es en realidad una línea recta. Si un triángulo tiene dos o más ángulos obtusos, la medida de su ángulo interior excede los $ 180 grados.

Por tanto, la medida del tercer ángulo se utiliza para clasificar los triángulos por tipos de ángulos. Si el tercer ángulo es mayor que un ángulo recto, el triángulo es obtuso. Del mismo modo, si el tercer ángulo es recto, entonces el triángulo es recto.

Sin embargo, si los tres ángulos son agudos, entonces el triángulo es un triángulo agudo. Esto puede suceder si, por ejemplo, cada ángulo es de $ 60 grados. Tal triángulo tiene una medida de ángulo interior de $ 180 grados, pero los ángulos individuales son cada uno más pequeño que un ángulo recto.

Ángulos complementarios

Los ángulos complementarios son dos ángulos que juntos tienen la medida de un ángulo recto.

Suponiendo que ambos ángulos son positivos, dos ángulos complementarios serán ambos agudos.

Definición de ángulo agudo

Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto pero mayor que un ángulo cero.

Dicho ángulo tiene una medida entre 0 $ y 90 $ grados no incluidos o entre 0 $ y $ frac { pi} {2} $ radianes no incluidos.

Ejemplo de ángulo agudo

Hay una infinidad de ángulos agudos ya que hay una infinidad de números entre $ 0 $ y $ 90 $ o $ 0 $ y $ frac { pi} {2} $.

En grados, los ejemplos de ángulos agudos incluyen:

  • 0.0001 $ grados
  • $ 15 grados
  • $ 45 grados
  • $ 75 grados
  • $ 89,999 grados.

En radianes, los ejemplos de ángulos agudos incluyen:

  • $ frac {1} {1000} pi $
  • $ frac {1} {10} pi $
  • $ frac {3} {8} pi $
  • $ frac {2} {5} pi $
  • $ frac {49} {100} pi $.

Ejemplos comunes

Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos agudos y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Clasifica cada ángulo como agudo o no agudo.

A. $ frac {27} {53} pi $ radianes

B. $ frac {23} {51} pi $ radianes

C. $ -2 $ grados

D. $ 2 $ grados

Solución

En este caso, los ángulos B y D son agudos, mientras que los ángulos A y C no lo son.

Para problemas que involucran radianes, observe el coeficiente de $ pi $. Si es menor que $ frac {1} {2} $ y mayor que $ 0 $, el ángulo es agudo.

En este caso, considere $ frac {27} {53} $. La mitad de $ 53 es igual a $ 26,5. Dado que $ 27> $ 26.5, $ frac {27} {53} $ es mayor que $ frac {1} {2} $. Por tanto, $ frac {27} {53} pi $ es mayor que $ frac { pi} {2} $. Por tanto, el ángulo es obtuso.

Pero la mitad de $ 51 son $ 25,5. Dado que $ 23 es menos de $ 25,5, $ frac {23} {51} $ es menos de la mitad. Por lo tanto, $ frac {23} {51} pi $ es menor que $ frac { pi} {2} $, por lo que el ángulo B es agudo.

Es una medida de grado negativa. Esto significa que el ángulo es menor que un ángulo cero, por lo que no es agudo. Tenga en cuenta que esto solo importa cuando la orientación del ángulo en el espacio es importante o cuando se usa algebraicamente.

El último ángulo, D, sin embargo, está entre $ 0 y $ 90 grados no incluidos. Por tanto, es agudo.

Ejemplo 2

¿El siguiente triángulo es agudo? ¿Por qué o por qué no?

Acute triangle with two given angles

Solución

Este triángulo es agudo.

Aunque solo se dan dos ángulos, la información es suficiente para determinar que el tercer ángulo es agudo. Dado que los dos ángulos dados son igualmente agudos, los tres ángulos son agudos. Por tanto, el triángulo es agudo.

¿Por qué?

Recuerde que las medidas del ángulo interior de un triángulo (en grados) suman $ 180 grados. Esto significa que la medida del tercer ángulo es igual a $ 180 – (87,7 + 56,5) = 180-144,2 = $ 35,8 grados.

Dado que $ 35.8, $ 56.5 y $ 87.7 son todos menos de $ 90 grados, el triángulo debe ser agudo.

Ejemplo 3

Encuentra el complemento de ángulo para un ángulo con una medida de $ frac {4} {9} pi $ radianes.

Solución

El complemento de ángulo de un ángulo es otro ángulo que se puede agregar al primero para crear un ángulo recto.

El ángulo dado $ frac {4} {9} pi $ radianes es más pequeño que un ángulo recto porque $ 4 $ es menor que $ 4.5 $, y $ frac {4.5} {9} pi = frac {1 } {2} pi $ radianes, la medida de un ángulo recto en radianes.

Por tanto, en este caso, el complemento es la diferencia entre $ frac { pi} {2} $ radianes y $ frac {4} {9} pi $ radianes.

Esto es igual a:

$ frac {4.5} {9} pi – frac {4} {9} pi = frac {0.5} {9} pi = frac {1} {18} pi $.

Por lo tanto, el complemento de ángulo tiene una medida de $ frac {1} {18} pi $ radianes.

Ejemplo 4

¿Cuál es el menor número de ángulos agudos necesarios para crear un ángulo recto?

Solución

Recuerda que un ángulo recto es igual en medida a dos ángulos rectos. En grados, es $ 180 grados. También es igual a $ pi $ radianes.

Dado que cada ángulo agudo tiene menos de 90 $ grados o $ frac { pi} {2} $ radianes, dos ángulos agudos deben tener un ángulo de menos de 180 $ grados o menos de $ pi $ radianes.

Es decir, dos ángulos agudos siempre serán más pequeños que un ángulo recto. Pero, dos ángulos agudos cercanos a un ángulo recto más un ángulo pequeño podrían equivaler a una línea recta.

Por ejemplo, dos ángulos que miden $ 89 grados y $ 88 grados tienen una suma de $ 177 grados. Un ángulo adicional de $ 3 grados crearía una línea recta.

Del mismo modo, un ángulo de radianes $ frac {49} {100} pi $ y un ángulo de radianes $ frac {47} {100} pi $ tienen una medida total de $ frac {97} {100} pi $ radianes. Pero, un ángulo adicional $ frac {3} {100} pi $ radianes sería suficiente para crear una línea recta.

Ejemplo 5

Considere un círculo con un centro $ A $ y dos puntos distintos $ B $ y $ C $ en la circunferencia.

Demuestre que el ángulo $ ACB $ es agudo para cualquier punto $ C $ de la circunferencia del triángulo.

Acute triangle example 5 question

Solución

Primero, observe que los segmentos de línea $ AC $ y $ AB $ tienen la misma longitud porque ambos son radios del mismo círculo.

Por lo tanto, el triángulo $ ABC $ siempre será al menos isósceles y, a veces, equilátero.

Pero, un triángulo isósceles siempre tiene ángulos de base iguales. Esto significa que los ángulos $ ACB $ y $ ABC $ siempre serán iguales sin importar dónde se encuentre $ C $ en la circunferencia.

Estos dos ángulos no pueden ser obtusos porque la medida del ángulo interno total del triángulo sería mayor que dos ángulos rectos.

Del mismo modo, los dos ángulos no pueden ser rectos porque entonces el ángulo $ CAB $ sería un ángulo cero. Esto significa que $ C $ y $ B $ deben estar en la misma línea en el mismo lado de $ A $ y en la circunferencia. Entonces, en tal caso, $ C $ y $ B $ serían el mismo punto. Sin embargo, la configuración de este problema indica que $ C $ y $ B $ deben ser puntos separados.

Por lo tanto, ambos ángulos deben ser nítidos. En particular, $ ACB $ es agudo para cualquier punto distinto $ C $ en la circunferencia.

Problemas de práctica

  1. Un triángulo tiene dos ángulos cuyos grados suman $ 91 grados. ¿Es el triángulo agudo? ¿Por qué o por qué no? ¿Puedes usar este ejemplo para establecer una regla general para determinar si un triángulo es agudo o no en base a las medidas de dos ángulos?
  2. ¿Cuál es el número mínimo de ángulos agudos necesarios para hacer un círculo?
  3. Demuestre que el único polígono agudo posible es un triángulo. Es decir, pruebe que para cualquier n-gon que tenga más de tres lados, es imposible que todos los ángulos sean agudos.
  4. Sea $ ABC $ un triángulo cuyo ángulo $ ABC $ es mayor que el ángulo $ BCA $. Muestre que $ BCA $ es un ángulo agudo.
  5. Demuestre que el ángulo adicional de cualquier ángulo obtuso es agudo.

Clave de respuesta

  1. Este triángulo no es necesariamente agudo. Aunque el tercer ángulo es $ 180-91 = $ 89 grados y, por lo tanto, agudo, nunca se especificó que los ángulos más pequeños totalizaran $ 91 grados. Es posible que el triángulo tenga un ángulo recto. Por ejemplo, podría tener un ángulo recto y un ángulo de grado de $ 1. Incluso podría ser obtuso porque las medidas de grados son continuas. Si tuviera, por ejemplo, un ángulo con una medida de $ 0.5 y otro de $ 90.5 grados, sería obtuso.
    Pero, si dos ángulos agudos suman $ 91 grados, entonces el triángulo es agudo. En general, si los dos ángulos más pequeños de un triángulo (que siempre deben ser agudos) tienen una medida mayor que la medida de un ángulo recto, el triángulo es agudo.
  2. Se necesitan $ 5 ángulos agudos.
  3. Muéstralo por contradicción. Sea $ n $ un número natural mayor o igual que $ 4 $. Entonces la suma de los ángulos interiores debe ser igual a 180 $ (n-2) = 180n-360 $.
    Suponga que todos los ángulos del n-ido son menores que un ángulo recto. En grados, su medida es menos de $ 90 grados. Entonces la suma de los ángulos interiores, $ alpha $, es menor que $ 90n $.
    Pero la suma de los ángulos interiores es igual a 180n-360 $. Por lo tanto, 180n-360 $ Pero, el único polígono con menos de $ 4 en lados es un triángulo. Por tanto, el único polígono agudo es un triángulo.
  4. Los dos ángulos más pequeños de cada triángulo son agudos. Por lo tanto, $ ABC $ es el mayor de los dos ángulos agudos y $ BCA $ es el menor de los dos o $ ABC $ es el ángulo mayor del triángulo y $ BCA $ es uno de los dos ángulos agudos más pequeños. En el último caso, ya sea que $ ABC $ sea agudo, obtuso o directo, $ BCA $ siempre es agudo. En el primer caso, $ BCA $ también es agudo. Por lo tanto, el ángulo debe ser agudo si no es el ángulo más grande.
  5. Un ángulo obtuso mide más que un ángulo recto y un suplemento de ángulo trabaja con otro ángulo para formar un ángulo recto. En grados, un ángulo recto equivale a $ 180 grados. El suplemento para cualquier ángulo es de $ 180 – alpha $. Si $ alpha $ es obtuso, entonces $ alpha> 90 $ grados. Por lo tanto, $ 180 – alpha

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.