Un ángulo recto es la medida de la inclinación de dos rayos ubicados en la misma línea.
A diferencia de un ángulo cero, estos dos rayos apuntan en direcciones opuestas desde el vértice. En grados, un ángulo recto mide 180 $ ^ { circ} $, y en radianes, mide $ pi $ radianes.
Los ángulos rectos son parte de las líneas rectas y juegan un papel importante en todas las áreas de las matemáticas, incluida la geometría, el álgebra, la trigonometría y el cálculo. También son importantes en ciencia, estadística, ingeniería y arquitectura.
Antes de pasar a este tema, revise los ángulos y sus subcategorías.
Esta sección incluye:
- ¿Qué es un ángulo recto?
- Definición del ángulo recto
- Ejemplo de ángulo recto
¿Qué es un ángulo recto?
Un ángulo recto es un ángulo que forma una línea recta.
Recuerde que un ángulo es la medida de la inclinación entre dos radios o segmentos de línea que se encuentran en un punto. Este punto se llama cima.
En el caso de un ángulo recto, los dos rayos apuntan en direcciones opuestas en la misma línea.
Por lo general, a un ángulo se le asignan tres puntos para ayudar a identificarlo. El primer punto está en el primer rayo, el segundo punto es el vértice y el tercer punto está en el segundo rayo.
Debido a que los radios de un ángulo recto se encuentran juntos en una línea, los tres puntos usados para nombrar el ángulo se encuentran en una línea. En particular, el punto medio (el vértice) estará entre los otros dos puntos.
Ángulo recto frente a ángulo cero
Un ángulo cero también está en una línea, pero es diferente de un ángulo recto.
En un ángulo cero, los dos rayos que forman el ángulo apuntan en la misma dirección en la línea. La parte superior estará a la derecha o izquierda de los otros dos puntos.
En ángulo recto, el vértice está entre los dos puntos y los rayos apuntan en direcciones opuestas.
Por ejemplo, en la figura dada, los ángulos $ CAB $, $ BAC $, $ ACB $ y $ BCA $ son ángulos cero porque en cada caso el vértice está en el mismo lado de los otros dos puntos. En los dos primeros ángulos, el vértice $ A $ está a la derecha de $ B $ y $ C $. En los dos segundos ángulos, $ C $ está a la izquierda de $ B $ y $ A $.
Sin embargo, los ángulos $ CBA $ y $ ABC $ son ángulos rectos. Esto se debe a que el vértice, $ B $, está entre otros dos puntos $ A $ y $ C $ que están en la misma línea que $ B $.
Además, cuando algo gira el ángulo cero, no se mueve. Cuando algo gira en ángulo recto, gira exactamente en la dirección opuesta. Es por eso que la expresión “ganar $ 180” significa dar la vuelta o cambiar completamente de opinión.
Definición del ángulo recto
Un ángulo recto es la medida de un ángulo que se abre a lo largo de una línea recta. Mido $ 180 grados o $ pi $ radianes.
Los dos rayos que forman un ángulo recto apuntan en direcciones opuestas a lo largo de la misma línea.
Cuando se usan tres puntos para nombrar un ángulo recto, los tres puntos están en la misma línea y el vértice está entre los otros dos puntos.
Ejemplo de ángulo recto
Un círculo contiene $ 360 grados.
Ahora considere el diámetro de un círculo. Es una línea recta que se extiende por un círculo.
Dado que el diámetro corta el círculo por la mitad a través del centro, la medida en el lado superior del diámetro es $ 180 grados y la medida en el lado inferior del diámetro es $ 180 grados.
Es decir, el diámetro, como línea recta, forma un ángulo recto.
Por lo tanto, la longitud del arco de cada semicírculo formado por el diámetro también es de $ 180 grados.
Ejemplos comunes
Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos rectos y sus soluciones paso a paso.
Ejemplo 1
Identifica todos los ángulos rectos en la figura dada.
Utilice el sistema de denominación de tres esquinas donde el primer punto está en el primer rayo, el punto central es el vértice y el tercer punto está en el segundo rayo.
Solución
Los ángulos rectos en la figura son todos los ángulos donde el vértice está entre los otros dos puntos usados para nombrar el ángulo.
Dado que $ A $ y $ B $ no tienen puntos a su izquierda ni a su derecha, respectivamente, no pueden ser el vértice de un ángulo recto.
En cambio, $ C $ y $ D $ deberían ser los vértices.
Por lo tanto, todos los ángulos rectos de la figura son:
- $ ACB $ y $ BCA $
- $ ADB $ y $ BDA $
- $ ACD $ y $ DCA $
- $ CDB $ y $ BDC $
Sin embargo, tenga en cuenta que los ángulos $ ADB $ y $ CDB $ son los mismos, así como los ángulos $ BDA $ y $ BDC $ porque $ A $ y $ C $ son dos puntos en el mismo radio. Por la misma razón, los pares $ ACD $ y $ ACB $ y $ DCA $ y $ BCA $ también son iguales. En este caso, $ D $ y $ B $ están en el mismo estante.
Todos los ángulos de duplicación, como $ ADC $, no son ángulos rectos sino ángulos cero. Esto se debe a que ambos puntos de radio ($ A $ y $ C $ en este caso) se encuentran en el mismo radio.
Ejemplo 2
Calcula la medida de tres ángulos rectos. Da la respuesta en radianes y grados.
Solución
Es difícil visualizar cómo se ven tres ángulos rectos en el avión.
En cambio, piense en tres ángulos rectos como algo que gira en ángulo recto tres veces. ¿Cuál es la medida total del ángulo al final?
Si algo gira dos veces en ángulo recto, forma un círculo. En última instancia, volverá a estar donde empezó. Luego, si gira otro ángulo recto, mirará exactamente en la dirección opuesta a la que estaba mirando inicialmente.
El giro final será $ 180 + 180 + 180 = $ 540 grados o $ pi + pi + pi = 3 pi $ radianes.
Ejemplo 3
Recuerde que un ángulo adicional son dos ángulos que, cuando se suman, forman un ángulo recto.
Entonces, ¿cuál es el ángulo adicional de un ángulo recto? Responda en grados y radianes.
Solución
Para encontrar la medida del suplemento de ángulo en grados, reste la medida del ángulo de $ 180. Para encontrar la medida del suplemento del ángulo en radianes, reste la medida del ángulo de $ pi $.
En este caso, sin embargo, $ 180-180 = $ 0 y $ pi- pi = $ 0. Por lo tanto, el suplemento de ángulo tiene una medida de $ 0 grados o $ 0 radianes. Es, por tanto, el ángulo cero.
Asimismo, el ángulo recto es el complemento del ángulo cero.
Ejemplo 4
¿Qué es un tercio de un ángulo recto?
Solución
En realidad, esta pregunta se responde mediante una simple aplicación de la división.
Para encontrar la medida del ángulo, divide la medida de un ángulo recto entre $ 3. En grados, es $ frac {180} {3} = 60 $ grados. En radianes, esto es $ frac { pi} {3} $ radianes.
Ejemplo 5
En la figura dada, $ FC $ es un diámetro para el círculo con centro $ G $ y $ GH $ es un diámetro para el círculo con centro $ C $. Además, la línea $ CD $ interseca los ángulos $ GCI $ y la línea $ DG $ interseca el ángulo $ EGC $. Demuestre que el ángulo $ EDI es un ángulo recto.
Solución
Lo principal a tener en cuenta en esta figura es que $ DGC $ es un triángulo equilátero porque los círculos con el centro $ G $ y $ C $ tienen el mismo radio y los tres lados son radios de uno o ambos círculos.
Dado que la línea $ CD $ interseca los ángulos $ GCI $, los ángulos $ GCD $ y $ DCI $ son iguales.
Entonces, el triángulo $ GCD $ es congruente con el triángulo $ DCI $ por lado-ángulo-lado. Esto se debe a que $ CG $, $ CD $ y $ CI $ son todos radios del mismo círculo y, por lo tanto, se acaba de demostrar que la misma longitud y ángulos $ GCD $ y $ DCI $ son iguales.
Por lo tanto, el tercer lado de cada triángulo, $ DG $ y $ DI $, también son iguales.
Asimismo, dado que $ DG $ biseca $ EGC $ y $ EG $, $ DG $ y $ GC $ son radios del mismo círculo, el triángulo $ DGE $ es congruente con el triángulo $ CGD $.
Pero, estos son triángulos equiláteros, que también tienen ángulos iguales. Estos ángulos deben ser $ frac {180} {3} = 60 $ grados o $ frac { pi} {3} $ radianes. Esto significa que los ángulos $ EDG $, $ GDC $ y $ CDI $ son todos iguales y suman una línea recta. Por tanto, el ángulo $ EDI $ es una línea.
Problemas de práctica
- Utilice el hecho de que un ángulo recto y un cero se encuentran en la misma línea pero en direcciones opuestas para hacer una predicción de cómo las funciones trigonométricas con el ángulo cero de entrada se comparan con las funciones trigonométricas con el ángulo recto en la entrada.
- ¿El ángulo recto tiene un complemento de ángulo? Si es así, ¿qué es? Si hay un complemento, dé su medida en radianes y grados.
- Nombra los ángulos rectos en esta figura.
- Encuentra la medida de $ 5 de ángulos rectos juntos.
- $ ABCD $ es un paralelogramo. Demuestre que el ángulo $ AEB $ es un ángulo recto.
Clave de respuesta
- Una predicción razonable es que una salida es negativa de la otra. De hecho, este es el caso.
- Su complemento es un ángulo recto negativo. Esto es igual a $ -90 $ grados o $ – frac { pi} {2} $ radianes. En un sistema sin ángulos negativos, no tiene complemento.
- $ ABG $, $ GBA $, $ CBF $, $ FBC $, $ EBD $ y $ DBE $ son todos ángulos rectos.
- Para encontrar eso, multiplique el ángulo recto por $ 5. Este ángulo tendrá una medida de $ 900 grados o 5 $ pi $ radianes.
- Un paralelogramo es un cuadrilátero. Esto significa que los únicos lados de la figura son $ AC $, $ CD $, $ DB $ y $ BA $. Por lo tanto, el punto $ E $ debe estar en la línea $ AB $. De lo contrario, sería más un número de cinco lados. Por lo tanto, dado que $ E $ está en la línea $ AB $ entre $ A $ y $ B $, $ AEB $ es un ángulo recto.
Imágenes / objetos matemáticos creados con GeoGebra.
