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Principio de Cavalieri – Definición, Condiciones y Aplicaciones

Principio de Cavalieri – Definición, Condiciones y Aplicaciones

los Principio de Cavalieri conecta los volúmenes de dos sólidos dadas sus secciones y alturas. Este principio también es útil para comparar las áreas de dos sólidos dadas sus respectivas bases y alturas. Comprender el principio de Cavalieri conduce a una amplia gama de propiedades compartidas por figuras bidimensionales y tridimensionales.

El principio de Cavalieri establece que cuando los dos sólidos comparten secciones y alturas idénticas, sus volúmenes son iguales. Estos sólidos deben cumplir las condiciones establecidas para el principio antes de llegar a esta conclusión.

Este artículo cubre las condiciones necesarias para aplicar el principio de Cavalieri y cómo el principio se extiende a superficies y sólidos. Este debate también cubre ejemplos y aplicaciones del principio de Cavalieri.

¿Qué es el principio de Cavalieri?

El principio de Cavalieri es un principio según el cual los volúmenes de dos o más sólidos son iguales cuando comparten las mismas áreas y longitudes para sus secciones transversales y alturas, respectivamente. Este principio también se aplica a figuras bidimensionales: el concepto detrás de cómo se establecen las áreas de paralelogramos y triángulos se basa en el principio de Cavalieri.

Fíjate en las cuatro figuras sólidas de arriba y Supongamos que cada sólido tiene una altura de $h$. El principio de Cavalieri establece que si sus áreas transversales y alturas son las mismas, los volúmenes de cuatro figuras sólidas serán los mismos.

Comenzando desde la izquierda, etiquete el volumen del cilindro vertical como $V_A$, el segundo prisma rectangular como $V_B$, etc.

begin{alineado}boldsymbol{V_A}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_A} &= pi(6.91^2)(h)\&aproximadamente 150hend{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_B}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_B} &= 10(15)(h)\&= 150hend{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_C}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_C} &= pi(6.91^2)(h)\&aproximadamente 150hend{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_D}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{V_D} &= 10(15)(h)\&= 150hend{alineado}

El cálculo de los volúmenes individuales de los sólidos confirma el hecho de que con secciones transversales que tienen áreas (150 pies cuadrados) y alturas idénticas, sus volúmenes serán iguales. Explore los fundamentos del principio de Cavalieri al comprender cómo se aplica a figuras bidimensionales y tridimensionales.

Comprender el principio y la zona de Cavalieri

Cuando se dan dos superficies planas, El principio de Cavalieri siempre se aplica cuando las dos superficies cumplen las siguientes condiciones:

  1. Las dos superficies observadas están contenidas en un par de líneas paralelas ubicadas a lo largo del plano.
  2. Las líneas paralelas adicionales que se cruzan en las dos regiones dividen los segmentos de igual longitud.

Cuando dos superficies satisfacen estas condiciones, el principio de Cavalieri establece que su las superficies son iguales. Imagina que un cuadrilátero similar a la figura de abajo se corta en pilas. La segunda imagen es el resultado cuando las pilas del rectángulo se empujan ligeramente hacia la derecha, formando una forma más angulosa. Ahora la pregunta es, ¿serán sus áreas iguales?

Aquí es donde el principio de Cavalieri se vuelve útil para figuras bidimensionales y sus areas. Los lados opuestos de los dos planos son paralelos entre sí.

Además, si cada una de las figuras se divide en montones más pequeños mediante líneas paralelas adicionales, cada uno de los segmentos es congruente. Eso significa que se cumplen las condiciones para el principio de Cavalieripor lo tanto, se supone que sus áreas son iguales.

Extendiendo este concepto a paralelogramos y rectángulos, ahora sabemos que cuando comparten las mismas bases y altura, sus áreas también serán iguales.

Comprender el principio y el volumen de Cavalieri

El principio de Cavalieri es a menudo asociado con la asimilación de volúmenes de dos sólidos que comparten áreas transversales y alturas idénticas.

Supongamos que dos sólidos satisfacen las siguientes condiciones:

  1. Cada una de las figuras tridimensionales está contenida en dos planos paralelos.
  2. El sólido se divide en superficies idénticas por cada plano paralelo adicional y las áreas de estas superficies son iguales.

Se aplica el principio de Cavalieri, por lo que los volúmenes de estos dos sólidos serán iguales. Para comprender cómo es esto posible, comience imaginando dos pilas de monedas con la segunda pila de monedas distribuida de manera más ordenada.

Suponga que todas las partes comparten el mismo volumen, sin importar cuán ordenadamente estén apiladas estas partes, el volumen de las seis habitaciones permanecerá constante.

¿Qué tienen en común estas dos disposiciones?

  • La sección transversal o área de la cara de la pieza será siempre igual.
  • Como están apiladas con el mismo número de piezas, la altura de ambas pilas es igual.

Estos parecen familiares, ¿correcto?

Estas son similares a las condiciones establecidas por el principio de Cavalieri. Cuando las secciones transversales y las alturas de los dos sólidos son idénticas, sus volúmenes también son idénticos.

Eche un vistazo a los números sólidos que se muestran arriba: los planos paralelos que cortan los sólidos tienen cada uno áreas iguales. Estos dos sólidos también están contenidos en planos paralelos, por lo que se aplica el principio de Cavalieri.

Eso significa que los volúmenes de los dos sólidos son iguales.

cuando se da dos figuras tridimensionales de diferentes formasEl principio de Cavalieri siempre será útil.

begin{alineado}text{Área base}_1 &= text{Área base}_2\text{altura} &= h\(text{Área base}_1)(h)&= (text {Área base}_1)(h)\text{Volumen}_1 &=text{Volumen}_2end{alineado}

Tanto tiempo que la altura y el área de la base de cada una de las secciones transversales de los sólidos son iguales, sus volúmenes son iguales. Ahora que se ha establecido el principio de Cavalieri, aprenda a aplicarlo cuando trabaje con figuras bidimensionales y tridimensionales.

Ejemplo del principio de Cavalieri

Hay diferentes ejemplos de aplicaciones que involucran el principio de Cavalieri tales como 1) derivar fórmulas para las áreas de figuras, 2) encontrar el volumen de sólidos y 3) ¡aplicar el principio en cálculo!

Al aplicar el principio de Cavalieri, siempre observar si las secciones son idénticas para cada nivel. Cuando las áreas de la altura y de la sección transversal sean iguales, vea si los principios de Cavalieri serán útiles para el problema en particular.

El principio de Cavalieri en figuras 2D

Al aplicar el principio de Cavalieri en figuras 2D, repasar las condiciones necesarias para dos dimensiones. Estos son útiles para confirmar las áreas de dos figuras particulares o fórmulas generales para áreas de superficie.

Ahora construir el par de líneas paralelas que contienen los dos triángulos. Divide cada una de las figuras con longitudes de segmento iguales usando líneas paralelas adicionales como se muestra a continuación. Las alturas de los triángulos también son iguales.

Dado que los números cumplen las condiciones del principio de Cavalieri, las áreas de las dos figuras son iguales. Esto tiene sentido ya que $A_{text{Triángulo}} = dfrac{1}{2}bh$, por lo que ambos triángulos tendrán áreas de $108$ pies cuadrados cada uno.

El principio de Cavalieri en figuras 3D

El principio de Cavalieri es útil cuando se trabaja con problemas que involucran figuras en 3D. Ambos sólidos deben cumplir las condiciones del principio de Cavalieri antes de usarlo para resolver estos problemas.

Por ejemplo, estos dos sólidos cumplen las condiciones del principio de Cavalieri: 1) están contenidos entre planos paralelos y 2) los planos adicionales dividen las secciones transversales por igual como se muestra en el problema anterior.

Eso significa que las áreas transversales son iguales para los dos sólidos. Igualar la expresión para cada una de las áreas de la sección a resolver para $h$.

begin{aligned}A_{text{Triángulo}} &= A_{text{Rectángulo}}\dfrac{1}{2}(h)(24) &= 6(18)\h&= dfrac{2(6)(18)}{24}\&= 9end{alineado}

Eso significa que la altura del triangulo $h$ este $9$ metros de largo.

Principio de Cavalieri en cálculo integral

El cálculo integral trata con rebanadas y partes divididas de superficies y sólidos, por lo que el principio de Cavalieri se aplica incluso para temas avanzados como integrales y volúmenes de sólidos. El principio de Cavalieri es más útil cuando las áreas transversales del sólido son todas iguales.

Encontrar el volumen usando el principio de Cavalieri

begin{alineado}text{Volumen}_{S} = int_{a}^{b} A(x) phantom{x} dxend{alineado}

Esta fórmula muestra que cuando un sólido dado, $S$, se compone de rebanadas o secciones, $C_x$, $a leq x leq b$. Además, el sólido $S$ está comprendido entre $C_a$ y $C_b$, que son planos paralelos. El área de las secciones está definida por la función $A(x)$.

El principio de Cavalieri es aplicado aquí para calcular el volumen del sólido $S$. Esta es solo una introducción al concepto, por lo que para el resto de los problemas presentados a continuación, el enfoque seguirá estando en encontrar áreas y volúmenes de figuras en 2D o 3D.

Ejemplo 1

Los dos sólidos que se muestran a continuación comparten la misma área de base y altura, como lo refleja el plano paralelo que intersecta cada sólido. Si la sección rectangular mide $12$ pies de ancho y $27ft$ pies de alto, ¿cuál es el diámetro de la base circular?

Solución

Los dos sólidos pueden estar contenidos en un par de planos paralelos y las secciones transversales divididas por el plano son iguales, por lo que se aplica el principio de Cavalieri. Eso significa que las áreas de la base de los dos sólidos y sus alturas son iguales. Primero, encuentre el radio de la base circular del cilindro haciendo coincidir las áreas de las bases.

begin{aligned}A_{text{Círculo}} &= A_{text{Rectángulo}}\pi(r^2) &= l(w)\pi r^2 &= 12(27 pi)\r^2 &= dfrac{324pi}{pi}\r&= 18end{alineado}

Eso significa que el radio del cilindro mide $18 pies de largo, así quesu diámetro es igual a $2 x 18 = $36 pies.

Cuestión práctica

1. Verdadero o falso: Suponga que los dos cilindros que se muestran a continuación comparten las mismas alturas. Gracias al principio de Cavalieri, sus volúmenes también son iguales.

2. Verdadero o Falso: Supón que los dos sólidos que se muestran a continuación comparten las mismas alturas. Gracias al principio de Cavalieri, sus volúmenes también son iguales.

3. ¿Cuál es el volumen del cilindro inclinado que se muestra a continuación?

A. 600 $ft$ metros cuadrados
B. $1,200ft$ metros cuadrados
C. $1800ft$ metros cuadrados
D. $2,400ft$ metros cuadrados

4. Si un prisma rectangular con una longitud de base de $40pi$ comparte la misma área transversal y la misma altura que el cilindro del problema anterior, ¿cuál es el ancho de su base?

A. $15 metros
B. 20$ metros
C. 30$ metros
D. 45$ metros

corregido

1. Verdadero
2. Falso
3.B
4.C

marzo 3, 2022 por Ángulos Blog

Ángulos suplementarios congruentes: definición, medida y explicación

Ángulos suplementarios congruentes: definición, medida y explicación

Ángulos suplementarios congruentes son ángulos que cumplen dos condiciones: son congruentes y son suplementarios. Estos ángulos comparten estas propiedades, lo que los convierte en ángulos únicos e importantes para aprender cuando se trabaja con aplicaciones y problemas relacionados con ángulos y álgebra.

Los ángulos suplementarios congruentes son ángulos cuya suma $boldsymbol{180^{circ}}$ y, al mismo tiempo, comparten la misma medida de ángulo. Estos ángulos siempre tendrán medidas angulares de $boldsymbol{90^{circ}}$.

Este artículo cubre diferentes ejemplos de ángulos suplementarios congruentes y establece la razón por la cual las medidas de sus ángulos son siempre $90^{círculo}$. Espere ejemplos y practique preguntas cerca del final de la discusión para evaluar su comprensión de los ángulos suplementarios congruentes.

¿Qué son los ángulos suplementarios congruentes?

Los ángulos suplementarios congruentes son ángulos que tienen medidas angulares de $90^{círculo}$ cada. El par de ángulos debe tener medidas angulares iguales y al mismo tiempo sumar $180^{circ}$, de ahí el nombre del ángulo. Esto significa que no hay otros ángulos suplementarios congruentes además del par de ángulos rectos.

Mira los dos pares de ángulos de arriba y ver cómo ambos son pares de ángulos suplementarios congruentes. Primero, enfócate en el par de ángulos lineales y encuentra las medidas del ángulo que los hacen congruentes.

Los dos ángulos, $ángulo AOC$ y $ángulo BOC$, son pares lineales, por lo que forman un ángulo lineal y suman $180^{círculo}$. Para que los dos ángulos sean congruentes, $angle AOC = angle BOC = 90^{circ}$.

Esto significa que la única vez que un par de ángulos lineales (por lo tanto, un par de ángulos suplementarios) son congruentes entre sí es cuando ambos están en ángulo recto. Esto es consistente con lo establecido acerca de los ángulos suplementarios congruentes.

Pasemos al segundo par de ángulos, $ángulo ABC$ y $XYZ$. Como se discutió en el pasado, los ángulos adicionales no tienen que formar otros ángulos.

Siempre que sumen 180 $^{circ}$, ambos ángulos se consideran suplementarios. Ahora, que los dos ángulos son congruentes y a la vez complementarios$ángulo ABC = ángulo XYZ = 90^{circ}$.

Ambos ejemplos resaltan el hecho de que el único par posible de ángulos congruentes y suplementarios son dos ángulos rectos. Por supuesto que es importante entender el razonamiento detrás de esto y generalizar la regla para todas las situaciones.

¿Cómo probar ángulos suplementarios congruentes?

Para probar ángulos suplementarios congruentes, usar la definición de ángulos congruentes y ángulos suplementarios luego encuentra las medidas de los ángulos que pueden satisfacer solo las dos condiciones. Por ejemplo, suponga que los dos ángulos, $angle M$ y $angle N$, son dos ángulos congruentes. Esto significa que las medidas de sus ángulos son iguales.

begin{alineado}ángulo M &= ángulo Nend{alineado}

Si los dos ángulos también son suplementarios, $ángulo M$ y $ángulo N$ las medidas se suman $180^{círculo}$.

begin{alineado}ángulo M + ángulo N &= 180^{circ} end{alineado}

Reemplazar $ángulo M = ángulo N$ en la ecuación para encontrar las medidas de $ángulo M$ y $ángulo N$.

begin{alineado}ángulo N + ángulo N &= 180^{circ} \2ángulo N &= 180^{circ}\ ángulo N &= 90^{circ}end{ alineado}

Como $angle M$ y $angle N$ son congruentes, $angle M = angle N = 90^{circ}$. Esto prueba que para que dos ángulos sean ángulos suplementarios congruentes, sus ángulos miden deben ser dos ángulos rectos o deben medir $90^{círculo}$ cada.

Usar ángulos suplementarios congruentes

Usar ángulos suplementarios congruentes y sus medidas para resolver varios problemas que involucran ángulos. Cuando los ángulos se etiquetan como congruentes y suplementarios, hay no es necesario resolver sus medidas ya que se establece que ambos están en ángulo recto.

Al resolver valores desconocidos dados dos ángulos suplementarios congruentes, simplemente asimilar cada expresión representando los ángulos suplementarios congruentes con $90^{circ}$. Úselo para resolver el problema de ejemplo que se muestra a continuación.

Sean $ángulo ABC$ y $ángulo XYZ$ ángulos suplementarios congruentes, use la discusión anterior para encontrar los valores de $x$ y $y$. Como los dos ángulos son congruentes suplementarios, cada uno mide $90^{circ}$. Para encontrar los valores de $x$ y $y$, haga coincidir la expresión de cada ángulo con $90^{circ}$.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo ABC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo XYZ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo ABC &= 90^{circ}\(4x – 10)^{circ} &= 90^{circ}\4x&= 100\x &= 25end{ alineado}

begin{alineado}ángulo XYZ &= 90^{circ}\(5y – 20)^{circ} &= 90^{circ}\ 5y&= 110\y &= 22end{ alineado}

Así, usando la definición de ángulos suplementarios congruentes, $x = 25$ y $y = 22$. Aplicar un proceso similar cuando trabajar con ángulos suplementarios congruentesy cuando esté listo, diríjase a la sección a continuación para probar otros problemas.

Ejemplo 1

Las rectas $l_1$ y $l_2$ son dos rectas que se cruzan y que también son perpendiculares entre sí. Forman cuatro ángulos: $angle 1$, $angle 2$, $angle 3$ y $angle 4$. Comprueba que $angle 1 ,&, angle 2$ y $angle 3 ,&, angle 4$ son ángulos suplementarios congruentes.

Solución

Cuando se trabaja con problemas como este, es útil para construir el diagrama. Dibuja un par de líneas que también se intersequen perpendiculares entre sí. Esto significa que estas dos líneas forman cuatro cuadrantes con forma de $L$ similares a un sistema de coordenadas rectangulares.

Observe la mitad superior de la sección., que son los cuadrantes que contienen $angle 1$ y $angle 2$. Estos ángulos forman una línea, por lo que suman 180 $^{circ}$. Como se ha establecido que $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares entre sí, $angle 1$ y $angle 2$ son ángulos rectos. Esto significa que cada uno mide $90$^{circ}$.

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 2\&= 90^{circ}end{alineado}

la misma explicacion aplica para la parte de abajo, que es $angle 3 = angle 4 = 90^{circ}$. Por supuesto, cada par de ángulos suman $^{circ}$180. Esto también significa que al reorganizar los ángulos, el resultado seguirá siendo el mismo.

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 3\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 2 &= ángulo 4\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 1 &= ángulo 4\&= 90^{circ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo 2 &= ángulo 3\&= 90^{circ}end{alineado}

Ejemplo 2

begin{alineado}ángulo A &= (6x – 30)^{circ}\ángulo B &= (4y – 30)^{circ}end{alineado}

Los ángulos $angle A$ y $angle B$ son ángulos suplementarios congruentes, entonces, ¿cuáles son los valores de $x$ y $y$?

Solución

Recuerda que cuando dos ángulos son ángulos suplementarios congruentes, ambos miden $90^{círculo}$. Esto significa que los dos ángulos, $angle A$ y $angle B$, miden $90^{circ}$.

Encuentre los valores de $x$ y $y$ igualando las expresiones para $angle A$ y $angle B$ a $90^{circ}$ cada una.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo ABC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo XYZ}end{alineado}

begin{alineado}ángulo ABC &= 90^{circ}\(6x – 30)^{circ} &= 90^{circ}\6x&= 120\x &= 20end{ alineado}

begin{alineado}ángulo XYZ &= 90^{circ}\(4y – 30)^{circ} &= 90^{circ}\ 4y&= 120\y &= 30end{ alineado}

Ejemplo 3

Los ángulos $angle AOC$ y $angle BOC$ son perpendiculares entre sí y forman una línea recta. Si $ángulo AOC = (5x – 10)^{circ}$ y $ángulo BOC = (4y – 70)^{circ}$, ¿cuál es el valor de $x + y$?

Solución

Cree una imagen que describa el problema: debería verse como nuestro ejemplo anterior de par lineal que también son ángulos suplementarios como se muestra a continuación. Etiquete los ángulos apropiados e incluya sus medidas de ángulo.

En la primera parte de esta discusión, se estableció que cuando un par lineal tiene ángulos que son medidas congruentes, la única medida posible de los dos ángulos es $90^{círculo}$. De hecho, también son ángulos suplementarios congruentes, por lo que la forma más rápida de resolver este problema es igualar las expresiones para $angle AOC$ y $BOC$ a $90^{circ}$.

begin{alineado}boldsymbol{ángulo AOC}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{ángulo BOC}end{alineado}

begin{alineado}ángulo AOC &= 90^{circ}\(5x – 10)^{circ} &= 90^{circ}\5x &= 130\x &= 26end {alineado}

begin{alineado}ángulo BOC &= 90^{circ}\(4y – 70)^{circ} &= 90^{circ}\ 4y&= 160\y &= 40end{ alineado}

Esto significa que $x = $26 y $y = $40, así que usando estos resultados, $x + y = $66.

Estos tres problemas resaltan cuánto más fácil es resolver problemas similares una vez establecida la medida de los ángulos suplementarios congruentes. Cuando esté listo para probar más preguntas de práctica, diríjase a la sección a continuación.

Preguntas prácticas

1. Verdadero o Falso: Todos los ángulos suplementarios son congruentes.
2. Verdadero o falso: Todos los pares lineales son ángulos suplementarios congruentes.
3. Verdadero o Falso: Las líneas perpendiculares siempre formarán ángulos suplementarios congruentes.
4. Utilizando el siguiente diagrama, ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

A. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 2$, son ángulos suplementarios congruentes.
B. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 3$, son perpendiculares entre sí.
C. Los ángulos, $angle 1$ y $angle 4$, son perpendiculares entre sí.
D. Los ángulos, $angle 3$ y $angle 4$, son ángulos suplementarios congruentes.

5. Supón que $angle LOM$ y $angle MON$ son dos ángulos suplementarios congruentes. Si $x = 20$ y $y = 30$, ¿cuáles de las siguientes expresiones para $angle LOM$ y $angle MON$ no son válidas?

A. $ángulo LOM = (3x + 60)^{circ}$, $ángulo MON = (5y + 10)^{circ}$
B. $ángulo LOM = (5x – 10)^{circ}$, $ángulo MON = (2y + 30)^{circ}$
C. $ángulo LOM = (4x + 10)^{circ}$, $ángulo MON = (3y)^{circ}$
D. $ángulo LOM = (6x – 30)^{circ}$, $ángulo MON = (4y – 30)^{circ}$

6. Los ángulos $angle AOC$ y $angle BOC$ son perpendiculares entre sí y forman una línea recta. Si $angle AOC = (2x + 40)^{circ}$ y $angle BOC = (3y + 60)^{circ}$, ¿cuál es el valor de $x + y$?

A. $x + y = $25
B. $x + y = $35
C. $x + y = $45
D. $x + y = $55

corregido

1. Falso
2. Falso
3. Cierto
4.C
5. uno
6.B

marzo 3, 2022 por Ángulos Blog Pares Preguntas

Perímetro de un Triángulo – Explicación y Ejemplos

Perímetro de un Triángulo – Explicación y Ejemplos

El perímetro de un triángulo se puede definir como la longitud total a través de todos los límites de un triángulo.

perimeter of a triangle definition

Suponga que las longitudes de los tres lados de un triángulo son $a$, $b$ y $c$, como se muestra en la figura anterior. Con esta información, el el perímetro se calcula como:

$Perímetro = a + b + c$

el triangulo es una figura geométrica de tres lados, y se puede clasificar en diferentes tipos según las medidas de sus lados y ángulos. Modificaremos ligeramente la fórmula del perímetro para cada tipo de triángulo. En este tema, veremos cómo calcular el perímetro de diferentes tipos de triángulos.

En términos generales, el perímetro te dará la longitud total de un polígono dado. El perímetro se calcula simplemente sumar todos los lados de un polígono. Para un triángulo, todos los lados y ángulos no tienen que ser iguales. La relación entre los ángulos y los lados varía según el tipo de triángulo, por lo que la fórmula del perímetro difiere según el tipo de triángulo.

¿Cuál es el perímetro de un triángulo?

El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados. Para calcular el perímetro de un triángulo, necesitamos calcular la longitud total a través de los límites del triángulo. Dado que el perímetro se calcula sumando, esto hace que el perímetro sea una medida lineal.

Entonces, las unidades perimetrales son las mismas como la unidad de los lados dados, es decir, centímetros, metros, pulgadas, etc.

Como hallar el perimetro de un triangulo

Para calcular el perímetro de un triángulo, suma los tres lados del triángulo, como vimos anteriormente.

Considere la imagen de un triángulo dada a continuación:

perimeter of triangle example

Aquí, los lados del triángulo son respectivamente $7$, $8$ y $9$ cm. Entonces el perímetro de este triángulo estará dado por:

Perímetro $= 7 + 8+ 9 = $24 cm

Perímetro de una fórmula triangular

La fórmula del perímetro de un triángulo será depende del tipo de triangulo. Analicemos los tipos de triángulos y cómo derivar sus fórmulas.

tipos de triangulos

Hay Tres tipos diferentes de triángulos.s dependiendo de la relación entre sus lados.

  1. Triángulo equilátero
  2. Triángulo isósceles
  3. Triángulo escaleno

– Triángulo equilátero

Un triángulo se considera un triángulo equilátero si las longitudes de los tres lados son iguales. Para un triángulo equilátero, la medida de cada ángulo interior será de 60 grados. A continuación se muestra la figura de un triángulo equilátero.

equilateral triangle 1

Perímetro de un triángulo equilátero

Un triángulo equilátero es un triángulo con tres lados iguales. Entonces, si los lados son $a$, $b$ y $c$, escribiremos el perímetro del triángulo como

Perímetro del triángulo equilátero $= a + b + c$

Como sabemos que $a = b = c$, entonces

Perímetro del triángulo equilátero $= 3a = 3b = 3c$

Ejemplo 1:

Si el lado de un triangulo equilatero mide 6 cm ¿cual sera el perimetro del triangulo?

Solución:

Nos dan el valor de un lado del triángulo equilátero, pero como sabemos los tres lados del triángulo equilátero son igual. Por lo tanto, el perímetro del triángulo se calculará de la siguiente manera:

Perímetro del triángulo equilátero $= 3times a$

Perímetro del triángulo equilátero $= 3times 6$

Perímetro del triángulo equilátero $= 18cm$

– Triángulo isósceles

Se dice que un triángulo es un triángulo isósceles si las longitudes y los ángulos de dos lados son iguales entre sí mientras que el tercer lado difiere del resto. A continuación se muestra la figura de un triángulo isósceles.

parts of isosceles triangles

Perímetro de un triángulo isósceles

Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados iguales. Entonces, si los lados son $a$, $b$ y $c$ y $a = b$, entonces escribiremos el perímetro del triángulo como

Perímetro del triángulo $= a + b + c$

Perímetro del triángulo isósceles $= a + a + c$

Perímetro del triángulo isósceles $= 2a + c$

Ejemplo 2:

Si el perímetro de un triángulo es de 40 cm y la longitud de dos de sus lados es de 8 cm cada uno, ¿cuál será la longitud del tercer lado del triángulo?

Solución:

Nos dan el valor de dos lados del triangulo que son iguales; por lo tanto, es un triángulo isósceles.

Perímetro de un triángulo isósceles $= 2a + b$

$48 = (2 por 8) + b $

$b = dfrac{48}{16}$

$b = 3 cm $

– Triángulo escaleno

Se dice que un triángulo es un triángulo escaleno si la longitud de los tres lados son diferentes entre si. Esto significa que ningún lado será igual a otro lado. Por ejemplo, la siguiente figura de un triángulo escaleno muestra que ninguno de sus lados es igual.

Scalene Triangle

Perímetro de un triángulo escaleno

Un triángulo escaleno es un triángulo que tiene tres lados diferentes. Como todos los lados son diferentes, incapaz de cambiar la fórmula para el perímetro del triángulo como lo hicimos para los triángulos equiláteros e isósceles. Por lo tanto, la fórmula sigue siendo la misma que la fórmula estándar, es decir,

Perímetro del triángulo $= a + b + c$.

Ejemplo 3:

Si la longitud de los tres lados de un triángulo es de 5 cm, 6 cm y 4 cm respectivamente, ¿cuál será el perímetro del triángulo?

Solución:

Como la longitud de todo los tres lados de un triangulo son diferentes, es un triángulo escaleno. La fórmula para el perímetro del triángulo escaleno está dada por

P$= a + b+ c$

$P = $5+6+4

$P = 15cm $

Perímetro de un triángulo rectángulo

Un triangulo se llama triangulo rectangulo si uno de sus angulos es recto. Esto significa que uno de los ángulos del triángulo es $90^{o}$. El perímetro de dicho triángulo también se calcula sumando todos los lados del triángulo, por lo que si la longitud de alguno de los lados no está disponible, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar este valor. Por ejemplo, considere un triángulo rectángulo dado a continuación.

Aquí “b” es la base, “a” es perpendiculary “c” es el hipotenusa.

Según la definición del teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de la base y la perpendicular.

$c^{2} = a^{2}+b^{2}$

$c = sqrt{(a^{2}+b^{2})}$

Entonces, si el valor del lado “c” es desconocidoentonces podemos escribir la fórmula del perímetro como

Perímetro del triángulo rectángulo $= a+b+sqrt{(a^{2}+b^{2})}$

Ejemplo 4:

Considere un triángulo rectángulo ABC cuyo lado AC es la hipotenusa. Si las medidas de los lados AB y BC son 8 cm y 6 cm respectivamente, ¿cuál será el perímetro del triángulo?

Solución:

Necesitamos el valores en tres lados para calcular el perímetro del triángulo rectángulo. Como es un triángulo rectángulo, podemos calcular la longitud del lado AC usando el teorema de Pitágoras.

$AC^{2} = AB^{2}+BC^{2}$

$AC = sqrt{(AB^{2}+BC^{2})}$

$CA = sqrt{(8^{2}+6^{2})}$

$AC = sqrt{64+36}$

$AC = sqrt{100}$

CAD = 10 cm$

Perímetro $= AB + BC+ AC $

$ perímetro = 8+6+$10

$ perímetro = 24 cm $

Perímetro de un triángulo rectángulo isósceles

Se dice que un triángulo es un triángulo rectángulo isósceles si dos lados y dos ángulos son iguales, y el tercer angulo es un angulo recto. Por ejemplo, considere la imagen de un triángulo rectángulo isósceles que se muestra a continuación.

perimeter of isoceles right angle triangle

Aquí, la base y las perpendiculares son iguales y anotó “a”, mientras que “c” es el triángulo hipotenusa.

Escribiremos el perímetro del triángulo como:

Perímetro del triángulo rectángulo $= 2a+c$

Si no se conoce la hipotenusa del triángulo, se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.

$c^{2} = a^{2}+b^{2}$

Aquí a = b

$c = sqrt{(a^{2}+a^{2})}$

$c =raíz cuadrada{(2veces a^{2})}$

$c = sqrt{2}veces un $

Por lo tanto, si se desconoce el valor de “c”, podemos escribir la fórmula de la siguiente manera:

Perímetro del triángulo rectángulo $= 2a+ sqrt{2}times a $

Ejemplo 5:

Considere un triángulo ABC. La longitud de los dos lados AB y CA del triángulo es de 8 cm cada uno mientras que los dos ángulos son $45^{o}$ cada uno. ¿Cuál será el perímetro del triángulo?

Solución:

Sabemos que el triángulo rectángulo cuyos dos lados y dos ángulos interiores son iguales se llama triángulo rectángulo isósceles. Para calcular el perímetro del triángulo, necesitamos saber la longitud del tercer lado. La longitud del tercer lado “BC” se puede calcular usando la fórmula:

$BC = sqrt{2}veces AB $

$BC = 1.414 times $8

$BC = $11.31 aprox.

El perímetro del triángulo será:

Perímetro $= 8 + 8 + 11.31 = 27.31 cm$ aprox.

Cuestiones prácticas

1. Considera un triángulo cuyos lados miden $5cm$, $6cm$ y $8cm$. ¿Cuál será el perímetro del triángulo?

2. Si los tres lados de un triángulo miden $7 cm$, ¿cuál será el perímetro del triángulo?

3. Nathan diseña un jardín triangular. Ayuda a Nathan a calcular el perímetro del jardín usando los siguientes datos:

  • El valor de las longitudes de los dos lados es $= 6 cm$ cada uno, y los ángulos interiores son $45^{o}$ cada uno.
  • El valor de las longitudes de ambos lados es $6 cm$ y $8 cm$. Por lo tanto, un ángulo del triángulo es un ángulo recto.
  • El valor de las longitudes de los dos lados es $= 6 cm$ cada uno, y la longitud del tercer lado es $10 cm$

4. Alex recibe un alambre triangular con una longitud de 99 cm$.

  • Calcula la longitud de los lados del triángulo si el triángulo es equilátero.
  • Calcula la longitud del tercer lado si la longitud de los dos lados restantes es de 30 cm$ cada uno

corregido

1. Sabemos la fórmula del perímetro del triangulo:

Perímetro del triángulo $= a+b+c$

Perímetro del triángulo $= 5cm + 6cm + 8cm$

Perímetro del triángulo $= 19 cm$

2. Conocemos la fórmula del perímetro de un triángulo cuando todos los lados son iguales se da de la siguiente manera:

Perímetro $= 3times a$

Perímetro $= 3times $7

Perímetro $= 21 cm$.

3.

  • Dado que los dos ángulos de un triángulo son iguales a $45^{o}$, entonces el tercero debe ser $90^o$ porque la suma de los tres ángulos de un triángulo siempre es igual a $180^o$. Por lo tanto, tenemos un triángulo rectángulo isósceles y la longitud de ambos lados es de 6 cm cada uno.

Lo primero que hay que hacer es calcular la longitud del tercer lado.

Sean los lados a y b = 6 cm y necesitamos encontrar la longitud del lado “c” usando el teorema de Pitágoras.

$c^{2} = a^{2}+b^{2}$

Aquí a = b

$c = sqrt{(a^{2}+a^{2})}$

$c =raíz cuadrada{(2veces a^{2})}$

$c = sqrt{2}veces un $

$c = 1,41veces $6

$c = 8,46 cm$

El perímetro del triángulo será:

Perímetro $= 6 + 6 + 8.46 = 20.46 cm$ aprox.

  • Uno de los ángulos es $90^{o}$, por lo que es un triángulo rectángulo.

Nos dan dos lados y nosotros calcular la longitud del tercer lado.

Sean un lado a $= 5 cm$ y b $= 8 cm$ y tenemos que encontrar la longitud del lado “c” usando el teorema de Pitágoras.

$c^{2} = a^{2}+b^{2}$

$c = sqrt{(a^{2}+b^{2})}$

$c =raíz cuadrada{(5^{2}+8^{2})}$

$c = sqrt{25+64}$

$c =raíz cuadrada{89}$

$c = 9,43 cm$ aprox.

Perímetro $= a + b+ c $

Perímetro $= 5+ 8 + $9.43

Perímetro $= 22.43 cm $ aprox.

  • La longitud de los dos lados del triángulo es la misma, mientras que la longitud del tercer lado es diferente, por lo que es un triángulo isósceles. Que el lado “a” y “b” $= 6cm$ mientras que el lado “c” $= 10 cm$.

Podemos calcular el perímetro usando la fórmula:

Perímetro del triángulo $ = a+b+c $

Aquí a = b

Perímetro del triángulo $ = 2a +c $

Perímetro del triángulo $ = (2 times 6) + 10$

Perímetro del triángulo $ = 12 + 10$

Perímetro del triángulo $ = 22 cm$

4.

  • Se nos da la longitud total de un alambre de forma triangularpor lo tanto, el perímetro de la figura triangular es de 99 cm.

Si todos los lados del triángulo son iguales, es un triángulo equilátero. El perímetro de un triángulo equilátero es:

Perímetro $ = 3 veces un $

$99 = 3 veces un $

a$ = dfrac{99}{3}$

uno $ = 33 cm $

Por lo tanto, la longitud de todos los lados del triángulo es de 33 cm cada uno.

  • Nos dan la longitud total de un alambre de forma triangular y la longitud de los dos lados del triángulo. Ambos lados del triángulo son iguales, entonces es un triangulo isosceles. Podemos calcular la longitud del tercer lado usando la fórmula del perímetro de un triángulo isósceles.

Sea $a = b = 30 cm$ y perímetro$ = 99cm$

Perímetro de un triángulo isósceles $= 2a + c$

$99 = (2veces 30) + c$

$c = 99 – $60

$c = 39cm$

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean usando GeoGebray

febrero 25, 2022 por Ángulos Blog Unidades

Perímetro de un rombo – Explicación y ejemplos

Perímetro de un rombo – Explicación y ejemplos

El perímetro de un rombo es la longitud total medida a través de sus límites.

perimeter of rhombus

Todos los lados de un rombo son iguales entre sí. Si la longitud de un solo lado es igual a $x$, como se muestra en la figura anterior, el perímetro está dado por

Perímetro $=4x$

El perímetro de un rombo se obtiene por agregar valor desde todos los lados. Este tema te ayudará a comprender las propiedades de un rombo y calcular su perímetro.

Antes de pasar al tema, debes saber la diferencia entre un rombo, un cuadrado y un paralelogramo, ya que todos ellos son cuadriláteros (es decir, figuras geométricas de cuatro lados) y comparten algunos puntos en común. los las diferencias entre ellos se muestran en la siguiente tabla.

Paralelogramo

Cuadrado

Rombo
Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales Todos los lados de un cuadrado son iguales Todos los lados de un rombo son iguales
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, mientras que los ángulos adyacentes se complementan. Todos los ángulos (interiores y adyacentes) son iguales. Todos los ángulos son ángulos rectos, es decir, 90 grados. La suma de dos ángulos interiores de un rombo es igual a 180 grados. Por lo tanto, si todos los ángulos de un rombo son iguales, serán $90^o$ cada uno, lo que lo convierte en un cuadrado.
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. Las diagonales del cuadrado tienen la misma longitud. Las diagonales del rombo se bisecan entre sí y tienen la misma longitud.
No todo paralelogramo es un rombo. Todo rombo es un paralelogramo.
Los cuatro lados de un cuadrado son perpendiculares entre sí. Los lados de un rombo no son necesariamente perpendiculares.

¿Cuál es el perímetro de un rombo?

El perímetro de un rombo es la distancia total recorrida alrededor de sus límites. Un rombo es una figura geométrica plana de cuatro lados, y si sumamos la longitud de los cuatro lados, esto nos dará el perímetro del rombo.

Todos los lados de un rombo son iguales, similares a un cuadrado, y el perímetro se calcula por multiplica 4 por la longitud de un solo lado.

Tenga en cuenta que, a diferencia de un cuadrado, los cuatro ángulos de un rombo no son necesariamente iguales para $90^{o}$. Un rombo es una mezcla de un rectángulo y un cuadrado, y las propiedades de un rombo se dan a continuación.

1. Los cuatro lados de un rombo son iguales.

2. Los lados opuestos de un rombo son paralelos.

3. Las diagonales de un rombo se bisecan en 90 $^{0}$.

4. Los ángulos opuestos de un rombo son iguales.

5. Como un rectángulo, la suma de dos ángulos adyacentes de un rombo es $180^{o}$.

el perímetro es una medida linealpor lo tanto, las unidades del perímetro son las mismas que las unidades de las longitudes de cada lado, es decir, centímetros, metros, pulgadas, pies, etc.

Cómo encontrar el perímetro de un rombo

El perímetro de un rombo se define como la suma de todos los lados de un rombo. Si sumamos todos los lados, esto nos dará el perímetro del rombo. Este método solo es aplicable si nos dan la longitud de un lado de un rombo.

A veces nos dan las diagonales de un rombo y nos piden encontrar el perímetro. Así, los datos proporcionados determina qué método debemos usar calcular el perímetro de un rombo.

Perímetro de un rombo usando el método lateral

Este método se utiliza cuando nos dan la longitud de cualquier lado de un rombo. Como se dijo anteriormente, todos los lados de un rombo son iguales. Por lo tanto, si un lado de un rombo es “x”, entonces podemos calcular el perímetro del rombo multiplicando “x” por 4.

Perímetro de un rombo por el método de las diagonales

Este método se utiliza cuando nos dan la longitud de las diagonales de un rombos y no hay datos disponibles sobre las longitudes de los lados del rombo. Sin embargo, sabemos que las diagonales de un rombo se intersecan en ángulos rectos, por lo que cuando dibujamos las diagonales de un rombo, nos da cuatro triángulos rectángulos congruentes, como se muestra en la imagen de abajo.

Perimeter of rhombud diagonal method

Para calcular el perímetro usando este método, seguimos los pasos que se detallan a continuación:

  1. Primero, anota las medidas de las diagonales del rombo.
  2. Luego aplica el teorema de Pitágoras para obtener el valor de cualquier lado del rombo.
  3. Finalmente, multiplique el valor calculado en el paso 2 por “4”.

Perímetro de una fórmula de rombo

Podemos derivar la fórmula para el perímetro de un rombo por multiplica la longitud de uno de los lados por “4”. Sabemos que todos los lados de un rombo son iguales y podemos escribir la fórmula para el perímetro de un rombo como:

Perímetro de un rombo $= x + x + x + x$

Perímetro de un rombo $= 4times x$

Perímetro de un rombo cuando se dan dos diagonales

Derivemos la fórmula para el perímetro de un rombo cuando nos dan la longitud de las diagonales. Considere esta imagen de un rombo con los valores de las dos diagonales disponibles.

perimeter of rhombus diagonal example

Podemos toma uno de los cuatro triángulos para resolver la fórmula. Tome el triángulo ABP. Conocemos las diagonales del rombo en $90^{o}$, por lo que podemos escribir AP y BP como $dfrac{a}{2}$ y $dfrac{b}{2}$ respectivamente. Ahora bien, si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo ABP:

$c^{2} = (dfrac{a}{2})^{2} + (dfrac{b}{2})^{2}$

$c^{2} = (dfrac{a^{2}}{4}) + (dfrac{b^{2}}{4})$

$ c = dfrac{sqrt{(a^{2}+ b^{2})}}{2}$

Sabemos que podemos escribir la fórmula del perímetro del rombo cuando un lado (en este caso el lado “c”) viene dado por:

Perímetro de un rombo $= 4 times c$

Introduzca el valor de “c” en la fórmula anterior:

Perímetro de un rombo $= 4 times dfrac{sqrt{(a^{2}+ b^{2})}}{2}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Notar: También puedes usar la fórmula anterior para calcular el perímetro del rombo si tienes la longitud de una diagonal con el área del rombo. Fórmula para el área del rombo $= dfrac{diagonalhspace{1mm} 1times diagonal hspace{1mm} 2}{2}$. Para que podamos calcular la longitud de la segunda diagonal usando la fórmula del área, luego usa la fórmula del perímetro dada arriba para calcular el perímetro del rombo.

Aplicaciones reales del perímetro de un rombo

La palabra perímetro es una combinación de dos palabras griegas: “Peri”, que significa el entorno o los límites de una superficie u objeto, y “Metro”, que significa la medida de la superficie u objeto. , por lo que el perímetro significa la extensión total de los límites de una superficie dada.

Con esta información, podemos usar el perímetro de un rombo en muchas aplicaciones reales. Varios ejemplos se dan a continuación:

  • Por ejemplo, podemos usar el perímetro de un diamante para calcular la distancia desde la punta de un lanzador hasta el jugador ofensivo en béisbol si todo el campo tiene la forma de un diamante.
  • La fórmula del perímetro también es útil para diseñar mesas y armarios en forma de diamante.
  • También es útil en la construcción de oficinas y salas en forma de diamante.

Ejemplo 1:

Si la longitud de un lado de un rombo es de 11 cm, ¿cuál será la longitud del resto de los lados?

Solución:

Sabemos que todos los lados de un rombo tienen la misma longitudpor lo que la longitud del resto de los tres lados también es de 11 cm cada uno.

Ejemplo 2:

Calcula el perímetro de un rombo de la siguiente figura.

perimeter of rhombus example

Solución:

Nos dan la longitud de un lado de un rombo y sabemos que todos los lados tienen la misma longitud.

Perímetro del diamante $= 4times 8$

Perímetro del diamante $= 32 cm$

Ejemplo 3:

Si el perímetro de un rombo es de 80 cm, ¿cuál será la longitud de todos los lados del rombo?

Solución:

Nos dan el perímetro del rombo. Podemos calcular la longitud de cada lado de un rombo por usando la fórmula del perímetro:

Perímetro de un rombo $= 4times side$

$80 = 4veces lado$

Lado $= frac{80}{4}$

Lado $= frac{80}{4}$

Lado $= 20 cm$

Todos los lados del diamante miden 20 cm.

Ejemplo 4:

Si la longitud de las diagonales de un rombo es de 9 cm y 11 cm, ¿cuál será el perímetro del rombo?

Solución:

Nos dan la longitud de las dos diagonales del rombo: sean “a” y “b” las dos diagonales del rombo. Entonces podemos calcular el perímetro del rombo por utilizando la siguiente fórmula.

Perímetro del diamante $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Perímetro del diamante $= 2 times sqrt{(9^{2}+ 11^{2})}$

Perímetro del diamante $= 2 times sqrt{99 + 121}$

Perímetro del diamante $= 2 times sqrt{220}$

Perímetro del diamante $= 2 times 14.83$

Perímetro del diamante $= 29.67 cm $ aprox.

Ejemplo 5:

Un rombo tiene un área de $64 cm^{2}$ y la longitud de una diagonal del rombo es de $8 cm$. ¿Cuál será el perímetro del rombo?

Solución:

Sea diagonal “a” = 8cm y debemos encontrar “b”

Área del rombo $ = dfrac{atimes b}{2}$

$64 = dfrac{8veces b}{2}$

$128 = 8 veces b$

$b = dfrac{128}{8}$

$ b = 16 cm $

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(8^{2}+ 16^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{64 + 256}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{320}$

Perímetro de un rombo $= 2 times 17.89$

Perímetro de un diamante $= 35.78 cm $ aprox.

Cuestiones prácticas

  1. Si un lado de un rombo mide $20 cm$, ¿cuál es la longitud de los lados restantes y el perímetro del rombo?
  2. Si el perímetro de un rombo es de $100 cm$, ¿cuál es la longitud de los lados del rombo?
  3. Si la longitud de las diagonales de un rombo es $9 cm$ y $12cm$, ¿cuál será el perímetro y el área del rombo?
  4. Considere un rombo con un área de $36 cm ^{2}$ mientras que la longitud de una de las diagonales es de $4 cm$. ¿Cuál será el perímetro del rombo?

corregido

1. Sabemos que todos los lados de un rombo tienen la misma longitud. Si la longitud de un lado del rombo es de 20 cm, la longitud de los tres lados restantes también será la misma, es decir, 20 cm.

Perímetro del diamante $= 4times side$

Perímetro del diamante $= 4times 20$

Perímetro del diamante $= 80 cm$

2. Nos dan el perímetro del rombo. Podemos calcular la longitud de cada lado del rombo por usando la fórmula del perímetro:

Perímetro de un rombo $= 4times side$

$100 = 4veces lado$

Lado $= frac{100}{4}$

Lado $= 25 cm$

Sabemos que todos los lados de un rombo tienen la misma longitud, por lo que todos los lados del rombo miden 25 cm de largo.

3. Nos dan las longitudes de las dos diagonales del rombo. Sean “a” y “b” las dos diagonales. Entonces podemos calcular el perímetro y el área del rombo por usando los valores de las diagonales.

Área del rombo $ = dfrac{atimes b}{2}$

Área del rombo $ = dfrac{9times 12}{2}$

Área del rombo $ = 9times 6 = 54 cm^{2}$

Ahora calculemos el perímetro del rombo.

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(9^{2}+ 12^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{81 + 144}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{225}$

Perímetro de un rombo $= 2 times 15$

Perímetro de un diamante $= 30 cm $ aprox.

4. Sea la diagonal “a” $= 4 cm$ y debemos encontrar “b”

Área del rombo $ = dfrac{atimes b}{2}$

$36 = dfrac{4 veces b}{2}$

$72 = 4 veces b$

$b = dfrac{72}{4}$

$ b = 18 cm $

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(a^{2}+ b^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{(4^{2}+ 18^{2})}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{16 + 324}$

Perímetro de un rombo $= 2 times sqrt{340}$

Perímetro de un rombo $= 2 times 18.44$

Perímetro de un diamante $= 36.88 cm $ aprox.

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean utilizando GeoGebra.

febrero 25, 2022 por Ángulos Blog Unidades

Perímetro de un Paralelogramo – Explicación y Ejemplos

Perímetro de un Paralelogramo – Explicación y Ejemplos

El perímetro de un paralelogramo es la longitud total de sus límites exteriores.

perimeter of a parallelogram

Un paralelogramo, similar a un rectángulo, es un cuadrilátero con lados opuestos iguales. Entonces, si la longitud y el ancho de un paralelogramo son $a$ y $b$, como en la figura anterior, el perímetro se puede calcular de la siguiente manera:

Perímetro = $2(a + b)$

Este tema te ayudará a comprender el concepto del perímetro del paralelogramo y cómo calcularlo.

¿Cuál es el perímetro de un paralelogramo?

El perímetro de un paralelogramo es la distancia total recorrida alrededor de sus límites. Un paralelogramo es un cuadrilátero, por lo que tiene cuatro lados, y si sumamos todos los lados, obtenemos el perímetro del paralelogramo. La fórmula para el perímetro de un paralelogramo y un rectángulo es bastante similar porque las dos formas comparten muchas propiedades.

Del mismo modo, la fórmula para el área de un paralelogramo y el área de un rectángulo también es similar.

Vamos a discutir estos temas con más detalle.

Cómo encontrar el perímetro de un paralelogramo

El perímetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados del paralelogramo. No necesitamos que nos den los valores de todos los lados de un paralelogramo en todos los problemas. En algunos casos, es posible que nos den la base, la altura y el ángulo, y tendremos que calcular el perímetro del paralelogramo a partir de estos valores.

Por ejemplo, podemos calcular el perímetro del paralelogramo si nos dan la siguiente información:

  1. Se dan los valores de dos lados adyacentes
  2. Se da el valor de un lado y las diagonales
  3. Se dan los valores de base, altura y ángulo

Perímetro de una fórmula de paralelogramo

La fórmula del perímetro de un paralelogramo es similar a la del perímetro de un rectángulo cuando se dan los valores de los lados adyacentes. Sin embargo, la fórmula será diferente cuando nos den los valores de la base, la altura y el ángulo, e igualmente será diferente cuando nos den los valores de las diagonales.

Veamos estas fórmulas una por una.

Perímetro de un paralelogramo cuando se dan dos lados adyacentes

La fórmula del perímetro de un paralelogramo es igual a la del perímetro del rectángulo en este escenario. Al igual que los rectángulos, los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

figura de paralelogramo

Perímetro del paralelogramo $= a+b+a+b$

Perímetro del paralelogramo $= 2 a + 2 b$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (a + b)$

Perímetro de un paralelogramo cuando se dan la base, la altura y el ángulo

La fórmula para el perímetro de un paralelogramo cuando se dan la base, la altura y el ángulo es derivado usando las propiedades de un paralelogramo. Considere la imagen de abajo.

paralelogramo

Aquí, “h” es la altura y “b” es la base del paralelogramo mientras que “Ɵ” es el ángulo entre la altura CE y el lado CA del paralelogramo. Si aplicamos costos al triángulo ACE, obtenemos,

$costo = frac{h}{a}$

$a = frac{h} {costo}$

Entonces, la fórmula para el perímetro de un paralelogramo cuya base, altura y ángulo se conocen puede ser escrito:

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{h}{cosƟ} + b)$

Perímetro de un paralelogramo cuando se dan un lado y las diagonales

La fórmula para el perímetro de un paralelogramo cuando se dan un lado y las diagonales es derivado usando el teorema del coseno Por ejemplo, considere el siguiente paralelogramo.

paralelogramo con diagonales

Los lados del paralelogramo son ‘a’ y ‘b’, y las diagonales son ‘c’ y ‘d’. Considere que nos dan el valor de un lado ‘a’ y las diagonales ‘c’ y ‘d’, pero el valor del lado ‘b’ no se conoce. Usando esta información, podemos derivar la fórmula del perímetro usando la ley de los cosenos con los datos dados.

Empezamos aplicando el teorema del coseno al triángulo CDA:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abhspace{1mm} porque ∠CDA$ (1)

Ahora aplique la ley del coseno al triángulo CAB:

$d^{2} = a^{2} + b^{2} – 2ab hspace{1mm}cos ∠CAB$ (2)

Sume las ecuaciones (1) y (2).

$c^{2} + d^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} – 2ab (cos ∠CDA + cos ∠CAB)$ (3)

Sabemos que los ángulos adyacentes del paralelogramo se complementan, entonces:

$∠CDA + ∠CAB = 180^{o}$

$∠CDA = 180^{o} – ∠CAB$

Aplicar el coseno a ambos lados:

$cos ∠CDA = cos (180^{o} – ∠CAB) = – cos ∠CAB$

$cos ∠CDA = – cos ∠CAB$ (4)

Sustituya la ecuación (4) en la ecuación (3):

$c^{2} + d^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} – 2ab ( – porque ∠CAB + porque ∠CAB)$

$c^{2} + d^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} – 2ab (0)$

$c^{2} + d^{2} = 2a^{2} + 2b^{2}$

La ecuación anterior es la relación entre los dos lados y las diagonales del paralelogramo. Ahora necesitamos encontrar la relación para el lado desconocido “b”.

$2b^{2} = c^{2} + d^{2} – 2a^{2}$

$b^{2} = frac{(c^{2} + d^{2} – 2a^{2})}{2}$

$b = sqrt{ [frac{(c^{2} + d^{2} – 2a^{2})}{2}]PS

Ahora conocemos los lados del paralelogramo (‘a’ y ‘b’) y así podemos usar la fórmula de la sección anterior para encontrar su perímetro (P).

Perímetro $= 2a + 2b$

Perímetro $= 2a + 2 sqrt{ [frac{(c^{2} + d^{2} – 2a^{2})}{2}]PS

Perímetro $= 2a + sqrt{[2(c^{2} + d^{2} – 2a^{2})]PS

Perímetro $= 2a + sqrt{(2c^{2} + 2d^{2} – 4a^{2})}$

Ejemplo 1:

La longitud de los lados adyacentes de un paralelogramo es $5 cm$ y $8 cm$, respectivamente. ¿Cuál será el perímetro del paralelogramo?

Solución:

Nosotros somos dada la longitud de dos lados adyacentes del paralelogramo.

Sean a $= 5cm$ y b $= 8cm$

Ahora podemos calcular el perímetro del paralelogramo con la fórmula que estudiamos anteriormente.

Perímetro del paralelogramo $= 2 (a+ b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 5 cm+ 8 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 13 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 26 cm$

Ejemplo 2:

Calcula el perímetro del paralelogramo de la siguiente figura.

ejemplo 2 paralelogramo

Solución:

Nosotros somos dada la longitud de dos lados adyacentes del paralelogramo.

Sean a $= 9cm$ y b $= 7cm$

Ahora podemos calcular el perímetro de un paralelogramo con la fórmula que estudiamos anteriormente.

Perímetro del paralelogramo $= 2 (a+ b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 9 cm+ 7 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 16 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 32 cm$

Detalles importantes del paralelogramo

Para entender completamente este concepto, aprendamos algunas propiedades de un paralelogramo y las diferencias entre un paralelogramo, un rectángulo y un rombo.

Conocer las diferencias entre estas formas geométricas bidimensionales te ayudará entender y aprender rápidamente el tema sin confundirse. Propiedades importantes de un paralelogramo puede enunciarse de la siguiente manera:

  1. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes o iguales.
  2. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí.
  3. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
  4. Los ángulos adyacentes de un paralelogramo se complementan entre sí.

ahora déjanos estudiar las diferencias fundamentales entre las propiedades de un paralelogramo, un rectángulo y un rombo. Las diferencias entre estas formas geométricas se dan en la siguiente tabla.

Paralelogramo

Rectángulo

Rombo

Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí

Los lados opuestos de un rectángulo son iguales entre sí

Todos los lados de un rombo son iguales entre sí.

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, mientras que los ángulos adyacentes se complementan.

Todos los ángulos (interiores y adyacentes) son iguales entre sí. Todos los ángulos son ángulos rectos, es decir, 90 grados.

La suma de dos ángulos interiores de un rombo es igual a 180 grados. Entonces, si todos los ángulos de un rombo son iguales, cada uno será igual a 90, lo que hará que el rombo sea un cuadrado. Así, el rombo es un cuadrilátero que puede ser un paralelogramo, un cuadrado o un rectángulo.

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

Las diagonales de un rectángulo se bisecan entre sí.

Las diagonales del rombo se cortan en su centro.

Cualquier paralelogramo es un rectángulo pero no un rombo.

 No todo rectángulo es un paralelogramo.

Todo rombo es un paralelogramo.

Relación entre el área y el perímetro de un paralelogramo

El área del paralelogramo es el producto de su base y altura y se puede escribir:

Área del paralelogramo $= base veces altura$.

Sabemos que la fórmula del perímetro del paralelogramo está dada por
Perímetro $= 2(a+b)$.

Aquí “b” es la base y “a” es la altura.

Resolvamos la ecuación para el valor de “b”

$frac{P}{2}= a + b$

$b = [frac{p}{2}] – un $

Aplicando el valor de “b” en la fórmula del área:

área $= [frac{p}{2} – a] veces h.$

Ejemplo 3:

Si el área de un paralelogramo es $42 textrm{cm}^{2}$ y la base del paralelogramo es $6 cm$, ¿cuál es el perímetro del paralelogramo?

Solución:

Tomemos la base y la altura del paralelogramo como “b” y “h” respectivamente.

Nos dan el valor de la base b = 6cm$

El área de un paralelogramo está dada por:

$A=bveces h$

$42 = 6 veces h$

Donde como $b = 6times a$

Si ponemos el valor anterior en la fórmula del área, obtenemos:

$h = frac{42}{6}$

$h = 8cm$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (a + b)$

Perímetro del rectángulo $= 2 (8 + 6)$

Perímetro del rectángulo $= 2 ( 14 cm)$

Perímetro del rectángulo $= 28 cm$

Cuestiones prácticas

1. Calcula el perímetro del paralelogramo usando los datos a continuación.

  • Los valores de dos lados adyacentes son respectivamente $8 cm$ y $11 cm$.
  • Los valores de base, altura y ángulo son $7cm$, $5cm$ y $60^{o}$, respectivamente.
  • Los valores diagonales son $5cm$ y $6cm$, mientras que el valor lateral es $7cm$.

2. Calcula el perímetro de un paralelogramo cuando la longitud de uno de sus lados es de 10 cm, su altura es de 20 cm y uno de los ángulos es de 30 grados.

corregido

1.

  • Sabemos la fórmula para el perímetro del paralelogramo:

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( a + b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 8 cm+ 11 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 ( 19 cm)$

Perímetro del paralelogramo $= 38 cm$

  • Conocemos la fórmula del perímetro de un paralelogramo cuando se dan la base, la altura y el ángulo:

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{h}{cosƟ} + b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{5}{cos45^{o}} + 7)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{5}{0.2} + 7)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (10 + 7)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (17)$

Perímetro del paralelogramo $= 34 cm$

  • Conocemos la fórmula del perímetro de un paralelogramo cuando se dan ambas diagonales y un lado:

Perímetro $= 2a + sqrt{(2c^{2} + 2d^{2} – 4a^{2})}$

Donde, c $= 5 cm$, d $= 7 cm$ y a $= 4 cm$

Perímetro $= 2times 8 + sqrt{(2times5^{2} + 2times 7^{2} – 4times4^{2})}$

Perímetro $= 16 + sqrt{(2times 25 + 2times 49 – 4times 16)}$

Perímetro $= 16 + sqrt{(50 + 98 – 64)}$

Perímetro $= 16 + sqrt{(84)}$

Perímetro $= 16 + $9,165

Perímetro $= 25.165 cm$ aprox.

2. Conocemos la fórmula del perímetro de un paralelogramo cuando se dan la base, la altura y el ángulo:

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{h}{cosƟ} + b)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (frac{20}{cos30^{o}} + 10)$

Perímetro de paralelogramo $= 2 (frac{5}{0.866} + 10)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (5.77 + 10)$

Perímetro del paralelogramo $= 2 (15.77)$

Perímetro del paralelogramo $= 26.77 cm$ aprox.

febrero 25, 2022 por Ángulos Blog

Teorema del coseno – Explicación y ejemplos

Teorema del coseno – Explicación y ejemplos

La ley de los cosenos o teorema del coseno es una regla que nos proporciona la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo.

La relación se describe usando la fórmula:

$c^2 = a^2 + b^2 -2abcos (z)$ o $c = sqrt{a^2 + b^2 -2abcos (z)}$,

donde $a$, $b$ y $c$ son los tres lados del triángulo y $z$ es el ángulo entre los lados $a$ y $b$, como se muestra en la siguiente figura:

cosine theorem

Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos, y nosotros usar la trigonometría para encontrar las relaciones entre los lados y los ángulos del triangulo Por ejemplo, si nos dan dos lados y un ángulo de un triángulo, el teorema del coseno nos ayudará a encontrar el ángulo desconocido.

Del mismo modo, si nos dan los valores de los tres lados de un triángulo, puede usar el teorema del coseno para encontrar los tres ángulos interiores del triángulo. En este tema, discutiremos en detalle la ley de los cosenos, cómo son útiles para calcular las incógnitas de un triángulo y cuándo usar la ley de los cosenos.

¿Qué es la ley de los cosenos?

La ley de los cosenos se usa para ayudarnos desarrollar las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. En otras palabras, nos ayuda a resolver datos desconocidos o faltantes relacionados con los lados y ángulos de un triángulo.

En términos trigonométricos, la ley de los cosenos establece que el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo será igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los lados restantesmientras se resta el doble del producto de los lados restantes por el coseno del ángulo.

Considere un triángulo ABC; si nos dan los valores del lado “a” y “b” y el valor del ángulo “z” entre ellos, entonces el valor del lado “c” se puede calcular usando la regla del coseno.

diagram cosines theorem

  • $c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abhspace{1mm} cos( z)$

De manera similar, si se dan los lados “a” y “c” junto con su ángulo correspondiente, entonces podemos calcular el lado “b” como:

  • $b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2achspace{1mm} cos(y)$

De manera similar, si necesitamos calcular el lado “a”:

  • $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bchspace{1mm} cos(x)$

Del mismo modo, si nos dan todos los lados, entonces podemos calcular el ángulo entre cualquiera de los dos lados.

  • $cos(x) = dfrac{(b^{2} + c^{2} –a^{2})}{2bc}$
  • $cos (y) = dfrac{(a^{2} + c^{2} –b^{2})}{2ac}$
  • $cos(z) = dfrac{(a^{2} + b^{2} – c^{2})}{2ab}$

Cuándo usar la ley de los cosenos

La ley de los cosenos se usa normalmente para encontrar un lado desconocido o un ángulo desconocido de un triángulo cuando algunos de los datos del triángulo están disponibles. Más específicamente, la ley de los cosenos se utiliza para los siguientes propósitos:

  • Para hallar el tercer lado de un triángulo, cuando se dan las longitudes de dos lados y sus correspondientes ángulos interiores.
  • Encuentra todos los ángulos interiores faltantes de un triángulo cuando se dan las longitudes de los tres lados.

Tenga en cuenta que cuando se dan dos ángulos y un lado de un triángulo, entonces usamos la ley de los senosno la ley de los cosenos.

Cómo usar la ley de los cosenos

La ley de los cosenos está hecha para determinar los parámetros faltantes de un triángulo dados ciertos datos requeridos. vamos a discutir pasos para usar la regla del coseno encontrar los valores faltantes de un triangulo.

Etapa 1: Escriba todos los datos dados relacionados con el triángulo. Si te dan dos lados y sus ángulos correspondientes, ve al paso 2, y si te dan todos los lados y necesitas encontrar los ángulos, ve al paso 3.

2do paso: Aplicar las fórmulas de la regla del coseno:

  • $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc hspace{1mm}cos(x)$
  • $b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2ac hspace{1mm}cos(y)$
  • $c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abhspace{1mm} cos(z)$

donde a, b y c son los lados del triángulo y x, y y z son los ángulos entre los lados bc, ca y ab respectivamente.

Paso 3: Aplicar las fórmulas de la regla del coseno:

  • $cos(x) = dfrac{(b^{2} + c^{2} –a^{2})}{2bc}$
  • $cos (y) = dfrac{(a^{2} + c^{2} –b^{2})}{2ac}$
  • $cos(z) = dfrac{(a^{2} + b^{2} – c^{2})}{2ab}$

Prueba del teorema del coseno

Derivamos la fórmula de la ley de los cosenos.

law of cosines proof

Considere la figura de arriba para el triángulo ABC

$sen A = dfrac{BC}{AB} = dfrac{h}{a}$ (1)

y,

$cos A = dfrac{AC}{AB} = dfrac{g}{a}$ (2)

De las ecuaciones (1) y (2), obtenemos $h = a(sen A)$ y $g = a(cos A)$

Si aplicamos el teorema de Pitágoras sobre ΔBCD,

$b^{2} = h^{2} + (c – g)^{2}$ (3)

Aquí, la longitud de “c” es mayor que la de “g”.

Sustituyendo $h = a(sen A)$ y $g = a(cos A)$ en la ecuación (3):

$b^{2} = (a(senA))^{2} + (c – a(cosA))^{2}$

$b^{2} = a^{2}sen^{2}A + c^{2} + a^{2}cos{2}A – 2ac hspace{1mm}cosA$

$b^{2} = a^{2}(sen^{2}A + cos^{2}A) + c^{2} – 2ac hspace{1mm}cosA$

$b^{2} = a^{2}(1) + c^{2} – 2ac hspace{1mm}cosA$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2bc hspace{1mm}cosA$

Ejemplo 1:

Considere un triángulo ABC cuyos lados a $ = 5 cm $, b $ = 6 cm $ y c $ = 4 cm $. ¿Cuál será el valor de los ángulos x, y y z de dicho triángulo?

Solución:

Nos dan los valores de los tres lados del triángulo y tenemos que calcular el valor de los tres angulos. Usando la fórmula de la regla del coseno, sabemos que:

  • $cos(x) = dfrac{(b^{2} + c^{2} –a^{2})}{2bc}$
  • $cos (y) = dfrac{(a^{2} + c^{2} –b^{2})}{2ac}$
  • $cos(z) = dfrac{(a^{2} + b^{2} – c^{2})}{2ab}$

$cos (x) = dfrac{(6^{2} + 4^{2} – 5^{2})}{2times6times4}$

$cos(x)= dfrac{(36 + 16 – 25)}{48}$

$cos(x)=dfrac{27}{48}$

$x = cos^{-1} (0,5625) $

$x = 55,77^{o}$

$cos(y) = dfrac{(5^{2} + 4^{2} – 6^{2})}{2times5times4}$

$cos(y) = dfrac{(25 + 16 – 36)}{40}$

$cos(y) = dfrac{5}{40}$

$y = cos^{-1}( 0,125)$

$y = 82,82^{o}$

$cos(z) = dfrac{(5^{2} + 6^{2} – 4^{2})}{2veces5veces6}$

$cos(z) = dfrac{(25 + 36 – 16)}{60}$

$cos(z) = dfrac{45}{60}$

$z = cos^{-1} (0,75)$

$z = 41,41^{o}$

Por lo tanto, el valor de los tres ángulos x, y y z son $55,77^{o}$, $82,82^{o}$ y $41,41^{o}$.

Ejemplo 2:

La medida de los dos lados de un triángulo es $5cm$ y $8cm$, respectivamente. El ángulo entre estos dos lados es $45^{o}$. Encuentra la longitud del tercer lado del triángulo.

Solución:

Nos dan los valores de ambos lados y su ángulo correspondiente, y tenemos que hallar la longitud del tercer lado del triangulo.

Sean a $= 5cm$ , b $= 8cm$ y “x” $= 45^{o}$. Aquí, “x” es el ángulo entre los dos lados. La fórmula de la ley de los cosenos viene dada por:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2ab hspace{1mm}cos (x)$

Aquí, a $= 5cm$ , b $= 8cm$ y x $= 45^{o}$

$c^{2} = 5^{2} + 8^{2} – 2times5times8 hspace{1mm}cos(45)$

$c^{2} = 5^{2} + 8^{2} – 80 (0,7071)$

$c^{2} = 25 + 64 – $56,56

$c^{2} = $32,44

$c = sqrt{32.44} = 5.69cm$

Ejemplo 3:

Una escalera se coloca en diagonal contra la pared, formando una forma triangular. La distancia desde el pie de la escalera hasta el pie de la pared es de 6 pies, mientras que la longitud diagonal de la escalera es de 7 pies. Por lo tanto, el ángulo formado en la base de la escalera es $60^{o}$. Calcula la longitud que falta del triángulo.

Solución:

Sea la distancia entre la base de la escalera y la base de la pared AB $= 6 pi$ y el ángulo en el punto A $= 60^{o}$ mientras que la longitud AC $= 7pi$ y tienes que encontrar el lado BC.

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} – 2times ABtimes AC hspace{1mm}cos( a)$

$BC^{2} = 6^{2} + 7^{2} – 2times5times 8 cos(60)$

$BC^{2} = 36+49 – 80 (0,5)$

$CB^{2} = 36 + 49 – $40

$BC^{2} = $45

$BC = sqrt{45} = 6,71 pi$

Ejemplo 4:

Considere un jardín triangular: la longitud de los tres lados AB, BC y CA del jardín triangular son respectivamente $4 cm$, $6 cm$ y $7 cm$. Debes encontrar todos los ángulos del jardín triangular.

Solución:

Nos dan los valores de los tres lados del triángulo, y tenemos que calcular el valor de los tres angulos. Sean x, y y z los ángulos en los puntos A, B y C. Usando la fórmula de la regla del coseno, podemos encontrar todos los ángulos.

  • $cos (x) = dfrac{(AB^{2} + BC^{2} – CA^{2})}{2times ABtimes BC}$
  • $cos (y) = dfrac{(BC^{2} + CA^{2} – AB^{2})}{2veces BCveces CA}$
  • $cos (z) = dfrac{(AB^{2} + CA^{2} – BC{2})}{2times ABtimes AC}$

$cos (x) = dfrac{(4^{2} + 6^{2} – 7^{2})}{2veces 4veces 6}$

$cos(x) = dfrac{(16 + 36 – 49)}{48}$

$cos(x) = dfrac{3}{48}$

$x = cos^{-1} (0,0625)$

$x = 86,41^{o}$

$cos(y) = dfrac{(6^{2} + 7^{2} – 4^{2})}{2times6times7}$

$cos(y) = dfrac{(36 + 49 – 16)}{84}$

$cos(y) = dfrac{69}{84}$

$y = cos^{-1}( 0,8214)$

$y = 33,77^{o}$

$cos(z) = dfrac{(5^{2} + 4^{2} – 6^{2})}{2veces5veces4}$

$cos(z) = dfrac{(25 + 16 – 36)}{40}$

$cos(z) = dfrac{5}{40}$

$z = cos^{-1}(0,125)$

$z = 82,82^{o}$

Por lo tanto, el valor de los tres ángulos x, y y z son $41,45^{o}$, $55,77^{o}$ y $82,82^{o}$.

Cuestiones prácticas

  1. Una niña se para en lo alto de un edificio, sea el punto A, y dos niñas se paran en el suelo fuera del edificio en los puntos B y C. Las tres niñas se paran de tal manera que forman un triángulo ABC. Si la longitud del lado AB$ = 5cm$ y BC $= 7cm$ mientras que el ángulo en el punto B es $60^{o}$, ¿cuál será la longitud del lado AC?
  2. Allan tiene un muro perimetral de forma triangular a través de su casa. Quiere cercar el muro perimetral con un sistema de tres hilos. La longitud de los dos lados del muro limítrofe es de $200 pies y $250 pies respectivamente, mientras que el ángulo entre los lados es de $30^{o}$. Calcula el alambre total necesario para la cerca.
  3. Eche un vistazo al paralelogramo ABCD a continuación. La longitud de los lados AB, CD, BD y AC son respectivamente $12cm$, $12cm$, $13 cm$ y $13 cm$. La medida del ángulo a $= 112,62^{o}$. Calcular la longitud de la diagonal BC.

example law of cosines

clave de respuesta:

1. Nos dan la longitud de los lados AB y BC y el valor del ángulo entre estos dos lados. Así, por usando la fórmula de la regla del cosenopodemos encontrar fácilmente los datos que faltan para el lado de CA.

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} – 2times ABtimes AC hspace{1mm}cos a$

$AC^{2} = 5^{2} + 7^{2} – 2times5times 7 hspace{1mm}cos 60^{o}$

$CA^{2} = 25 +49 – 70 (0,5)$

CAD$^{2} = 25 + 49 – $35

CAD$^{2} = 39$

$AC = sqrt{39} = 6,24 cm$

2. Nos dan la longitud de ambos lados del límite triangular así como el ángulo entre los lados. Sea el lado a = 200 pies, b $= 250 pies$ y el ángulo “x” $= 30^{o}$. Supongamos que el lado que falta es “c”. Ahora resolvamos el lado que falta usando la ley de los cosenos.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2times abtimes AC hspace{1mm}cos x$

$c^{2} = 200^{2} + 250^{2} – 2times200times 250 cos 30^{o}$

$c^{2} = 40000 +62500 – 100000 (0,866)$

$c^{2} = 102500 – $86600

$c^{2} = $15900

$c = sqrt{15900} = aproximadamente 126 pi$.

Ahora tenemos la longitud de todos los lados del triangulo La longitud total requerida para cercar todos los límites es igual al perímetro del triángulo.

Perímetro del triángulo $= a+b+c = 200 + 250 + 126 = 576ft$. Como necesitamos alambre de $3 para las cercas, debemos multiplicar el perímetro por $3.

Cable total requerido $= 3 times hspace{1mm}perímetro hspace{1mm} del triángulo hspace{1mm} = 3 times 576 = 1728ft.$

3. Nos dan la longitud de todos los lados y la medida del ángulo “a”. nos deja dibujar una diagonal del punto B al punto C.

cosines formula example

Como podemos ver, la diagonal ha dividido el cuadrilátero ABCD en dos triángulos ABC y BDC. Como tenemos la longitud de ambos lados del triángulo BDC, vamos a calcular la longitud del tercer lado BC utilizando el teorema del coseno.

Para calcular la longitud de la diagonal BC, usaremos triángulo abc ya que tenemos la longitud de dos lados de este triángulo y también el valor de un ángulo del triángulo. Por lo tanto, la fórmula del coseno se puede escribir:

$BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} – 2times ABtimes AC cos a$

$BC^{2} = 13^{2} + 12^{2} – 2times12 times 13 hspace{1mm} cos (112,62^{o})$

$CB^{2} = 169 +144 – 312 (-0,384)$

$BC^{2} = 169 + 144 + $120

$BC^{2} = $432,83

$BC = sqrt{252} = 20,80cm$

law of cosines practice question

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean usando Geogebr

febrero 24, 2022 por Ángulos Blog

Distancia entre coordenadas polares – Derivación, proceso y ejemplos

Distancia entre coordenadas polares – Derivación, proceso y ejemplos

Podemos encontrar la distancia entre las coordenadas polares revisando la fórmula de la distancia. Conocer esta técnica será útil cuando queramos encontrar la distancia entre dos o más coordenadas polares, y no queramos convertirlas a sus formas rectangulares.

Podemos encontrar la distancia entre dos coordenadas polares usando los valores de sus radios y sus argumentos.

Este artículo mostrará cómo podemos derivar la fórmula de la distancia a partir de coordenadas polares y aprenderá cómo aplicarla en diferentes ejemplos y problemas. Antes de hacerlo, asegúrese de revisar sus notas sobre los siguientes puntos:

  • Asegúrese de comprender los diferentes componentes necesarios para que apliquemos el fórmula de distancia en coordenadas rectangulares.
  • Mejora tu conocimiento de las formas polares y convierte expresiones rectangulares en sus formas polares.
  • Refresca tus conocimientos de los más comunes. identidades trigonométricas has aprendido en el pasado.

Avancemos y sumerjámonos directamente en la fórmula y el proceso de encontrar la distancia entre dos o más coordenadas polares.

¿Cómo encontrar la distancia entre coordenadas polares?

La mejor manera de entender cómo podemos aplicar la fórmula de distancia para coordenadas polares es derivar la fórmula de la fórmula de distancia para coordenadas rectangulares.

visualizing two polar coordinates

Aquí hay una visualización de cómo dos coordenadas polares están en un sistema de coordenadas $xy$. Recuerda que la distancia entre dos puntos, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, es igual a $sqrt{(y_2 – y_1)^2 + (x_2 – x_1)^2}$.

Podemos expresar los dos puntos como dos coordenadas polares, $(r_1 cos theta_1, r_1 sin theta_1)$ y $(r_2 cos theta_1, r_2 sin theta_1)$. Luego podemos reescribir la fórmula de la distancia como una función del argumento del radio y las coordenadas polares.

begin{alineado}d &= sqrt{(y_2 – y_1)^2 + (x_2 – x_1)^2}\d &= sqrt{(r_2 sintheta_2 – r_1 sintheta_1)^2 + (r_2 cos theta_2 – r_1 cos theta_1)^2}end{alineado}

Podemos expandir los términos dentro de la raíz cuadrada usando la propiedad algebraica, $(a -b)^2 = a^2 -2ab + b^2$, y luego simplificar los términos como se muestra a continuación.

begin{alineado}d &= sqrt{(r_2^{phantom{x}2} sintheta_2 -2 r_1r_2costheta_1sintheta_2 + r_1^{phantom{x}2} sin ^2theta_1) + (r_2^{phantom{x}2} costheta_2 -2 r_1r_2sintheta_1costheta_2 + r_1^{phantom{x}2} cos^2theta_1) }\&= sqrt{ (r_1^{phantom{x}2}cos^2theta_1 + r_1^{phantom{x}2} sin^2theta_1) + (r_2^{phantom {x}2}cos^2theta_2 + r_2^{phantom{x}2} sin^2theta_2) -(2 r_1r_2costheta_1sintheta_2 +2 r_1r_2sintheta_1cos theta_2) }\&= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} (cos^2theta_1 + sin^2theta_1) + r_2^{phantom{x}2}(cos ^2theta_2 + sin^2theta_2)-2r_1r_2(costheta_1sintheta_2 +sintheta_1costheta_2) }end{alineado}

¿Te resulta familiar la pareja? Esto se debe a que podemos reescribirlos usando las siguientes identidades trigonométricas:

  • $sin^2 A + cos^2 A = 1$
  • $cos(A -B) = cos A cos B + sin A sin B$

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} (1) + r_2^{phantom{x}2}(1) -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } \&= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } end{alineado}

Por lo tanto, le mostramos que podemos encontrar la distancia entre dos coordenadas polares usando la fórmula de distancia de coordenadas polares que se muestra a continuación:

begin{alineado}&fantasma{xxxxx}(r_1, theta_1)\ &fantasma{xxxxx}(r_2, theta_2)\\d &= sqrt{ r_1^{fantasma{x}2 } + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } end{alineado}

Aplicación de fórmula de distancia entre coordenadas polares

La fórmula anterior indica que no es necesario para nosotros convertir las coordenadas polares en coordenadas rectangulares para que podamos calcular su distancia. Dados dos puntos, $(r_1, theta_1)$ y $(r_2, theta_2)$, podemos aplicar los siguientes pasos:

  • Encuentra los valores de $r_1$ y posiblemente el valor de $r_1^{phantom{x}2}$ .
  • Podemos hacer lo mismo para $r_2$ y $ r_2^{phantom{x}2}$.
  • Encuentra la diferencia entre sus ángulos, $(theta_1 – theta_2)$.
  • Usa estos componentes para encontrar la distancia entre dos puntos usando la fórmula, $d = sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos (theta_1 – theta_2) }$.

Digamos que tenemos $(-3, 75^{circ})$ y $(6, 45^{circ})$, podemos determinar la distancia entre los dos puntos usando la fórmula de distancia en coordenadas polares. Podemos comenzar identificando los componentes y valores esenciales de la fórmula:

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1 &=-3\r_1^{phantom{x}2} &= 9end{alineado}

begin{alineado}r_2 &= 6\r_2^{phantom{x}2} &= 36end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= 75^{circ} – 45^{circ}\&= 75^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {9 + 36 -2(-3)(6)cos 30^{circ} }\&=sqrt{45+36cos30^{circ}}\ &=sqrt{45+36 cdot dfrac{sqrt{3}}{2}}\&=sqrt{45 + 18sqrt{3}}end{alineado}

También podemos usar nuestra calculadora para estimar el valor exacto de la distancia entre las dos coordenadas polares. Esto significa que $d = sqrt{45 + 18sqrt{3}} approx 8,73$ unidades.

Ahora le mostramos cómo derivar y aplicar la fórmula para la distancia a partir de coordenadas polares, por lo que es hora de que pruebe sus conocimientos respondiendo a los problemas que se presentan a continuación.

Ejemplo 1

Determina la longitud del segmento de recta que une las coordenadas polares $(6, 80^{circ})$ y $(3, 20^{circ})$.

Solución

Comience por identificar los valores importantes que necesitamos para calcular la distancia entre las dos coordenadas polares.

  • $r_1 = 6$, $theta_1 = 80^{circ}$
  • $r_2 = 3$, $theta_2 = 20^{circ}$

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1^{phantom{x}2} &= 36end{alineado}

begin{alineado}r_2^{phantom{x}2} &= 9end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= 80^{circ} – 20^{circ}\&= 60^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {36 + 9 -2(6)(3)cos 60^{circ} }\&=sqrt{45 – 36cos 60^{circ}}\ &=sqrt{45 – 36 cdot dfrac{1}{2}}\&=sqrt{45 – 18}\&= sqrt{27}\&= 3sqrt{3} end{alineado}

Esto significa que la distancia entre las dos coordenadas polares, $(6, 80^{circ})$ y $(3, 20^{circ})$, es igual a $3sqrt{3}$ o aproximadamente 5 .20 $$ unidades.

Ejemplo 2

Dados dos puntos polares, $P_1$ y $P_2$, calcula la distancia entre los puntos.

begin{alineado}P_1 &= left(4, dfrac{2pi}{3}right)\P_2 &= left(8, dfrac{pi}{6}right)end {alineado}

Solución

Aplicaremos la misma fórmula para encontrar la distancia entre $P_1$ y $P_2$, pero esta vez estamos trabajando con ángulos en radianes. Como antes, tomemos nota de los componentes importantes que necesitaremos para la fórmula de la distancia.

  • $r_1 = 4$, $theta_1 = dfrac{2pi}{3}$
  • $r_2 = 8$, $theta_2 = dfrac{pi}{6}$

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1^{phantom{x}2} &= 16end{alineado}

begin{alineado}r_2^{phantom{x}2} &= 64end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= dfrac{2pi}{3} – dfrac{pi}{6}\&= dfrac{pi}{2}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {16 + 64 -2(4)(8)cosdfrac{pi}{2} }\&=sqrt{80 – 64cos dfrac{pi}{2}}\ &= sqrt{80 – 0}\&=sqrt{80}\&= 4sqrt{5}end{alineado}

Esto significa que la distancia entre $P_1$ y $P_2$ es igual a $4sqrt{5}$ o aproximadamente 8,94$ unidades.

Antes de pasar al tercer ejemplo, tenga en cuenta lo importante que es familiarizarse con el ángulos especiales en trigonometría. Conocer sus valores trigonométricos hará que calcular la distancia sea mucho más rápido. Otro consejo: verifica el modo de grado de tu calculadora ($text{DEG}$ para $^{circ}$ y $text{RAD}$ para radianes).

Ejemplo 3

Las cuatro coordenadas polares, $A$, $B$, $C$ y $D$, se trazan en un sistema de coordenadas $xy$ como se muestra a continuación.

finding the distances of polar coordinates

Halla las distancias de los siguientes pares de puntos.
una. Distancia entre $A$ y $C$.
B. Distancia entre $B$ y $C$.
contra Distancia entre $B$ y $D$.
Usa el resultado para encontrar cuál de los tres segmentos, $overline{AC}$, $overline{BC}$ y $overline{BD}$, es el más corto y el más largo.

Solución

Podemos encontrar las distancias de todos los pares usando la misma fórmula de distancia para coordenadas polares como se muestra a continuación.

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }end{alineado}

Podemos comenzar con el primer par de coordenadas polares: $A$ y $C$.

  • $r_1 = 6$, $theta_1 = 150^{circ}$
  • $r_2 = 6$, $theta_2 = 240^{circ}$

Ingrese estos valores en la fórmula de distancia y obtenga los siguientes resultados:

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {36 + 36 -2(6)(6)cos(240^{circ}-150^{circ})}\&=sqrt{72 – 72cos 90^{circ}} &=raíz cuadrada{72 – 0}\&=raíz cuadrada{72}\&= 6raíz cuadrada{2}end{alineada}

De esto podemos ver que la distancia entre $A$ y $B$ es igual a $6sqrt{2}$ unidades o aproximadamente, $8.49$ unidades. Podemos aplicar un enfoque similar para encontrar las distancias entre b) $B$ y $C$ yc) $B$ y $D$. Podemos resumir los resultados en una tabla como se muestra a continuación:

Primera coordenada polar

Segunda coordenada polar

Distancia

Valor aproximado

begin{alineado}B &= (8 cos 300^{circ}, 8 sin 300^{circ})\r_1&= 8\theta_1 &= 300^{circ}end{alineado }

begin{alineado}C&= (6 cos 240^{circ}, 6 sin 240^{circ})\r_2&= 6\theta_2 &= cos 240^{circ}end{ alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {64 + 36 -2(8)(6)cos(300^{circ}-240^{circ})}\&=sqrt{100 – 96cos 60^{circ}} &=raíz cuadrada{100 – 96cdotdfrac{1}{2}}\&=raíz cuadrada{100-48}\&=raíz cuadrada{52}\&=2raíz cuadrada{13} end{alineado}

begin{alineado}d &aprox. 7,21end{alineado}

begin{alineado}B &= (8 cos 300^{circ}, 8 sin 300^{circ})\r_1&= 8\theta_1 &= cos 300^{circ}end {alineado}

begin{alineado}D&= (8 cos 30^{circ}, 8 sin 30^{circ})\r_2&= 8\theta_2 &= 30^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {64 + 64 -2(8)(8)cos(300^{circ}-30^{circ})}\&=sqrt{128 – 128cos 270^{circ}} &=sqrt{128 – 0}\&=sqrt{128}\&=8sqrt{2}end{alineado}

begin{alineado}d &aprox. 11,31end{alineado}

Te hemos mostrado las distancias entre los dos pares de puntos. Ahora, para responder a la pregunta de seguimiento, podemos comparar las distancias de $overline{AC}$, $overline{BC}$ y $overline{BD}$.

begin{alineado}overline{AC} &= 8,49text{ unidades}\overline{BC} &= 7,21text{ unidades}\overline{BD} &= 11,31text{ unidades}end {alineado}

Al comparar los tres, podemos ver que el segmento más largo será $overline{BD}$ y el segmento más corto será $overline{BC}$.

enero 26, 2022 por Ángulos Blog Pares Unidades

Forma Rectangular – Definición, Ejemplo y Explicación

Forma Rectangular – Definición, Ejemplo y Explicación

La forma rectangular de los números complejos es la primera forma que encontraremos cuando aprendamos números complejos. Esta forma depende de su coordenada cartesiana y aprenderá por qué en la siguiente sección.

Las formas rectangulares de los números complejos representan estos números resaltando las partes real e imaginaria del número complejo.

Las operaciones básicas son mucho más fáciles cuando los números complejos están en forma rectangular. Es más intuitivo para nosotros graficar números complejos en forma rectangular ya que estamos más familiarizados con el sistema de coordenadas cartesianas.

Este artículo refrescará nuestros conocimientos sobre:

  • Los componentes que forman un número complejo.
  • Graficar números complejos en un plano complejo.
  • Conversión de números complejos en forma rectangular a forma polar, y viceversa.
  • Manipulación de números complejos en forma rectangular.

Asegúrese de tomar notas y revisar estos conceptos, ya que los necesitaremos a medida que aprendamos más sobre los números complejos en forma rectangular.

¿Cuál es la forma rectangular?

La forma rectangular se basa en su nombre: un sistema de coordenadas rectangulares. Esto quiere decir que son números complejos de la forma $z = a + bi$, donde $a$ es la parte real y $bi$ representa la parte imaginaria. Aquí hay algunos ejemplos de números complejos en forma rectangular.

  • $-3 + 4i$: $-3$ representa la parte real mientras que $4i$ representa la parte imaginaria.
  • $-6i$: Este es un número imaginario que contiene solo una parte imaginaria, $-6i$.
  • $5$: Como $5$ es un número contable y por lo tanto un número real, $5$ es siempre un número complejo cuya parte imaginaria es igual a $0$.

Los números complejos de la forma $a + bi$ se pueden graficar en un plano complejo simplemente trazando $(a,b)$, donde $a$ es la coordenada del eje real y $b$ es la coordenada del eje imaginario .

Aquí hay un gráfico de cómo se grafica $a + bi$ en un plano complejo. Como se mencionó, $a$ representa la distancia a lo largo del eje real y $b$ representa la distancia a lo largo del eje imaginario, un enfoque similar cuando mostramos coordenadas rectangulares.

La distancia formada por $a + bi$ desde el origen es igual a $sqrt{a^2 + b^2}$ o también llamado módulo o valor absoluto del número complejo.

¿Cómo convertir una forma rectangular?

Como se mencionó, la forma rectangular es la primera forma de números complejos que veremos, pero los números complejos también se pueden reescribir en sus formas trigonométricas o polares.

Forma rectangular Forma polar
$-3 + $3i $3sqrt{2}(cos 135^{circ} + isin135^{circ})$
$-2sqrt{3} – 2i$ $4(cos 210^{circ} + isen 210^{circ})$
$4 – $4i $4sqrt{2}(cos 315^{circ} + isen 315^{circ})$
$5 + $5sqrt{3}i $10(cos 60^{circ} + isen 60^{circ})$

Estos son solo algunos ejemplos de pares de números complejos en sus dos formas: forma rectangular y forma polar. Actualicemos lo que hemos aprendido sobre escribir números complejos en estas dos formas.

¿Cómo convertir forma rectangular a forma polar?

Hemos discutido en detalle la conversión de números complejos en forma rectangular, $a + bi$, a forma trigonométrica (también conocida como forma polar). Asegúrese de revisar sus notas o consulte el enlace que adjuntamos en la primera sección.

Esta sección será un breve resumen de lo que hemos aprendido en el pasado:

  • Encuentra el módulo, $r = sqrt{a^2 + b^2}$, del número complejo.
  • Determina el argumento, $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$, y asegúrate de elegir el ángulo que está en el cuadrante derecho.
  • Usa estos valores y escribe el número complejo como $r(cos theta + isin theta)$.

¿Cómo convertir una forma polar en una forma rectangular?

Cambiar números complejos a forma polar es mucho más fácil porque nos obliga a evaluar solo el coseno y el seno en diferentes valores de $theta$.

  • Cuando se le da un número complejo de la forma $r(cos theta + isin theta)$, evalúe los valores de $sin theta$ y $cos theta$.
  • Distribuya $r$ a cada uno de los valores evaluados de $cos theta$ y $isin theta$.
  • Asegúrese de devolver los valores del formulario, $a + bi$.

No te preocupes. Hemos preparado algunos ejemplos para que trabajes y practiques tus conocimientos de conversión de números complejos a forma polar.

Resumen de definición y propiedades de formas rectangulares

¿Por qué no recapitular lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los números complejos en forma rectangular antes de profundizar en los diversos problemas que hemos preparado?

  • La forma rectangular general (o estándar) de los números complejos es $a + bi$.
  • Podemos convertir números complejos a forma rectangular, encontrando $r = sqrt{a^2 + b^2}$ y $theta = tan^{-1} dfrac{b}{a}$.
  • Recuerda que cuando trabajes con ecuaciones que involucran números complejos, las partes del número real y las partes del número imaginario deben ser iguales para que la ecuación sea válida.

También podemos hacer muchas cosas cuando se nos da un número complejo en forma rectangular, y enumeramos algunas que aprendimos en el pasado. ¿No tienes tus notas de práctica contigo? No se preocupe, también hemos agregado algunos enlaces para que los consulte.

  • Es más fácil sumar y restar números complejos en forma rectangular ya que combinamos las partes real e imaginaria de los números.
  • Sí, también podemos multiplicar y dividir números complejos en forma rectangular mediante manipulación algebraica.
  • El producto de a $a + bi$ y su conjugado, $a – bi$, es igual a $a^2 + b^2$, lo que puede ayudar a simplificar el cociente de dos números complejos.

Apliquemos todo lo que hemos aprendido de este artículo y probemos estos problemas de muestra.

Ejemplo 1

Grafica los siguientes números complejos en el plano complejo e incluye su valor absoluto correspondiente.

una. $6 – $6i
B. $-4sqrt{3} – 4i$
contra $-5i$

Solución
Dado que también necesitamos el número de valor absoluto de estos tres números complejos, ¿por qué no comenzar con eso usando el hecho de que $|a + bi| = sqrt{a^2 + b^2}$?

$boldsymbol{a + bi}$ $boldsymbol{|a + bi| PS
$6 -6i$ $sqrt{(6)^2 + (-6)^2} = 6sqrt{2}$
$-4sqrt{3} -4i$ $cuadrado{(-4cuadrado{3})^2 + (-4)^2} = 8$
$-5i$ $sqrt{(0)^2 + (-5)^2} = 5$

Ahora que tenemos el valor absoluto de los tres números complejos, representemos gráficamente los tres números complejos en un plano complejo.

  • Para $6 – 6i$, grafica las coordenadas $(6, -6)$ o $6$ unidades hacia la derecha ya lo largo del eje real y seis unidades hacia abajo ya lo largo del eje imaginario.
  • De manera similar, podemos graficar $-4sqrt{3} – 4i$ graficando $(-4sqrt{3}, -4)$ en el plano complejo.
  • Dado que $-5i$ contiene solo una parte numérica imaginaria, trazamos $-5i$ en el eje imaginario y deberíamos encontrar unidades de $5$ debajo del eje real.

Conecte cada número complejo al origen y etiquete el segmento con el número de valor absoluto correspondiente.

Ejemplo 2

Evalúa las siguientes operaciones con los siguientes números complejos.

una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$
B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i)$
contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i)$

Solución
Recuerda que sumar y restar números complejos es similar a sumar y restar binomios. Combinamos términos con números reales y números imaginarios. Esta es la misma forma en que combinamos “términos similares”.

Primero trabajemos en el primer elemento: $(8 – 8i) + (-6 + 12i)$.

$begin{alineado} (8 – 8i) + (-6 + 12i) &= [8 + (-6)] + (-8 + 12)i\&= 2 + 6iend{alineado}$

Asegúrese de distribuir uniformemente el signo negativo al restar dos números complejos.

$begin{alineado} (-3sqrt{3} + 5i) – (4sqrt{3} – 6i) &=-3sqrt{3} + 5i – 4sqrt{3} -(-6i )\&= -3sqrt{3} + 5i – 4sqrt{3} + 6i\&= (-3sqrt{3} – 4sqrt{3}) + (5 + 6)i \&=-7sqrt{3} + 11i end{alineado}$

Para el tercer elemento, primero multiplica los dos números complejos.

  • Aplicar el método FOIL para distribuir términos.
  • Reemplace $i^2$ con $-1$.
  • Combinar partes de números reales e imaginarios.

$begin{alineado} (-4 +2i)(-2 – i) &= (-4)(-2)+ (-4)(-i) + (2i)(-2) + (2i)( -i)\&=8 + 4i – 4i- 2i^2\&=8 + 4i – 4i -2(-1)\&=8 + 4i – 4i + 2\&= (8 + 2 ) + (4 -4)i\&=10 end{alineado}$

Reemplace $(-4 + 2i)(-2 – i)$ con su producto y luego simplifique aún más la expresión.

$begin{alineado} (-4 +2i)(-2 – i) + (2 – 3i) &= 10 + (2 – 3i)\&= (10 + 2) – 3i\&= 12 – 3iend{alineado}$

Listando los resultados para las tres operaciones, tenemos lo siguiente:
una. $(8 – 8i) + (-6 + 12i) = 2 + $6i
B. $(-3raíz cuadrada{3} + 5i) – (4raíz cuadrada{3} – 6i) = -7raíz cuadrada{3} + 11i $
contra $(-4 + 2i)(-2 – i) + (2- 3i) = 12 – 3i $

Ejemplo 3

Convierta los siguientes números complejos en forma polar a forma rectangular.

una. $-4(cos 90^{circ} + isen 90^{circ})$
B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right)$
contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4}$

Solución
Evalúe los valores de coseno y seno entre paréntesis al convertir números complejos a forma rectangular. Distribuya el módulo en cada uno de los valores de adentro para simplificar la expresión como $a +bi$.

Comenzando con $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ})$, $cos 90^{circ} = 0$ y $sin 90^{circ} = $1. Reemplace los términos entre paréntesis con estos valores y luego distribuya $-4$.

$begin{alineado} -4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ}) &= -4(0 + i)\&=0 – 4i\&= -4i end{alineado}$

El segundo elemento requerirá que realicemos un proceso similar, solo que esta vez estamos trabajando con ángulos en términos de $pi$. Recuerda que $cos dfrac{pi}{3} = dfrac{1}{2}$ y $sin dfrac{pi}{3}= dfrac{sqrt{3}}{ $2} .

$begin{alineado} 6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right) &= 6left( dfrac{1}{2 } + idfrac{sqrt{3}}{2}right)\&=6 cdot dfrac{1}{2} – 6 cdot i dfrac{sqrt{3}}{2} \&= 3 – 3sqrt{3}iend{alineado}$

Para el tercer elemento, asegúrese de reescribir $r text{cis } theta$ a $r(cos theta + i sin theta)$.

$begin{alineado} -sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4} &= -sqrt{3}left(cos dfrac{3pi}{4} + isen dfrac{3pi}{4}right)\ &= -sqrt{3}left( -dfrac{sqrt{2}}{2} + idfrac{sqrt {2}}{2}right)\&=-sqrt{3} cdot -dfrac{sqrt{2}}{2} – sqrt{3} cdot i dfrac{sqrt{ 2}}{2}\&= dfrac{sqrt{6}}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}end{alineado}$

Por lo tanto, tenemos los siguientes números complejos en sus formas rectangulares:

una. $-4(cos 90^{circ} + isin 90^{circ}) = -4i$
B. $6left(cos dfrac{pi}{3} + isin dfrac{pi}{3}right) = 3 – 3sqrt{3}i$
contra $-sqrt{3} text{cis} dfrac{3pi}{4} = dfrac{sqrt{6}}{2}-idfrac{sqrt{3}}{2}$

enero 23, 2022 por Ángulos Blog Operaciones Pares Unidades

Tangente – Explicación y Ejemplos

Tangente – Explicación y Ejemplos

En el contexto de un triángulo rectángulo, podemos simplemente definir el tangente función o cualquier otra función trigonométrica usando los términos hipotenusa, opuesto y adyacente en un triángulo rectángulo. ¿Eso parece interesante? Sí lo es. Pero, ¿cómo definir el función tangente utilizando un triángulo rectángulo?

La función tangente se define determinando la relación entre la longitud del lado opuesto a un ángulo de referencia (ángulo agudo) de un triángulo rectángulo y la longitud del lado adyacente de un triángulo rectángulo.

Después de estudiar esta lección, debemos aprender los conceptos que implican estas preguntas y estar capacitados para dar respuestas precisas, específicas y coherentes a estas preguntas.

  • ¿Qué es una función tangente?
  • ¿Cómo determinar la fórmula de la función tangente de un triángulo rectángulo?
  • ¿Cómo podemos resolver problemas del mundo real usando funciones trigonométricas?

Esta lección tiene como objetivo aclarar cualquier confusión que pueda tener sobre los conceptos relacionados con la función tangente.

¿Qué es la tangente?

Dentro de un triángulo, el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Para un ángulo $alpha$, el función tangente se denota $tan alpha$. En otras palabras, el tangente es un Funcion trigonometrica desde cualquier ángulo dado.

La figura 5-1 a continuación muestra un triángulo rectángulo típico. Las longitudes de los tres catetos (lados) del triángulo rectángulo se denominan $a$, $b$ y $c$. Los ángulos opuestos a las ramas de longitudes $a$, $b$ y $c$ se denominan $alpha$, $beta$ y $gamma$. El pequeño cuadrado de la esquina $gamma$ indica que es un ángulo recto.

Figure 5 1 A right triangle with the reference angle Alpha

Utilice el diagrama de la Figura 5-1 para determinar la función tangente desde el ángulo $alpha$.

Observando la Figura 5-1, podemos determinar el función tangente del triángulo rectángulo si dividimos la longitud del lado opuesto al ángulo de referencia $alpha$ (ángulo agudo) por la longitud del lado adyacente.

La siguiente figura 5-2 representa un función tangente.

Figure 5 2 shows tangent of angle Alpha

Mirando la Figura 5-2, podemos identificar que el lado de longitud $a$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $b$ es el lado adyacente quien miente justo al lado de el ángulo de referencia $alpha$. De este modo,

Opuesto = $a$

Contiguo = $b$

Por lo tanto, la tangente de un ángulo $alfa$ es

${displaystyle tan alpha ={frac {a}{b}}}$

Por lo tanto, concluimos que la función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Función tangente desde el punto de vista del ángulo $beta$

Deberíamos ser Cuidado cuando aplicamos los términos opuesto y adyacente porque el significado de estos términos depende del ángulo de referencia que estemos usando.

La siguiente figura 5-3 representa un triángulo rectángulo típico de la ángulo de visión $beta$.

Figure 5 3 A right triangle with the reference angle Beta

Puede observar que ahora se han cambiado los roles de las partes.

Mirando la Figura 5-3, ahora está claro que la longitud del lado $a$ es justo al lado en el ángulo de referencia $beta$, y la longitud del lado $b$ es exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$. Así, con respecto al ángulo que mide $beta$, ahora tenemos

Contiguo = $a$

Opuesto = $b$

Mientras que la hipotenusa $c$ sigue siendo la misma. Por eso la hipotenusa es muy especial en un triángulo rectángulo.

La siguiente figura 5-4 representa un función tangente desde ángulo de visión $beta$.

Figure 5 4 shows cosine of angle Beta

Mirando la Figura 5-4, podemos identificar que el lado de longitud $b$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$, y la longitud del lado $a$ es justo al lado en el ángulo de referencia $beta$. De este modo,

Opuesto = $b$

Contiguo = $a$

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

Por lo tanto, la tangente de un ángulo $beta$ es

${displaystyle tan beta ={frac {b}{a}}}$

¿Cuál es la fórmula de la tangente?

La siguiente figura 5-5 ilustra un Comparación cómo determinamos las proporciones de función tangente desde perspectiva desde dos ángulos$alfa$ y $beta$.

Figure 5 5 shows a comparison of cosine function with the reference angles alpha beta

La comparación indica claramente que la función tangente se define como la relación que se obtiene al dividir la longitud del lado opuesto al mencionado ángulo de referencia por la longitud del lado adyacente.

Aquí mismo:

${displaystyle tan alpha ={frac {a}{b}}}$

De este modo,

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

De la misma forma,

${displaystyle tan beta ={frac {b}{a}}}$

De este modo,

${displaystyle tan beta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Por lo tanto, concluimos que la función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

¿Cómo recordar la fórmula de la función tangente?

Creamos el SOH-CAH-TOA gráfico de lecciones anteriores para recordar fórmulas para funciones trigonométricas. Necesitas memorizar la tercera parte – TOA – palabra clave SOH-CAH-TOA recuerda la fórmula función tangente.

Aquí está la tabla:

SOL

HAC

TOA

Seno

Coseno

Tangente

Delante de la hipotenusa

Adyacente a la hipotenusa

Opuesto por Adyacente

${displaystyle sin theta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {hipotenusa} }}}$

${displaystyle cos theta ={frac {mathrm {adyacente} }{mathrm {hipotenusa} }}}$

${displaystyle tan theta ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

??

¡ESTÁS AHÍ!

Ejemplo $1$

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Cuál es la tangente del ángulo $alpha$?

3 Example 1

Solución:

Mirando el diagrama, es claro que la longitud del lado $12$ es la lado adyacente quien miente justo al lado en el ángulo de referencia $alpha$. El lado de longitud $5$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $13$ es el hipotenusa. De este modo,

Contiguo = $ 12

Opuesto = $5$

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Entonces la tangente del ángulo $alpha$ es:

${displaystyle tan alpha ={frac {5}{12}}}$

Ejemplo 2

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Cuál es la tangente del ángulo $alpha$?

5 Example 2

Solución:

Mirando el diagrama, está claro que el lado de longitud $20$ es el el lado opuesto quien miente exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$. Además, la longitud del lado $29$ es la hipotenusa.

Es necesario determinar la tangente del ángulo $alpha$. Muy bien, aquí está la parte difícil.

sabemos que el función tangente es el relación entre el lado opuesto y el lado adyacente, pero falta la longitud del lado adyacente. ¿Qué debemos hacer?

Etapa 1: Determine el lado desconocido pero relevante: el lado adyacente.

Para determinar el lado adyacente, necesitamos usar el teorema de Pitágoras,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Mirando el diagrama, tenemos:

Opuesto a $a = $20

Hipotenusa $c = $29

Adyacente $b =$ ?

Sustituye $a = $20 y $c = $29 en la fórmula

$29^{2}=20^{2}+b^{2}$

$841=400+b^{2}$

$b^{2}=441$

$b = 21$ unidades

Por lo tanto, la longitud de las unidades adyacentes es de $21.

2do paso: Determinar la tangente del ángulo. $alfa$.

Ahora tenemos:

Adyacente $= $21

opuesto $= $20

Usar la fórmula de la función tangente

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

Entonces la tangente del ángulo $alpha$ es:

${displaystyle tan alpha ={frac {20}{21}}}$

Ejemplo 3

Considere un triángulo rectángulo con ángulo de referencia $alpha$. ¿Qué opción representa la razón trigonométrica de ${frac {7}{24}}$?

a) $pecadoalfa$

b) $cosalfa$

c) $bronceadoalfa$

d) $cot alpha$

3 Example 3

Solución:

Mirando el diagrama, está claro que el lado de longitud $7$ es el el lado opuesto que es exactamente opuesto el ángulo de referencia $alpha$, y el lado de longitud $24$ es el lado adyacente quien miente justo al lado en el ángulo de referencia $alpha$.

De este modo,

Opuesto = $7$

Contiguo = $24$

Sabemos que la fórmula de la función tangente es

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

De este modo,

${displaystyle tan alpha ={frac {7}{24}}}$

Por lo tanto, la opción c) es la elección real.

Ejemplo 4

En la figura se muestra un triángulo rectángulo.

a) ¿Cuál es el lado que falta aquí desde el ángulo $beta$

b) Determinar la tangente del ángulo $beta$

Solución:

Parte a) Determinación del lado faltante desde el punto de vista del ángulo $beta$

El diagrama indica claramente que $15$ el el lado opuesto que es exactamente opuesto el ángulo de referencia $beta$, y $17$ es la hipotenusa.

Entonces el adyacente Costa este desaparecido desde el punto de vista del ángulo de referencia beta$.

Sea $x$ el lado adyacente faltante.

Usando el teorema de Pitágoras para resolver el lado que falta.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Mirando el diagrama, tenemos:

Opuesto a $b = $15

Hipotenusa $c = 17$

Adyacente $a =$ ?

Sustituye $b = $15 y $c = $17 en la fórmula

$17^{2}=a^{2}+$15^{2}

$289=uno^{2}+$225

$a^{2}=64$

$a = 8$ unidades

Por lo tanto, la longitud de las unidades adyacentes es $8$.

Parte b) Determinación de la tangente del ángulo $beta$

Ahora tenemos:

Adyacente = $8$

Opuesto = $15$

Sabemos que la fórmula de la función tangente es

${displaystyle tan alpha ={frac {mathrm {opuesto} }{mathrm {adyacente} }}}$

reemplazar adyacente = $8$, opuesto = $15$ en la fórmula

Por lo tanto, la tangente de ángulo $beta$ es

${displaystyle tan beta ={frac {15}{8}}}$

enero 12, 2022 por Ángulos Blog Preguntas Unidades

Ángulo de referencia: explicación y ejemplos

Ángulo de referencia: explicación y ejemplos

Un ángulo de referencia es un ángulo agudo entre el radio terminal de un ángulo dado y el eje x.

Los ángulos de referencia son siempre positivos y el ángulo de referencia de un ángulo puede ser él mismo.

Los ángulos de referencia son útiles en trigonometría y en las ciencias que los utilizan, como la astronomía, la arquitectura y la ingeniería.

Antes de continuar con esta sección, asegúrese de revisar los ángulos y las funciones trigonométricas.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es un ángulo de referencia?
  • Cómo encontrar el ángulo de referencia
  • Ángulos de referencia en trigonometría

¿Qué es un ángulo de referencia?

Un ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo o un ángulo recto. Cada ángulo tiene una referencia, que se puede encontrar localizando un ángulo agudo formado por el ángulo terminal del ángulo dado y el eje x.

Esto significa que un ángulo agudo o un ángulo recto es su propio ángulo de referencia.

Los ángulos de referencia facilitan el cálculo de relaciones trigonométricas para ángulos obtusos y reflejos al relacionarlos con un rango de ángulos más pequeño. Esto hace que la memorización de relaciones trigonométricas comunes para ángulos entre un ángulo cero y un ángulo recto sea suficiente para memorizar todos los ángulos posibles.

Ángulos obtusos

Cuando el ángulo dado es obtuso, su medida es mayor que 90 $ grados ($ frac { pi} {2} $ radianes) y menos de 180 $ grados ( pi radianes).

Ahora, el ángulo de referencia para un ángulo obtuso es fácil de visualizar usando el círculo unitario. Es el ángulo formado por el lado terminal del ángulo obtuso y el radio que se extiende hacia la izquierda a lo largo del eje horizontal.

Para encontrar este ángulo algebraicamente, reste el ángulo dado de 180 $ grados o $ pi $ radianes. Recuerde que este ángulo siempre se da como un ángulo positivo.

Reference Angle Illustration Unit Circle

Ángulos reflejos

Recuerde que los ángulos reflejos son ángulos mayores a $ 180 grados pero menores a $ 360 grados.

Para un ángulo reflejo entre 180 $ y 270 $ grados ($ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes), el ángulo reflejo es el ángulo formado por el lado terminal del ángulo dado y el radio extendiéndose hacia la izquierda a lo largo del eje x. Para un ángulo entre $ 270 $ y $ 360 $ grados ($ frac {3 pi} {2} $ y $ 2 pi $ radianes), es el ángulo formado por el ángulo terminal y el radio que se extiende hacia la derecha. a lo largo del eje x.

Por lo tanto, las fórmulas para estos ángulos son $ alpha-180 $ grados o $ alpha- pi $ radianes para los ángulos, $ alpha $ entre $ 180 $ y $ 270 $ grados o entre $ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes.

Para ángulos dados, $ beta $ entre $ 270 $ y $ 360 $ grados o $ frac {3 pi} {2} $ y $ 2 pi $ radianes, el ángulo de referencia es $ 360- beta $ o $ 2 pi- beta $.

Ángulos mayores que un ángulo completo

Para ángulos mayores que un ángulo completo o para ángulos negativos, encuentre el ángulo estándar coterminal entre $ 0 $ y $ 360 $ grados o $ 0 $ y $ 2 pi $ radianes. Luego, encuentre el ángulo de referencia para ese ángulo estándar.

Cómo encontrar el ángulo de referencia

En base a esto, la fórmula para encontrar el ángulo de referencia, $ gamma $ grados, para un ángulo dado de $ alpha $ grados varía según el valor de $ alpha $.

  • $ gamma = alpha $ por 0 $ leq alpha leq 90 $ grados
  • $ gamma = 180- alpha $ por $ 90 < alpha leq 180 $ grados
  • $ gamma = alpha-180 $ por 180 $ < alpha leq 270 $ grados
  • $ gamma = 360- alpha $ por $ 270 < alpha <360 $ grados.

Cuando $ gamma $ y $ alpha $ están en radianes, estas fórmulas son:

  • $ gamma = alpha $ por 0 $ leq alpha leq frac { pi} {2} $ radianes
  • $ gamma = pi- alpha $ por $ frac { pi} {2} < alpha leq pi $ radianes
  • $ gamma = alpha- pi $ para $ pi < alpha leq frac {3 pi} {2} $ radianes
  • $ gamma = 360- alpha $ por $ frac {3 pi} {2} < alpha <2 pi $ radianes.

Ángulos de referencia en trigonometría

¡Tenga en cuenta que memorizar las relaciones trigonométricas para cada ángulo es mucho! Sin embargo, el uso de identidades trigonométricas y ángulos de referencia significa que uno puede memorizar al menos las relaciones principales entre el ángulo $ 0 y un ángulo recto y conocer muchas otras relaciones.

Por ejemplo, suponga que alguien conoce las relaciones seno y coseno de solo dos ángulos que miden $ 45 grados y $ 30 grados. Esta persona también conoce las identidades de suma y diferencia, a saber que:

$ sin {( alpha pm beta)} = sin { alpha} cos { beta} pm cos { alpha} sin { beta} $

Y

$ cos {( alpha + beta)} = cos { alpha} cos { beta} – sin { alpha} sin { beta} $

Entonces también conocerían las relaciones de activación para un ángulo que mide $ 30 + 45 = $ 75, $ 45-30 = $ 15 y $ 45 + 45 + 30 = $ 130 grados, por ejemplo.

Si esa persona también supiera el seno y el coseno de un ángulo recto, entonces podría usar ángulos de referencia para encontrar $ 180-45 = $ 135 grados o $ 180-75 = $ 105 grados.

Esto abre muchas posibilidades con muy poca memorización.

Además, las identidades $ sin {(- theta)} = -sin ( theta) $ y $ cos {(- theta)} = cos ( theta) $ abren los cálculos para números negativos.

Ejemplos de

Esta sección repasa ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos de referencia y sus ejemplos paso a paso.

Ejemplo 1

Dado que el seno y el coseno de los ángulos de $ 45 grados son $ frac {1} { sqrt {2}} $, calcula el seno de $ 135 grados.

Solución

Recuerde las fórmulas del seno y el coseno:

$ sin {( alpha pm beta)} = sin { alpha} cos { beta} pm cos { alpha} sin { beta} $

$ cos {( alpha + beta)} = cos { alpha} cos { beta} – sin { alpha} sin { beta} $.

Por lo tanto, para encontrar el seno de $ 135 = 45 + 45 + $ 45, primero debemos encontrar $ sin90 $ y $ cos90 $.

$ sin {(45 + 45)} = sin {45} cos {45} + cos {45} sin {45} $

Como reemplazo, es:

$ frac {1} { sqrt {2}} times frac {1} { sqrt {2}} + frac {1} { sqrt {2}} times frac {1} { sqrt {2}} $

Entonces, simplificándolo, es:

$ frac {1} {2} + frac {1} {2} = $ 1.

Por coseno de $ 90:

$ cos {(45 + 45)} = cos {45} cos {45} – sin {45} sin {45} $.

Ahora esto se simplifica a:

$ cos {90} = frac {1} {2} – frac {1} {2} $.

Por lo tanto, $ sin135 $ es

$ sin {45} cos {90} + cos {45} sin {90} $.

Finalmente, se simplifica mediante:

$ frac {1} { sqrt {2}} times0 + frac {1} { sqrt {2}} times1 = frac {1} { sqrt {2}} $.

Ejemplo 2

Tenga en cuenta que el seno de un ángulo de grado de $ 30 $ es $ frac {1} {2} $, y el coseno de un ángulo de grado de $ 30 $ es $ frac { sqrt {3}} {2} $ .

Dada esta información, encuentre un coseno de $ 75 grados.

Solución

Tenga en cuenta que el coseno y el seno de $ 45 grados se dieron en el Ejemplo 1. Por lo tanto, el coseno de $ 75 grados es igual a:

$ cos {30 + 45} = cos {30} cos {45} -sin {30} sin {45} $.

Como reemplazo, es:

$ frac { sqrt {3}} {2} times frac {1} { sqrt {2}} – frac {1} {2} times frac {1} { sqrt {2}} PS

Simplificarlo se convierte en:

$ frac { sqrt {3}} {2 sqrt {2}} – frac {1} {2 sqrt {2}} $.

En una fracción, es:

$ frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} $.

Ejemplo 3

El seno de un ángulo recto es $ 0 y el coseno de un ángulo recto es $ -1 $.

Encuentra el coseno de $ 105 grados.

Solución

Este problema se basa en los dos anteriores.

Dado que $ 105 = $ 180-75, este problema consiste en encontrar:

$ cos {180-75} = cos {180} cos {75} + sin {180} sin {75} $.

Dado que este es el coseno de la diferencia de ángulos, el signo menos a la derecha de la ecuación se convierte en un signo más.

Está:

$ -1 times frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} + 0 times sin {75} $.

Puede simplificarse mediante:

$ – frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} $.

Por lo tanto, $ cos {105} = -cos {75} $.

Ejemplo 4

Describe cómo usar el seno y el coseno de los ángulos $ 30, $ 45 y $ 180 para encontrar la tangente de un ángulo que mide $ 165 grados.

Solución

Un ángulo de $ 165 grados es igual a:

$ 180 – (45-30) $.

Por lo tanto, encuentre el seno y el coseno de $ 15 grados. Luego utilícelos para encontrar el seno y el coseno de $ 180-15 = $ 165 grados.

Finalmente, divida el seno de $ 165 grados por el coseno de $ 165 grados.

Ejemplo 5

Encuentra la cosecante de un ángulo con una medida de $ 120 grados.

Solución

Recuerde primero que la cosecante es igual a $ frac {1} {sinx} $.

Entonces tenga en cuenta que $ 120 = 45 + 45 + $ 30

Por lo tanto, para encontrar la cosecante de $ 120 grados, debe encontrar el seno de $ 120 grados, que se puede encontrar usando el seno de $ 45 y $ 30.

Sin embargo, dado que en el ejemplo 2 se dio el seno de $ 90, es $ 90 + $ 30.

Por lo tanto, un seno de $ 120 es

$ sin {90 + 30} = sin {90} cos {30} + sin {30} cos {90} $.

Esto luego se simplifica mediante:

$ 1 times frac { sqrt {3}} {2} + frac {1} {2} times 0 $.

Por tanto, el seno es:

$ frac { sqrt {3}} {2} $.

Entonces, esto significa que la cosecante es la recíproca,

$ frac {2} { sqrt {3}} $ o $ frac {2 sqrt {3}} {3} $.

Problemas de práctica

  1. Encuentra un coseno de 135 grados.
  2. Encuentra un seno de 75 grados.
  3. ¿Qué es el seno de 105 grados?
  4. Describe cómo usar el seno y el coseno de los ángulos $ 30, $ 45 y $ 180 para encontrar la cotangente de un ángulo que mide $ 195 grados.
  5. Encuentra la secante de un ángulo con una medida de 120 grados.

Clave de respuesta

  1. $ – frac {1} { sqrt {2}} $
  2. $ frac {1+ sqrt {3}} {2 sqrt {2}} $
  3. $ frac {1+ sqrt {3}} {2 sqrt {2}} $
  4. Para encontrar esto, primero encuentre el seno y el coseno en un ángulo de $ 15 grados. Esto es posible desde $ 45-30 = $ 15. Luego, encuentre el seno y el coseno de un ángulo de $ 195 grados recordando que $ 15 + 180 = $ 195. Finalmente, divida el coseno de $ 195 grados por un seno de $ 195 grados.
  5. $ -2 $

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean utilizando Geogebra.

diciembre 11, 2021 por Ángulos Blog Ejemplos Suma

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Carlos Huertas

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