Calculadora de propiedad distributiva + Solucionador en línea con pasos gratuitos

los Calculadora de propiedad distributiva encuentra el resultado de una expresión de entrada usando la propiedad distributiva (si es válida) para expandirla. La propiedad distributiva generalizada se define:

[ a cdot (b+c) = a cdot b+a cdot c ]

Donde $a$, $b$ y $c$ representan valores o incluso expresiones completas. En otras palabras, $a$ podría ser un valor simple como $5$ o una expresión $a = 2*pi*ln(3)$.

La calculadora admite cualquier número de Variables en la entrada Trata todos los caracteres en “az” como variables, excepto “i”, que representa la constante matemática iota $i = sqrt{-1}$. Por lo tanto, puedes tener $a = pi*r^2$ en la ecuación anterior.

¿Qué es la calculadora de propiedad distributiva?

La Calculadora de propiedad distributiva es una herramienta en línea que evalúa el resultado de una expresión de entrada extendiéndola a través de la propiedad distributiva, siempre que exista.

los interfaz de la calculadora consta de un solo cuadro de texto con la etiqueta “Expandir” donde el usuario ingresa la expresión. La expresión de entrada puede contener valores, variables, operaciones especiales (logs), constantes matemáticas, etc.

Si la calculadora determina qué propiedad distributiva mantener para la entrada, expande la expresión usándola. De lo contrario, la calculadora resuelve directamente la expresión de entrada entre paréntesis (si corresponde) antes de aplicar el operador externo.

¿Cómo usar la calculadora de propiedades distributivas?

Puedes usar el Calculadora de propiedad distributiva para expandir una expresión escribiendo esa expresión en el cuadro de texto con la etiqueta “Expandir”.

Por ejemplo, supongamos que queremos evaluar la expresión:

[(5+3x)(3+ln 2.55) ]

Las pautas paso a paso para hacerlo son las siguientes:

Etapa 1

Ingrese la expresión de entrada en el cuadro de texto como “(5 + 3x)(3 + ln(2)).” La calculadora lee “ln” como una función del logaritmo natural. Asegúrese de que no falten paréntesis.

2do paso

presione el Enviar para obtener el valor o expresión resultante.

Resultados

El resultado aparece en una nueva pestaña y consiste en una respuesta de una línea que contiene el valor resultante de la entrada. Para nuestro ejemplo, la pestaña de resultados tendrá la expresión:

[ 9x + 3x ln(2) + 15 + 5 ln(2) ]

Entradas variables

Si la expresión de entrada contiene variables, la calculadora muestra el resultado en función de esas variables.

Formas exactas y aproximadas

Si la entrada contiene funciones definidas como logaritmos naturales o raíces cuadradas, la salida tendrá un indicador adicional para cambiar entre las exacto y aproximado forma del resultado.

Esta opción es visible para nuestra expresión de muestra. Presionar el indicador de forma aproximada transformará el resultado en una forma más compacta:

[ 11.0794x + 18.4657 ]

La aproximación se debe únicamente a la representación de punto flotante del resultado, pero hasta cuatro decimales es suficiente para la mayoría de los problemas.

Cuando la propiedad distributiva no se cumple

Un ejemplo de tal caso es $a+(b+c)$ ya que la suma no es distributiva y tampoco lo es la resta. Por lo tanto, si escribe la expresión anterior en la calculadora, no producirá un resultado de la forma $(a+b) + (b+c)$. En su lugar, imprimirá $a + b + c$.

Lo anterior sucede porque la calculadora verifica la entrada de la propiedad distributiva sobre los operadores antes de comenzar los cálculos.

¿Cómo funciona la calculadora de propiedad distributiva?

La calculadora funciona simplemente usando la definición de la propiedad distributiva para encontrar el resultado.

Definición

La propiedad distributiva es una generalización de la ley distributiva, que establece que lo siguiente siempre se cumple para el álgebra elemental:

[ a * (b+c) = a*b + a*c quad text{where} quad a, , b, , c , in , mathbb{S} ]

Donde $mathbb{S}$ representa un conjunto y $*, , +$ son dos operaciones binarias definidas en él. La ecuación implica que el operador $*$ (externo) es distributivo sobre el operador $+$ (interno). Tenga en cuenta que $*$ y $+$ representan no importa cual operador, no uno específico.

Conmutatividad y distributividad

Tenga en cuenta que la ecuación anterior representa específicamente la propiedad distributiva izquierda. La propiedad distributiva correcta se define:

[ (b+c) * a = b*a + c*a ]

Las distribuciones izquierda y derecha solo son diferentes si el operador exterior denotado por $*$ no es conmutativo. Un ejemplo de un operador que no es conmutativo es la división $div$ como se muestra a continuación:

[ a div (b+c) = frac{a}{b} + frac{a}{c} neq frac{b}{a} + frac{c}{a} tag*{ (left-distributive) } ]

[ (b+c) div a = frac{b}{a} + frac{c}{a} neq frac{a}{b} + frac{a}{c} tag*{ (right-distributive) } ]

De lo contrario, como en la multiplicación $cdot$, las expresiones de distributividad izquierda y derecha se vuelven iguales:

[ a cdot b + a cdot c = b cdot a + c cdot a tag*{$because , a cdot b = b cdot a$} ]

Y la propiedad se llama simplemente distributividadlo que implica que no hay distinción entre distributividad izquierda y derecha.

Intuición

En pocas palabras, la propiedad distributiva indica que evaluar la expresión dentro de los paréntesis antes de aplicar el operador externo es lo mismo que aplicando el operador externo a los términos entre paréntesis y luego aplicando el operador interno.

Por tanto, el orden de aplicación de los operadores no importa si se cumple la propiedad distributiva.

Condiciones especiales

En el caso de paréntesis anidados, la calculadora expande la expresión desde el interior al exterior. En cada nivel, verifica la validez de la propiedad distributiva.

Si la propiedad distributiva no se sostiene en cualquier nivel de anidamiento, la calculadora primero evalúa la expresión entre paréntesis en orden BODMAS. Después de eso, aplica el operador externo al resultado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Dada la expresión simple $4 cdot (6+2)$, expanda y simplifique el resultado.

La solución

La expresión dada implica la distribución de la multiplicación sobre la suma. Esta propiedad es válida, por lo que podemos expandirla de la siguiente manera:

[ 4 cdot (6+2) = 4 cdot 6 + 4 cdot 2 ]

[ Rightarrow 24+8 = 32 ]

¿Cuál es el valor que muestra la calculadora en el resultado? Vemos que es igual a la expansión directa:

[ 4 cdot (6+2) = 4 cdot 8 = 32 ]

Ejemplo 2

Considere la siguiente expresión:

[ (3+2) cdot (1-10+100 cdot 2) ]

Expanda usando la propiedad distributiva y simplifique.

La solución

Tenga en cuenta que esta es una multiplicación de dos expresiones separadas $(3+2)$ y $(1-10+100 cdot 2)$.

En tales casos, aplicamos por separado la propiedad distributiva para cada término de la primera expresión. Más precisamente, tomamos el primer término de la primera expresión y lo distribuimos sobre la segunda expresión. Luego hacemos lo mismo con el segundo término y continuamos hasta agotar todos.

Si el operador externo es conmutativo, el orden también se puede invertir. Es decir, podemos tomar el primer término de la segunda expresión y distribuirlo sobre el primero y así sucesivamente.

Finalmente, reemplazamos cada término de la primera expresión con su resultado distribuido en la segunda expresión (o viceversa en orden inverso). Por lo tanto, si desarrollamos los términos de la primera expresión sobre la segunda:

[ (3+2) cdot (1-10+100 cdot 2) = underbrace{3 cdot (1-10+100 cdot 2)}_text{$1^text{st}$ term distributed} + underbrace{ 2 cdot (1-10+100 cdot 2)}_text{$2^text{nd}$ term distributed} ]

Considere los dos términos por separado para otros cálculos:

[ 3 cdot (1-10+100 cdot 2)  = 3 cdot 1-3 cdot 10+3 cdot 200 = 3-30+600 = 573 ]

[ 2 cdot (1-10+100 cdot 2)  = 2 cdot 1-2 cdot 10+2 cdot 200 = 2-20+400 = 382 ]

Sustituyendo estos valores en la ecuación:

[ (3+2) cdot (1-10+100 cdot 2) = 573 + 382 = 955 ]

Extensión alternativa

Dado que la multiplicación es conmutativa, obtendríamos el mismo resultado expandiendo los términos de la segunda expresión en la primera expresión:

[ (1-10+100 cdot 2) cdot (3+2) = [1 cdot (3+2)]-[10 cdot (3+2)]+[100 cdot 2 cdot (3+2)] ]

Ejemplo 3

Expande la siguiente expresión usando la propiedad distributiva y simplifica:

[ frac{1}{2} cdot left [ 5 + left {3 + left (5-7 right ) cdot 2 sqrt{10x} right } right] ]

La solución

Sea $y$ la expresión de entrada. El problema requiere la aplicación anidada de la propiedad distributiva. Considere los paréntesis más internos de $y$:

[ left (5-7 right ) cdot 2 sqrt{10x} ]

Aplicación de la propiedad distributiva a la derecha de la multiplicación sobre la suma:

[ Rightarrow 5 cdot 2 sqrt{10x}-7 cdot 2 sqrt{10x} = -4 sqrt{10x} ]

Sustituyendo este resultado en la ecuación de entrada $y$:

[ y_1 =  frac{1}{2} left [ 5 + left {3-4 sqrt{10x} right } right] ]

Ahora resolvemos para el siguiente par de paréntesis en $y = y_1$:

[ 5 + left { 3-4 sqrt{10x} right } ]

Como la suma no es distributiva:

[ Rightarrow 5+3-4 sqrt{10x} = 8-4 sqrt{10x} ]

Sustituyendo este resultado en la ecuación $y_1$:

[ y_2 =  frac{1}{2} left [ 8-4 sqrt{10x} right] ]

Lo que nos lleva a los paréntesis más externos en $y = y_1 = y_2$:

[ frac{1}{2} cdot left [ 8-4 sqrt{10x} right] ]

Aplicación de la propiedad distributiva a la izquierda de la multiplicación sobre la suma:

[ Rightarrow frac{1}{2} cdot 8-frac{1}{2} cdot left (-4sqrt{10x} right )  = 4-2 sqrt{10x} ]

Y aquí está la salida de la calculadora. De este modo:

[ frac{1}{2} cdot left [ 5 + left {3 + left (5-7 right ) cdot 2 sqrt{10x} right } right] = 4-2 sqrt{10x} ]

Y su forma aproximada como:

[ approx 4-6.32456 sqrt{x} ]

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