ARQUIMEDA DE SIRACUSA – Eureka & Le Principe

ARQUIMEDA DE SIRACUSA – Eureka & Le Principe

Biografía – ¿Quién era Arquímedes?

Arquímedes

Arquímedes (c. 287-212 a. C.)

Otro matemático griego que estudió en Alejandría en el siglo III a. C. fue Arquímedes, aunque nació, murió y vivió la mayor parte de su vida en Siracusa, Sicilia (una colonia griega helénica en Magna Grecia). Poco se sabe con certeza sobre su vida, y muchos historiadores de la antigua Roma han escrito muchas historias y anécdotas sobre él mucho después de su muerte.

También ingeniero, inventor y astrónomo, Arquímedes fue mejor conocido durante la mayor parte de la historia por sus innovaciones militares, como sus motores de asedio y espejos para aprovechar y concentrar el poder del sol, así como palancas, poleas y bombas (incluido el famoso tornillo sinfín). bomba conocida como el tornillo de Arquímedes, que todavía se utiliza hoy en algunas partes del mundo para el riego).

Pero su verdadero amor eran las matemáticas puras, y el descubrimiento en 1906 de obras hasta ahora desconocidas, llamadas el “Palimpsesto Archimpsesto”, proporcionó nueva información sobre cómo logró sus resultados matemáticos. Hoy en día, Arquímedes es ampliamente considerado como uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad, si no de todos los tiempos, junto con la augusta compañía de matemáticos como Newton y Gauss.

Método de agotamiento

Aproximación del área del círculo por el método de agotamiento de Arquímedes

Aproximación del área del círculo por el método de agotamiento de Arquímedes

Arquímedes produjo fórmulas para calcular áreas de formas regulares, utilizando un método revolucionario de capturar nuevas formas usando formas que él ya entendía. Por ejemplo, para estimar el área de un círculo, construyó un polígono más grande fuera del círculo y uno más pequeño dentro. Primero encerró el círculo en un triángulo, luego en un cuadrado, pentágono, hexágono, etc., etc., acercándose cada vez más al área del círculo. Por este llamado “método de agotamiento” (o simplemente “Método de Arquímedes“), efectivamente se centró en el valor de uno de los números más importantes de todas las matemáticas, ??. Su estimación estaba entre 31??7 (aproximadamente 3,1429) y 3diez??71 (alrededor de 3,1408), que se compara bien con su valor real de alrededor de 3,1416.

Curiosamente, Arquímedes parecía muy consciente de que una bifurcación era todo lo que se podía establecer y que tal vez nunca se conociera el valor real. Su método de estimación ?? fue llevado a los extremos por Ludoph van Ceulen en el siglo XVI, quien usó un polígono con un extraordinario 4,611,686,018 427,387,904 lados para llegar a un valor de ?? corregir a 35 dígitos. Ahora sabemos que ?? es en realidad un número irracional, cuyo valor nunca podrá conocerse con total precisión.

Asimismo, calculó el volumen aproximado de un sólido como una esfera cortándolo en una serie de cilindros y sumando los volúmenes de los cilindros constituyentes. Vio que al hacer las rodajas cada vez más delgadas, su aproximación se hacía cada vez más exacta, de modo que en el límite, su aproximación se convertía en un cálculo exacto. Este uso de infinitesimales, de manera similar al cálculo integral moderno, le ha permitido dar respuestas a problemas con un grado arbitrario de precisión, sin dejar de especificar los límites dentro de los cuales se encuentra la respuesta.

Cuadrando la parábola

Cuadratura de Arquímedes de la parábola usando su método de agotamiento

Cuadratura de Arquímedes de la parábola usando su método de agotamiento

El uso más sofisticado de Arquímedes del método de agotamiento, que permaneció incomparable hasta el desarrollo del cálculo integral en el siglo XVII, fue su prueba, conocida como Cuadrando la parábola – que el área de un segmento parabólico es 4??3 el de un cierto triángulo inscrito. Diseccionó el área de un segmento parabólico (la región delimitada por una parábola y una línea) en una infinidad de triángulos cuyas áreas forman una progresión geométrica. Luego calculó la suma de la serie geométrica resultante y demostró que era el área del segmento parabólico.

De hecho, Arquímedes tenía quizás la visión más profética del concepto de infinito de todos los matemáticos griegos. En términos generales, la preferencia de los griegos por pruebas precisas y rigurosas y su desconfianza en las paradojas hizo que evitaran por completo el concepto actual de infinito. Incluso Euclides, en su demostración de la infinidad de números primos, tuvo cuidado de concluir que hay “más números primos que cualquier número finito dado”, es decir, una especie de “infinito potencial” en lugar de “infinito real” de, por ejemplo, el número de puntos en una línea. Arquímedes, sin embargo, en “El palimpsesto de Arquímedes” fue más lejos que cualquier otro matemático griego cuando, al comparar dos conjuntos infinitamente grandes, notó que tenían el mismo número de miembros, considerando así por primera vez el infinito real, un concepto que no se reconsideró seriamente. hasta Georg Cantor en el siglo XIX.

Otro ejemplo de la minuciosidad y precisión del trabajo de Arquímedes es su cálculo del valor de la raíz cuadrada de 3 entre 265??153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351??780 (alrededor de 1,7320512): el valor real es de alrededor de 1,7320508. Incluso calculó la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo, usando un sistema de conteo basado en Myriad (10,000) y Myriad of Myriads (100 millones). Su estimación fue de 8 Vigintillion, o 8 x 1063.

Arquímedes mostró que el volumen y el área de una esfera son dos tercios de los de su cilindro circunscrito.

Arquímedes mostró que el volumen y el área de una esfera son dos tercios de los de su cilindro circunscrito.

El descubrimiento del que Arquímedes afirmó estar más orgulloso fue el de la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito de la misma altura y diámetro. Calculó el volumen de una esfera como 4??3??r3, y el de un cilindro de la misma altura y diámetro que 2??r3. El área era 4Dónde2 para la esfera, y 6??r2 para el cilindro (incluidas sus dos bases). Por tanto, resulta que la esfera tiene un volumen igual a dos tercios del cilindro, y un área también igual a dos tercios del cilindro. Arquímedes estaba tan complacido con este resultado que una esfera y un cilindro esculpidos se habrían colocado sobre su tumba a pedido suyo.

Principio de Arquimedes

A pesar de sus importantes contribuciones a las matemáticas puras, probablemente se recuerde mejor a Arquímedes por la historia anecdótica de su descubrimiento de un método para determinar el volumen de un objeto de forma irregular.

¡Eureka! ¡Eureka!

Rey Hierón de Siracusa había preguntado a Arquímedes si el orfebre real lo había engañado para que pusiera plata en su nueva corona de oro, pero Arquímedes claramente no pudo derretirla para medirla y establecer su densidad, por lo que se vio obligado a buscar una solución alternativa.

Un experimento para demostrar el principio de Arquímedes

Un experimento para demostrar el principio de Arquímedes

Mientras se bañaba durante el día, notó que el nivel del agua en la tina subía al entrar, y tuvo la respiración repentina de que podía usar este efecto para determinar el volumen (y por lo tanto la densidad) de la corona. . En su emoción, aparentemente salió corriendo del baño y corrió desnudo por las calles gritando: “¡Eureka! ¡Eureka!“(“¡Encontré! ¡Encontré!“). Esto dio origen a lo que se ha convertido en el Principio de Arquímedes: un objeto sumergido en un fluido es sostenido por una fuerza igual al peso del fluido desplazado por el objeto.

Dame un lugar para pararme y moveré la Tierra

Otra cita muy conocida atribuida a Arquímedes es: “Dame un lugar para pararme y moveré la TierraLo que significa que, si tuviera un punto de apoyo y una palanca lo suficientemente largos, podría mover la Tierra por sus propios esfuerzos, y su trabajo sobre los centros de gravedad era muy importante para los futuros desarrollos de la mecánica.

Según la leyenda, Arquímedes fue asesinado por un soldado romano después de la toma de la ciudad de Siracusa. Estaba contemplando un diagrama matemático en la arena y enfureció al soldado al negarse a ir al encuentro del general romano hasta que hubiera terminado de trabajar en el problema. Sus últimas palabras habrían sido “¡No molestes mis círculos!”