¿Alguna vez ha notado las líneas de puntos verticales incluidas en algunos de los gráficos de su clase? Estas líneas especiales se denominan asíntotas verticales y nos ayudan a comprender los valores de entrada que una función nunca puede intersecar en un gráfico.
Las asíntotas verticales representan los valores de $boldsymbol{x}$ restringido en una función dada, $boldsymbol{f(x)}$. Estos normalmente están representados por líneas de puntos verticales.
Aprender sobre las asíntotas verticales también puede ayudarnos a comprender las restricciones de una función y cómo afectan la gráfica de la función. Este artículo mostrará todo lo que necesitamos para saber qué representan las asíntotas verticales, cómo graficarlas y cómo interpretar gráficas a partir de sus asíntotas.
¿Qué es una asíntota vertical?
La asíntota vertical de una función racional dependerá de la expresión que se encuentre en su denominador. Las asíntotas verticales representan los valores de $x$ donde el denominador es cero.
Aquí hay un ejemplo de un gráfico que contiene asíntotas verticales: $x = -2$ y $x = 2$. Esto quiere decir que la función tiene valores restringidos a $-2$ y $2$. ¿Observe que la curva en el gráfico nunca pasa por las asíntotas verticales? Esto se aplica a todas las funciones que contienen asíntotas verticales.
También podemos interpretar asíntotas verticales como el valor de $a$ donde $lim_{x rightarrow a} f(x) = infty$.
¿Cómo encontrar la asíntota vertical?
Las asíntotas verticales no se limitan a las gráficas de funciones racionales. Las funciones logarítmicas y algunas funciones trigonométricas tienen asíntotas verticales. En general, podemos determinar las asíntotas verticales encontrando los valores de entrada restringidos para la función.
Dada la gráfica, podemos identificar la asíntota vertical encontrando el valor o valores de $x$, donde la curva de $f(x)$ intenta acercarse pero nunca lo alcanza.
¿Y si nos dieran la ecuación o la expresión algebraica de una función racional? Aquí hay algunos recordatorios importantes para tener en cuenta al determinar sus asíntotas verticales.
Reglas de las asíntotas verticales para funciones racionales
Primero, recuerda que las funciones racionales se pueden expresar como $f(x) = dfrac{p(x)}{q(x)}$, donde $p(x)$ y $q(x )$ son funciones polinómicas. Podemos encontrar los valores donde $f(x)$ no son válidos igualando $q(x)$ a $0$.
Aquí hay algunos pasos importantes a seguir al resolver asíntotas verticales:
- Comience por factorizar el numerador y el denominador de $f(x)$.
- Observa si el numerador ($p(x)$) y el denominador ($q(x)$) comparten factores comunes.
- Identifica si los factores del denominador se consideran discontinuidades o asíntotas verticales.
Regla 1: Si $boldsymbol{x – a}$ es el factor común compartido por el numerador y el denominador de $boldsymbol{f(x)}$, considerar $boldsymbol{x = a}$ como una discontinuidad o un agujero.
Siempre que ubiquemos un factor compartido entre el numerador y el denominador, podemos cancelar ese factor y tomar nota de $a$.
Una vez que tengamos la forma simplificada de $f(x)$, encuentre el valor de $f(a)$ y denote $(a, f(a))$ como una discontinuidad.
Continuemos y observemos $f(x) = dfrac{x^3 – 5x^2 + 6x}{x^2 – 9}$.
Lo primero que debe hacer es expresar tanto el denominador como el numerador de $f(x)$ en formas factorizadas.
$begin{alineado} dfrac{x^3 – 5x^2 + 6x}{x^2 – 9} &= dfrac{x(x^2 – 5x + 6)}{(x- 3)(x + 3)}\ &= dfrac{x(x -2)(x – 3)}{(x- 3)(x + 3)}end{alineado}$
Como $(x -3)$ es un factor común compartido por el numerador y el denominador, podemos considerar $x = 3$ como una discontinuidad. Cancele $(x – 3)$ y reemplace $x = 3$ con la expresión simplificada para $f(x)$.
$begin{alineado} f(x) &= dfrac{x(x -2)cancel{(x – 3)}}{cancel{(x – 3)}(x + 3)}\& =dfrac{x(x- 2)}{x + 3}\\f(3)&=dfrac{3(3 – 2)}{3 + 3}\&=dfrac{3} {6}\&=dfrac{1}{2}end{alineado}$
Esto significa que $f(x)$ en realidad tiene un agujero en $left(3, dfrac{1}{2}right)$. Esta coordenada estará representada por un punto vacío en la gráfica de $f(x)$.
Si desea obtener más información sobre los agujeros que se encuentran en las funciones racionales, consulte este artículo que escribimos sobre discontinuidades y agujeros.
Regla 2: Si $boldsymbol{x – a}$ no es un factor común compartido por el numerador y el denominador de $boldsymbol{f(x)}$, la ecuacion $boldsymbol{x = a}$ ahora será una asíntota vertical.
Si no podemos simplificar más una función al negar los factores comunes, la expresión del denominador restante ahora puede ser cero para encontrar las restricciones en $x$.
¿Por qué no aplicar esto con la forma simplificada de $f(x)$ de nuestro ejemplo anterior?
Tenemos $f(x) = dfrac{x(x- 2)}{x + 3}$, por lo que podemos igualar el denominador, $x + 3$, a cero.
$begin{alineado} x + 3 &= 0\ x&= -3end{alineado}$
Esto significa que $f(x)$ en realidad tiene una asíntota vertical en $x = -3$. Esto estará representado por una línea de puntos vertical en el gráfico de $f(x)$.
¿Cómo representar gráficamente la asíntota vertical?
Después de conocer la asíntota vertical de una función, ¿por qué no aprendemos que estas asíntotas verticales se representan en un sistema de coordenadas $xy$? Tenga en cuenta estos importantes recordatorios:
- La forma general de las asíntotas verticales es $x = a$, por lo que la asíntota vertical será una línea horizontal (normalmente se representa gráficamente con una línea horizontal discontinua).
- Grafica una línea vertical punteada que pase por $(a, 0)$ y se extienda tanto hacia arriba como hacia abajo.
- También tenga en cuenta que la curva de una función nunca pasará por su(s) asíntota(s) vertical(es).
Avancemos y dibujemos la asíntota vertical desde $f(x) = dfrac{x^3 – 5x^2 + 6x}{x^2 – 9}$ hasta $x = -3$.
Esto significa que su asíntota vertical será una línea de puntos vertical que pasa por el punto $(-3, 0)$.
Completemos la gráfica incluyendo la gráfica de $f(x)$ y su agujero. ¿Necesita un repaso sobre cómo graficar funciones racionales? Consulta este artículo sobre funciones racionales y sus gráficas.
Como puede ver en el gráfico, el gráfico de $f(x)$ nunca toca su asíntota vertical en $x = -3$. Esto también confirma lo que sabemos sobre las asíntotas verticales: cuando $x rightarrow –3$, $f(x) rightarrow infty$.
Resumen de la definición y propiedades de la asíntota vertical
Ya hemos discutido todo lo que necesitamos saber sobre las asíntotas verticales (y específicamente las asíntotas verticales de funciones racionales), así que es hora de que practiquemos más ejemplos.
Antes de hacerlo, avancemos y resumamos todo lo que sabemos hasta ahora.
- Las asíntotas verticales representan el valor de $a$ que satisfará la ecuación $lim_{xrightarrow a} f(x) = infty$.
- Si el denominador y el numerador de $f(x)$ comparten un factor común, $(x – a)$, podemos encontrar un agujero en $(a, f(a))$.
- Cuando $f(x)$ está en su forma simplificada, todos los valores de $x$ que harán que el denominador sea cero se consideran asíntotas de $f(x)$.
- Dado que su forma general es $x = a$, las asíntotas verticales se representan mediante líneas de puntos verticales.
- Estas líneas deben pasar por el punto $(a, 0)$.
Vuelve a estos cinco puntos cuando necesites un recordatorio, y el resto estará bien. ¡Vamos a poner en práctica lo que acabamos de aprender!
Ejemplo 1
Completa los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.
una. Si el denominador de la forma simplificada de $f(x)$ es $x(x- 3)(x + 4)$, tiene ________ asíntotas verticales.
B. Si $f(x) = dfrac{(x- 1)(x+ 2)(x – 3)}{(x +2)(x – 4)}$, $f(x)$ tiene un ____________ en $ x = -2$ y un ____________________ en $x = 4$.
contra Si $lim_{xrightarrow 4} f(x) = infty$ y $lim_{xrightarrow -3} f(x) = infty$, la función $f(x)$ tiene asíntotas verticales en y __________.
Solución
Vuelve siempre al hecho de que las asíntotas verticales son los valores de $x$ donde el denominador de la función racional es igual a $0$.
una. Como $f(x)$ ya está simplificado y tiene tres factores únicos en el denominador; Tiene Tres asíntotas verticales.
De hecho, sus asíntotas verticales están en $x=0$, $x = 3$ y $x = -4$.
Recuerda que cuando el numerador y el denominador de la función comparten un factor común, $x – a$, se dice que $f(x)$ tiene un hueco en $x = a$.
B. Dado que el numerador y el denominador de $f(x)$ comparten un divisor común de $x + 2$, tiene un agujero en $x = -2$. Una vez simplificado, vemos que $x = 4$ es un asíntota vertical de $f(x)$.
También sabemos que cuando $lim_{xrightarrow a} f(x) = infty$, $x = a$ es una asíntota vertical de $f(x)$.
contra Esto significa que $f(x)$ tiene asíntotas verticales en $x = -3$ y $x = 4$.
Ejemplo 2
Identifica las asíntotas verticales de $f(x) = dfrac{x^3 – 8}{x^4 – 8x^2 + 16}$.
Solución
Exprese el numerador y el denominador de $f(x)$ en sus formas factorizadas.
Recuerda que la diferencia en la propiedad de dos cubos es $a^3 – b^3 = (ab)(a^2 +ab +b^2)$. Aplicamos este factor al numerador y aplicamos la propiedad del trinomio cuadrado perfecto al factor del denominador.
| $x^3 – $8 | $(x – 2)(x^2 + 2x + 4)$ |
| $x^4 – 8x^2 + $16 | $(x^2 – 4)^2 = (x – 2)^2(x + 2)^2$ |
| $f(x) = dfrac{(x – 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)^2(x+2)^2}$ | |
Podemos ver que $x – 2$ es un factor común, por lo que hay una brecha en $x=2$. El factor denominador restante ahora se puede establecer en $0$ para encontrar las asíntotas verticales de $f(x)$.
$ begin{alineado}(x-2)(x+2)^2&=0\x&=2\x&=-2end{alineado}$
Esto significa que la función tiene asíntotas verticales en $x = -2$ y $x=2$.
Ejemplo 3
Identifica las asíntotas verticales de $f(x) = dfrac{x^2 – 1}{x^3 -6x^2 + 5x}$. Traza estas asíntotas (todos los huecos, si los hay) en el siguiente gráfico.
Solución
Comencemos primero y primero expresemos el numerador y el denominador de $f(x)$ en su forma factorizada.
$ begin{alineado}x^2 – 1&= (x -1)(x +1)\\x^3 -6x^2 + 5x &= x(x^2 -6x + 5)\& =x(x – 1)(x -5) end{alineado}$
Esto significa que tenemos $f(x) = dfrac{(x -1)(x +1)}{ x(x – 1)(x -5)}$. Dado que $(x – 1)$ es un factor común compartido por el numerador y el denominador, $x = 1$ es una discontinuidad. Para encontrar la coordenada $y$ del agujero, simplifica $f(x)$ y reemplaza $x$ con 1.
$ begin{alineado}f(x) &= dfrac{undo{(x -1)}(x +1)}{xundo{(x -1)}(x -5)}\& =dfrac{x + 1}{x(x – 5)}\\f(1)&=dfrac{1+1}{1(1-5)}\&=dfrac{2} {-4}\&=-dfrac{1}{2}end{alineado}$
Después de simplificar $f(x)$, igualemos los factores restantes del denominador a $0$.
$begin{alineado}f(x) &=dfrac{x + 1}{x(x – 5)}\\ x(x-5)&=0\x&=0\x&=5 end{alineado}$
Podemos ver eso la función tiene asíntotas verticales en $x=0$ y $x= $5.
Avancemos y dibujemos estas dos asíntotas verticales como líneas de puntos verticales. También dibuja un punto vacío en $left(1, -dfrac{1}{2}right)$.
