los Calculadora de series infinitas encuentra la suma de una serie infinita expresada en función del índice de secuencia $n$ hasta el infinito o sobre el rango de valores, $n = [x, , y]ps
La calculadora admite varias series: aritmética, potencia, geométrica, armónica, alternancia, etc. Una serie matemática es la suma de todos los elementos de una secuencia bien definida de valores.
La calculadora también admite Variables en la entrada distinta de $n$, lo que le permite resolver series de potencias que normalmente contienen una variable. Sin embargo, la suma tiene prioridad sobre los caracteres porque $k > n >$ caracteres en orden alfabético. Entonces, si la entrada tiene cualquier número de variables y:
- Contiene $k$ y $n$, entonces la suma es mayor que $k$.
- No contiene $k$ pero contiene $n$, entonces la suma es mayor que $n$.
- No contiene $k$ ni $n$, por lo que la suma se realiza sobre la variable que aparece primero en orden alfabético. Entonces, si aparecen las variables $p$ y $x$, la suma es mayor que $p$.
Para simplificar, solo usaremos $n$ como la variable de suma en todo momento.
¿Qué es la calculadora de series infinitas?
La calculadora de series infinitas es una herramienta en línea que calcula la suma $mathbf{S}$ de una secuencia infinita dada $mathbf{s}$ en el rango $mathbf{n = [x, , y]ps dónde $mathbf{x, , y , in , mathbb{Z}}$ y $mathbf{n}$ es el índice de secuencia. La secuencia infinita debe proporcionarse como una función. $mathbf{a_n}$ de $mathbf{n}$.
Uno de $x$ y $y$ también puede ser $-infty$ o $infty$ respectivamente, en cuyo caso $s_n = s_infty = s$. Tenga en cuenta que si $x = infty$ la calculadora fallará, así que asegúrese de que $x leq y$.
los interfaz de la calculadora consta de tres cuadros de texto etiquetados:
- “Suma de”: La función $a_n$ a sumar que expresa una serie en función de $n$.
- “Desde” y “hasta”: el rango de la variable $n$ sobre el que se realiza la suma. El valor inicial va en la casilla etiquetada como “Desde” y el valor final en la etiquetada como “Hasta”.
Dadas las entradas anteriores, la calculadora evalúa la siguiente expresión y muestra el resultado:
[ S_n = sum_{n=x}^y a_n ]
Si es $x to -infty$ o $y to infty$, entonces es una suma infinita:
[ S_n = S_infty = S ]
[ sum_{n , = , x}^infty a_n , , text{if} , , y to infty ]
[ sum_{n,=,-infty}^y a_n , , text{if} , , x to -infty ]
Puntuación explicada
Para una secuencia infinita:
[ s = left { 1, , frac{1}{2}, , frac{1}{4}, , frac{1}{8}, , ldots right } ]
La serie infinita correspondiente es:
[ S = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ldots ]
Y el formulario de citación requerido es:
[ S = sum_{n ,= ,0}^infty a_n = sum_{n , = , 0}^infty frac{1}{2^n} ]
Aquí, $a_n = frac{1}{2^n}$ representa la forma requerida de la serie de entrada (según el índice de secuencia $n$), y $S$ representa la salida de la suma.
¿Cómo usar la calculadora de series infinitas?
Puedes usar el Calculadora de series infinitas utilizando las siguientes pautas. Supongamos que queremos encontrar la suma infinita de la función:
[ f(n) = a_n = frac{3^n+1}{4^n} ]
Esto representa algunas series sobre un rango de $n$.
Etapa 1
Convierta la secuencia en serie, luego la serie en forma de suma. Si ya tiene el formulario de citación, omita este paso. En nuestro caso, nos saltamos este paso porque ya tenemos el formulario de citación.
2do paso
Introduzca la serie en el cuadro de texto “Suma de”. Para nuestro ejemplo, escribimos “(3^n+1)/4^n” sin coma.
Paso 3
Introduzca el valor inicial del rango de suma en el cuadro de texto “Desde”. En nuestro caso, escribimos “0” sin coma.
Paso 4
Ingrese el valor final del rango de suma en el cuadro de texto “hasta”. Escribimos “infinito” sin coma para nuestro ejemplo, que la calculadora interpreta como $infty$.
Paso 5
presione el Enviar botón para obtener los resultados.
Resultados
Dependiendo de la entrada, los resultados serán diferentes. Para nuestro ejemplo, obtenemos:
[ sum_{n , = , 0}^infty frac{3^n+1}{4^n} = frac{16}{3} , approx , 5.3333 ]
Suma de rango infinito
Si el rango de $n = [x, , y]$ implica $x , , text{o} , , y = infty , , text{o} , , -infty$, la calculadora percibe la entrada como una suma en l ‘ infinito. Este fue el caso con nuestro ejemplo ficticio.
Si la serie diverge, la calculadora mostrará “la suma no converge” o “diverge a $infty$”. De lo contrario, muestra el valor en el que converge la serie. Nuestra entrada de muestra entra en esta categoría.
Series divergentes no geométricas
Si ingresa la función para una serie aritmética “1n” en el cuadro de texto y la evalúa de 0 a infinito, el resultado tendrá una opción adicional “Mostrar pruebas”. Al hacer clic en él, se presentará una lista de cinco pruebas con sus resultados que mostraron que la serie es divergente.
Estas pruebas se aplican solamente cuando no es aplicable un método directo o una fórmula como la suma infinita de series geométricas. Entonces, para la entrada “2^n” (una función que representa una serie geométrica en $n$), la calculadora no usa estas pruebas.
Suma de rango finito
Si el rango está bien definido y es finito (por ejemplo, $sum_{n , = , 0}^5$), la calculadora calcula directamente la suma y la muestra.
Si la secuencia de entrada es una secuencia con una solución de forma cerrada conocida (aritmética, geométrica, etc.), la calculadora la usa para un cálculo rápido.
¿Cómo funciona la calculadora de series infinitas?
los Calculadora de series infinitas trabaja utilizando el concepto de secuencia y serie. Repasemos todos los conceptos involucrados para comprender mejor cómo funciona esta calculadora.
Secuencias y series
Una secuencia es un grupo de valores donde cada elemento del grupo se relaciona con el siguiente de la misma manera. La extensión de tal grupo al infinito lo convierte en un secuencia infinita. Por ejemplo:
[ s_n = 1, , frac{1}{2}, , frac{1}{4}, , frac{1}{8}, , ldots ]
En la secuencia anterior, si elige el elemento $s_i$, puede determinar $s_{i+1}$ simplemente multiplicando $s_i$ por $frac{1}{2}$. Así, cada elemento de la secuencia es la mitad del elemento anterior.
[ s_{i+1} = s_i times frac{1}{2} ]
Podemos encontrar el valor de cualquier elemento en esta secuencia si tenemos uno de los elementos y su posición/índice. Si ahora sumamos todos los elementos de la secuencia, obtenemos un series infinitas:
[ S = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ldots ]
Tenga en cuenta que esta serie en particular se conoce como geométrico serie, donde cada término consecutivo está vinculado por un informe conjunto:
[ r = frac{a_{n+1}}{a_n} ]
Convergencia y divergencia de series.
Una serie infinita puede converger (aproximarse a un valor definido y finito) o divergir (aproximarse a un valor indefinido e infinito). Puede parecer un problema imposible, pero podemos realizar varias pruebas para determinar si una serie dada es convergente o divergente. La calculadora utiliza lo siguiente:
- prueba de la serie p
- Prueba de raíz
- informe de prueba
- Prueba completa
- Prueba de límite/divergencia
En algunos casos, algunas pruebas pueden no ser concluyentes. Además, algunas pruebas indican convergencia pero no proporcionan el valor de convergencia.
También existen técnicas específicas para los tipos de series, como por ejemplo para una serie geométrica con informe conjunto $r$:
[ S_n = a + ar + ar^2 + ldots + ar^{n-1} ]
Tenemos la fórmula para la suma de $n$ términos de la serie:
[ S_n = a left ( frac{1-r^{n+1}}{1-r} right ) , , text{where} , , r neq 1 ]
Si $r > 1$, la serie geométrica infinita es divergente ya que el numerador $a(1-r^{n+1}) to infty$ como $n to infty$. Sin embargo, si $r < 1$, entonces la serie es convergente y la fórmula se simplifica a:
[ S = frac{a}{1-r} , , text{if} , , r < 1 ]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Demuestre que la serie armónica es divergente.
[ H = left{ a + frac{1}{a+d} + frac{1}{a+2d} + frac{1}{a+3d} + ldots right} ]
La solución
La forma de suma de la serie en $a, , d=1$ es:
[ H = sum_{n , = , 1}^infty frac{1}{n} ]
La prueba de límite no es concluyente porque $lim_{n to infty} frac{1}{n} = 0$ y solo es válida para valores límite mayores que 0.
La prueba p indica que para una suma de la forma $sum_{n , = , 1}^infty frac{1}{n^k}$, la serie es divergente si $k leq 1$ y convergente si $k > 1$. Aquí, lo primero es cierto por lo que la serie es divergente.
La prueba completa valida aún más el resultado de la serie p:
[ int_1^infty frac{1}{n} cdot dn = left. ln n right rvert_1^infty = ln infty ]
La serie es por tanto divergir.
Ejemplo 2
Evaluar:
[ S = sum_{n , = , 0}^infty frac{3^n+1}{4^n} ]
La solución
Sea $a_n = frac{3^n+1}{4^n}$. Dividirlo en dos fracciones:
[ a_n = frac{3^n}{4^n} + frac{1}{4^n} ]
Así que nuestra suma es esencialmente la suma de dos series geométricas:
[ S = underbrace{ sum_{n , = , 0}^infty left ( frac{3}{4} right)^n }_text{1$^text{st}$ geometric series $G$} + underbrace{ sum_{n , = , 0}^infty left ( frac{1}{4} right)^n}_text{2$^text{nd}$ geometric series $G’$} ]
Donde $r = frac{3}{4} = 0,75 < 1$ para $G$ y $r' = frac{1}{4} = 0,25 < 1$ para $G'$, por lo que los dos son convergentes . Sabiendo que:
[ a = left. left( frac{3}{4} right)^n right rvert_{n , = , 0} = 1 ]
[ a’ = left. left( frac{1}{4} right)^n right rvert_{n , = , 0} = 1 ]
Usando la fórmula de la suma geométrica infinita:
[ G = frac{a}{1-r} = frac{1}{0.25} = 4 ]
[ G’ = frac{a’}{1-r’} = frac{1}{0.75} = frac{4}{3} ]
[ S = G + G’ = 4 + frac{4}{3} = frac{16}{3} ]
La serie es por tanto convergente.
Lista de calculadoras matemáticas
