Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo de noventa grados y menor que una línea recta.
En grados, un ángulo obtuso es mayor de $ 90 grados y menor de $ 180 grados. En radianes, un ángulo obtuso mide más de $ frac { pi} {2} $ radianes y menos de $ pi $ radianes.
Antes de continuar con esta sección, asegúrese de revisar los tipos de ángulos y sus propiedades.
Esta sección cubre:
- ¿Qué es un ángulo obtuso?
- Definición de ángulo obtuso
- Ejemplos de ángulos obtusos
¿Qué es un ángulo obtuso?
Un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto y más pequeño que una línea.
Usando grados, un ángulo obtuso tiene una medida en grados mayor a $ 90 y menor a $ 180. En radianes, su medida está entre $ frac { pi} {2} $ y $ pi $.
A veces, cualquier ángulo mayor que un ángulo recto se considera obtuso. Los ángulos mayores que las líneas rectas y menores que un círculo también se consideran ángulos reflejos. Esta sección hará esa distinción.
Triángulos obtusos
Una de las razones para hacer esta distinción es la definición de triángulo obtuso.
Recuerde que hay tres tipos de arreglos de ángulos triangulares. Los triángulos agudos solo tienen ángulos que son menores que un ángulo recto y los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto.
Un triángulo obtuso, sin embargo, es un triángulo con un ángulo mayor que un ángulo recto. Debido a que los triángulos tienen un ángulo interior total de $ 180 grados, pueden tener como máximo un ángulo mayor que un ángulo recto y ningún ángulo mayor que una línea recta (mayor que un ángulo obtuso).
Esta es también otra razón para distinguir entre ángulos obtusos y ángulos reflejos. Es decir, no puede haber un triángulo reflejo.
Definición de ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto y menor que una línea. Mide entre $ 90 y $ 180 grados o entre $ frac { pi} {2} $ y $ pi $ radianes.
Alternativamente, un ángulo obtuso es cualquier ángulo que sea el más grande en un triángulo obtuso.
Ejemplos de ángulos obtusos
Debido a que los ángulos obtusos incluyen todos los ángulos cuyas medidas son mayores de $ 90 grados y menores de $ 180, los ejemplos incluyen ángulos cuyas medidas son:
- 90,0001 grados
- 100 grados
- 120 grados
- 145 grados
- 175 grados
- 179,999 grados
Alternativamente, dado que los ángulos obtusos incluyen cualquier ángulo con más de $ frac { pi} {2} $ radianes y $ pi $ radianes, incluyen:
- $ frac {3} {4} pi $ radianes
- $ frac {3} {5} pi $ radianes
- $ frac {4} {5} pi $ radianes
- $ frac {9} {10} pi $ radianes
Ejemplos comunes
Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos obtusos y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
Clasifica los siguientes ángulos por grados o radianes.
A. $ 91 grados
B. $ 360- $ 50 grados
C. $ frac {99} {100} pi $
D. $ frac {145} {131} pi $
Solución
Las medidas del primer y tercer ángulo son medidas de un ángulo obtuso. El segundo y el cuarto, sin embargo, no lo son. Específicamente, ambos son ángulos reflejados, o ángulos mayores que una línea recta pero menores que un círculo.
La prueba principal es ver si los ángulos dados están entre $ 90 y $ 180 grados o entre $ frac { pi} {2} $ radianes.
Claramente, $ 91> $ 90 y $ 91<180$, donc le premier angle est bien obtus. L'angle suivant, cependant, est égal à 310$ degrés. Puisque 310$>$ 180, este ángulo no es obtuso. En cambio, es reflexivo.
Asimismo, $ frac {99} {100} pi $ es menor que $ pi $ y mayor que $ frac {pi} {2} $. Por tanto, este ángulo es obtuso.
El siguiente, sin embargo, es $ pi $ multiplicado por $ frac {145} {131} $. Dado que $ 145> $ 131, esta fracción es mayor que uno. Por lo tanto, $ frac {145} {131} pi $ es mayor que $ pi $. Esto hace que el ángulo no sea obtuso sino más bien reflectante.
Ejemplo 2
Sea $ ABC $ un triángulo con dos ángulos conocidos que miden $ 41 $ y $ 31 $ grados. ¿El triángulo es obtuso? ¿Por qué o por qué no?
Solución
Recuerda que los triángulos tienen una medida de ángulo interior de $ 180 grados. Por lo tanto, dadas estas dos medidas de ángulos, es posible determinar la medida del tercer ángulo.
Es decir, el ángulo será igual a $ 180 – (41 + 31) = 180-72 = $ 108. Desde $ 90 <108 <$ 180, este ángulo es obtuso. Por tanto, el triángulo $ ABC $ es obtuso.
Ejemplo 3
Demuestre que el ángulo $ ACD $ en la figura $ ACDB $ es obtuso.
Solución
Primero, observe que los triángulos $ ABC $ y $ CBD $ son triángulos equiláteros congruentes.
¿Por qué?
$ AC $ es un radio del círculo con centro $ A $, al igual que $ AB $. $ AB $ también es un radio del círculo centrado en $ B $, y $ BC $ es otro radio de este círculo. Por lo tanto, $ ABC $ es equilátero.
Asimismo, $ BC $ y $ BD $ son ambos radios del mismo círculo centrado en $ B $. La línea $ BD $ también es un radio del círculo centrado en $ E $, al igual que $ DC $. Por lo tanto, $ CB $, $ BD $ y $ DC $ son líneas de la misma longitud. Por lo tanto, $ CBD $ también es equilátero.
Pero los dos triángulos tienen un lado común, $ CB $. Por lo tanto, todos los lados tienen la misma longitud.
Por lo tanto, el ángulo $ ACB $ debe ser igual a $ 60 $ grados, así como el ángulo $ DCB $.
Dado que el ángulo en cuestión, $ ACD $, está compuesto por los ángulos $ ACB $ y $ DCB $ juntos, la medida de $ ACD $ es igual a $ ACB + DCB = 60 + 60 = 120 $ grados.
Por lo tanto, dado que $ 120 es mayor que $ 90 grados pero menos de $ 180 grados, el ángulo $ ACD $ es obtuso.
Ejemplo 4
Demuestre que los ángulos interiores de cualquier n-ido regular con $ n> 4 $ solo tienen ángulos obtusos.
Solución
Este problema se basa principalmente en saber que un n-gon tiene una suma total de ángulos interiores de $ 180 (n-2) $.
Cuando tal polígono es un polígono regular, tiene $ n $ ángulos interiores iguales. Por lo tanto, cada ángulo interior tiene una medida de $ frac {180n-360} {n} $ o $ 180- frac {360} {n} $.
Para cualquier $ n $ positivo, $ 180- frac {360} {n} $ es menos de $ 180 $. Ahora, tenemos que demostrar que para cualquier $ n> 4 $, $ 180- frac {360} {n}> 90 $.
Para que esto sea cierto, $ frac {360} {n} $ debe ser inferior a $ 90 $. Si es mayor o igual a $ 90, restarlo de $ 180 da una medida en grados menor o igual a $ 90, lo que significa que estos ángulos son rectos o agudos.
sí
$ frac {360} {n} <90 $,
entonces:
360 $ <90 n $
Dividiendo por $ 90 da:
4 $ Por lo tanto, cuando $ n> 4 $, los ángulos interiores de cualquier polígono regular están todos entre $ 90 $ y $ 180 $ y, por lo tanto, son ángulos obtusos. Dos ángulos forman un círculo. Uno de los ángulos es obtuso. ¿Cuál es el rango de grados y radianes para el segundo ángulo? Recuerde que los ángulos adicionales son ángulos que, cuando se unen, forman una línea recta. Es decir, su suma es 180 $ grados o $ pi $ radianes. Un ángulo que, sumado a un ángulo obtuso, forma un círculo será la suma de una línea y el ángulo adicional al ángulo obtuso. Si el ángulo rojo es el ángulo obtuso dado, entonces el ángulo que completa el círculo es el ángulo recto violeta con el ángulo azul que es adicional al ángulo rojo. Por lo tanto, primero es necesario encontrar el rango de valores para ángulos adicionales para ángulos obtusos. Dado que el ángulo obtuso es mayor que $ 90, el ángulo adicional es menor que $ 180-90 = $ 90. Asimismo, dado que el ángulo obtuso es menor de $ 180 grados, el ángulo adicional es mayor de $ 180-180 = $ 0. Por lo tanto, el ángulo adicional es cualquier ángulo agudo o cualquier ángulo entre $ 0 y $ 90 grados. En radianes, esto está entre $ 0 y $ frac { pi} {2} $ radianes. Pero este no es el ángulo necesario para crear el círculo. Este ángulo más un ángulo recto forma el ángulo necesario. Por lo tanto, el ángulo requerido será un ángulo agudo más un ángulo recto o un ángulo mayor de $ 180 grados pero menor de $ 180 + 90 = $ 270 grados. En radianes, este es un ángulo mayor que $ pi $ radianes y menor que $ frac {3 pi} {2} $ radianes. Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.Ejemplo 5
Solución
Problemas de práctica
Clave de respuesta
Asimismo, dado que cada ángulo obtuso debe ser menor que una línea, dos ángulos obtusos deben ser menores que dos líneas, lo que equivale a un círculo. Por lo tanto, la suma de los dos ángulos obtusos es mayor que una línea recta pero menor que un círculo, lo que significa que es un ángulo reflectante.
Pero el tercer ángulo también debe ser obtuso. Es decir, debe ser inferior a $ 180 grados pero superior a $ 90 grados. Por lo tanto, la suma de los dos ángulos iguales debe ser menor que $ 360-90 = $ 270. Por lo tanto, el valor máximo de los ángulos individualmente es menor que $ frac {270} {2} = 135 $ grados.
En radianes, esto es $ frac { frac {3 pi} {2}} {2} = frac {3 pi} {4} $.
Por tanto, si un ángulo exterior es obtuso, el ángulo interior debe ser reflectante y mayor que una línea. Por lo tanto, dicho polígono es cóncavo.
Pero la suma de los ángulos de un triángulo debe ser igual a $ 180. Por lo tanto, tal triángulo no puede existir.
