Aritmetica

La prueba del n-ésimo término es una técnica útil que podemos aplicar para predecir cómo se comporta una secuencia o serie a medida que los términos se hacen más grandes. Es importante para nosotros predecir cómo se comportan las sucesiones y series en matemáticas superiores y si convergen o divergen.

La prueba del n-ésimo término es una técnica que utiliza el último término de la serie para determinar si la secuencia o serie es convergente o divergente.

Este artículo le mostrará cómo puede aplicar la prueba del término n en una serie o secuencia determinada. Asegúrese de repasar su conocimiento de los siguientes temas, ya que los necesitaremos para determinar si una serie dada es divergente o convergente:

Por ahora, avancemos y entendamos cuándo la prueba del término n es más útil y cuándo no. También repasaremos nuestro conocimiento de la divergencia y la convergencia, ¡así que comencemos por comprender la definición de la prueba del término n-ésimo!

¿Qué es la prueba del enésimo término?

La prueba del n-ésimo término nos ayuda a predecir si una sucesión o serie dada es divergente o convergente. Usamos el término $n$ésimo de la sucesión para determinar su naturaleza, de ahí su nombre.

Antes de sumergirse directamente en el método en sí, ¿por qué no continuar y revisar lo que sabemos sobre las sucesiones divergentes y convergentes?

• una secuencia es divergir cuando los valores de la secuencia no se estabilizan a medida que la secuencia se acerca al infinito.
• Se dice que una secuencia es convergente a medida que los valores de la secuencia se estabilizan o se acercan a un valor a medida que la secuencia se acerca al infinito.

La prueba del n-ésimo término utiliza el límite de la suma de la secuencia para predecir si la secuencia diverge o converge.

• Al usar la prueba del término n, necesitaremos expresar el último término, $a_n$ en términos de $n$.
• Necesitaremos encontrar el valor límite de $a_n$ cuando $n$ se acerque al infinito.
• El valor de $lim_{xrightarrow infty}a_n$ determinará si la secuencia o serie converge o diverge.

Las siguientes secciones nos mostrarán cómo usar la prueba del n-ésimo término para determinar si una serie dada es divergente o no.

¿Cuál es la prueba del enésimo término para la divergencia?

De acuerdo con la prueba del n-ésimo término, una sucesión es divergente cuando la sucesión tiende a un valor distinto de cero mientras que el último término de la sucesión tiende a infinito (por término).

Digamos que tenemos una secuencia, ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n -1}, a_n}$. La serie formada por su suma se puede expresar como $a_1 + a_2 + … + a_{n-1} + a_n$ o $sum_{n=1}^{infty} a_n$.

Si $lim_{xrightarrow infty}a_n$ es igual a un número diferente de cero, decimos que $sum_{n=1}^{infty} a_n$ es divergente.

Esto tiene sentido ya que los valores no se conforman con series divergentes (crecientes o decrecientes); la secuencia en el infinito nunca debe ser cero.

¿Cuál es la prueba del enésimo término para la convergencia?

Ahora, ¿qué sucede cuando la prueba del término n devuelve un valor de cero?

Cuando $lim_{xrightarrow infty}a_n = 0$ la suma de la serie, $sum_{n=1}^{infty} a_n$, puede o no converger.

¿Qué significa esto para nuestra secuencia o serie? Tendremos que usar otras pruebas como una prueba de comparación o una prueba de series alternas. Pero eso es para otro artículo. Limitaremos nuestra discusión a confirmar que es posible que necesitemos usar otra prueba para las pruebas convergentes.

¿Cuándo usar la prueba del enésimo término?

Existen diferentes pruebas de divergencia y convergencia, pero esta prueba es la primera que se realiza para decirnos si la serie o secuencia es fácilmente divergente.

• Tenga en cuenta que la prueba del n-ésimo término nos ayuda a eliminar el resto de las pruebas verificando primero si la secuencia es divergente.
• Use la condición discutida anteriormente para concluir si la secuencia es divergente o si necesitamos usar otras pruebas para verificar si la secuencia es convergente.

Como se mencionó en este artículo, saber cómo evaluar los límites a medida que las funciones y expresiones se aproximan al infinito es fundamental cuando se utiliza la prueba del término n. Asegúrese de revisar sus notas sobre los límites o haga clic en los enlaces que proporcionamos en las secciones anteriores.

Por ahora, eso es todo lo que necesitamos saber sobre la prueba del enésimo trimestre. Es hora de que verifiquemos nuestros conocimientos y apliquemos lo que aprendimos en la prueba del noveno trimestre. Pruebe los problemas a continuación y vea si una secuencia dada diverge o no.

Ejemplo 1

Determina si la sucesión $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27…$ diverge usando la prueba del término n.

Solución

En primer lugar, ayuda si podemos identificar si la secuencia es algo que aprendimos en el pasado. Comprobando la diferencia entre dos términos consecutivos, tenemos:

Podemos ver que los términos de la sucesión comparten una diferencia común de $4$, por lo que la sucesión es, de hecho, una sucesión aritmética.

Podemos expresar el último término, $a_n$, en términos de $n$ usando la fórmula de secuencia aritmética, $a_n = a_1 + (n-1)d$.

begin{alineado} a_n &= a_1 + (n-1)d\&=3 + (n – 1)4\&=3 + 4n – 4\&= 4n – 1end{alineado}

Tomando el límite de $a_n$ cuando se acerca al infinito, tenemos el siguiente resultado.

begin{alineado} lim_{n rightarrow infty }4n – 1 &= infty\&neq 0end{alineado}

Podemos ver que el límite del $n$ésimo término, $a_n$ cuando $n$ tiende a $infty$ no es igual a $0$, por lo que la sucesión diverge.

Aquí hay un hecho divertido para ti: las series y secuencias aritméticas, en general, son divergentes. ¿Por qué no intentas probarlo por ti mismo?

Ejemplo 2

Determina si la serie, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{n + 4}{5n – 1}$, es divergente.

Solución

Recuerda que la prueba del enésimo término puede ayudarnos a determinar si la serie es divergente comprobando el límite de $a_n$ como $n rightarrow infty$.

Podemos encontrar el límite de la expresión multiplicando primero el numerador y el denominador por $dfrac{1}{n}$.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{n + 4}{5n – 1} &= lim_{nrightarrow infty}dfrac{n + 4}{5n – 1} cdot dfrac{dfrac{1}{n}}{dfrac{1}{n}}\&= lim_{nrightarrow infty}dfrac{1 + dfrac{4}{n}} {5 – dfrac{1}{n}}end{alineado}

Recuerda que $lim_{nrightarrow infty} dfrac{k}{n} = 0$, donde $k$ puede ser cualquier constante real. Por lo tanto, ahora podemos evaluar el límite de la expresión.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{1 + dfrac{4}{n}}{5 – dfrac{1}{n}} &= dfrac{1 + 0}{ 5 – 0}\&= dfrac{1}{5}end{alineado}

Dado que el límite del enésimo término $a_n$ es igual a $dfrac{1}{3}$ (y por lo tanto no es igual a $0$), la serie no es divergente.

Ejemplo 3

¿Verdadero o falso? Podemos mostrar que la serie, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2}$, es convergente a través de la n-ésima serie de términos.

Solución

Aplicaremos un enfoque similar evaluando primero $lim_{n rightarrow infty} dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2}$. Podemos comenzar multiplicando el numerador y el denominador por $dfrac{1}{n^2}$.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2} &= lim_{nrightarrow infty}dfrac{3n^2 – 3} {4n^4 +2} cdot dfrac{dfrac{1}{n^2}}{dfrac{1}{n^2}}\&=lim_{nrightarrow infty}dfrac {3 – 3}{4n^2 +dfrac{2}{n^2}}end{alineado}

Simplifique aún más la expresión y use el hecho de que $lim_{nrightarrow infty} dfrac{2}{n^2} = 0$.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{3 – 3}{4n^2 +dfrac{2}{n^2}} &= dfrac{0}{infty + 0} \&= dfrac{0}{infty}\&=0end{alineado}

Como el límite del enésimo término de la serie es $0$, la sucesión es no divergente. Pero, este resultado no puede concluir para nosotros si la serie es convergente. Tendremos que usar pruebas avanzadas para esto.

De donde, la afirmación es falsa, y necesitaremos otra prueba para confirmar que la serie es convergente.

Ejemplo 4

Usa el hecho de que $f(n) = dfrac{4n^4 – 5n^2 + 3n – 4}{n^5 – 6n^4 – 12n^2 + 2n + 6}$?

una. ¿Qué es $lim_{n rightarrow infty} f(n)$ ?
B. Usando el resultado de 4a, ¿qué puedes decir sobre $sum_{n=1}^{infty} f(n)$?

Solución

Para encontrar el límite de la función cuando se acerca al infinito, podemos multiplicar el numerador y el denominador de la expresión por $dfrac{1}{n^5}$.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} f(x) &= lim_{n rightarrow infty} dfrac{4n^4 – 5n^2 + 3n – 4}{n^5 – 6n ^4 – 12n^2 + 2n + 6} cdot dfrac{dfrac{1}{n^5}}{dfrac{1}{n^5}}\&=lim_{n rightarrow infinito} dfrac{dfrac{4}{n} – dfrac{5}{n^3} + dfrac{3}{n^4} – dfrac{4}{n^5}}{1 – dfrac{6}{n} – dfrac{12}{n^3} + dfrac{2}{n^4} + dfrac{6}{n^5}} end{alineado}

Recuerda que el límite de las expresiones racionales cuando su variable tiende a infinito es igual a cero. Utilice este hecho para evaluar el límite de $f(x)$ cuando $n$ se acerca a $infty$.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} f(x) &=dfrac{0 -0 + 0 – 0}{1 – 0 – 0 + 0 + 0}\&= dfrac{0 {1}\&= 0 end{alineado}

una. Esto significa que el límite de $f(x)$ cuando se acerca al infinito es igual a $0$.

La prueba del n-ésimo término se utiliza para confirmar si una serie es divergente cuando el límite del n-ésimo término no es igual a cero. Pero hemos confirmado que $lim_{n rightarrow infty} f(x) = 0$, por lo que $sum_{n=1}^{infty} f(x)$ no es divergente.

Aparte de eso, no podemos concluir si la sucesión es convergente o no. Tendremos que usar más pruebas para confirmar esto.

B. Por ahora, lo que podemos concluir es que $sum_{n=1}^{infty} f(x)$ no será divergente.

Podemos observar patrones en nuestra vida diaria: desde la cantidad de pétalos de girasol hasta los copos de nieve, todos exhiben patrones. Podemos modelar matemáticamente la mayoría de estos patrones utilizando funciones y secuencias recursivas.

Las sucesiones recursivas son sucesiones cuyos términos se basan en el valor del término anterior para encontrar el valor del siguiente término.

Uno de los ejemplos más conocidos de secuencias recursivas es la secuencia de Fibonacci. Este artículo discutirá la secuencia de Fibonacci y por qué la consideramos una secuencia recursiva.

También aprenderemos a identificar secuencias recursivas y los patrones que exhiben. También lo aplicaremos para predecir los siguientes términos de una secuencia recursiva y aprenderemos a generalizar patrones algebraicamente.

Empecemos por entender la definición de sucesiones recursivas.

¿Qué es una secuencia recursiva?

Las secuencias recursivas no son tan simples como las secuencias aritméticas y geométricas. Esto se debe a que se basa en un patrón o regla en particular y el siguiente término dependerá del valor del término anterior.

Echemos un vistazo a la secuencia de Fibonacci que se muestra a continuación. Tómese el tiempo para observar los términos y adivinar cómo progresan.

Podemos ver que para esta secuencia empezamos con dos $1$. Estos dos términos son cruciales para predecir el tercer término: para encontrar el tercer término; tenemos que sumar los dos valores.

Luego, para encontrar el cuarto término, sumamos el segundo y el tercer término. Sí, para el quinto término, sumamos el cuarto término por el tercer término.

Esto significa que los siguientes tres términos se muestran a continuación:

begin{alineado}8 + 13 &= color{azul}21\13 + 21 &= color{azul}43\43 + 21 &= color{azul}64end{alineado}

En las siguientes secciones, volveremos a este ejemplo y comprenderemos mejor qué constituye una secuencia recursiva. Pero por ahora, le mostramos cómo se pueden modelar patrones más complicados como secuencias recursivas y por qué es importante para nosotros comprender cómo funcionan estas secuencias.

¿Cómo resolver sucesiones recursivas?

Dado que las reglas de las sucesiones recursivas varían entre sí, es casi imposible crear un patrón general que se aplique a todas las sucesiones recursivas, a diferencia de las sucesiones aritméticas o geométricas.

En cambio, es útil observar los patrones exhibidos por una secuencia dada y usar los valores iniciales para crear una regla que se pueda aplicar a la secuencia.

Como guía, ¿por qué no continuar y revisar la definición de secuencias recursivas e intentar construir fórmulas de secuencias recursivas a partir de los patrones que observamos?

Definición de secuencia recursiva

Como se mencionó, las sucesiones recursivas dependen del término precedente y de las reglas observadas para la sucesión particular. Aquí hay algunos ejemplos de secuencias recursivas y las reglas que siguen:

Como podemos ver, por los dos ejemplos, las reglas varían para cada secuencia e incluso podemos observar varios modelos para una secuencia.

También podemos ejecutar secuencias dada la fórmula de secuencia recursiva. Usamos el término anterior y evaluamos el valor del siguiente término usando las reglas o patrones dados.

Fórmula de secuencia recursiva

Cuando se da una secuencia recursiva, podemos predecir y establecer sus fórmulas y reglas.

• Un valor inicial como $a_1$.
• Un patrón o ecuación en términos de $a_{n – 1}$ o incluso $a_{n -2}$ que se aplica a lo largo de la secuencia.
• Podemos expresar la regla en términos de $a_{n -1}$.

Antes de establecer una fórmula de secuencia recursiva, practiquemos la determinación de los siguientes términos de una secuencia recursiva dada su fórmula.

¿Por qué no intentar encontrar los siguientes tres términos de ${1, 3, 7, …}$ y ${2, 9, 30, …}$?

Para ${1, 3, 7, …}$, usemos la regla, $ a_n = 2a_{n-1} + 1$:

Esto muestra que siempre que tengamos el término anterior y conozcamos la regla de la secuencia recursiva, podemos predecir los términos que siguen. Avancemos y hagamos esto para ${2, 9, 30, …}$ sabiendo que $a_n = 3a_{n-1} + 3$.

Pero, ¿y si no nos dan las reglas para la secuencia recursiva? Será útil comenzar observando los primeros términos de los patrones. Luego usamos estos términos para encontrar una regla para toda la secuencia.

Volvamos a la sucesión de Fibonacci que observamos: ${1, 1, 2, 3, 5, 8, …}$. Podemos comenzar con el hecho de que el tercer término suma los términos primero y segundo.

Como vimos en la sección anterior, este patrón continúa para cada conjunto de tres términos. Podemos establecer una regla en términos de $a_{n-2}$, $a_{n-1}$ y $a_n$:

begin{alineado}a_n = a_{n-2} + a_{n – 1}end{alineado}

Este patrón solo será cierto si tenemos $a_1 = 1$ y $a_2 = 2$. Por lo tanto, podemos establecer aún más el general al incluir los valores iniciales como se muestra a continuación.

$left{begin{matrix}a_1 = 1phantom{xxxxxxxxx}\a_2 =1phantom{xxxxxxxxx}\a_n = a_{n -2} + a_{n – 1} end{matrix} right.$

¿Estás listo para probar otros problemas que involucran secuencias recursivas? Asegúrese de revisar sus notas antes de probar estos ejemplos a continuación.

Ejemplo 1

¿Cuál es el quinto término de la sucesión recursiva definida por las siguientes reglas: $a_1 = 4$ y $a_n = -2a_{n – 1} + 4$?

Solución

Usaremos el valor de $a_1$ y la expresión de $a_n$ para encontrar el valor de $a_2$.

begin{alineado}a_2 &= -2a_1 +4 \&=-2(4) + 4\&= -8 + 4\&= -4end{alineado}

Repetimos un proceso similar para encontrar los siguientes tres términos: usando el término anterior en la fórmula, como se muestra a continuación.

Así, el quinto término de la sucesión es igual a $44$.

Ejemplo 2

Escribe los primeros seis términos en la secuencia que sigue a la siguiente fórmula recursiva.

$left{begin{matriz}a_1 = 0\a_2 = 1\a_3 = 1\a_n = dfrac{2a_{n – 1}}{a_{n – 2}}end{matriz} right.$

Solución

Empecemos por entender qué significa $a_n = dfrac{2a_{n – 1}}{a_{n – 2}}$. A partir de esta fórmula podemos ver que el término n de esta secuencia recursiva en particular puede determinarse encontrando la razón de los dos últimos términos y multiplicando el resultado por $2$.

Si queremos los primeros seis términos, ya tenemos los primeros tres términos y solo necesitamos los tres términos restantes: $a_4$, $a_5$ y $a_6$.

Para encontrar el valor de $a_4$, simplemente dividimos $a_3$ entre $a_2$ y luego multiplicamos el resultado por $2$. Aplicamos un enfoque similar para determinar los valores de $a_5$ y $a_6$.

Entonces tenemos los primeros seis términos de la fórmula recursiva: ${0, 1, 1, 2, 4, 4}$.

Ejemplo 3

¿Cuál es la fórmula recursiva que puede describir el patrón de las siguientes secuencias?

una. ${2, 6, 14, 30,…}$
B. ${1, 2, 6, 24, …}$

Solución

Es útil observar cómo se relacionan los dos términos entre sí, y luego podemos verificar si las reglas funcionarán para el cuarto término.

Comencemos con la primera secuencia, ${2, 6, 14, 30,…}$, y veamos cómo $6$ se relaciona con $2$ y $14$ con $6$.

begin{alineado}6 &= 4 + 2\&= 2(2) + 2\14&= 12 + 2\ &= 2(6) + 2end{alineado}

Podemos ver que el siguiente término se puede determinar multiplicando el término anterior por $2$ y luego sumando el resultado con $2$. Para ver si el patrón coincide con el siguiente término, intentemos multiplicar $14$ por $2$ y luego sumar $2$ al producto.

begin{alineado}14(2) + 2 &= 30end{alineado}

Como obtuvimos $30, esto confirma que tenemos las observaciones y la regla correctas para la secuencia recursiva. Esto significa que para encontrar $a_n$, simplemente multiplicamos $a_{n -1}$ por $2$ y luego sumamos $2$ al resultado: $a_n = 2a_{n – 1} + 2$.

Incluyendo el primer término, tenemos la fórmula recursiva a continuación para la primera secuencia.

$left{begin{matriz}a_1 = 2 phantom{xxxxxx}\a_n = 2a_{n – 1} + 2end{matriz}right.$

Continuemos y pasemos a la segunda secuencia, ${1, 2, 6, 24, …}$. Podemos aplicar un proceso similar cuando tratamos de encontrar un patrón para la secuencia.

begin{alineado} 1&= 1 cdot 1\ 2 &= 1 cdot 2\6 &= 2 cdot 3end{alineado}

¿Qué puedes notar acerca de los cuatro términos? La posición de los términos es en realidad un factor para la fórmula.

Esto significa que $2$ es el resultado de multiplicar el término anterior por el número de ubicación: $2$. De manera similar, $6$ es el resultado cuando multiplicamos el término anterior por el número de ubicación: $3$.

Podemos ver que el cuarto término, $24$ es igual a $6 times 4$, lo que confirma que la observación es correcta. Por lo tanto, $a_n$ resultará del término anterior, $a_{n – 1}$, multiplicado por el número de ubicación, $n$.

begin{alineado}24 &= 6 times 4\ a_4 &= a_3 cdot 4\a_n &= a_{n – 1} cdot n \&= na_{n- 1} end{alineado}

Incluyamos el valor inicial de la fórmula; por lo tanto, tenemos la regla dada a continuación:

$left{begin{matriz}a_1 = 1 phantom{xxxxxx}\a_n = na_{n- 1}end{matriz}right.$