Calculadora de valores propios 2X2 + solucionador en línea con pasos gratuitos

A Calculadora de valores propios es una calculadora en línea que se utiliza para averiguar los valores propios de una matriz de entrada. Estos valores propios para una matriz describen la fuerza del sistema de ecuaciones lineales en la dirección de un vector propio particular.

Los valores propios se utilizan con sus vectores propios correspondientes para analizar transformaciones de matrices porque tienden a proporcionar información sobre las propiedades físicas de la matriz para problemas del mundo real.

¿Qué es una calculadora de valor propio de matriz 2 × 2?

Una calculadora de valor propio de matriz 2×2 es una herramienta que calcula valores propios para sus problemas que involucran matrices y es una forma sencilla de resolver problemas de valores propios para una matriz de 2 × 2 en línea.

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales en tu navegador y te da una solución paso a paso. Por lo tanto, los valores propios y sus vectores propios para estas matrices de entrada tienen una importancia enorme. Estos proporcionan una fuerte correlación entre el sistema de ecuaciones lineales y su validez en el mundo real.

Valores propios y vectores propios son bien conocidos en el campo de las matemáticas, la física y la ingeniería. De hecho, estos valores y vectores ayudan a describir muchos sistemas complejos.

Se utilizan con mayor frecuencia para identificar direcciones y magnitudes de tensiones que actúan sobre geometrías irregulares y complejas. Este trabajo se enmarca dentro del campo de la ingeniería mecánica y civil. los calculadora está diseñado para obtener las entradas de una matriz y proporcionar los resultados apropiados después de realizar sus cálculos.

los Calculadora de valores propios tiene cuadros de entrada para cada entrada en la matriz, y puede proporcionarle los resultados deseados con solo presionar un botón.

¿Cómo usar la calculadora de valores propios 2×2?

Este Calculadora de valores propios es muy fácil e intuitivo de usar, con solo cuatro campos de entrada y un botón “Enviar”. Es importante tener en cuenta que esto solo puede funcionar para matrices de 2 × 2 y no para ningún orden superior, pero sigue siendo una herramienta útil para resolver rápidamente sus problemas de valores propios.

Las pautas para usar esta calculadora para obtener los mejores resultados son las siguientes:

Etapa 1:

Tome un problema matricial cuyos valores propios le gustaría resolver.

2do paso:

Ingrese los valores para su problema de matriz de 2 × 2 en los 4 campos de entrada disponibles en la interfaz de la calculadora.

Paso 3:

Una vez ingresado, todo lo que tiene que hacer es presionar el botón “Enviar” botón y la solución aparecerá en una nueva ventana.

Paso 4:

Finalmente, para ver la solución paso a paso del problema, puede hacer clic en el botón correspondiente proporcionado. Si tiene la intención de resolver otro problema, también puede hacerlo fácilmente ingresando los nuevos valores en la ventana abierta.

¿Cómo funciona una calculadora de valor propio de matriz 2×2?

Este Calculadora de valores propios funciona utilizando la suma y la multiplicación de matrices básicas para encontrar la solución requerida. Analicemos cómo funciona una calculadora de valores propios.

¿Qué es un valor propio?

A valor propio es un valor que representa varias cantidades escalares que corresponden a un sistema de ecuaciones lineales. Este valor de una matriz proporciona información sobre su naturaleza física y su cantidad. Esta cantidad física se manipula como una cantidad, actuando en una dirección particular descrita por los vectores propios para la matriz dada.

Estos valores se denominan con muchos nombres diferentes en el mundo de las matemáticas, es decir, valores característicos, raíces, raíces latentes, etc., pero son más comúnmente llamado Valores propios alrededor del mundo.

Configure la entrada en la forma deseada:

Teniendo una importancia considerable en el mundo de la física, las matemáticas y la ingeniería, los valores propios constituyen un importante conjunto de cantidades. Ahora, esta calculadora de valores propios utiliza la suma y la multiplicación de matrices en su núcleo para encontrar la solución requerida.

Comenzamos suponiendo que se le ha dado una matriz $A$ de orden [n times n]. En el caso de nuestra calculadora, para ser precisos esta matriz debe ser del orden [2×2]. Considere ahora un conjunto de valores escalares asociados con esta matriz descrita por Lambda ( lambda ). La relación entre el escalar ( lambda ) y la matriz de entrada $A$ se nos da de la siguiente manera:

[|A – lambda cdot I| = 0]

Resuelva la nueva forma para obtener el resultado:

Donde $A$ representa la matriz de entrada del orden 2×2, $I$ representa la matriz identidad del mismo orden, y lambda y representa un vector que contiene los valores propios asociados a la matriz $A$. Por lo tanto, lambda también se conoce como matriz propia o incluso como matriz característica.

Finalmente, las barras verticales a cada lado de esta ecuación muestran que hay un determinante que actúa sobre esta matriz. Este determinante será entonces igual a cero en las circunstancias dadas. Esto se hace para calcular las raíces latentes apropiadas, a las que llamamos valores propios del sistema.

Por lo tanto, una matriz $A$ tendrá un conjunto correspondiente de valores propios lambda cuando [|A  –  lambda cdot I| = 0].

Pasos para encontrar un conjunto de valores propios:

  • Supongamos que hay una matriz cuadrada llamada $A$ de orden 2×2, waquí la matriz identidad se expresa como begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}
  • Ahora, para obtener la ecuación deseada, debemos introducir una cantidad escalar, es decir, lambda, que se multiplicará por la matriz identidad $I$.
  • Una vez completada esta multiplicación, la matriz resultante se resta de la matriz cuadrada original A, [ (A – lambda cdot I) ].
  • Finalmente, calculamos el determinante de la matriz resultante, [ |A – lambda cdot I| ].
  • El resultado, cuando es igual a cero, [ |A – lambda cdot I| = 0 ] termina haciendo una ecuación cuadrática.
  • Esta ecuación cuadrática se puede resolver para encontrar los valores propios de la matriz cuadrada deseada A de orden 2×2.

Relación entre la matriz y la ecuación característica:

Un fenómeno importante a tener en cuenta es que, para una matriz de 2×2, tendremos una ecuación cuadrática y dos valores propioscuales son las raíces extraídas de esta ecuación.

Por lo tanto, si identifica la tendencia aquí, resulta obvio que a medida que aumenta el orden de la matriz, también aumenta el grado de la ecuación resultante y, finalmente, el número de raíces que produce.

Historia de los valores propios y sus vectores propios:

Valores propios se han utilizado comúnmente junto con sistemas de ecuaciones lineales, matrices y problemas de álgebra lineal en la actualidad. Pero originalmente, su historia está más ligada a las formas diferenciales y cuadráticas de las ecuaciones que a la transformación lineal de matrices.

Gracias al estudio presentado por el matemático del siglo XVIII Leonhard Euler, pudo descubrir la verdadera naturaleza del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, que el eje principal de este cuerpo giratorio eran los vectores propios de la matriz de inercia.

Esto condujo a un gran avance en el campo de las matemáticas. A principios del siglo XIX, Augustin-Louis Cauchy encontró una forma de describir numéricamente las superficies cuadráticas. Una vez generalizada, había encontrado las raíces características de la ecuación característica, ahora conocidas como valores propios, y que aún perduran en la actualidad.

Ejemplos resueltos:

Ejemplo No. 1:

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resuelva sus valores propios correspondientes:

[ A = begin{bmatrix}
0 & 1 \
-2 & -3
end{bmatrix} ]

Ahora la matriz dada se puede expresar en la forma de su ecuación característica de la siguiente manera:

[ |A – lambda cdot I| =bigg|begin{bmatrix}
0 & 1 \
-2 & -3
end{bmatrix} – begin{bmatrix}lambda & 0 \0 & lambda end{bmatrix}bigg| = 0]

La resolución de esta matriz produce además la siguiente ecuación cuadrática:

[bigg|begin{bmatrix}-lambda & 1 \-2 & -3-lambda end{bmatrix}bigg| = lambda^2 + 3lambda + 2  = 0]

Finalmente, la solución de esta ecuación cuadrática conduce a un conjunto de raíces. Estos son los valores propios asociados al sistema de ecuaciones lineales que nos ha sido dado:

[lambda_{1} = -1, lambda_{2} = -2]

Ejemplo Nº 2:

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resuelva sus valores propios correspondientes:

[ A = begin{bmatrix}
-5 & 2 \
-9 & 6
end{bmatrix} ]

Ahora la matriz dada se puede expresar en la forma de su ecuación característica de la siguiente manera:

[|A – lambda cdot I|=bigg|begin{bmatrix}
-5 & 2 \
-9 & 6
end{bmatrix} – begin{bmatrix}lambda & 0 \0 & lambda end{bmatrix}bigg| = 0]

La resolución de esta matriz produce además la siguiente ecuación cuadrática:

[bigg|begin{bmatrix}-5-lambda & 2 \-9 & 6-lambda end{bmatrix}bigg| = lambda^2 – lambda – 12  = 0]

Finalmente, la solución de esta ecuación cuadrática conduce a un conjunto de raíces. Estos son los valores propios asociados al sistema de ecuaciones lineales que nos ha sido dado:

[lambda_{1} = -3, lambda_{2} = 4]

Ejemplo #3:

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resuelva sus valores propios correspondientes:

[A =begin{bmatrix}2 & 3 \2 & 1end{bmatrix}]

Ahora la matriz dada se puede expresar en la forma de su ecuación característica de la siguiente manera:

[|A – lambda cdot I| = bigg|begin{bmatrix}2 & 3 \2 & 1 end{bmatrix} – begin{bmatrix}lambda & 0 \0 & lambda end{bmatrix}bigg| = 0]

La resolución de esta matriz produce además la siguiente ecuación cuadrática:

[bigg|begin{bmatrix}2-lambda & 3 \2 & 1-lambda end{bmatrix}bigg| = lambda^2 – 3 lambda – 4  = 0]

Finalmente, la solución de esta ecuación cuadrática conduce a un conjunto de raíces. Estos son los valores propios asociados al sistema de ecuaciones lineales que nos ha sido dado:

[lambda_{1} = 4, lambda_{2} = -1]

Ejemplo #4:

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resuelva sus valores propios correspondientes:

[A =begin{bmatrix}5 & 4 \3 & 2end{bmatrix}]

Ahora la matriz dada se puede expresar en la forma de su ecuación característica de la siguiente manera:

[|A – lambda cdot I| = bigg|begin{bmatrix}5 & 4 \3 & 2 end{bmatrix} – begin{bmatrix}lambda & 0 \0 & lambda end{bmatrix}bigg| = 0]

La resolución de esta matriz produce además la siguiente ecuación cuadrática:

[bigg|begin{bmatrix}5-lambda & 4 \3 & 2-lambda end{bmatrix}bigg| = lambda^2 – 7 lambda – 2  = 0]

Finalmente, la solución de esta ecuación cuadrática conduce a un conjunto de raíces. Estos son los valores propios asociados al sistema de ecuaciones lineales que nos ha sido dado:

[lambda_{1} = 4, lambda_{2} = 3]

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