Ángulo de 360 ​​grados: explicación y ejemplos

Ángulo de 360 ​​grados: explicación y ejemplos

Un ángulo de 360 ​​grados, o un ángulo completo, es la medida del ángulo interior de un círculo.

En radianes, un ángulo completo es $ 2 pi $ radianes.

Los ángulos a $ 360 juegan un papel importante en matemáticas, incluidas geometría y trigonometría, y ciencias, incluidas astronomía y física. También son importantes en ingeniería, arquitectura y diseño.

Antes de pasar a esta sección, repase los ángulos y los tipos de ángulos.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es un ángulo de 360 ​​grados?
  • Ángulo de 360 ​​grados desde el ángulo cero
  • Definición de ángulo de 360 ​​grados
  • Ejemplos de ángulos completos

¿Qué es un ángulo de 360 ​​grados?

Un ángulo de $ 360 es un giro completo o un “ángulo completo”. También es la medida del ángulo interior de un círculo y la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

En radianes, un ángulo completo es $ 2 pi $ radianes.

Girar un objeto 360 grados lo devuelve a su posición y orientación iniciales originales.

Ángulo de 360 ​​grados desde el ángulo cero

Un ángulo de 360 ​​grados y un ángulo cero pueden tener el mismo aspecto. Esto se debe a que si un objeto gira cero grados o 360 $ grados, el resultado final es el mismo.

Sin embargo, el proceso es diferente. En un caso, nada ha cambiado. En el otro caso, el objeto ha hecho un círculo completo.

Sin embargo, debido a esto, las funciones trigonométricas son $ 2 pi $ cíclicas. Es decir, sus valores se repiten para cada grado de $ 2 pi $ o $ 360 $. Es decir, las propiedades de un ángulo de $ 360 serán las mismas que las de un ángulo de $ 0.

Definición de ángulo de 360 ​​grados

Un ángulo de $ 360 grados es una vuelta completa. Es igual a $ 2 pi $ radianes o al ángulo interior de un círculo.

Ejemplos de ángulos completos

El ejemplo más clásico de un ángulo completo es el círculo unitario.

Es un círculo de radio uno centrado en el origen. Dicho círculo tiene una circunferencia de $ 2 pi $, y la longitud del arco de cualquier sección de la circunferencia tiene la misma longitud que la medida en radianes.

Estos círculos se usan en trigonometría porque es fácil dibujar triángulos rectángulos en este círculo que tienen medidas simples, lo que hace que sea más fácil encontrar razones trigonométricas.

La medida del ángulo total del círculo unitario es $ 360 grados. Cuando se trata de ángulos superiores a $ 360, las razones se obtienen restando $ 360 de grados o 2 $ pi $ radianes tantas veces como sea necesario hasta que el resultado sea un número, $ k $, mayor o igual a $ 0 y menos de $ 360 $. Entonces, la razón del ángulo inicial es igual a la razón de $ k $.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos completos y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Demuestre que un cuadrilátero tiene una suma de ángulos internos igual a 360 $ grados.

Solución

Hay varias formas de hacer esto. Una forma es saber que un triángulo tiene una suma de ángulos internos igual a $ 180 grados o la medida de una línea recta.

Este hecho se conoce desde la antigüedad y se puede probar sin medir ángulos. De hecho, Euclides tiene prueba de este hecho en su Elementos en la Proposición 32.

Pero, conectar dos triángulos produce un cuadrilátero.

Quadrilateral formed by two triangles

Por lo tanto, la suma de los ángulos internos del cuadrilátero debe ser igual a la suma de los ángulos internos de dos triángulos. Es decir, la suma de los ángulos internos debe ser igual a la medida de dos líneas.

Pero, dos líneas rectas forman un ángulo completo. Por lo tanto, la medida del ángulo interno de un cuadrilátero es 360 $ grados o 2 $ pi $ radianes.

Ejemplo 2

Encuentre un ángulo que sea mayor o igual a $ 0 grados y menor a $ 360 que sea igual a $ 567 grados. Clasifica este ángulo.

Solución

Un ángulo completo y un ángulo de cero grados se encuentran en la misma línea y apuntan en la misma dirección. En este punto, los ángulos se restablecerán. Por lo tanto, un ángulo de $ 360 actúa igual que un ángulo de $ 0. Del mismo modo, un ángulo de $ 361 grados tiene las mismas propiedades que un ángulo de $ 1 grado.

Por lo tanto, para encontrar un ángulo con las mismas propiedades, reste $ 360 grados o $ 3 $ pi $ de un ángulo repetidamente hasta que la diferencia sea un número entre $ 0 y $ 360.

En este caso, $ 567-360 = $ 207. Por lo tanto, el ángulo con una medida de $ 567 grados tendrá las mismas propiedades que un ángulo reflejo de $ 207 grados.

Ejemplo 3

Un reloj analógico indica 4 horas. Una vez que el minutero haya dado un giro de $ 360, ¿qué hora será? ¿Cuántos grados habrá girado la manecilla de las horas al mismo tiempo?

Solución

Cuando el minutero hace un giro de $ 360, vuelve a su punto de partida. Dado que la hora inicial eran las 4 en punto, el minutero comenzaba a las doce. Después del turno, volverá a las doce.

Cuando el minutero da una vuelta completa alrededor del reloj, ha transcurrido una hora. Por lo tanto, la manecilla de la hora cambiará de estar directamente en el cuatro a directamente en el cinco. Esto significa que la manecilla de la hora se habrá movido $ frac {1} {12} $ e de un círculo. En grados, es $ frac {360} {12} = 30 $ grados. En radianes, esto es $ frac {2 pi} {12} = frac { pi} {6} $ radianes.

Ejemplo 4

Un círculo tiene un radio de $ 4. Encuentre la longitud de un segmento de circunferencia con una longitud de arco de $ 360 grados.

Solución

La longitud del arco de un segmento es la longitud de la circunferencia de un círculo contenido por un ángulo dado formado por el centro del círculo y dos radios.

Una longitud de arco de $ 360 grados significa que el ángulo formado por los dos rayos es un ángulo completo. Pero también es el ángulo interior total de un círculo. Por lo tanto, la longitud del segmento de la circunferencia contenido por este ángulo es la circunferencia completa.

La circunferencia de este círculo es $ 8 times pi = 8 pi $.

Ejemplo 5

Demuestre que la suma de un ángulo interior y su ángulo exterior correspondiente en un polígono forma un ángulo completo.

Solución

El ángulo interior de un ángulo en un polígono es el menor de los dos ángulos posibles. El otro ángulo, que será un ángulo reflejo, es el mismo ángulo medido en la dirección opuesta (en sentido horario o antihorario).

Estos dos ángulos, cuando se juntan, crean un círculo. Por lo tanto, la medida de su ángulo es 360 $ grados o 2 $ pi $ radianes, lo mismo que un ángulo completo.

Problemas de práctica

  1. Demuestre que si se agrega un cuadrilátero a un triángulo de manera que dos de las líneas del cuadrilátero están alineadas con dos de las líneas laterales del triángulo y otro lado del cuadrilátero es igual al tercer lado, entonces la nueva figura es un triángulo. .
  2. Encuentre un ángulo con una medida mayor o igual a $ 0 y menor a $ 360 grados con las mismas propiedades que el ángulo con una medida de $ 724 grados.
  3. Encuentra dos ángulos con las mismas propiedades que un ángulo en radianes $ frac {3 pi} {4} $.
  4. Una manecilla de hora en un reloj hace un giro de $ 360. ¿Cuál es la nueva hora y cuántos grados ha girado el minutero?
  5. ¿Qué ángulo es un octavo de un ángulo completo? Da la respuesta en grados y radianes.

Clave de respuesta

  1. Un triángulo y un cuadrilátero con un lado común crearán una figura con $ 3 + 4-2 = $ 5 lados y ángulos. La medida total de su ángulo interior será de $ 540 grados.
    Este pentágono, sin embargo, tiene dos ángulos rectos porque dos de los lados del cuadrilátero están alineados con dos lados del triángulo. Cada ángulo recto de un polígono hace que tenga un lado menos. En este caso, el número total de lados será $ 5-2 = $ 3. Por tanto, la figura resultante será un triángulo.
  2. $ 724-360 = $ 364. Dado que es mayor que $ 360, repita el algoritmo para obtener $ 364-360 = $ 4. Por lo tanto, el ángulo de $ 724 grados tiene las mismas propiedades que un ángulo de $ 4 grados.
  3. Hay un sinfín de ejemplos, pero dos posibilidades son $ frac {3 pi} {4} +2 pi = frac {11 pi} {4} $ y $ frac {11 pi} {4} + 2 pi = frac {19 pi} {4} $.
  4. Si una manecilla de hora ronda los $ 360, entonces han pasado doce horas. Esto significa que la hora es la misma, pero ha cambiado AM o PM. Por ejemplo, si la hora de inicio fue a las 8:00 a.m., la nueva hora es a las 8:00 p.m.
    Dado que el minutero hace un giro de $ 360 grados una vez por hora, ha realizado un giro de $ 360 grados times 12 = $ 4320.
  5. $ frac {360} {8} = 45 $ grados. En radianes, esto es $ frac {2 pi} {8} = frac {1 pi} {4} $.

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