Ángulo de reflejo: explicación y ejemplos

Ángulo de reflejo: explicación y ejemplos

Un ángulo reflejo es un ángulo mayor que un ángulo recto y menor que un círculo.

En grados, un ángulo de reflejo mide más de $ 180 grados y menos de $ 360 grados. En radianes, un ángulo reflejo mide más de $ pi $ radianes y menos de $ 2 pi $ radianes.

Los ángulos reflejos, como otros tipos de ángulos, son importantes en muchas áreas de la ciencia, las matemáticas y la ingeniería.

Antes de pasar a esta sección, lea sobre ángulos y tipos de ángulos.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es el ángulo reflejo?
  • Definición del ángulo reflejo
  • Ejemplos de ángulo reflejo

¿Qué es el ángulo reflejo?

Un ángulo reflejo es un ángulo mayor que un ángulo recto pero menor que un círculo.

Estos ángulos tienen medidas entre $ 180 y $ 360 grados no incluidos o entre $ pi $ y $ 2 pi $ radianes no incluidos.

A veces, los ángulos obtusos se definen como cualquier ángulo mayor que un ángulo recto, $ 90 $ grados o $ frac { pi} {2} $. Pero, una definición más precisa de que un ángulo obtuso también es menor que un ángulo recto. Es decir, debe ser inferior a 180 $ grados o $ pi $ radianes.

Por esta razón, los ángulos reflejos a veces se pueden clasificar como ángulos obtusos o como un tipo especial de ángulo obtuso. Sin embargo, es más preciso clasificarlos como un tipo de ángulo completamente separado.

Para imaginar un ángulo reflejo, imagine cualquier ángulo agudo u obtuso.

Luego, en lugar de medir ese ángulo, mida el ángulo más ancho formado por los radios. Será un ángulo reflejo.

Dígitos cóncavos

Recuerda que un polígono es una figura cerrada que consta solo de líneas rectas.

Un polígono convexo es un polígono cuyos ángulos interiores son todos menores que un ángulo recto pero mayores que un ángulo cero. Es decir, todos los ángulos interiores serán agudos u obtusos.

Sin embargo, un polígono cóncavo tiene al menos un ángulo reflejo

Definición del ángulo reflejo

Un ángulo reflejo es un ángulo que es mayor que un ángulo recto pero más pequeño que un círculo.

Para cualquier ángulo reflejo $ alpha $ lo siguiente es cierto.

$ 180

$ pi

Ejemplos de ángulo reflejo

A continuación, se muestran algunos ejemplos de medidas de ángulos reflejos en grados:

  • $ 180.0001 $ grados
  • $ 200 grados
  • $ 270 $ grados
  • $ 300 grados
  • $ 359,999 grados

A continuación, se muestran algunos ejemplos de medición de ángulos reflejos en radianes:

  • $ frac {101} {100} pi $ radianes
  • $ frac {6} {5} pi $ radianes
  • $ frac {3} {2} pi $ radianes
  • $ frac {15} {8} pi $ radianes
  • $ frac {199} {100} pi $ radianes

Ejemplos comunes

Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos reflejos y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Demuestre que los ángulos exteriores de un triángulo son siempre ángulos reflejos.

Solución

Los ángulos externos de un triángulo son los ángulos del triángulo medidos en la dirección opuesta. Estos son los ángulos más grandes que se encuentran en el exterior del triángulo.

Exterior triangle angle

En la ilustración de arriba, el ángulo verde es el ángulo exterior y el ángulo azul es el ángulo interior.

Tenga en cuenta que los dos ángulos juntos forman un círculo completo. Además, recuerde que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es $ 180 grados, y cada ángulo dentro de un triángulo es mayor que el ángulo cero.

Si tres ángulos con medidas, $ a $, $ b $ y $ c $ suman 180 $ grados y cada uno es mayor que el ángulo cero, $ 0

La medida del exterior de cada uno de estos ángulos será 360 $ -a $, 360 $ -b $ y 360 $ -c $. Sin embargo, debido a las desigualdades anteriores, $ 360-0> 360-a> $ 360-180. Es decir, $ 360> a> $ 180 grados. Del mismo modo, $ 360> b> $ 180 grados y $ 360> c> $ 180 grados.

Por lo tanto, estos tres ángulos exteriores están entre $ 180 grados y $ 360 grados no incluidos. Por definición, estos ángulos son ángulos reflejos.

Ejemplo 2

Calcula la suma de los ángulos exteriores de un triángulo.

Solución

Como se muestra arriba, un ángulo interior y un ángulo exterior medidos juntos forman un círculo.

En grados, un círculo tiene $ 360 grados. Dado que el ángulo interior y su ángulo exterior correspondiente formarán un círculo para cada uno de los tres ángulos del triángulo, el total de los ángulos interiores más los ángulos exteriores serán tres círculos, o $ 360 times3 = $ 1080 grados

Además, se sabe que los ángulos interiores de un triángulo son $ 180 grados.

Por lo tanto, la suma de los ángulos exteriores será $ 1080-180 = $ 900 grados. Esto equivale a dos círculos y medio.

En radianes, esto es $ 6 pi – pi = 5 pi $.

Ejemplo 3

Demuestre que la suma de un ángulo obtuso y un ángulo recto siempre será un ángulo reflejo.

Solución

Como en el problema anterior, este ejemplo de ángulo reflejo usa desigualdades para mostrar que la medida de un ángulo dado está entre la medida de un ángulo recto y la medida de un círculo.

En este caso, la medida del ángulo recto en grados es $ 90 grados. Tal ángulo tiene una medida de frac { pi} {2} $ radianes.

La medida del ángulo obtuso será entre la medida de un ángulo recto y un ángulo recto no incluido. En grados, su medida será mayor a $ 90 grados y menor a $ 180 grados. En radianes, su medida estará entre $ frac { pi} {2} $ radianes y $ pi $ radianes no incluidos.

Sea $ alpha $ la medida de los ángulos recto y obtuso juntos. Por lo tanto, $ alpha $ será mayor que dos ángulos rectos y menor que una línea recta más un ángulo recto. En grados, su medida será estrictamente mayor a $ 180 grados y menor a $ 270 grados. En radianes, su medida será mayor que $ pi $ radianes y menor que $ frac {3 pi} {2} $ radianes.

Dado que un ángulo reflejo tiene una medida mayor de 180 $ grados pero menor de 360 ​​$ grados o mayor de $ pi $ radianes y menor de $ 2 pi $ radianes, el ángulo $ alpha $ será un ángulo reflejo.

Ejemplo 4

¿Existe un suplemento de ángulo para un ángulo reflex? Si es así, ¿qué es?

Solución

El hecho de que haya o no un ángulo adicional para un ángulo reflejo depende del sistema utilizado.

¿Por qué?

Algunos sistemas usan ángulos negativos. Por ejemplo, un ángulo positivo en un círculo unitario utilizado en la mayoría de los sistemas de trigonometría se mide en sentido antihorario, mientras que un ángulo negativo se mide en sentido horario. Generalmente, los ángulos negativos se utilizan para denotar una cierta orientación en el espacio y para graficar funciones que tienen ángulos de entrada.

En tal sistema, un ángulo réflex tiene un cargo adicional. El extra es el valor de 180 $ – alpha $, donde $ alpha $ es el ángulo reflejo. Dado que $ 180

En radianes, la medida del ángulo adicional estará entre $ 0 $ y $ – pi $ radianes no incluidos.

Ejemplo 5

Demuestre que el ángulo $ BAD $ es un ángulo reflejo.

Reflex angle in a polygon

Solución

El ángulo $ BAD $ es uno de los cuatro ángulos del cuadrilátero $ BADC $. Sabemos que los ángulos interiores de un cuadrilátero miden 360 grados. Por lo tanto, la medida de $ BAD $ es igual a $ 360 $ menos la suma de los otros tres ángulos. Afortunadamente, se dan estos tres ángulos.

$ 115,7 + 34 + 23 = $ 172,7. Por lo tanto, la medida del ángulo $ BAD $ debería ser $ 360-172,7 = $ 187,3 grados. Dado que este ángulo tiene una medida mayor a $ 180 grados y menor a $ 360 grados, es un ángulo reflejo por definición.

Problemas de práctica

  1. Demuestre que los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo son ángulos reflejos.
  2. Encuentre la suma de los ángulos exteriores de cualquier n-gon.
  3. ¿Qué tipo de ángulo crearán dos ángulos reflejos?
  4. Demuestre que un cuadrilátero cóncavo tiene al menos dos ángulos agudos.
  5. Demuestre que puede haber como máximo $ n-3 $ ángulos cóncavos en un polígono cóncavo.

Clave de respuesta

  1. Cualquier polígono convexo solo tendrá ángulos agudos u obtusos. Es decir, todos sus ángulos interiores tendrán una medida entre $ 0 y $ 180 grados no incluidos o entre $ 0 y $ pi $ radianes no incluidos. La suma de un ángulo interior y su correspondiente ángulo exterior será un círculo completo. Es decir, será 360 $ grados o 2 $ pi $ radianes.
    Por lo tanto, si todos los ángulos interiores de un polígono son menores que 180 $ grados o $ pi $ radianes, los ángulos exteriores correspondientes serán mayores que $ 360-180 = 180 $ o $ 2 pi- pi = pi $ y menos de $ 360 -0 = $ 360 o $ 2 pi-0 = 2 pi $. Por tanto, su medida será la de un ángulo reflejo.
  2. Para cualquier n-gon, la suma de los ángulos interiores será 180n-360 $. El total de los ángulos interior y exterior del n-gon será $ 360n $, ya que cada ángulo interior y ángulo exterior correspondiente es $ 360 $ grados.
    Por lo tanto, la suma de los ángulos exteriores será la diferencia $ 360n- (180n-360) = 180n + $ 360. Es decir, los ángulos exteriores siempre tendrán un total de medición de $ 720 grados mayor que el total de medición del ángulo interior.
  3. Tal ángulo será mayor que el ángulo de un círculo pero menor que la medida de tres líneas. Este será el equivalente a un ángulo agudo u obtuso con un círculo.
  4. Un cuadrilátero tiene cuatro ángulos con un ángulo interior total de $ 360 grados. Suponga que uno de estos ángulos es mayor de $ 180 grados. Por lo tanto, la suma de los tres ángulos restantes debe ser de $ 180 grados. Dado que cada ángulo es mayor que $ 0, ninguno de los ángulos puede ser mayor o igual a $ 180 grados.
    Ahora, de estos tres ángulos, como máximo uno puede ser mayor o igual que un ángulo recto o $ 90 grados. Si hubiera dos ángulos con una medida mayor o igual a $ 90 grados, tendrían una medida mayor o igual a $ 180 grados. Esto significa que el tercer ángulo debe ser de cero grados o menos. Dado que debe ser positivo, debe haber al menos dos ángulos agudos en un cuadrilátero cóncavo.
  5. La medida del ángulo interior de un n-gon es de 180 a 360 grados. La medida de un ángulo de reflejo es superior a 180 grados. Por lo tanto, la medida del ángulo total de los ángulos cóncavos es mayor que $ 180 m por $ m
    Entonces $ 180m -180n $ 2. Resolver $ m $ da $ n-2> m $, por lo que $ m $ no puede ser mayor que $ n-3 $, porque debe ser un número entero.

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