Ángulos cuadrantales: explicación y ejemplos

Ángulos cuadrantales: explicación y ejemplos

Los ángulos cuadrantales son ángulos cuyo radio terminal se encuentra con uno de los dos ejes en un círculo unitario. Puedes ver ejercicios resueltos en esta web.

Por lo tanto, todos los ángulos cuadrantales son múltiplos enteros de un ángulo recto.

Los ángulos cuadrantales juegan un papel importante en la trigonometría y las aplicaciones se extienden a las ciencias físicas y la ingeniería.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es un ángulo cuadrantal?
  • Ejemplos de ángulos cuadrantales

¿Qué es un ángulo cuadrantal?

Un ángulo cuadrante es un ángulo cuya medida es un múltiplo entero de la medida de un ángulo recto. Estos ángulos tienen un radio terminal que se extiende a lo largo del eje xoy en el círculo unitario.

En grados, todos los ángulos cuadrantales tienen una medida de:

$ 90n $, donde $ n $ es un número entero.

En radianes, todos los ángulos cuadrantes tienen una medida de:

$ frac { pi} {2} n $, donde $ n $ es nuevamente un número entero.

Aunque hay un número infinito de ángulos cuadrantales, los de particular interés para la trigonometría son los cuatro ángulos cuadrantes “estándar” en el círculo unitario. Son $ 0, $ 90, $ 180 y $ 270 grados o $ 0, $ frac { pi} {2} $, $ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes.

Todos los demás ángulos cuadrantales son coterminales con estos ángulos. Esto significa que encontrar las seis razones trigonométricas para estos cuatro ángulos es información suficiente para conocer las seis razones trigonométricas para todos los ángulos cuadrantales.

Cuadrantes

Los ángulos cuadrantales separan el plano cartesiano en cuatro cuadrantes.

El primer cuadrante está arriba a la derecha. Contiene todos los ángulos entre $ 0 y $ 90 grados o entre $ 0 y $ frac { pi} {2} $ radianes.

El segundo cuadrante está arriba a la izquierda. Contiene todos los ángulos entre $ 90 y $ 180 grados o entre $ frac { pi} {2} $ y $ pi $ radianes.

El tercer cuadrante contiene ángulos entre 180 $ grados y 270 $ grados o $ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes.

Finalmente, el cuarto cuadrante es el conjunto de ángulos entre $ 270 $ y $ 360 $ grados o $ frac {3 pi} {2} $ y $ 2 pi $ radianes.

Ejemplos de ángulos cuadrantales

A continuación, se muestran ejemplos de ángulos cuadrantales en grados:

  • 0 grados
  • 90 grados
  • 360 grados
  • -270 grados

En radianes, los ejemplos incluyen:

  • 0 radianes
  • $ frac { pi} {2} $ radianes
  • $ 2 pi $ radianes
  • $ – frac {3 pi} {2} $ radianes.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos cuadrantales y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Identifica si los siguientes ángulos son cuadrantes o no.

  1. $ 450 grados
  2. $ 9 pi $ radianes
  3. $ -1750 $ grados

Solución

A y B son ángulos cuadrantales, pero no C.

Para determinar si A es cuadrante o no, vea si hay un número entero $ n $ tal que $ 90n = 450 $. Resolver $ n $ da $ n = 5 $. Dado que $ 5 $ es un número entero, un ángulo de $ 450 $ grados es cuadrante.

Asimismo, hay un número entero $ n $ tal que $ frac { pi} {2} n = 9 pi $. La resolución da $ n = 18 $, que de hecho es un número entero.

Pero, no existe tal número entero para C. Resolver $ n $ en la ecuación $ 90n = -1750 $ da $ – frac {175} {9} $, que no es un número entero. Entonces no es un ángulo cuadrantal.

Ejemplo 2

Encuentra los senos de los cuatro ángulos cuadrantales principales.

Solución

Imagina un triángulo rectángulo. Ahora imagina que un ángulo se hace cada vez más pequeño. Esto significa que la hipotenusa del triángulo colapsa en el ángulo adyacente y el lado opuesto se vuelve cada vez más pequeño.

De hecho, si el ángulo llegara a ser cero, el lado opuesto no tendría longitud. Dado que el seno es igual al opuesto en la hipotenusa, su valor también sería cero.

Por otro lado, si el ángulo se agranda cada vez más, la longitud del lado opuesto se agranda cada vez más con la hipotenusa. Los dos se acercarían más y más a la misma longitud. Por lo tanto, el límite del seno cuando el ángulo se aproxima a un ángulo recto es $ 1.

Es más difícil imaginar lo que sucede cuando el seno aumenta más allá de un ángulo recto sin un círculo unitario.

Quadrantal Angles Example 2 Solution

El seno del ángulo rojo será el mismo que el seno del ángulo verde. Es casi lo mismo que la versión reflejada del triángulo que se movió en el eje y. Por lo tanto, cuando el lado del terminal $ AC $ se mueve al eje xy $ C $ converge al punto (-1, 0), la altura cambia a $ 0 $. Entonces, el seno de 180 $ grados o $ pi $ radianes es 0 $.

Asimismo, cuando el ángulo terminal aumenta a $ 270, la longitud de la hipotenusa y el lado opuesto convergen nuevamente. Esta vez, sin embargo, la longitud opuesta es negativa, por lo que el límite del seno cuando el ángulo alcanza los 270 $ grados o $ frac {3 pi} {2} $ es $ -1 $.

Ejemplo 3

Nombra dos ángulos cuadrantales coterminales con un ángulo recto.

Solución

Estos ángulos tomarán la forma $ 90 + 360n $ o $ frac { pi} {2} + 2n pi $, donde $ n $ es un número entero.

Hay infinitos ángulos que funcionan, pero $ 90 + 360 = $ 450 y $ 90-360 = $ -270 grados son dos. En radianes, estos ángulos son $ frac {5 pi} {2} $ y $ frac {-3 pi} {2} $.

Ejemplo 4

Identifica el cuadrante del ángulo $ 191 grados.

Solución

Este ángulo está en el tercer cuadrante porque es mayor de $ 180 grados y menor de $ 270 grados.

Tenga en cuenta que estos tipos de problemas suelen ser bastante sencillos cuando el ángulo dado está entre $ 0 y $ 360 grados o entre $ 0 y $ 2 pi $ radianes. Pero, como muestra el siguiente ejemplo, pueden ser un poco más complicados para ángulos más grandes o ángulos negativos.

Ejemplo 5

Identifica el cuadrante del ángulo $ frac {18 pi} {7} $ radianes.

Solución

$ frac {18 pi} {7} $ es mayor que $ 2 pi $ porque es igual a $ frac {14 pi} {2} $.

Por lo tanto, para encontrar el cuadrante, debemos encontrar el ángulo estándar equivalente a $ frac {18 pi} {7} $.

Esto es igual a $ frac {18 pi} {7} – frac {14 pi} {7} = frac {4 pi} {7} $.

¿Es este ángulo mayor o menor que un ángulo recto, $ frac { pi} {2} $?

Dado que la mitad de $ 7 es $ 3.5 y 4> $ 3.5, $ frac {4 pi} {7} $ es mayor que un ángulo recto. Pero, como $ 4 <$ 7, es más pequeño que un ángulo recto, $ pi $ radianes. Por lo tanto, el ángulo está en el segundo cuadrante.

Problemas de práctica

  1. ¿Es el ángulo $ -650 $ grados cuadrantal?
  2. Enumere dos ángulos cuadrantales coterminales con un ángulo $ frac {3 pi} {2} $.
  3. Encuentra el coseno de los cuatro ángulos cuadrantales.
  4. Identifica el cuadrante del ángulo $ frac {9 pi} {8} $ radianes.
  5. Identifica el cuadrante del ángulo $ 717 $ grados.

Clave de respuesta

  1. No
  2. Hay infinitas opciones. Dos son $ – frac { pi} {2} $ y $ frac {7 pi} {2} $.
  3. $ cos (0) = $ 1, $ cos (90) = $ 0, $ cos (180) = – $ 1 y $ cos (270) = $ 0.
  4. Tercer cuadrante.
  5. Cuarto cuadrante.

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