Aritmetica

Orden de operaciones – PEDMAS

Orden de operaciones – PEDMAS

El orden de las operaciones se puede definir como un procedimiento estándar que lo guía sobre qué cálculos comenzar en una expresión con múltiples operaciones aritméticas. Sin un orden de operación coherente, se pueden cometer grandes errores durante el cálculo.

Por ejemplo, una expresión que implica más de una operación, como resta, suma, multiplicación o división, requiere una forma estándar de saber qué operación realizar primero.

Por ejemplo, si desea resolver un problema como; 5 + 2 x 3, el problema es ¿qué operación comienza primero?

Debido a que este problema tiene dos opciones para resolverlo, entonces, ¿cuál es la respuesta correcta?

Si hacemos primero la suma y luego la multiplicación, el resultado es:

5 + 2 x 3 = (5 + 2) x 3 = 10 x 3 = 30

Si primero hacemos la multiplicación seguida de la suma, el resultado es:

5 + 2×3 = 5 + (2×3) = 5 + 6 = 11

Para ver cuál es la respuesta correcta, existe un mnemotécnico “PEMDAS”, que es útil porque nos recuerda el orden correcto de las operaciones.

PEMDAS

PEMDAS es un acrónimo que significa paréntesis, exponentes, multiplicación, suma y resta. El orden de las operaciones es:

  • P es para paréntesis: (), corchetes []llaves {} y barras de fracción.
  • E es para exponente incluyendo raíces.
  • M es para multiplicación.
  • D es para División.
  • A es para la adición.
  • S es para Resta.

Reglas PEMDAS

  • Comience siempre calculando todas las expresiones entre paréntesis
  • Simplifique todos los exponentes, como raíces cuadradas, cuadrados, cubos y raíces cúbicas.
  • Multiplica y divide de izquierda a derecha
  • Finalmente, suma y resta de la misma manera, trabajando de izquierda a derecha.

Una forma de dominar este orden de operación es recordar una de las siguientes tres frases; Elige el que recordarás más fácilmente.

  • “PAGSalquiler miexcusa METROallí Descuchar Aunt S
  • “Grandes elefantes destruyen ratones y caracoles”.
  • “Los elefantes rosas destruyen ratones y caracoles”.

Ejemplo 1

Resolver

30 ÷ 5×2+1

Solución

Debido a que no hay paréntesis ni exponentes, comience con la multiplicación y luego con la división, trabajando de izquierda a derecha. Completa la operación por adición.

30 ÷ 5 = 6

6×2=12

12 + 1 = 13

NOTA: Cabe señalar que, aunque la multiplicación en PEMDAS viene antes de la división, sin embargo, la operación de ambas aún se realiza de izquierda a derecha.

Multiplicar antes de dividir da la respuesta incorrecta:

5 × 2 = 10

30 ÷ 10 = 3

3 + 1 = 4

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente expresión: 5 + (4 – 2 ) 2 x3 ÷ 6 – 1

Solución

  • Comience con los paréntesis;

(4 – 2) = 2

  • Proceda con la operación exponencial.

2 2 = 4

  • Ahora nos quedamos con; 5 + 4×3 ÷ 6 – 1 = ?
  • Realiza multiplicaciones y divisiones, comenzando de izquierda a derecha.

4×3=12

5 + 12 ÷ 6 – 1

Comenzando desde la derecha;

12 ÷ 6 = 2

5 + 2 – 1 = ?

5 + 2 = 7

7 – 1 = ?

7 – 1 = 6

Ejemplo 3

simplificar 3 2 + [6 (11 + 1 – 4)] ÷ 8×2

Solución

Para resolver este problema, PEMDAS se aplica de la siguiente manera;

  • Comience la operación acercándose al paréntesis.
  • Comience dentro de los paréntesis hasta que se eliminen todas las agrupaciones. Se hace la adición;

11 + 1 = 12

  • Realiza la resta; 12 – 4 = 8
  • Entrena con apoyos como; 6×8 = 48
  • Ejecutar exponentes como; 32 = 9

9 + 48 ÷ 8 x 2 = ?

  • Calcula multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha;

48÷8=6

6×2=12

Ejemplo 4

Evalúa la expresión; 10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3

Solución

Al aplicar la regla PEMDAS, la multiplicación y la división se evalúan de izquierda a derecha. Es recomendable insertar paréntesis para recordar el orden de operación

10 ÷ 2 + 12 ÷ 2 × 3

= (10÷2) + (12÷2 × 3)

= 23

Ejemplo 5

Tarifa 20 – [3 x (2 + 4)]

Solución

Primer trabajo sobre las expresiones entre paréntesis.

= 20 – [3 x 6]

Calcula los paréntesis restantes.
= 20 – 18

Finalmente, realice una resta para obtener 2 como respuesta.

Ejemplo 6

Práctica (6 – 3) 2 – 2×4

Solución

  • Comienza abriendo los paréntesis

= (3)2 – 2×4

= 9 – 2×4

  • ahora haz la multiplicacion

= 9 – 8

  • Completa la operación por resta para obtener 1 como respuesta correcta.

Ejemplo 7

Resolver la ecuación 2 2 – 3 × (10 – 6)

Solución

  • Calcula dentro de los paréntesis.
    = 2 2– 3×4
  • Calcula el exponente.
    = 4 – 3×4
  • Haz la multiplicación.
    = 4 – 12
  • Completa la operación por resta.
    = -8

Ejemplo 8

Simplifica la expresión 9 – 5 ÷ (8 – 3) x 2 + 6 usando el orden de las operaciones.

Solución

  • Practica entre paréntesis

= 9 – 5 ÷ 5×2+6

= 9 – 1×2 + 6

  • Realiza la multiplicación

= 9 – 2 + 3

  • Suma y luego resta

= 7 + 6 = 13

Conclusión

En conclusión, a veces una expresión puede contener dos operaciones al mismo nivel.

Por ejemplo, si una expresión contiene tanto un cuadrado como un cubo, se puede calcular primero uno u otro. Realice siempre la operación de izquierda a derecha siguiendo la regla PEMDAS. Si encuentra una expresión sin símbolos de agrupación como llaves, corchetes y paréntesis, puede hacerlo más fácil agregando sus propios símbolos de agrupación.

El trabajo con expresiones que tienen fracciones se resuelve simplificando primero el numerador seguido del denominador. El siguiente paso es simplificar el numerador y el denominador si es posible.

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

¿Qué es la propiedad de identidad?

Los números reales son un conjunto ordenado de números que tienen propiedades únicas. Las propiedades básicas son conmutativa, asociativa, distributiva e identidad. Una propiedad de identidad es una propiedad que se aplica a un grupo de números como un conjunto. No se puede aplicar a un número individual solamente.

Se llama propiedad de identidad porque cuando se aplica a un número, el número conserva su “identidad”. La propiedad de identidad es verdadera para todas las operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad de la suma

La propiedad de identidad de la suma es que cuando un número Nos sumado a cero, el resultado es el número en sí, es decir

norte + 0 = norte

El cero se llama identidad aditiva y se puede sumar a cualquier número real sin cambiar su valor. Estos son algunos ejemplos de propiedad de identidad de suma,

3 + 0 = 3 (enteros positivos)

-3 + 0 = -3 (Enteros negativos)

4/5 + 0 = 4/5 (Fracciones)

0,5 + 0 = 0,5 (decimales)

x + 0 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la resta, porque restar 0 a cualquier número es igual al número mismo. Por lo tanto, 0 también se llama identidad sustractiva.

Propiedad de identidad de la multiplicación

La propiedad de identidad de la multiplicación es que cuando un número Nos multiplicado por uno, el resultado es el número mismo, es decir

norte × 1 = norte

Uno se llama identidad multiplicativa y puede multiplicarse por cualquier número real sin cambiar su valor. Aquí hay algunos ejemplos de la propiedad de identidad de la multiplicación,

3 × 1 = 3 (Enteros positivos)

-3 × 1 = -3 (Enteros negativos)

4/5 × 1 = 4/5 (Fracciones)

0,5 × 1 = 0,5 (decimales)

x × 1 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la división, porque dividir un número por 1 es equivalente al número mismo. Por lo tanto, 1 también se llama identidad de división.

Serie telescópica – Componentes, fórmula y técnica

Serie telescópica – Componentes, fórmula y técnica

Una de las series más singulares e interesantes que aprenderemos en precálculo es la serie telescópica. Las series telescópicas exhiben un comportamiento único que pondrá a prueba nuestro conocimiento de manipulación algebraica, series y sumas parciales.

La serie telescópica es una serie que se puede reescribir de modo que la mayoría (si no todos) de los términos se cancelen con un término anterior o posterior.

Esta serie tiene una amplia aplicación en matemáticas superiores, teoría informática y una serie divertida para explorar mientras ponemos a prueba nuestras habilidades algebraicas.

Una de las técnicas algebraicas más aplicadas en la manipulación de series telescópicas es el uso de descomposición en fracciones parciales. Asegúrese de revisar y actualizar sus conocimientos sobre este tema en particular, ya que lo aplicaremos ampliamente en este artículo.

OTambién aplicaremos nuestro conocimiento de los límites, así que asegúrese de hacer un repaso rápido sobre cómo evaluamos los límites.

Comencemos por comprender los componentes de la serie telescópica y finalmente aprendamos cómo la serie obtuvo su nombre.

¿Qué es una serie telescópica?

Identificar series telescópicas puede parecer más complicado que identificar series más simples, como series aritméticas y geométricas. Esto se debe a que una serie telescópica nos obliga a pensar creativamente sobre cómo podemos manipular los términos para expandirlos y luego simplificarlos.

A continuación se muestran tres series telescópicas comunes:

  • $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{12} + …$

  • $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{8}+ dfrac{1}{32} + …$

  • $dfrac{1}{3} + dfrac{1}{15} + dfrac{1}{35} + …$

En las secciones, aprenderemos cómo podemos simplificar series como estas y por qué cada una de ellas se considera una serie telescópica.

Al hablar de series telescópicas, es inevitable que hablemos de son telescópicos – es el proceso de simplificar una serie o una expresión primero expandiéndolos y luego cancelando los términos consecutivos de la nueva expresión.

Por eso también llamamos a esta técnica son telescópicos y la serie en sí una serie telescópica. Al igual que un telescopio, para que podamos dar sentido al valor, primero necesitaremos ampliar la vista antes de poder concentrarnos en los valores que importan.

Para comprender mejor qué es la serie telescópica, veamos su forma algebraica.

Telescópico fórmula en serie y definición

Digamos que tenemos $sum_{n=1}^{infty} b_n$, una serie telescópica infinita, podemos reescribir eso como $b_n$ como $a_n – a_{n+1}$, donde $a_n$ es un término de una sucesión construida correctamente.

Se dice que una serie es telescópica cuando la expresamos de la forma $sum_{n=1}^{infty} b_n = sum_{n=1}^{infty} (a_n – a_{n+1} ) $

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} b_n &= (a_1 – a_2) + (a_2 – a_3) + (a_3 – a_4) + … + (a_{n-1} – a_n) \&= a_1 + (-a_2 + a_2) + (-a_3 + a_3) + … + (-a_{n – 1} + a_{n – 1}) – a_n\&= a_1 – a_nend{ alineado}

Cuando esto sucede, simplemente negamos los términos y mantenemos los valores restantes y tendremos la forma más simplificada de la serie telescópica, como muestra la forma general anterior.

¿Cómo? ‘O’ ¿Qué? encontrar la suma de una serie telescópica?

La mejor manera de entender qué hace que una serie telescópica sea única es simplificar la serie y encontrar su suma. Aquí hay algunas pautas útiles para encontrar la suma de una serie telescópica:

  • Si aún no se ha proporcionado, encuentre la expresión para $a_n$ y $S_n$.

  • Usa la descomposición en fracciones parciales para reescribir la expresión racional como una suma de dos fracciones más simples.

  • Reescribe $a_n$ usando estas dos fracciones como la suma, luego encuentra el valor de $lim_{nrightarrow infty} sum_{n=1}^{infty} S_n$.

Echemos un vistazo a una de las series telescópicas más comunes que probablemente encontraremos: $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)}$.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= dfrac{1}{2} + dfrac{1}{6} + dfrac{1}{12} + … + dfrac{1}{n(n + 1)} end{alineado}

Encontrar la suma de esta serie puede parecer difícil al principio, pero con los pasos que hemos mencionado, podremos encontrar la suma de esta serie telescópica.

Tenemos la expresión regular, $dfrac{1}{n(n + 1)}$, podemos reescribir esa expresión regular como $dfrac{A}{n}$ y $dfrac{B}{n + 1 } $ . Aplicar lo que aprendimos al dividir fracciones para encontrar $A$ y $B$.

begin{alineado}dfrac{1}{n(n + 1)} &= dfrac{A}{n} + dfrac{B}{n + 1}\1 &= A(n + 1) + B(n)\0n + 1&= (A + B)n + A\\A+ B &= 0\A&=1\B&=-1end{alineado}

Esto significa que podemos reescribir $dfrac{1}{n(n + 1)}$ a $dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n + 1}$. Reemplace nuestra expresión regular con esta forma descompuesta.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{ 1}{n} – dfrac{1}{n + 1}right) \&= left(1 -dfrac{1}{2} right) + left(dfrac{1}{2 } – dfrac{1}{3}right) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{4}right) + … +left(dfrac{1}{n – 1} – dfrac{1}{n}right) + left(dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n + 1}right) end{alineado}

Podemos reescribir esta serie agrupando los términos como se muestra a continuación.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= 1 + left(-dfrac{1}{2} +dfrac{ 1}{2} derecha) + izquierda(-dfrac{1}{3} +dfrac{1}{3} derecha) + … +izquierda(-dfrac{1}{n – 1} + dfrac{1}{n-1}right) + left(-dfrac{1}{n} +dfrac{1}{n}right) – dfrac{1}{n + 1} \&=1 + cancel{left(-dfrac{1}{2} +dfrac{1}{2} right)} + cancel{left(-dfrac{1}{3} +dfrac{1}{3} right)} + … +cancel{left(-dfrac{1}{n – 1} + dfrac{1}{n-1}right)} + deshacer{left(-dfrac{1}{n} +dfrac{1}{n}right)} – dfrac{1}{n + 1}\&= 1- dfrac{1}{ n+1} end{alineado}

¿Observe cómo los pares ahora se cancelan y dejan atrás el primer y el último término? Esa es la belleza de la serie telescópica. Ahora que tenemos una suma de $1 – dfrac{1}{n + 1}$, podemos simplemente encontrar el límite de la suma cuando $n$ tiende a infinito para encontrar el

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n(n + 1)} &= lim_{n rightarrow infty} left(1 – dfrac{1}{n +1}right) \&= 1 – 0\&=0end{alineado}

Por lo tanto, la suma de la serie telescópica infinita es $1$. Más importante aún, hemos mostrado cómo podemos aplicar la descomposición en fracciones parciales y las leyes de límites para encontrar la suma de una serie telescópica infinita.

¿Estás listo para probar más problemas? Consulte los problemas de muestra que le proporcionamos.

Ejemplo 1

Encuentra la suma de la serie telescópica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$.

Solución

Ya tenemos la expresión para $a_n = dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$, entonces podemos proceder a reescribir $dfrac{1}{(2n – 1)( 2n + 1 )}$ como la suma de dos fracciones “más simples”.

begin{alineado}dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{A}{2n – 1} + dfrac{B}{2n + 1}\ 1 &= A(2n + 1) + B (2n – 1)\0n + 1 &= (2A + 2B)n + (A – B)\\2A + 2B &= 0\ A – B &= 1 end{alineado}

Como $A + B = 0$, podemos sustituir $A = -B$ en la segunda ecuación, $A – B = 1$.

begin{alineado}A – B &= 1\ -B – B&= 1\-2B &= 1\B & = -dfrac{1}{2}end{alineado}

Esto significa que $A$ es igual a $dfrac{1}{2}$. Usemos estos valores para reescribir la expresión regular original.

begin{alineado}dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{A}{2n – 1} + dfrac{B}{2n + 1}\&= dfrac{dfrac{1}{2}}{2n – 1} – dfrac{dfrac{1}{2}}{2n + 1}\&= dfrac{1}{4n – 2} – dfrac{1}{4n+2}end{alineado}

Usando la nueva expresión para $a_n$, podemos expandir la serie telescópica como se muestra a continuación.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &=sum_{n=1}^{infty}left ( dfrac{1}{4n – 2} -dfrac{1}{4n + 2}right)\&= left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{6} derecha ) + left(dfrac{1}{6} – dfrac{1}{10} right ) + left(dfrac{1}{10} – dfrac{1}{14} right ) + … + izquierda[dfrac{1}{4(n – 1) – 2} – dfrac{1}{4(n – 1) + 2} right ]+ left(dfrac{1}{4n – 2} – dfrac{1}{4n + 2} right )end{alineado}

Reordene los términos y vea cómo podemos reducir la serie telescópica a dos términos.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(n + 1)} &= dfrac{1}{2} + cancel{left ( – dfrac{1}{6} + dfrac{1}{6} right )}+ cancel{left( – dfrac{1}{10} + dfrac{1}{10} right )} + cancel{left( – dfrac{1}{14} + dfrac{1}{14} right )}+…+ cancel{left(-dfrac{1}{4n – 2 } + dfrac{1}{4n – 2}right)} – dfrac{1}{4n + 2} \&= dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2} end{alineado}

Ahora podemos encontrar la suma de la serie telescópica tomando el límite de $S_n =dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}$ cuando $n$ se acerca a $infty$.

begin{alineado}S_n &=dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}\lim_{n rightarrow infty} S_n &= lim_{nrightarrow infty} left( dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4n + 2}right )\&= dfrac{1}{2}- 0\&= dfrac{1}{2 }end{alineado}

Esto muestra que la suma de $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$ es igual a $dfrac{1}{2}$ .

Ejemplo 2

Encuentra la suma de la serie telescópica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$.

Solución

Podemos aplicar un proceso similar para reescribir $dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$ como la suma de dos fracciones más simples.

begin{alineado}dfrac{3}{n^2 + 4n + 3} &= dfrac{3}{(n + 1)(n + 3)}\&= dfrac{A}{n + 3} + dfrac{B}{n + 1}\\A(n + 3) + B(n + 1) &=3\(A + B)n + (3A + B)&= 0n + 3\A+B &=0\3A+ B &= 3end{alineado}

Como $A + B = 0$, podemos sustituir $A = -B$ en la segunda ecuación, $3A + B = 3$.

begin{alineado}-3B + B &= 3\ -2B &= 3\B &= -dfrac{3}{2}end{alineado}

Usando $A = dfrac{3}{2}$ y $B = -dfrac{3}{2}$, tenemos $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{ n ^2 + 4n + 3} = sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 3) } derecha)$. Usemos esto para extender la serie telescópica y reducir la serie a menos términos.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 1)}right] &=sum_{n=1}^{infty} left(dfrac{3}{2(n + 1)}- dfrac{3}{2(n + 3)}right) \& =dfrac{3}{2}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{1}{(n + 1)}- dfrac{1}{(n + 3)}right]\&=dfrac{3}{2}left[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{4} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{5} right )+ left(dfrac{1}{4} – dfrac{1}{6} right )+ left(dfrac{1}{5} – dfrac{1}{7} right ) + …+ left(dfrac{1}{n} – dfrac{1}{n+2} right )+ left(dfrac{1}{n+1} – dfrac{1}{n+3} right )right ]end{alineado}

Agrupa los términos con denominador impar y los que tienen denominador par. Cancele los términos tanto como sea posible, luego simplifique la expresión en términos de $n$.

begin{alineado}sum_{n=1}^{infty} left[dfrac{3}{2(n + 1)} – dfrac{3}{2(n + 1)}right] &= dfrac{3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2}-dfrac{1}{4}+dfrac{1}{4}-dfrac{1}{6}+dfrac{1}{6} + …- dfrac{1}{n} + dfrac{1}{n}-dfrac{1}{n +2}right ) right ]\&fantasma{xxx} +left(dfrac{1}{3}-dfrac{1}{5}+dfrac{1}{5}-dfrac{1}{7}+dfrac {1}{8} + …- dfrac{1}{n+1} + dfrac{1}{n+1}-dfrac{1}{n +3}right )\&=dfrac {3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right] end{alineado}

Ahora podemos encontrar la suma de la serie telescópica evaluando el límite de la expresión simplificada para la suma cuando $n$ tiende a infinito.

begin{aligned}sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3} &= lim_{n rightarrow infty}dfrac{3}{2} a la izquierda[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right]\&=dfrac{3}{2}lim_{n rightarrow infty}left[left(dfrac{1}{2} – dfrac{1}{n + 2} right ) + left(dfrac{1}{3} – dfrac{1}{n + 3} right )right] \&= dfrac{3}{2}izquierda[left(dfrac{1}{2} – 0right)+ left(dfrac{1}{3} – 0right)right]\&=dfrac{3}{2}left(dfrac{1}{2} + dfrac{1}{3}right)\&=dfrac{3}{2} cdot dfrac{5}{6}\&= dfrac{5}{4}end{alineado}

De esto podemos ver que $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3}{n^2 + 4n + 3}$ es igual a $dfrac{5}{4}$ o $1,15.

Estos son dos grandes ejemplos de cómo podemos encontrar la suma de una serie telescópica. Muestran cómo saber cómo manipular expresiones es crucial para simplificar y evaluar estas series.

Pruebe los problemas presentados a continuación si desea trabajar en más series telescópicas.

Serie Armónica – Propiedades, Fórmula y Divergencia

Serie Armónica – Propiedades, Fórmula y Divergencia

La serie armónica es una de las primeras tres series que aprenderás en tu clase de álgebra. Esta serie en particular es importante en teoría musical, y en la siguiente sección entenderás por qué. Por ahora, aquí hay un resumen rápido de lo que hace que la serie Harmonic sea única.

Una serie armónica es una serie que contiene la suma de los términos que son los inversos de los términos de una serie aritmética.

Este artículo explorará esta serie única y comprenderá cómo se comporta como una serie infinita. También entenderemos si la serie diverge o converge utilizando las diversas pruebas que hemos aprendido en el pasado.

  • Comprender cómo se puede usar la secuencia aritmética (y la serie) para definir series armónicas.
  • Asegúrate de saber la diferencia entre convergente y divergente.
  • Revisa las diferentes pruebas que podemos aplicar para confirmar la convergencia y la divergencia.

¿Alguna vez hemos despertado tu curiosidad sobre la serie armónica? ¿Por qué no empezar refrescando lo que constituye una secuencia armónica?

¿Qué es una serie armónica?

Antes de sumergirse directamente en la definición de una serie armónica, consulte esta visualización rápida sobre la progresión de los términos en una serie armónica.

visualizing harmonic series

La secuencia armónica y la serie van de la mano. De hecho, el la serie armónica es la suma total de una secuencia armónica infinitaentonces, si queremos saber más sobre las series armónicas, debemos revisar lo que sabemos sobre las secuencias armónicas.

Para comprender mejor esto, aquí hay dos conceptos importantes para recordar del cuadro que se muestra arriba.

  • Los términos, $left{dfrac{1}{2}, dfrac{1}{3}, dfrac{1}{4}, dfrac{1}{5}, dfrac{1}{ 6}, dfrac{1}{7}, …right}$, son parte de una secuencia armónica.
  • La suma de los términos, $ dfrac{1}{2} +dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}+ dfrac{1}{5}+ dfrac{1}{6 } , dfrac{1}{7}+ …$, es un ejemplo de una serie armónica.

Continuemos y definamos formalmente la secuencia armónica y la serie.

Definición de serie armónica

Las secuencias armónicas son sucesiones que contienen términos que son los inversos de los términos de una sucesión aritmética.

Digamos que tenemos una secuencia aritmética con un término inicial de $a$ y una diferencia común de $d$; tenemos los siguientes términos que forman la serie aritmética como se muestra a continuación.

begin{alineado}{a , (a + d) , (a + 2d) , … , [a + (n – 1)d]}end{alineado}

Esto significa que los términos de la secuencia armónica serán como se muestra a continuación.

begin{alineado}left{dfrac{1}{a} , dfrac{1}{(a + d)} , dfrac{1}{(a + 2d)}, … , dfrac{1 }{[a + (n – 1)d]}right}end{alineado}

Esto muestra que el denominador de los términos de una secuencia armónica compartirá una diferencia común entre dos términos consecutivos.

Ahora bien, cuando hablamos de serie armónica, nos referimos a la suma de los términos de una secuencia armónica.

Usemos esta definición y las expresiones dadas arriba para encontrar las expresiones algebraicas y la fórmula de una serie armónica.

fórmula de la serie armónica

Dado que la suma para la aritmética se puede expresar como $S_n = a + (a + d) +(a + 2d) + … + [a + (n – 1)d]PS Esto significa que la suma de la serie armónica es como se muestra a continuación.

begin{alineado}S_n &= dfrac{1}{a} + dfrac{1}{(a + d)} + dfrac{1}{(a + 2d)}+ …+ dfrac{1} {[a + (n – 1)d]}end{alineado}

Esto significa que el término n de una serie armónica es igual a $dfrac{1}{a + (n – 1)d}$.

Se puede demostrar que la suma de la serie armónica se puede aproximar en términos de $a$, $d$ y $n$ como se muestra a continuación.

begin{alineado}S_n &approx dfrac{1}{d} ln left(dfrac{2a + (2n – 1)d}{2a – d}right)end{alineado}

Tenga en cuenta que esto solo es posible cuando $2a neq d$ y $d neq 0$.

¿Existe convergencia de series armónicas?

Una de las primeras pruebas que aprendimos es la prueba del n-ésimo término. Recuerda que cuando tenemos $ sumlimits_{n=1}^{infty} a_n$, si $lim_{n rightarrow infty} a_n neq 0$, la serie es divergente.

Veamos qué sucede cuando tenemos $sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$, podemos verificar la serie encontrando el límite de $dfrac{1}{ n }$ ya que $n$ tiende a infinito.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} dfrac{1}{n} &= lim_{n rightarrow infty}dfrac{1}{infty} \&= 0end{ alineado}

¿Significa esto que la serie armónica es convergente? Recuerde que en la prueba del n-ésimo término, un resultado de $0$ no garantiza la convergencia.

También podemos establecer que esta serie no es absolutamente convergente utilizando la prueba de comparación como se analiza en la siguiente sección.

¿Cómo probar la divergencia de la serie armónica?

¿Qué pasaría si tuviéramos una serie armónica infinita? ¿Cómo se comporta la suma cuando añadimos más términos a la serie?

Digamos que tenemos $ sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$, podemos intentar escribir los primeros términos y ver cómo progresan sus sumas.

Después $boldsymbol{n}$ Número de términos

Suma parcial para $boldsymbol{n}$ condiciones

$dfrac{1}{1}$

$1$

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}$

$dfrac{3}{2} = $1,5

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}$

$dfrac{11}{6} alrededor de $1,83

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}$

$dfrac{25}{12} alrededor de $2,08

$dfrac{1}{1} + dfrac{1}{2}+ dfrac{1}{3}+ dfrac{1}{4}+ dfrac{1}{5}$

$dfrac{137}{60} alrededor de $2,28

De estas tablas de valores, podemos ver que las sumas parciales aumentan a medida que se agregan más términos. La intuición nos dice que, en cambio, la serie armónica podría ser divergente. Usamos diferentes pruebas para demostrarlo, pero ¿por qué no aplicamos la prueba de comparación para esta sección?

Recuerda que cuando tenemos $0 leq a_n leq b_n$ y si $sum_{n=1}^{infty}a_n$ es divergente, la serie, $sum_{n=1}^{infty}b_n $, también es divergente.

Digamos que tenemos $a_n = dfrac{1}{n}$ y $b_n = n$, está claro que $a_n$ siempre será menor o igual que $n$ cuando $n$ es positivo.

Dado que $sum_{n=1}^{infty}b_n$ es divergente (y ciertamente no convergente), podemos decir que la serie armónica, $sum_{n=1}^{infty}a_n$, es también divergente.

¿Por qué no aplicamos todo lo que hemos aprendido hasta ahora: encontrar los términos de una serie armónica, encontrar la suma de la serie y probar la divergencia de una serie armónica?

Ejemplo 1

Los términos primero y séptimo de una secuencia armónica son $dfrac{1}{6}$ y $dfrac{1}{12}$. Encuentra los cinco términos entre estos dos términos.

Solución

Podemos volver a la definición de la secuencia armónica: contiene los términos resultantes cuando tomamos el inverso de los términos de una secuencia aritmética.

Esto significa que la sucesión aritmética en la que nos basamos tendrá el primer término $6$ y el séptimo término $12$.

La diferencia común de esta sucesión será igual a $dfrac{12 – 6}{6} = 1$, por lo que los siguientes cinco términos se pueden determinar sumando $1$ al término anterior.

begin{alineado}a_1 &= 6\a_2&= 7\ a_3 &= 8\a_4 &= 9\a_5 &= 10\a_6 &= 11\a_7 &= 12end{alineado}

Ahora que tenemos todos los términos de la secuencia aritmética, tomamos los recíprocos de los términos para encontrar los cinco términos faltantes de nuestra secuencia armónica.

Por lo tanto, tenemos cinco términos de series armónicas: $left{dfrac{1}{7}, dfrac{1}{8}, dfrac{1}{9}, dfrac{1}{8} , dfrac{1}{9},dfrac{1}{10},dfrac{1}{11} right}$.

Ejemplo 2

Completa los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

una. La serie armónica es una serie _____________.
B. El límite del enésimo término de una serie armónica que tiende al infinito es igual a ___________.

contra La suma parcial de los términos de una serie armónica se vuelve ___________ porque la serie incluye más términos.

Solución

Como probamos usando la prueba de comparación, la serie armónica tal que $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$ es divergir. Podemos usar cualquier serie divergente y con un n-ésimo término mayor que $dfrac{1}{n}$ para probar la divergencia de esta serie.

El término n-ésimo de la serie armónica generalmente es equivalente a $dfrac{1}{a + (n – 1)d}$, donde $a$ y $d$ son constantes. Podemos evaluar $lim_{nrightarrowinfty} a a_n$ como se muestra a continuación.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{1}{a + (n – 1)d} &= lim_{n rightarrow infty} dfrac{1}{infty} &= 0end{alineado}

Esto muestra que el límite de los n-ésimos términos es igual a cero a medida que nos acercamos al infinito.

De la tabla de valores que tenemos en el apartado anterior, podemos ver que su suma parcial aumenta a medida que agregamos más términos a la serie.

También tiene sentido ya que cuantos más términos agregamos, más se acerca la serie al infinito.

Ejemplo 3

Como $left{dfrac{1}{8}, dfrac{1}{10}, dfrac{1}{12}, ….right}$ es una serie armónica, responde las siguientes preguntas:

una. ¿Cuáles son los siguientes tres términos de la serie?
B. Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta serie armónica.
contra ¿Cuál es la expresión del término n de la serie?
D. ¿Esta serie es divergente o convergente? Justifique su respuesta.

Solución

Mirando los denominadores, $8 rightarrow 10 rightarrow 12$, podemos ver que la diferencia común, $d$, es igual a $2$. Esto significa que podemos encontrar los siguientes dos términos simplemente sumando los denominadores por $2$ cada vez.

begin{alineado}a_4 &= dfrac{1}{14}\a_5 &= dfrac{1}{16}\a_6 &= dfrac{1}{18} end{alineado}

una. Por lo tanto, los siguientes tres términos de la serie son $dfrac{1}{14}$, $dfrac{1}{16}$ y $dfrac{1}{18}$.

Sumando los seis términos, tenemos:

begin{alineado}S_6 &= dfrac{1}{8} + dfrac{1}{10} + dfrac{1}{12}+ dfrac{1}{14} + dfrac{1}{ 16} + dfrac{1}{18}\&= dfrac{2509}{5040}\&alrededor de 0,50end{alineado}

B. La suma de los seis términos es aproximadamente igual a $0.50.

Como tenemos $a = 8$ y $d = 2$, podemos expresar el enésimo término de esta serie usando la fórmula, $a_n = dfrac{1}{a + (n – 1)d}$.

begin{alineado}a_n &= dfrac{1}{8 + (n – 1)2}\&= dfrac{1}{8 + 2n – 2}\&= dfrac{1}{2n + 6} end{alineado}

contra El término n-ésimo de la serie armónica se puede expresar como $dfrac{1}{2n + 6}$.

Usemos la prueba de comparación para verificar si la serie es divergente o convergente.

Observe que cuando $n$ es positivo, $2n$ siempre será menor que $2n + 6$. Además, $n$ siempre será inferior a $2n$.

Cuando tomamos sus recíprocos, la desigualdad se invierte ya que cuanto menor es el denominador, mayor es la fracción.

begin{alineado}n < 2n < 2n + 6\ dfrac{1}{n} > dfrac{1}{2n} > dfrac{1}{2n + 6}end{alineado}

¿Porque es esto importante? Porque podemos usar $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n}$ para mostrar que $sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{2n + 6}$ es divergente. Recuerda que cuando tenemos $0 leq a_n leq b_n$ y si $sum_{n=1}^{infty}a_n$ es divergente, la serie, $sum_{n=1}^{infty}b_n $, también es divergente.

  • Hemos demostrado en el pasado que la serie armónica, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{n}$, es una serie divergente.
  • Como $dfrac{1}{n} > dfrac{1}{2n + 6}$, podemos decir que la serie $sum_{n=1}^{infty} dfrac{1}{2n + 6}$, también es divergente.

D. Esto justifica nuestra respuesta: que la serie dada es divergente.

Prueba del enésimo período – Condiciones, explicación y ejemplos

Prueba del enésimo período – Condiciones, explicación y ejemplos

La prueba del n-ésimo término es una técnica útil que podemos aplicar para predecir cómo se comporta una secuencia o serie a medida que los términos se hacen más grandes. Es importante para nosotros predecir cómo se comportan las sucesiones y series en matemáticas superiores y si convergen o divergen.

La prueba del n-ésimo término es una técnica que utiliza el último término de la serie para determinar si la secuencia o serie es convergente o divergente.

Este artículo le mostrará cómo puede aplicar la prueba del término n en una serie o secuencia determinada. Asegúrese de repasar su conocimiento de los siguientes temas, ya que los necesitaremos para determinar si una serie dada es divergente o convergente:

Por ahora, avancemos y entendamos cuándo la prueba del término n es más útil y cuándo no. También repasaremos nuestro conocimiento de la divergencia y la convergencia, ¡así que comencemos por comprender la definición de la prueba del término n-ésimo!

¿Qué es la prueba del enésimo término?

La prueba del n-ésimo término nos ayuda a predecir si una sucesión o serie dada es divergente o convergente. Usamos el término $n$ésimo de la sucesión para determinar su naturaleza, de ahí su nombre.

Antes de sumergirse directamente en el método en sí, ¿por qué no continuar y revisar lo que sabemos sobre las sucesiones divergentes y convergentes?

  • una secuencia es divergir cuando los valores de la secuencia no se estabilizan a medida que la secuencia se acerca al infinito.
  • Se dice que una secuencia es convergente a medida que los valores de la secuencia se estabilizan o se acercan a un valor a medida que la secuencia se acerca al infinito.

La prueba del n-ésimo término utiliza el límite de la suma de la secuencia para predecir si la secuencia diverge o converge.

  • Al usar la prueba del término n, necesitaremos expresar el último término, $a_n$ en términos de $n$.
  • Necesitaremos encontrar el valor límite de $a_n$ cuando $n$ se acerque al infinito.
  • El valor de $lim_{xrightarrow infty}a_n$ determinará si la secuencia o serie converge o diverge.

Las siguientes secciones nos mostrarán cómo usar la prueba del n-ésimo término para determinar si una serie dada es divergente o no.

¿Cuál es la prueba del enésimo término para la divergencia?

De acuerdo con la prueba del n-ésimo término, una sucesión es divergente cuando la sucesión tiende a un valor distinto de cero mientras que el último término de la sucesión tiende a infinito (por término).

Digamos que tenemos una secuencia, ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n -1}, a_n}$. La serie formada por su suma se puede expresar como $a_1 + a_2 + … + a_{n-1} + a_n$ o $sum_{n=1}^{infty} a_n$.

Si $lim_{xrightarrow infty}a_n$ es igual a un número diferente de cero, decimos que $sum_{n=1}^{infty} a_n$ es divergente.

Esto tiene sentido ya que los valores no se conforman con series divergentes (crecientes o decrecientes); la secuencia en el infinito nunca debe ser cero.

¿Cuál es la prueba del enésimo término para la convergencia?

Ahora, ¿qué sucede cuando la prueba del término n devuelve un valor de cero?

Cuando $lim_{xrightarrow infty}a_n = 0$ la suma de la serie, $sum_{n=1}^{infty} a_n$, puede o no converger.

¿Qué significa esto para nuestra secuencia o serie? Tendremos que usar otras pruebas como una prueba de comparación o una prueba de series alternas. Pero eso es para otro artículo. Limitaremos nuestra discusión a confirmar que es posible que necesitemos usar otra prueba para las pruebas convergentes.

¿Cuándo usar la prueba del enésimo término?

Existen diferentes pruebas de divergencia y convergencia, pero esta prueba es la primera que se realiza para decirnos si la serie o secuencia es fácilmente divergente.

  • Tenga en cuenta que la prueba del n-ésimo término nos ayuda a eliminar el resto de las pruebas verificando primero si la secuencia es divergente.
  • Use la condición discutida anteriormente para concluir si la secuencia es divergente o si necesitamos usar otras pruebas para verificar si la secuencia es convergente.

Como se mencionó en este artículo, saber cómo evaluar los límites a medida que las funciones y expresiones se aproximan al infinito es fundamental cuando se utiliza la prueba del término n. Asegúrese de revisar sus notas sobre los límites o haga clic en los enlaces que proporcionamos en las secciones anteriores.

Por ahora, eso es todo lo que necesitamos saber sobre la prueba del enésimo trimestre. Es hora de que verifiquemos nuestros conocimientos y apliquemos lo que aprendimos en la prueba del noveno trimestre. Pruebe los problemas a continuación y vea si una secuencia dada diverge o no.

Ejemplo 1

Determina si la sucesión $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27…$ diverge usando la prueba del término n.

Solución

En primer lugar, ayuda si podemos identificar si la secuencia es algo que aprendimos en el pasado. Comprobando la diferencia entre dos términos consecutivos, tenemos:

$7 – 3 = $4

$19 – 15 = $4

$11 – 7 = $4

$23 – 19 = $4

$15 – 11 = $4

$27 – 23 = $4

Podemos ver que los términos de la sucesión comparten una diferencia común de $4$, por lo que la sucesión es, de hecho, una sucesión aritmética.

Podemos expresar el último término, $a_n$, en términos de $n$ usando la fórmula de secuencia aritmética, $a_n = a_1 + (n-1)d$.

begin{alineado} a_n &= a_1 + (n-1)d\&=3 + (n – 1)4\&=3 + 4n – 4\&= 4n – 1end{alineado}

Tomando el límite de $a_n$ cuando se acerca al infinito, tenemos el siguiente resultado.

begin{alineado} lim_{n rightarrow infty }4n – 1 &= infty\&neq 0end{alineado}

Podemos ver que el límite del $n$ésimo término, $a_n$ cuando $n$ tiende a $infty$ no es igual a $0$, por lo que la sucesión diverge.

Aquí hay un hecho divertido para ti: las series y secuencias aritméticas, en general, son divergentes. ¿Por qué no intentas probarlo por ti mismo?

Ejemplo 2

Determina si la serie, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{n + 4}{5n – 1}$, es divergente.

Solución

Recuerda que la prueba del enésimo término puede ayudarnos a determinar si la serie es divergente comprobando el límite de $a_n$ como $n rightarrow infty$.

Podemos encontrar el límite de la expresión multiplicando primero el numerador y el denominador por $dfrac{1}{n}$.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{n + 4}{5n – 1} &= lim_{nrightarrow infty}dfrac{n + 4}{5n – 1} cdot dfrac{dfrac{1}{n}}{dfrac{1}{n}}\&= lim_{nrightarrow infty}dfrac{1 + dfrac{4}{n}} {5 – dfrac{1}{n}}end{alineado}

Recuerda que $lim_{nrightarrow infty} dfrac{k}{n} = 0$, donde $k$ puede ser cualquier constante real. Por lo tanto, ahora podemos evaluar el límite de la expresión.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{1 + dfrac{4}{n}}{5 – dfrac{1}{n}} &= dfrac{1 + 0}{ 5 – 0}\&= dfrac{1}{5}end{alineado}

Dado que el límite del enésimo término $a_n$ es igual a $dfrac{1}{3}$ (y por lo tanto no es igual a $0$), la serie no es divergente.

Ejemplo 3

¿Verdadero o falso? Podemos mostrar que la serie, $sum_{n=1}^{infty} dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2}$, es convergente a través de la n-ésima serie de términos.

Solución

Aplicaremos un enfoque similar evaluando primero $lim_{n rightarrow infty} dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2}$. Podemos comenzar multiplicando el numerador y el denominador por $dfrac{1}{n^2}$.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{3n^2 – 3}{4n^4 +2} &= lim_{nrightarrow infty}dfrac{3n^2 – 3} {4n^4 +2} cdot dfrac{dfrac{1}{n^2}}{dfrac{1}{n^2}}\&=lim_{nrightarrow infty}dfrac {3 – 3}{4n^2 +dfrac{2}{n^2}}end{alineado}

Simplifique aún más la expresión y use el hecho de que $lim_{nrightarrow infty} dfrac{2}{n^2} = 0$.

begin{alineado}lim_{nrightarrow infty}dfrac{3 – 3}{4n^2 +dfrac{2}{n^2}} &= dfrac{0}{infty + 0} \&= dfrac{0}{infty}\&=0end{alineado}

Como el límite del enésimo término de la serie es $0$, la sucesión es no divergente. Pero, este resultado no puede concluir para nosotros si la serie es convergente. Tendremos que usar pruebas avanzadas para esto.

De donde, la afirmación es falsa, y necesitaremos otra prueba para confirmar que la serie es convergente.

Ejemplo 4

Usa el hecho de que $f(n) = dfrac{4n^4 – 5n^2 + 3n – 4}{n^5 – 6n^4 – 12n^2 + 2n + 6}$?

una. ¿Qué es $lim_{n rightarrow infty} f(n)$ ?
B. Usando el resultado de 4a, ¿qué puedes decir sobre $sum_{n=1}^{infty} f(n)$?

Solución

Para encontrar el límite de la función cuando se acerca al infinito, podemos multiplicar el numerador y el denominador de la expresión por $dfrac{1}{n^5}$.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} f(x) &= lim_{n rightarrow infty} dfrac{4n^4 – 5n^2 + 3n – 4}{n^5 – 6n ^4 – 12n^2 + 2n + 6} cdot dfrac{dfrac{1}{n^5}}{dfrac{1}{n^5}}\&=lim_{n rightarrow infinito} dfrac{dfrac{4}{n} – dfrac{5}{n^3} + dfrac{3}{n^4} – dfrac{4}{n^5}}{1 – dfrac{6}{n} – dfrac{12}{n^3} + dfrac{2}{n^4} + dfrac{6}{n^5}} end{alineado}

Recuerda que el límite de las expresiones racionales cuando su variable tiende a infinito es igual a cero. Utilice este hecho para evaluar el límite de $f(x)$ cuando $n$ se acerca a $infty$.

begin{alineado}lim_{n rightarrow infty} f(x) &=dfrac{0 -0 + 0 – 0}{1 – 0 – 0 + 0 + 0}\&= dfrac{0 {1}\&= 0 end{alineado}

una. Esto significa que el límite de $f(x)$ cuando se acerca al infinito es igual a $0$.

La prueba del n-ésimo término se utiliza para confirmar si una serie es divergente cuando el límite del n-ésimo término no es igual a cero. Pero hemos confirmado que $lim_{n rightarrow infty} f(x) = 0$, por lo que $sum_{n=1}^{infty} f(x)$ no es divergente.

Aparte de eso, no podemos concluir si la sucesión es convergente o no. Tendremos que usar más pruebas para confirmar esto.

B. Por ahora, lo que podemos concluir es que $sum_{n=1}^{infty} f(x)$ no será divergente.

Diferencia común: fórmula, explicación y ejemplos

Diferencia común: fórmula, explicación y ejemplos

Aprender más sobre las diferencias comunes puede ayudarnos a comprender y observar mejor los patrones. Cuando trabajamos con sucesiones y series aritméticas, será inevitable que no discutamos la diferencia común.

La diferencia común refleja cómo difiere cada par de dos términos consecutivos de una serie aritmética.

En este artículo, entenderemos el importante papel que juega la diferencia común de una secuencia dada. Descubriremos ejemplos y consejos sobre cómo detectar diferencias comunes en una secuencia determinada.

También exploraremos diferentes tipos de problemas que destacan el uso de diferencias comunes en secuencias y series. Es por esto que repasando lo que hemos aprendido sobre sucesiones aritméticas es esencial.

Por ahora, comencemos por entender cómo las diferencias comunes afectan los términos de una sucesión aritmética.

¿Cuál es la diferencia común?

La diferencia común es un elemento esencial en la identificación de sucesiones aritméticas. Son la diferencia constante compartida compartida entre dos términos consecutivos.

¿Por qué no echar un vistazo a los dos ejemplos a continuación?

common difference examples

¿Por qué no echar un vistazo a los dos ejemplos a continuación?

  • Para la primera secuencia, cada par de términos consecutivos comparte una diferencia común de $4$.
  • La segunda secuencia muestra que cada par de términos consecutivos comparte una diferencia común de $d$.

En general, cuando se da una sucesión aritmética, esperamos que la diferencia entre dos términos consecutivos permanezca constante a lo largo de la sucesión.

Definición de diferencia común

Digamos que tenemos una secuencia aritmética, ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n-1}, a_n}$, esta secuencia solo será una secuencia aritmética si y solo si cada par de términos consecutivos compartirá el la misma diferencia.

Llamamos a esto la diferencia común y normalmente se etiqueta como $d$. Esto quiere decir que si ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n-1}, a_n}$ es una secuencia aritmética, tenemos esto:

begin{alineado} a_2 – a_1 &= d\ a_3 – a_2 &= d\.\.\.\a_n – a_{n-1} &=d end{alineado}

Podemos usar la definición que discutimos en esta sección para encontrar la diferencia común compartida por los términos de una secuencia aritmética dada.

¿Cómo encontrar la diferencia común?

Cuando damos algunos términos consecutivos de una sucesión aritmética, encontramos el común diferencia compartida entre cada par de términos consecutivos.

Digamos que tenemos ${8, 13, 18, 23, …, 93, 98}$. Podemos encontrar la diferencia común restando términos consecutivos. También podemos confirmar que la sucesión es una sucesión aritmética si podemos demostrar que hay una diferencia común.

begin{alineado} 13 – 8 &= 5\ 18 – 13 &= 5\23 – 18 &= 5\.\.\.\98 – 93 &= 5end{alineado}

Esto muestra que la sucesión tiene una diferencia común de $5$ y confirma que es una sucesión aritmética.

También podemos encontrar el quinto término de la sucesión sumando $23$ a $5, por lo que el quinto término de la sucesión es $23 + 5 = $28.

¿Qué pasa si recibimos información limitada y necesitamos la diferencia común de una secuencia aritmética?

Fórmula de diferencia común

Es posible que no siempre tengamos múltiples términos de la secuencia que observamos. Sin embargo, todavía podemos encontrar la diferencia común de los términos de una secuencia aritmética utilizando los diferentes enfoques que se indican a continuación.

Aquí hay algunas fórmulas útiles para tener en cuenta y compartiremos algunos consejos útiles sobre cuándo es mejor usar una fórmula en particular.

$d = a_{k + 1}– a_k$

Esta fórmula para la diferencia común es más útil cuando tenemos dos términos consecutivos, $a_{k + 1}$ y $a_k$. Esto también muestra que, dados $a_k$ y $d$, podemos encontrar el siguiente término usando $a_{k + 1} = a_k + d$.

$d = dfrac{a_n – a_1}{n – 1} $

Esta fórmula para la diferencia común se aplica mejor cuando solo conocemos el primer y el último término, $a_1 y a_n$, de la sucesión aritmética y el número total de términos, $n$.

Aprenderemos cómo aplicar estas fórmulas en los problemas que siguen, así que asegúrese de revisar sus notas antes de sumergirse directamente en los problemas que se presentan a continuación.

Ejemplo 1

Encuentra la diferencia común de las siguientes sucesiones aritméticas.

una. ${4, 11, 18, 25, 32, …}$
B. ${-20, -24, -28, -32, -36, …}$
contra $izquierda{dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}, dfrac{5}{2}, dfrac{7}{2}, dfrac{9}{2}, … derecho}$
D. $izquierda{-dfrac{3}{4}, -dfrac{1}{2}, -dfrac{1}{4},0,…derecha}$

Solución

Cada sucesión aritmética contiene una serie de términos, por lo que podemos usarlos para encontrar la diferencia común restando cada par de términos consecutivos.

Comencemos con ${4, 11, 18, 25, 32, …}$:

begin{alineado} 11 – 4 &= 7\ 18 – 11 &= 7\25 – 18 &= 7\32 – 25&= 7\.\.\.\d&= 7end {alineado}

Esto significa que el la diferencia común es igual a $7.

Pasando a ${-20, -24, -28, -32, -36, …}$, tenemos:

begin{alineado} -24 – (-20) &= -4\ -28 – (-24) &= -4\-32 – (-28) &= -4\-36 – (-32 ) &= -4\.\.\.\d&= -4end{alineado}

Por lo tanto, la segunda secuencia la diferencia común es igual a $-4$.

Vamos y comprobamos $left{dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}, dfrac{5}{2}, dfrac{7}{2}, dfrac{9 } {2}, … derecha}$:

begin{alineado} dfrac{3}{2} – dfrac{1}{2} &= 1\ dfrac{5}{2} – dfrac{3}{2} &= 1\ dfrac{7}{2} – dfrac{5}{2} &= 1\ dfrac{9}{2} – dfrac{7}{2} &= 1\.\.\. \d&= 1end{alineado}

Esto significa que la tercera secuencia tiene un la diferencia común es igual a $1$.

Travailler sur la dernière suite arithmétique,$left{-dfrac{3}{4}, -dfrac{1}{2}, -dfrac{1}{4},0,…right}$ ,se tiene:

begin{alineado} -dfrac{1}{2} – left(-dfrac{3}{4}right) &= dfrac{1}{4}\ -dfrac{1}{4 } – left(-dfrac{1}{2}right) &= dfrac{1}{4}\ 0 – left(-dfrac{1}{4}right) &= dfrac {1}{4}\.\.\.\d&= dfrac{1}{4}end{alineado}

Por lo tanto, la cuarta sucesión aritmética tendrá un diferencia común de $dfrac{1}{4}$.

Ejemplo 2

¿Cuál de los siguientes términos no puede ser parte de una sucesión aritmética?
una. $11, 14, 17$
B. $-36, -39, -42$
c.$-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{5}{2}$
D. $-4 dfrac{1}{4}, -2 dfrac{1}{4}, dfrac{1}{4}$

Solución

Como mencionamos, la diferencia común es un identificador esencial de las sucesiones aritméticas. Si la secuencia de términos comparte una diferencia común, pueden ser parte de una secuencia aritmética.

De $11, $14, $17 tenemos $14 – 11 = $3 y $17 – 14 = $3. Esto demuestra que las tres secuencias de términos comparten una diferencia común al ser parte de una secuencia aritmética.

Pasando a $-36, -39, -$42, tenemos $-39 – (-36) = -$3 y $-42 – (-39) = -$3. Esto significa que también pueden ser parte de una secuencia aritmética.

En cuanto a $-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}$, tenemos $dfrac{1}{2} – left(-dfrac {1}{2}right) = 1$ y $dfrac{5}{2} – dfrac{1}{2} = 2$. Como sus diferencias son diferentes, no pueden ser parte de una secuencia aritmética.

Para el cuarto grupo, $-4 dfrac{1}{4}, -2 dfrac{1}{4}, dfrac{1}{4}$, podemos ver que $-2 dfrac{1} {4} – left(- 4 dfrac{1}{4}right) = 2$ y $- dfrac{1}{4} – left(- 2 dfrac{1}{4}right ) = $2. Esto significa que los tres términos también pueden ser parte de una secuencia aritmética.

Entonces $-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{5}{2}$ nunca puede ser parte de una sucesión aritmética.

Ejemplo 3

El primer y último término de una sucesión aritmética son respectivamente $9$ y $14$. Si la sucesión contiene términos $100$, ¿cuál es el segundo término de la sucesión?

Solución

Cuando se nos da el primer y último término de una secuencia aritmética, podemos usar la fórmula, $d = dfrac{a_n – a_1}{n – 1}$, donde $a_1$ y $a_n$ son el primer y último término de la secuencia También tenemos $n = 100$, así que avancemos y encontremos la diferencia común, $d$.

begin{alineado}d &= dfrac{a_n – a_1}{n – 1}\&=dfrac{14 – 5}{100 – 1}\&= dfrac{9}{99}\ &= dfrac{1}{11}end{alineado}

El primer y segundo término también deben compartir una diferencia común de $dfrac{1}{11}$, por lo que el segundo término es igual a $9 dfrac{1}{11}$ o $dfrac{100}{11 } PS

Ejemplo 4

Considere la secuencia aritmética, ${4a + 1, a^2 – 4, 8a – 4, 8a + 12,… }$, ¿qué podría ser $a$?

Solución

Para que la sucesión, ${4a + 1, a^2 – 4, 8a – 4, 8a + 12,… }$, sea una sucesión aritmética, deben compartir una diferencia común.

La diferencia común entre los términos tercero y cuarto se da a continuación.

begin{alineado}8a + 12 – (8a – 4)&= 8a + 12 – 8a – (-4)\&=0a + 16\&= 16end{alineado}

En términos de $a$, también tenemos la diferencia común del primer y segundo término que se dan a continuación.

begin{alineado}a^2 – 4 – (4a +1) &= a^2 – 4 – 4a – 1\&=a^2 – 4a – 5end{alineado}

Como todos estos términos pertenecen a una sucesión aritmética, las dos expresiones deben ser iguales. Ponga los dos juntos y resuelva para $a$.

begin{alineado}a^2 – 4a – 5 &= 16\a^2 – 4a – 21 &=0 \(a – 7)(a + 3)&=0\\a&=7 a&=-3end{alineado}

Esto significa que $a$ puede ser $-3$ o $7$.

Secuencia recursiva – patrón, fórmula y explicación

Secuencia recursiva – patrón, fórmula y explicación

Podemos observar patrones en nuestra vida diaria: desde la cantidad de pétalos de girasol hasta los copos de nieve, todos exhiben patrones. Podemos modelar matemáticamente la mayoría de estos patrones utilizando funciones y secuencias recursivas.

Las sucesiones recursivas son sucesiones cuyos términos se basan en el valor del término anterior para encontrar el valor del siguiente término.

Uno de los ejemplos más conocidos de secuencias recursivas es la secuencia de Fibonacci. Este artículo discutirá la secuencia de Fibonacci y por qué la consideramos una secuencia recursiva.

También aprenderemos a identificar secuencias recursivas y los patrones que exhiben. También lo aplicaremos para predecir los siguientes términos de una secuencia recursiva y aprenderemos a generalizar patrones algebraicamente.

Empecemos por entender la definición de sucesiones recursivas.

¿Qué es una secuencia recursiva?

Las secuencias recursivas no son tan simples como las secuencias aritméticas y geométricas. Esto se debe a que se basa en un patrón o regla en particular y el siguiente término dependerá del valor del término anterior.

Echemos un vistazo a la secuencia de Fibonacci que se muestra a continuación. Tómese el tiempo para observar los términos y adivinar cómo progresan.

understanding recursive sequences

Podemos ver que para esta secuencia empezamos con dos $1$. Estos dos términos son cruciales para predecir el tercer término: para encontrar el tercer término; tenemos que sumar los dos valores.

Luego, para encontrar el cuarto término, sumamos el segundo y el tercer término. Sí, para el quinto término, sumamos el cuarto término por el tercer término.

Esto significa que los siguientes tres términos se muestran a continuación:

begin{alineado}8 + 13 &= color{azul}21\13 + 21 &= color{azul}43\43 + 21 &= color{azul}64end{alineado}

En las siguientes secciones, volveremos a este ejemplo y comprenderemos mejor qué constituye una secuencia recursiva. Pero por ahora, le mostramos cómo se pueden modelar patrones más complicados como secuencias recursivas y por qué es importante para nosotros comprender cómo funcionan estas secuencias.

¿Cómo resolver sucesiones recursivas?

Dado que las reglas de las sucesiones recursivas varían entre sí, es casi imposible crear un patrón general que se aplique a todas las sucesiones recursivas, a diferencia de las sucesiones aritméticas o geométricas.

En cambio, es útil observar los patrones exhibidos por una secuencia dada y usar los valores iniciales para crear una regla que se pueda aplicar a la secuencia.

Como guía, ¿por qué no continuar y revisar la definición de secuencias recursivas e intentar construir fórmulas de secuencias recursivas a partir de los patrones que observamos?

Definición de secuencia recursiva

Como se mencionó, las sucesiones recursivas dependen del término precedente y de las reglas observadas para la sucesión particular. Aquí hay algunos ejemplos de secuencias recursivas y las reglas que siguen:

secuencia recursiva

Fórmula de secuencia recursiva

${1, 3, 7, …}$

$left{begin{matriz}a_1 = 1phantom{xxxxxxx}\a_n = 2a_{n-1} + 1 end{matriz}right.$

${2, 9, 30, …}$

$left{begin{matriz}a_1 = 1phantom{xxxxxxx}\a_n = 3a_{n-1} + 3 end{matriz}right.$

Como podemos ver, por los dos ejemplos, las reglas varían para cada secuencia e incluso podemos observar varios modelos para una secuencia.

También podemos ejecutar secuencias dada la fórmula de secuencia recursiva. Usamos el término anterior y evaluamos el valor del siguiente término usando las reglas o patrones dados.

Fórmula de secuencia recursiva

Cuando se da una secuencia recursiva, podemos predecir y establecer sus fórmulas y reglas.

  • Un valor inicial como $a_1$.
  • Un patrón o ecuación en términos de $a_{n – 1}$ o incluso $a_{n -2}$ que se aplica a lo largo de la secuencia.
  • Podemos expresar la regla en términos de $a_{n -1}$.

Antes de establecer una fórmula de secuencia recursiva, practiquemos la determinación de los siguientes términos de una secuencia recursiva dada su fórmula.

¿Por qué no intentar encontrar los siguientes tres términos de ${1, 3, 7, …}$ y ${2, 9, 30, …}$?

Para ${1, 3, 7, …}$, usemos la regla, $ a_n = 2a_{n-1} + 1$:

$boldsymbol{a_4}$

$boldsymbol{a_5}$

$boldsymbol{a_6}$

begin{alineado}a_4 &= 2a_3 + 1\&= 2(7) + 1\&= 15 end{alineado}

begin{alineado}a_5 &= 2a_4 + 1\&= 2(15) + 1\&= 31 end{alineado}

begin{alineado}a_6 &= 2a_5 + 1\&= 2(31) + 1\&= 63 end{alineado}

Esto muestra que siempre que tengamos el término anterior y conozcamos la regla de la secuencia recursiva, podemos predecir los términos que siguen. Avancemos y hagamos esto para ${2, 9, 30, …}$ sabiendo que $a_n = 3a_{n-1} + 3$.

$boldsymbol{a_4}$

$boldsymbol{a_5}$

$boldsymbol{a_6}$

begin{alineado}a_4 &= 3a_3 + 3\&= 3(30) + 3\&= 93 end{alineado}

begin{alineado}a_5 &= 3a_4 + 3\&= 3(93) + 3\&= 282 end{alineado}

begin{alineado}a_6 &= 3a_5 + 3\&= 3(282) + 3\&= 849 end{alineado}

Pero, ¿y si no nos dan las reglas para la secuencia recursiva? Será útil comenzar observando los primeros términos de los patrones. Luego usamos estos términos para encontrar una regla para toda la secuencia.

Volvamos a la sucesión de Fibonacci que observamos: ${1, 1, 2, 3, 5, 8, …}$. Podemos comenzar con el hecho de que el tercer término suma los términos primero y segundo.

Como vimos en la sección anterior, este patrón continúa para cada conjunto de tres términos. Podemos establecer una regla en términos de $a_{n-2}$, $a_{n-1}$ y $a_n$:

begin{alineado}a_n = a_{n-2} + a_{n – 1}end{alineado}

Este patrón solo será cierto si tenemos $a_1 = 1$ y $a_2 = 2$. Por lo tanto, podemos establecer aún más el general al incluir los valores iniciales como se muestra a continuación.

$left{begin{matrix}a_1 = 1phantom{xxxxxxxxx}\a_2 =1phantom{xxxxxxxxx}\a_n = a_{n -2} + a_{n – 1} end{matrix} right.$

¿Estás listo para probar otros problemas que involucran secuencias recursivas? Asegúrese de revisar sus notas antes de probar estos ejemplos a continuación.

Ejemplo 1

¿Cuál es el quinto término de la sucesión recursiva definida por las siguientes reglas: $a_1 = 4$ y $a_n = -2a_{n – 1} + 4$?

Solución

Usaremos el valor de $a_1$ y la expresión de $a_n$ para encontrar el valor de $a_2$.

begin{alineado}a_2 &= -2a_1 +4 \&=-2(4) + 4\&= -8 + 4\&= -4end{alineado}

Repetimos un proceso similar para encontrar los siguientes tres términos: usando el término anterior en la fórmula, como se muestra a continuación.

$boldsymbol{a_3}$

$boldsymbol{a_4}$

$boldsymbol{a_5}$

begin{alineado}a_3 &= -2a_2 +4 \&=-2(-4) + 4\&= 8 + 4\&= 12end{alineado}

begin{alineado}a_4 &= -2a_3 +4 \&=-2(12) + 4\&= -24 + 4\&= -20end{alineado}

begin{alineado}a_5 &= -2a_5 +4 \&=-2(-20) + 4\&= 40 + 4\&= 44end{alineado}

Así, el quinto término de la sucesión es igual a $44$.

Ejemplo 2

Escribe los primeros seis términos en la secuencia que sigue a la siguiente fórmula recursiva.

$left{begin{matriz}a_1 = 0\a_2 = 1\a_3 = 1\a_n = dfrac{2a_{n – 1}}{a_{n – 2}}end{matriz} right.$

Solución

Empecemos por entender qué significa $a_n = dfrac{2a_{n – 1}}{a_{n – 2}}$. A partir de esta fórmula podemos ver que el término n de esta secuencia recursiva en particular puede determinarse encontrando la razón de los dos últimos términos y multiplicando el resultado por $2$.

Si queremos los primeros seis términos, ya tenemos los primeros tres términos y solo necesitamos los tres términos restantes: $a_4$, $a_5$ y $a_6$.

Para encontrar el valor de $a_4$, simplemente dividimos $a_3$ entre $a_2$ y luego multiplicamos el resultado por $2$. Aplicamos un enfoque similar para determinar los valores de $a_5$ y $a_6$.

$boldsymbol{a_4}$

$boldsymbol{a_5}$

$boldsymbol{a_6}$

begin{alineado}a_4 &= dfrac{2a_3}{a_2}\&= dfrac{2(1)}{1}\&= 2end{alineado}

begin{alineado}a_5 &= dfrac{2a_4}{a_3}\&= dfrac{2(2)}{1}\&= 4end{alineado}

begin{alineado}a_6 &= dfrac{2a_5}{a_4}\&= dfrac{2(4)}{2}\&= 4end{alineado}

Entonces tenemos los primeros seis términos de la fórmula recursiva: ${0, 1, 1, 2, 4, 4}$.

Ejemplo 3

¿Cuál es la fórmula recursiva que puede describir el patrón de las siguientes secuencias?

una. ${2, 6, 14, 30,…}$
B. ${1, 2, 6, 24, …}$

Solución

Es útil observar cómo se relacionan los dos términos entre sí, y luego podemos verificar si las reglas funcionarán para el cuarto término.

Comencemos con la primera secuencia, ${2, 6, 14, 30,…}$, y veamos cómo $6$ se relaciona con $2$ y $14$ con $6$.

begin{alineado}6 &= 4 + 2\&= 2(2) + 2\14&= 12 + 2\ &= 2(6) + 2end{alineado}

Podemos ver que el siguiente término se puede determinar multiplicando el término anterior por $2$ y luego sumando el resultado con $2$. Para ver si el patrón coincide con el siguiente término, intentemos multiplicar $14$ por $2$ y luego sumar $2$ al producto.

begin{alineado}14(2) + 2 &= 30end{alineado}

Como obtuvimos $30, esto confirma que tenemos las observaciones y la regla correctas para la secuencia recursiva. Esto significa que para encontrar $a_n$, simplemente multiplicamos $a_{n -1}$ por $2$ y luego sumamos $2$ al resultado: $a_n = 2a_{n – 1} + 2$.

Incluyendo el primer término, tenemos la fórmula recursiva a continuación para la primera secuencia.

$left{begin{matriz}a_1 = 2 phantom{xxxxxx}\a_n = 2a_{n – 1} + 2end{matriz}right.$

Continuemos y pasemos a la segunda secuencia, ${1, 2, 6, 24, …}$. Podemos aplicar un proceso similar cuando tratamos de encontrar un patrón para la secuencia.

begin{alineado} 1&= 1 cdot 1\ 2 &= 1 cdot 2\6 &= 2 cdot 3end{alineado}

¿Qué puedes notar acerca de los cuatro términos? La posición de los términos es en realidad un factor para la fórmula.

Esto significa que $2$ es el resultado de multiplicar el término anterior por el número de ubicación: $2$. De manera similar, $6$ es el resultado cuando multiplicamos el término anterior por el número de ubicación: $3$.

Podemos ver que el cuarto término, $24$ es igual a $6 times 4$, lo que confirma que la observación es correcta. Por lo tanto, $a_n$ resultará del término anterior, $a_{n – 1}$, multiplicado por el número de ubicación, $n$.

begin{alineado}24 &= 6 times 4\ a_4 &= a_3 cdot 4\a_n &= a_{n – 1} cdot n \&= na_{n- 1} end{alineado}

Incluyamos el valor inicial de la fórmula; por lo tanto, tenemos la regla dada a continuación:

$left{begin{matriz}a_1 = 1 phantom{xxxxxx}\a_n = na_{n- 1}end{matriz}right.$

MATEMÁTICAS ROMANAS – Números y aritmética

MATEMÁTICAS ROMANAS – Números y aritmética
números romanos

números romanos

En medio de la Siglo I a.C., los romanos habían reforzado su control sobre los antiguos imperios griego y helenístico, y la revolución matemática de los griegos estaba estancada. A pesar de todos sus avances en otros aspectos, no se ha producido ninguna innovación matemática bajo el Imperio Romano y República, y no hubo matemáticos notables. Los romanos no tenían ningún uso para las matemáticas puras, solo para sus aplicaciones prácticas, y el régimen cristiano que los siguió (después de que el cristianismo se convirtió en la religión oficial del Imperio Romano) aún menos.

Aritmética romana

Aritmética romana

números romanos son bien conocidos hoy en día y han sido el sistema de numeración dominante para el comercio y la administración en gran parte de Europa durante la mayor parte de un milenio. Era un sistema decimal (base 10) pero no directamente posicional, y no incluía ceros, por lo que para propósitos aritméticos y matemáticos era un sistema torpe e ineficiente. Se basó en las letras del alfabeto romano – I, V, X, L, C, D y M – combinadas para significar la suma de sus valores (por ejemplo, VII = V + I + I = 7).

Más tarde, también se adoptó una notación sustractiva, donde VIIII, por ejemplo, fue reemplazada por IX (10 – 1 = 9), lo que facilitó un poco la escritura de los números, pero hizo el cálculo aún más difícil, requiriendo convertir la notación sustractiva en el inicio de una suma y luego volver a aplicarla al final (ver imagen a la derecha). Debido a la dificultad de la aritmética escrita usando notación numérica romana, los cálculos generalmente se hacían con un ábaco, basado en ábacos babilónicos y griegos anteriores.

BERTRAND RUSSELL Y ALFRED NORTH WHITEHEAD – Principia Mathematica 1 + 1 = 2

BERTRAND RUSSELL Y ALFRED NORTH WHITEHEAD – Principia Mathematica 1 + 1 = 2
GH Hardy y Srinivasa Ramanujan

Bertrand Russell (1872-1970) y AN Whitehead (1861-1947)

Bertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron matemáticos, lógicos y filósofos británicos, que estuvieron a la vanguardia de la revuelta británica contra el idealismo continental en la primera parte del siglo XX y, entre ellos, sacaron a la luz importantes contribuciones en los campos de lógica matemática y teoría de conjuntos.

Whitehead era el mayor de los dos y tenía una formación matemática más pura. Se convirtió en tutor de Russell en el Trinity College de Cambridge en la década de 1890, luego colaboró ​​con su alumno más famoso durante la primera década del siglo XX en su obra monumental, los “Principia Mathematica”. Sin embargo, después de la Primera Guerra Mundial, que Russell pasó gran parte de la cárcel debido a sus actividades pacifistas, la colaboración fracasó y la carrera académica de Whitehead permaneció para siempre a la sombra de la del más extravagante Russell. Emigró a los Estados Unidos en la década de 1920 y pasó el resto de su vida allí.

Russell nació en una rica familia aristocrática británica, aunque sus padres eran extremadamente liberales y radicales para la época. Sus padres murieron cuando Russell era lo suficientemente joven, y fue criado en gran parte por su abuela, decididamente victoriana (aunque bastante progresista). Su adolescencia fue muy solitaria y sufrió episodios de depresión, y luego afirmó que era solo su amor por las matemáticas lo que le impedía suicidarse. Estudió matemáticas y filosofía en la Universidad de Cambridge con GE Moore y AN Whitehead, donde se convirtió en un filósofo innovador, un prolífico escritor sobre muchos temas, un ateo comprometido y un matemático y lógico inspirado. Hoy en día se le considera uno de los fundadores de la filosofía analítica, pero escribió sobre casi todas las áreas principales de la filosofía, especialmente la metafísica, la ética, la epistemología, la filosofía de las matemáticas y la filosofía del lenguaje.

Russell ha sido un activista político comprometido y de alto perfil a lo largo de su larga vida. Fue un destacado activista contra la guerra durante la Primera Guerra Mundial y la Segunda Guerra Mundial, defendió el libre comercio y el antiimperialismo, y más tarde se convirtió en un fuerte activista por el desarme nuclear y el socialismo, y contra Adolf Hitler., El totalitarismo soviético y la participación de los Estados Unidos en el Guerra de Vietnam.

La paradoja de Russell

La paradoja de Russell

La paradoja de Russell

Las matemáticas de Russell estuvieron muy influenciadas por la teoría de conjuntos y el logicismo que Gottlob Frege había desarrollado como resultado del innovador trabajo inicial de Cantor sobre conjuntos. En sus “Principios de las matemáticas” de 1903, sin embargo, identificó lo que se conoce como la paradoja de Russell (un conjunto que contiene conjuntos que no son miembros de sí mismos), que mostraba que los conjuntos de Frege de la teoría ingenua podían de hecho conducir a contradicciones.

La paradoja a veces se ilustra con este ejemplo simplista: “Si un barbero afeita todo y solo los hombres del pueblo que no se afeitan, ¿se afeita?

La paradoja parecía implicar que uno ya no podía confiar en los fundamentos mismos de todas las matemáticas, y que incluso en matemáticas la verdad nunca podría ser conocida en forma absoluta (el trabajo posterior de Gödel y Turing solo lo haría) empeoraría las cosas). La crítica de Russell fue suficiente para sacudir la confianza de Frege en todo el edificio del logicismo, y tuvo la amabilidad de admitirlo abiertamente en un apéndice escrito apresuradamente del Volumen II de sus “Leyes básicas de la aritmética”.

Pero la obra maestra de Russell fue la monolítica “Principia Mathematica, Publicado en tres volúmenes en 1910, 1912 y 1913. El primer volumen fue coautor de Whitehead, aunque los dos últimos son casi todos obra de Russell. La aspiración de este ambicioso trabajo fue nada menos que un intento de derivar todas las matemáticas de axiomas puramente lógicos, evitando al mismo tiempo los tipos de paradojas y contradicciones que se encuentran en el trabajo anterior de Frege sobre la teoría de conjuntos. Russell logró esto empleando una teoría o sistema de “tipos”, mediante el cual cada entidad matemática se asigna a un tipo dentro de una jerarquía de tipos, de modo que los objetos de un tipo dado se construyen exclusivamente a partir de él. Objetos de tipos anteriores más bajos en la jerarquía , evitando así bucles. Cada conjunto de elementos es, por tanto, de un tipo diferente de cada uno de sus elementos, por lo que no podemos hablar de “conjunto de todos los conjuntos” y de construcciones similares, lo que conduce a paradojas.

Sin embargo, los “Principia” requerían, además de los axiomas básicos de la teoría de tipos, otros tres axiomas que parecían ser falsos como meras cuestiones de lógica, a saber, el “”axioma del infinito“(Lo que garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, es decir, el conjunto de todos los números naturales), el”axioma de elección“(lo que garantiza que, dada cualquier colección de” contenedores “, cada uno de los cuales contiene al menos un objeto, es posible hacer una selección de exactamente un objeto de cada contenedor, incluso si hay un número infinito de contenedores, y que hay ninguna “regla” para qué objeto elegir de cada uno) y el propio “axioma de reducibilidad” de Russell (que establece que cualquier función de verdad proposicional puede expresarse mediante una función de verdad predicativa formalmente equivalente).

En los diez años más o menos que Russell y Whitehead dedicaron a los “Principia”, se inició un borrador tras otro y se abandonó mientras Russell replanteaba constantemente sus premisas básicas. Russell y su esposa Alys incluso se mudaron con los Whitehead para acelerar el trabajo, aunque su propio matrimonio sufrió cuando Russell se enamoró de la joven esposa de Whitehead, Evelyn. En última instancia, Whitehead insistió en la publicación del trabajo, aunque no estaba (y podría no estarlo nunca) completo, aunque se vieron obligados a publicarlo por su propia cuenta, ya que ningún editor comercial de allí tocaría.

Principia Mathematica

Una pequeña parte de la prueba larga de que 1 + 1 = 2 en Principia Mathematica

Una pequeña parte de la prueba larga de que 1 + 1 = 2 en “Principia Mathematica”

Podemos hacernos una idea del alcance y la exhaustividad de los “Principia” por el hecho de que asumen el control 360 páginas para demostrar definitivamente que 1 + 1 = 2.

Hoy en día es ampliamente considerado como una de las obras de lógica más importantes y emblemáticas desde el “Organon” de Aristóteles. Parecía notablemente exitoso y resistente en sus nobles metas, y rápidamente ganó fama mundial para Russell y Whitehead. De hecho, solo el teorema de incompletitud de Gödel de 1931 finalmente mostró que los “Principia” no podían ser coherentes y completos.

Russell recibió la Orden del Mérito en 1949 y el Premio Nobel de Literatura al año siguiente. Su fama siguió creciendo, incluso fuera de los círculos académicos, y se convirtió en un nombre familiar más adelante en la vida, aunque en gran parte debido a sus contribuciones filosóficas y su activismo político y social, que persiguió hasta ‘el final de su larga vida. . Murió de gripe en su amada Gales a la edad de 97 años.

ALAN TURING: CRECER EL CÓDIGO “ENIGMA”

ALAN TURING: CRECER EL CÓDIGO “ENIGMA”

Biografía

Alain turing

Alan Turing (1912-1954)

los El matemático británico Alan Turing es quizás más famoso por su trabajo en tiempos de guerra en Centro de descifrado británico en Bletchley Park donde su trabajo condujo a la ruptura del enigmático código alemán (según algunos, acortando la Segunda Guerra Mundial de un plumazo y potencialmente salvando miles de vidas). Pero también fue responsable de hacer que el ya devastador teorema de incompletitud de Gödel sea aún más oscuro y desalentador, y es principalmente en esto, y en el desarrollo de la computación que dio lugar a su trabajo, donde descansa el legado matemático de Turing.

Aunque asistió a una costosa escuela privada que tenía un fuerte énfasis en los clásicos más que en las ciencias, Turing mostró los primeros signos del genio que se volvería más importante más adelante, resolviendo problemas avanzados en la adolescencia sin siquiera haber estudiado cálculo elemental y sumergirse en el complejo matemático de la obra de Albert Einstein. Se convirtió en un ateo confirmado después de la muerte de su amigo íntimo y camarada de Cambridge, Christopher Morcom, y durante toda su vida fue un corredor de fondo consumado y comprometido.

En los años transcurridos desde la publicación del Teorema de incompletitud de Gödel, Turing quería desesperadamente aclarar y simplificar el teorema bastante abstracto y abstruso de Gödel, y hacerlo más concreto. Pero su solución, que se publicó en 1936 y que luego afirmó que le llegó en una visión, en realidad involucró la invención de algo que dio forma a todo el mundo moderno, la computadora.

máquina de Turing

Representación de una máquina de Turing

Representación de una máquina de Turing

Durante la década de 1930, Turing reformuló la incompletitud en términos de computadoras (o, más precisamente, un dispositivo teórico que manipula símbolos, conocido como el máquina de Turing), reemplazando el lenguaje formal universal basado en la aritmética de Gödel por este dispositivo formal y simple. Primero demostró que tales La máquina sería capaz de realizar cualquier cálculo matemático imaginable. si fuera representable como un algoritmo. Continuó demostrando que incluso para una máquina tan lógica, impulsada principalmente por la aritmética, todavía habría problemas que nunca podrían resolver, y que una máquina alimentada por tal problema nunca dejaría de intentarlo. Lo resolvería, pero nunca lo lograría. (conocido como “problema de apagado”).

En el proceso, también demostró que no había forma de decir de antemano qué problemas eran los problemas no probables, proporcionando así evidencia negativa al llamado Entscheidungsproblem o “problema de decisión», Planteado por David Hilbert en 1928. Fue una nueva bofetada para una comunidad matemática que aún se tambaleaba por el aplastante teorema de incompletitud de Gödel.

Después de la guerra, Turing continuó el trabajo que había comenzado y trabajó en el desarrollo de las primeras computadoras como ACE (Automatic Computing Engine) y Manchester Mark 1. Aunque la computadora que desarrolló era una máquina muy básica y limitada por los estándares modernos, Turing vio claramente su potencial y soñó que algún día las computadoras serían más que máquinas, capaces de aprender, pensar y comunicarse. Fue el primero en desarrollar ideas para un programa informático de ajedrez y vio el dominio del juego como uno de los objetivos por los que deberían luchar los diseñadores de máquinas inteligentes.

prueba de Turing

prueba de Turing

prueba de Turing

De hecho, fue el primero en abordar el problema de la inteligencia artificial y propuso un experimento ahora conocido como prueba de Turing en un intento de definir un estándar para que una máquina llame “inteligente“. Mediante esta prueba, se podría decir que una computadora”pensarSi eso pudiera engañar a un interrogador humano haciéndole creer que la conversación fue con un humano. Mostró una previsión notable en una era mucho antes de Internet, cuando las únicas computadoras disponibles eran del tamaño de una habitación y menos poderosas que una calculadora de bolsillo moderna.

Filosofía personal de Turing era estar libre de hipocresía, compromiso y engaño. Él era, por ejemplo, homosexual en un momento en que era ilegal e incluso peligroso, pero nunca lo ocultó ni lo convirtió en un problema. A diferencia de Gödel (que era un firme creyente en el poder de la intuición y que estaba convencido de que la mente humana era capaz de trascender los límites de los sistemas que describía), Turing sentía claramente una cierta afinidad con las computadoras y, en cierto sentido, con To en cierta medida, vio esta admirable ausencia de mentiras o hipocresía como epítome.

Después de la guerra fue puesto bajo vigilancia por las autoridades como un riesgo potencial para la seguridad y finalmente, en 1952, fue arrestado, acusado y condenado por cometer un acto homosexual. Como resultado, fue castrado químicamente con una inyección de estrógeno, una hormona femenina, que hizo que sus senos se agrandaran y también afectó su mente. En 1954, Turing fue encontrado muerto, aparentemente habiéndose suicidado con cianuro.