los Calculadora de combinaciones y permutaciones encuentra las posibles combinaciones o permutaciones agrupadas dado el número total de elementos en un conjunto “n” y el número de elementos tomados en el tiempo “k”. Puede elegir entre el cálculo de combinación o permutación a través de un menú desplegable.
¿Qué es la calculadora de combinación y permutación?
La calculadora de combinaciones y permutaciones es una herramienta en línea que calcula el número de permutaciones posibles ${}^mathbf{n}mathbf{P}_mathbf{k}$ o combinaciones ${}^mathbf{n}mathbf{C}_mathbf{k}$ para n artículos tomados k a la vez y también muestra cada combinación y permutación como parte de un conjunto.
los interfaz de la calculadora consta de un menú desplegable titulado “Pegar” con dos opciones: “Combinación” y “Permutación (agrupada)”. Aquí selecciona cuál de los dos desea calcular para su problema.
Además, hay dos cuadros de texto etiquetados “Artículos totales (SET)” y “Elementos a la vez (SUBSET)”. El primero toma el número total de elementos (denominado n) o el conjunto completo en sí, mientras que el segundo especifica el número a tomar en cada paso (denominado k).
¿Cómo usar la calculadora de combinaciones y permutaciones?
Puedes usar el Calculadora de combinaciones y permutaciones para encontrar el número de posibles combinaciones y permutaciones para un conjunto ingresando el número de elementos y el número a tomar a la vez.
Por ejemplo, suponga que desea encontrar el número de permutaciones para el siguiente conjunto de números naturales, tomados todos a la vez:
[ mathbb{S} = { 10,, 15,, 20,, 25,, 30,, 35,, 40 } ]
Las pautas paso a paso para esto se encuentran a continuación.
Etapa 1
Seleccione si desea calcular la permutación o la combinación en el menú desplegable “Pegar.” Para el ejemplo, elegiría “Intercambiar (agrupado)”.
2do paso
Cuente el número de elementos en el conjunto e ingréselo en el cuadro de texto “Artículos en total”. O, ingrese el conjunto completo. Hay siete elementos en total en el ejemplo, así que ingrese “7” o ingrese “{10, 15, 20, 25, 30, 35, 40}” sin las comillas.
Notar: Para conjuntos que contengan palabras, encierre todas las palabras entre comillas (vea el ejemplo 2).
Paso 3
Ingrese el grupo de elementos tomados a la vez en el cuadro de texto “Artículos tomados a la vez”. Para tomarlos todos como en el ejemplo, ingrese “7” sin las comillas.
Paso 4
presione el Enviar botón para obtener los resultados.
Resultados
Los resultados contienen tres secciones que se muestran debajo de la calculadora titulada:
- Interpretación de entrada: La entrada como la calculadora la interpreta para la verificación manual. Clasifica la entrada como objetos y el tamaño de la combinación/permutación.
- Número de distintos $mathbf{k}$ permutaciones/combinaciones de $mathbf{n}$ objetos: Este es el valor real del resultado para ${}^nP_k$ o ${}^nC_k$ dependiendo de la entrada.
- $mathbf{k}$ permutaciones/combinaciones de {set}: Todas las permutaciones o combinaciones posibles como elementos separados, con un recuento total al final. Si el total es excepcionalmente alto, esta sección no se muestra.
Tenga en cuenta que si solo ingresó el número de elementos en “Articulos totales” cuadro de texto (“7” en nuestro ejemplo), la tercera sección muestra “{1, 2} | {1, 3} | …” en lugar de los valores originales. Para obtener los valores exactos del conjunto de entrada, ingrese el juego completo (ver ejemplo 2).
¿Cómo funciona la calculadora de combinaciones y permutaciones?
los Calculadora de combinaciones y permutaciones funciona usando las siguientes ecuaciones:
[ text{k-permutation} = {}^nP_k = frac{n!}{(n-k)!} tag*{$(1)$} ]
[ text{k-combination} = {}^nC_k = frac{n!}{k!(n-k)!} tag*{$(2)$} ]
Donde n y k son enteros no negativos (o números enteros):
[ n,, k in mathbb{W} = {0,, 1,, 2,, ldots} wedge k leq n ]
Factoriales
“!” se llama el factorial tal que $x! = x times (x-1) times (x-2) cdots times 1$ y 0! = 1. El factorial se define solo para enteros no negativos +$mathbb{Z}$ = $mathbb{W}$ = {0, 1, 2, …}.
Dado que el número de elementos de un conjunto no puede ser un valor no entero, la calculadora solo espera números enteros en los cuadros de entrada de texto.
Diferencia entre permutación y combinación
Considere el conjunto:
[ mathbb{S} = left{ 1,, 2,, 3 right} ]
Permutación representa el número posible de arreglos del conjunto donde orden cuenta. Esto significa que {2, 3} $neq$ {3, 2}. Ya sea El orden no importa (es decir, {2, 3} = {3, 2}), obtenemos el combinación en cambio, que es el número de arreglos distintos.
Al comparar las ecuaciones (1) y (2), los valores de C y P están relacionados para un valor dado de n y k como:
[ {}^nC_k = frac{1}{k!} ({}^nP_k) ]
El término (1/k!) elimina el efecto de orden, dando como resultado distintos arreglos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Encuentra el número de combinaciones posibles de 5 elementos a la vez para las primeras 20 entradas del conjunto de números naturales.
La solución
[ mathbb{S} = { 1,, 2,, 3,, ldots,, 20 } ]
Dado que n = 20 y k = 5, la ecuación (1) implica:
[ {}^{20}C_5(mathbb{S}) = frac{20!}{5!(20-5)!} = frac{20!}{5!(15!)} ]
[ Rightarrow , {}^{20}C_5(mathbb{S}) = mathbf{15504} ]
Ejemplo 2
Para el cuajado de frutos dado:
[ mathbb{S} = left{ text{Mangoes},, text{Bananas},, text{Guavas} right} ]
Calcula la combinación y permutación de dos frutas tomadas a la vez. Escriba cada combinación/permutación claramente. Además, ilustre la diferencia entre permutación y combinación utilizando los resultados.
La solución
[ {}^3C_2(mathbb{S}) = 3 ]
[ text{set form} = big{ { text{Mangoes},, text{Bananas} },, { text{Mangoes},, text{Guavas} },, { text{Bananas},, text{Guavas} } big} ]
[ {}^3P_2(mathbb{S}) = 6 ]
[ text{set form} = left{ begin{array}{rr} { text{Mangoes},, text{Bananas} }, & { text{Bananas},, text{Mangoes} }, \ { text{Mangoes},, text{Guavas} }, & { text{Guavas},, text{Mangoes} }, \ { text{Bananas},, text{Guavas} }, & { text{Guavas},, text{Bananas} }; end{array} right} ]
Para obtener los resultados anteriores de la calculadora, ingresaría “{‘Mangos, ‘Bananas, ‘Guayabas’}” (sin comillas dobles) en el primer cuadro de texto y “2” sin comillas en el segundo.
Si ingresa “3” en el primer cuadro, seguirá dando el número correcto de permutaciones/combinaciones, pero la forma definida (tercera sección en los resultados) no se mostrará correctamente.
Vemos que el número de permutaciones es el doble que el de combinaciones. Dado que el orden no importa en las combinaciones, cada elemento del conjunto de combinaciones es distinto. Este no es el caso en la permutación, por lo que para n y k dados, generalmente tenemos:
[ {}^nP_k geq {}^nC_k ]
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