Calcula la distancia d desde y hasta la recta que pasa por u y el origen.

1658452780 SOM Questions and Answers
[ y = begin {bmatrix} 5 \ 3 end {bmatrix} ]

[ u = begin {bmatrix} 4 \ 9 end {bmatrix} ]

La pregunta tiene como objetivo encontrar el distancia Entre vector y a la línea a través y el origen.

La pregunta se basa en el concepto de multiplicación vectorial, producto escalar, y proyección ortogonal. Producto escalar de dos vectores es la multiplicación de los términos correspondientes, entonces el citación de ellos producción. los proyección de uno vector sobre un plano es conocido como el proyección ortogonal Este lado plano.

Respuesta experta

los proyección ortogonal de allá viene dada por la siguiente fórmula:

[ hat {y} = dfrac{ y . u }{ u . u } u ]

Tenemos que calcular el productos punto de la vectores en la fórmula anterior. los producto escalar de allá y se da de la siguiente manera:

[ y . u = (5, 3) . (4, 9) ]

[ y . u = 20 + 27 ]

[ y . u = 47 ]

los producto escalar de consigo mismo viene dado por:

[ u . u = (4, 9) . (4, 9) ]

[ u .u = 16 + 81 ]

[ u . u = 97 ]

Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos:

[ hat {y} = dfrac{ 47 }{ 97 } u ]

[ hat {y} = dfrac{ 47 }{ 97 } begin {bmatrix} 4 \ 9 end {bmatrix} ]

[ hat {y} = begin {bmatrix} frac{ 188 }{ 97 } \ frac{ 423 }{ 97 } end {bmatrix} ]

Tenemos que encontrar el diferencia de $hat {y}$ de y, que viene dada por:
[ y – hat {y} = begin {bmatrix} 5 \ 3 end {bmatrix} – begin {bmatrix} frac{ 188 }{ 97 } \ frac{ 423 }{ 97 } end {bmatrix} ]

[ y – hat {y} = begin {bmatrix} frac{ 297 }{ 97 } \ frac{ -132 }{ 97 } end {bmatrix} ]

encuentra el distancia tomamos el raíz cuadrada de la suma de términos al cuadrado de la vector. los distancia se da de la siguiente manera:

[ d = sqrt{ dfrac{ 88209 }{ 9409 } + dfrac{ 17424 }{ 9409 }} ]

[ d = sqrt{ dfrac{ 1089 }{ 97 }} ]

[ d = dfrac{ 33 }{ sqrt {97} } ]

[ d = 3.35 units ]

resultado numérico

los distancia de vector allá a la línea a través vector usted y el origen se calcula en:

[ d = 3.35 units ]

Ejemplo

Calcula el distancia dado vector y a la línea que atraviesa vector y el origen si la proyección ortogonal de allá es dado.

[ y = begin {bmatrix} 1 \ 3 end {bmatrix} ]

[ hat {y} = begin {bmatrix} 22/13 \ 33/13 end {bmatrix} ]

[ u = begin {bmatrix} 2 \ 3 end {bmatrix} ]

los distancia se calcula usando el mismo fórmula de distancia que se da como:

[ d = 1.61 units ]