Calculadora de derivada direccional + solucionador en línea con pasos gratuitos

La calculadora de derivada direccional se utiliza para calcular la derivada direccional de una función en términos de dos variables $x$ y $y$ en un punto dado.

La derivada de una función es la tasa de cambio de la función. Dderivado direccional se define comúnmente como el tasa de cambio de la función en una dirección dada.

Las derivadas direccionales tienen una amplia gama de aplicaciones en la vida real porque las entradas cambian continuamente. La calculadora también calcula el vector degradado de la función dada. El gradiente define la pendiente de la función.

¿Qué es una calculadora de derivada direccional?

La calculadora de derivada direccional es una calculadora en línea que resuelve la derivada direccional de una función de dos variables f( $x$ , $y$ ) en un punto ($x$, $y$ ) a lo largo del vector unitario U y también genera la gradiente $grad$ $f$($x$,$y$) de la función de entrada.

La dirección está determinada por el vector unitario:

[   overrightarrow{U} = (U_{1})hat{e_{x}} + (U_{2})hat{e_{y}}   ]

$U_{1}$ especifica la dirección a lo largo de $x$-eje y $U_{2}$ especifica la dirección a lo largo de $y$-eje.

La calculadora calcula la derivada direccional de una función en un momento dado. los Coordenada $x$ especifica el punto en el eje $x$ y el Coordenada $y$ especifica el punto en el eje $y$ para el cual se debe calcular la derivada direccional.

También calcula el Pendiente de la función El gradiente de una función es la tasa de cambio o Pendiente de la función

Para la función de dos variables, necesitamos determinar la tasa de cambio de la función $f$ a lo largo de los ejes $x$ y $y$. Esto da el concepto de derivada parcial.

los derivada parcial a lo largo del eje $x$ es la tasa de cambio de la función $f$($x$,$y$) en la dirección $x$ y la derivada parcial a lo largo del eje $y$ es la tasa de cambio de la función $f$($x$,$y$) en la dirección $y$.

La derivada parcial de la función $f$($x$,$y$) con respecto a $x$ está representada por:

[ f^{(1,0)} ]

Y la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $y$ está representada por:

[ f^{(0,1)} ]

los la derivada parcial es diferente de la derivada direccional.

La derivada parcial da la tasa de cambio instantánea de una función solo a lo largo de los tres ejes perpendiculares, que son el eje $x$, el eje $y$ y el eje $z$ en un punto dado.

Por otro lado, la derivada direccional da la tasa de cambio instantáneo en cualquier dirección en un punto determinado.

¿Cómo usar la calculadora de derivada direccional?

Puede utilizar la calculadora de derivada direccional seleccionando la función deseada y especificando los valores de $U1$ y $U2$ así como las coordenadas $x$ y $y$.

Se requieren los siguientes pasos para usar la Calculadora de derivada direccional.

Etapa 1

Introducir el función en términos de dos variables $x$ y $y$ en el bloque etiquetado como $f$( $x$ , $y$ ). La calculadora muestra la siguiente función:

[    f ( x , y ) = 3x^2.y    ]

por defecto.

2do paso

Introduzca la parte del vector unitario que indica la dirección a lo largo del eje $x$. Es $U_{1}$ en la ventana de entrada de la calculadora. La calculadora muestra $U_{1}$ como $(dfrac{3}{5})$ de forma predeterminada.

Paso 3

Introduzca el valor de $U_{2}$, que es la parte del vector unitario que indica la dirección a lo largo del eje $y$. La calculadora muestra $U_{2}$ como $(dfrac{4}{5})$ de forma predeterminada.

Paso 4

La calculadora también necesita el punto ($x$,$y$) para el cual se determinarán la derivada direccional y el gradiente.

Introducir el coordenada x en la ventana de entrada de la calculadora, que muestra la posición del punto a lo largo del eje $x$. La coordenada $x$ predeterminada es $1$.

Paso 5

Introducir el coordenada y, que es la ubicación del punto a lo largo del eje $y$ para el cual el usuario solicita la derivada direccional. La coordenada $y$ predeterminada es $2$.

Paso 6

El usuario debe presionar Enviar después de ingresar todos los datos de entrada requeridos para los resultados.

los ventana de salida se abre frente al usuario, que muestra las siguientes ventanas. Si la entrada del usuario es incorrecta o está incompleta, la calculadora muestra “Entrada no válida, inténtelo de nuevo”.

Interpretación de entrada

Calculadora interpretar la entrada y lo muestra en esta ventana. Primero, muestra la función $f$( $x$,$y$ ) para la cual se requiere la derivada direccional.

Luego muestra la dirección ( $U_{1}$ , $U_{2}$ ) y el punto ( $x$-coordinar $y$-coordinar ) que el usuario ingresó.

Resultados

Esta ventana muestra la derivada direccional resultante después de colocar el punto (coordenada $x$, coordenada $y$) en la función derivada direccional.

Muestra la ecuación de la derivada direccional en forma abierta que muestra los valores de la derivada parcial para $x$ y $y$.

Pendiente

Esta ventana muestra el gradiente $grad$ $f$ ($x$,$y$) de la función de entrada $f$. También muestra $x$, que es la primera coordenada cartesiana, y $y$, que es la segunda coordenada cartesiana.

También,

[   frac{partial f(x,y)}{partial x}   ]

en la ecuación de gradiente representa la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $x$ y

[   frac{partial f(x,y)}{partial y}   ]

representa la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $y$.

Ejemplos resueltos

Los siguientes ejemplos se resuelven usando la calculadora de derivada direccional.

Ejemplo 1

Calcular la derivada direccional de la función dada:

[    f ( x , y ) = 4x^3 – 3xy^2   ]

Al grano ($1$, $2$)

Dónde,

[    U_{1} = frac{1}{2}   ]

y

[    U_{2} = frac{sqrt{3}}{2}   ]

También evalúe el vector gradiente de la función dada.

La solución

La calculadora muestra $f$($x$,$y$), que es la función dada.

También muestra la dirección y el punto ($1$,$2$) en el que se requiere la derivada direccional. Esto se muestra en la ventana de interpretación de entrada de la salida de la calculadora.

La calculadora calcula la derivada direccional y muestra el resultado de la siguiente manera:

[    frac{1}{2}(sqrt{3}(f^{(0,1)}(1,2)) = -12) + (f^{(1,0)}(1,2) = 0 )   ]

Aquí:

[    f^{(0,1)} = frac{partial f(x,y)}{partial y}   ]

[    f^{(1,0)} = frac{partial f(x,y)}{partial x}   ]

La calculadora también calcula el gradiente $grad$ $f$($x$,$y$) de la función de entrada $f$.

Para el gradiente, la calculadora primero calcula las derivadas parciales de la función $f$.

Para la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $x$:

[    frac{partial f(x,y)}{partial x} = 12x^2 –  3y^2   ]

[    frac{partial f(x,y)}{partial x} + 3y^2 = 12x^2   ]

La calculadora muestra la ecuación anterior en el resultado del gradiente.

Para la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $y$:

[    frac{partial f(x,y)}{partial y} = – 6xy   ]

El gradiente de la función es:

[grad   f(x,y) = Big{ frac{partial f(x,y)}{partial x} + 3y^2 = 12x^2 Big} .e_{x} + Big{ frac{partial f(x,y)}{partial y} = – 6xy Big} .e_{y}]

Donde $e_{x}$ y $e_{y}$ representan los vectores unitarios a lo largo de la dirección de los ejes $x$ y $y$, respectivamente.

Ejemplo 2

Evaluar la derivada direccional de la función:

[    f ( x , y ) = x.y^2 – 2.x^3   ]

En punto ($3, $2)

Dónde,

[    U_{1} = frac{1}{2}   ]

y

[    U_{2} = frac{1}{4}   ]

También encuentre el vector gradiente de la función.

La solución

La calculadora muestra la función dada, la dirección ( $dfrac{1}{2}$, $dfrac{1}{4}$ ) y el punto ($3$,$2$) para el cual se requiere la derivada direccional. La ventana de interpretación de entrada muestra este resultado.

La calculadora calcula la derivada direccional y muestra el resultado de la siguiente manera:

[    frac{1}{sqrt{5}} ((f^{(0,1)}(3,2) = 12) + 2(f^{(1,0)}(3,2) = -50 )   ]

Aquí,

[    f^{(0,1)} = frac{partial f(x,y)}{partial y}   ]

[    f^{(1,0)} = frac{partial f(x,y)}{partial x}   ]

La calculadora también calcula el vector gradiente grad $f$($x$,$y$) de la función de entrada $f$.

Calcula las derivadas parciales de la función $f$ con respecto a $x$ y $y$, que se utilizan en el vector gradiente.

Para la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $x$:

[    frac{partial f(x,y)}{partial x} = – 6x^2 + y^2   ]

[    frac{partial f(x,y)}{partial x} + 6x^2 = y^2   ]

La calculadora muestra la ecuación anterior en el vector de gradiente.

Para la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $y$:

[    frac{partial f(x,y)}{partial y} = 2xy   ]

El gradiente de la función es:

[    grad f ( x, y ) =  Big{ 6x^2 + frac{partial f(x,y)}{partial x} = y^2 Big} .e_{x} + Big{ 2xy = frac{partial f(x,y)}{partial y} Big} .e_{y}   ]

Donde $e_{x}$ y $e_{y}$ son los vectores unitarios a lo largo de los ejes $x$ y $y$, respectivamente.

Ejemplo 3

Evaluar la derivada direccional de la función:

[    f ( x , y ) = x^2 –  y^2  ]

Al grano ($1$, $3$)

Dónde,

[    U_{1} = frac{1}{3}   ]

y

[    U_{2} = frac{1}{2}   ]

También encuentre el vector gradiente de la función.

La solución

La calculadora muestra la función de entrada, la dirección ( $U_{1}$ , $U_{2}$ ) y el punto ($3$, $2$).

La ventana de interpretación de entrada de la calculadora muestra estas especificaciones.

El resultado de la derivada direccional es:

[    frac{1}{sqrt{13}} (3(f^{(0,1)}(1,3) = – 6 ) + 2(f^{(1,0)}(1,3) = 2 )   ]

Luego, la calculadora calcula el vector gradiente de la función de entrada $f$.

Pero primero, se calculan las derivadas parciales de la función $f$ con respecto a $x$ y $y$ para el gradiente.

Para la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $x$:

[    frac{partial f(x,y)}{partial x} = 2x   ]

Para la derivada parcial de $f$($x$,$y$) con respecto a $y$:

[    frac{partial f(x,y)}{partial y} = – 2y   ]

El gradiente de la función es:

[    grad f ( x, y ) =  Big{ frac{partial f(x,y)}{partial x} = 2x Big} .e_{x} + Big{ frac{partial f(x,y)}{partial y} = – 2y Big} .e_{y}   ]

Donde $e_{x}$ y $e_{y}$ son los vectores unitarios de magnitud $1$ que apuntan respectivamente en la dirección del eje $x$ y el eje $y$.

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