Calculadora raíz + Solucionador en línea con pasos gratuitos

square super root example 3 1024x601

los Calculadora de raíz encuentra la súper raíz cuadrada de un número dado, una o más variables, o una expresión matemática. La súper raíz cuadrada (indicada como ssrt(x), ssqrt(x) o $sqrt{x}_s$) es una función matemática relativamente rara.

ssrt(x) representa el operación inversa de tetración (exponenciación repetida), y su cálculo implica la lamberto función o el enfoque iterativo para newton raphson método. La calculadora utiliza el primer método y admite expresiones multivariadas.

¿Qué es la calculadora raíz?

Root Calculator es una herramienta en línea que evalúa la superraíz cuadrada de una expresión de entrada. El valor de entrada puede contener varios términos variables como x Dónde alláen cuyo caso, la función muestra un gráfico de los resultados en un rango de valores de entrada.

los interfaz de la calculadora consta de un único cuadro de texto descriptivo etiquetado “Encuentra la superraíz cuadrada de” lo cual se explica por sí mismo: ingresa el valor de la variable o el término que desea encontrar aquí, y eso es todo.

¿Cómo usar la calculadora de raíces?

Puedes usar el Calculadora de raíz introduciendo el número cuya superraíz cuadrada se busca. También puede introducir variables. Por ejemplo, suponga que desea encontrar la superraíz cuadrada de 27. En otras palabras, su problema se ve así:

[ text{ssqrt}(27) ,, text{or} ,, text{ssrt}(27) ,, text{or} ,, sqrt{27}_s ]

Luego puede usar la calculadora para resolverlo en solo dos pasos de la siguiente manera.

Etapa 1

Ingrese el valor o la expresión para encontrar la superraíz cuadrada en el cuadro de texto de entrada. En el ejemplo, es 27, así que ingresa “27” sin las comillas.

2do paso

presione el Enviar botón para obtener los resultados.

Resultados

Los resultados se expanden y las secciones que se muestran dependen de la entrada. Las posibilidades son:

  1. Para ingresar: La expresión de entrada en la forma estándar para el cálculo de superraíz cuadrada con la función W de Lambert: $e^{ W_0(ln(x)) }$ donde x es la entrada.
  2. Resultado/aproximación decimal: El resultado del cálculo de la superraíz cuadrada puede ser un número real o complejo. En el caso de entradas variables, esta sección no se muestra.
  3. Gráficos 2D/3D: Gráficas 2D o 3D del resultado sobre un rango de valores para términos variables – reemplaza el “Resultados” sección. No aparece cuando hay más de dos variables involucradas, o ninguna variable en absoluto.
  4. Numero de linea: El valor del resultado tal como cae en la recta numérica no indica si el resultado es complejo.
  5. Otras formas/representaciones: Otras representaciones posibles de la fórmula de la superraíz cuadrada, como la forma de fracción común: $e^{ W(ln(x)) } = frac{ln(x)}{W(ln(x) )} $ donde x es la entrada.
  6. Representaciones integrales: Más representaciones alternativas como integrales si es posible.
  7. Fracción continua: La “fracción continua” del resultado en formato lineal o de fracción. Solo aparece si el resultado es un número real.
  8. Formas complejas alternativas/forma polar: miEuler xponencial, representaciones trigonométricas y polares del resultado: solo se muestran si el resultado es un número complejo.
  9. Posición en el plano complejo: Un punto visualizado en las coordenadas del resultado en el plano complejo; solo aparece si el resultado es un número complejo.

¿Cómo funciona la calculadora de raíces?

los Calculadora de raíz trabaja usando las siguientes ecuaciones:

[ text{ssrt}(y) ,, text{where} ,, y = x^x ,, vert ,, x in +mathbb{R} tag*{$(1)$}]

Y su eventual formulación como exponencial de la función de Lambert W:

[ text{ssrt}(y) = e^{W(ln y)} = frac{ln y}{W(ln y)} tag*{$(2)$} ]

Tetración y súper raíces cuadradas

La tetración es la operación de exponenciación repetida. La tetración $n^{th}$ de un número x se denota:

[ {}^{n}x = x upuparrows n = x^{x^{cdot^{cdot^{cdot^{x}}}}} ]

Es conveniente asignar un índice a cada instancia de x en la forma $x_1,, x_2,, x_3,, ldots,, x_n = x$ :

[ {}^{n}x = x_1^{x_2^{cdot^{cdot^{cdot^{x_n}}}}} ]

Entonces hay n copias de x, repetidamente exponencialmente n-1 veces. Piense en x1 como nivel 1 (más bajo o base), x2 como nivel 2 (1er exponente) y xn como nivel n (más alto o (n-1)-ésimo exponente). En este contexto, a veces se la denomina torre de energía de altura n.

La súper raíz cuadrada es la operación inversa de la segunda tetración $x^x$. Es decir si:

[ y = x^x iff text{ssrt}(y) = sqrt{y}_s = x ]

Resolver $y = x^x$ para x (el mismo proceso que encontrar una función inversa) conduce a la formulación de la súper raíz cuadrada en la ecuación (2).

Función W de Lambert

En la ecuación (2), W representa la función de Lambert W. También se denomina función logaritmo del producto o función omega. Es la relación inversa de $f(w) = we^w = z$ donde w, z $in mathbb{C}$, y tiene la propiedad:

[ we^w = z iff W_k(z) = w ,, text{where} ,, k in mathbb{Z} ]

Es un función multivaluada con k ramas. Solo se necesitan dos cuando se trata de números reales, a saber, $W_0$ y $W_{-1}$. $W_0$ también se llama rama principal.

Aproximación asintótica

Como la tetración involucra valores grandes, a veces es necesario usar la expansión asintótica para estimar el valor de la función Wk(x):

[ begin{aligned} W_k &= L_1-L_2 + frac{L_2}{L_1} + frac{L_2 !left(-2+L_2 right)}{2L_1^2} + frac{L_2 !left( 6-9L_2+2L_2^2 right)}{6L_1^3} \ & quad +  frac{L_2 !left(-12+36L_2-22L_2^2+3L_2^3 right)}{12L_1^4} + cdots end{aligned} tag*{$(3)$} ]

Dónde:

[ L_1,, L_2 = left{ begin{array}{lcl} ln x,, ln (ln x) & text{for} & k = 0 \ ln(!-x),, ln(!-!ln(!-x)) & text{for} & k = -1 end{array} right. ]

Número de soluciones

Recuerda que las funciones inversas son aquellas que proporcionan una única solución inequívoca. La superraíz cuadrada no es técnicamente una función inversa porque involucra la función W de Lambert en sus cálculos, que es una función multivaluada.

Debido a esto, la súper raíz cuadrada puede no tener una solución única o única. Sin embargo, a diferencia de las raíces cuadradas, encontrar el número exacto de superraíces cuadradas (llamadas $n^{th}$ raíces) no es sencillo. En generalpara ssrt(x), si:

  1. x > 1 en ssrt(x), hay una súper raíz cuadrada también mayor que 1.
  2. $e^{-frac{1}{e}}$ = 0.6922
  3. 0

Tenga en cuenta que en el caso de varias soluciones, la calculadora presentará una de ellas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Encuentra la súper raíz cuadrada de 256. ¿Cómo se relaciona el resultado con 256?

La solución

Sea y el resultado deseado. Entonces necesitamos:

[ y = sqrt{256}_s ]

En la inspección, nos damos cuenta de que es un problema simple.

[ because 4^4 = 256 , Rightarrow , y = 4 ]

¡No hay necesidad de calcular el camino largo para eso!

Ejemplo 2

Evalúa la tercera tetración de 3. Luego encuentra la superraíz cuadrada del resultado.

La solución

[ 3^{3^{3}} = 7.6255 !times! 10^{12} ]

Usando la ecuación (2), obtenemos:

[ sqrt{7.6255 !times! 10^{12}}_s = e^{ W left( ln left(7.6255 !times! 10^{12} right) right) } = frac{ln !left( 7.6255 !times! 10^{12} right)}{W !left( ln !left( 7.6255 !times! 10^{12} right) right)} ]

Usando la aproximación de la ecuación (3) hasta tres términos, obtenemos:

[ sqrt{7.6255 !times! 10^{12}} approx mathbf{11.92} ]

Lo cual está cerca del resultado de la calculadora de 11.955111.

Ejemplo 3

Considere la función f(x) = 27x. Trace la superraíz cuadrada de esta función en el rango x = [0, 1].

La solución

La calculadora traza lo siguiente:

square super root example 3

Figura 1

Todos los gráficos/imágenes fueron creados con GeoGebra.

Lista de calculadoras matemáticas