Campo de vector de rizo: definición, fórmula y ejemplos

Campo de vector de rizo: definición, fórmula y ejemplos

A través de bucle de un campo vectorial, ahora podemos estudiar cómo gira el fluido y se comporta el flujo eléctrico. Necesitaremos el rizo para estudiar las cantidades y relaciones representadas por campos vectoriales.

El bucle de un campo vectorial se utiliza para medir la rotación de un campo vectorial. El valor de curvatura resultante de un vector puede decirnos si un campo vectorial es rotacional o no.

En este artículo, le mostraremos qué representan los bucles en el mundo físico y cómo podemos aplicar las fórmulas para calcular el bucle de un campo vectorial. También le proporcionaremos ejemplos y problemas en los que puede trabajar y comprender mejor esta importante métrica.

¿Qué es la curva de un vector?

El bucle de un campo vectorial, $ nabla times textbf {F} $, en un punto dado, es simplemente el valor límite de la integral cerrada proyectada en un plano perpendicular a $ widehat { textbf {n}} $ . Matemáticamente, podemos definir el ciclo de un vector usando las siguientes ecuaciones.

begin {alineado} curl phantom {x} textbf {F} & = nabla times textbf {F} \ & = lim_ {s rightarrow 0} oint_ {C} dfrac { textbf { F} cdot textbf {dl}} { parcial s} end {alineado}

Ahora bien, ¿cómo interpretar esto como cantidades reales? El bucle de un campo vectorial, $ nabla times textbf {F} $, tiene una magnitud que representa la circulación total máxima de $ textbf {F} $ por unidad de área. Esto sucede cuando el área se acerca a cero con una dirección que es normal al área.

interpreting curls

El bucle de un vector nos permite medir la acción de rotación presente en un campo vectorial. En general, podemos interpretar el bucle de un campo vectorial como la velocidad angular en cualquier punto contenido en el campo vectorial dado. Esto significa que cuando el ciclo de un campo vectorial, $ nabla times textbf {F} $, es igual a cero, se dice que el campo vectorial es irrotacional.

Ahora escribamos las expresiones para $ nabla times textbf {F} $ cuando $ textbf {F} $ es bidimensional y cuando $ textbf {F} $ es tridimensional.

begin {alineado} nabla times textbf {F} text {in} mathbb {R} ^ 2 end {alineado}

begin {alineado} nabla times textbf {F} text {in} mathbb {R} ^ 3 end {alineado}

begin {alineado} textbf {F} & = \ nabla times textbf {F} & = left ( dfrac { Particular F_2} { Particular x} – dfrac { Particular F_1} { Particular y} right) textbf {k} final {alineado}

begin {alineado} textbf {F} & = left\ nabla times textbf {F} & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} \ dfrac { partial} { partial x} & dfrac { parcial} { y parcial} & dfrac { parcial} { z} parcial \ F_1 & F_2 & F_3 end {vmatrix} \ & = left end {alineado}

Llamamos $ nabla times textbf {F} $ como el “$ textbf {F} $ loop” o el “del cross textbf {F} $. En la siguiente sección, aprenderemos cómo aplicar estas fórmulas para evaluar los bucles de diferentes campos vectoriales.

¿Cómo encontrar la curva de un vector?

Encontrar el bucle de un vector es simple: identifique si el campo vectorial es bidimensional o tridimensional. El proceso cambiará dependiendo de los componentes de $ textbf {F} $.

  • Si $ textbf {F} = $ y tiene dos dimensiones, tomamos la derivada parcial de $ F_2 $ con respecto a $ y $ y la derivada parcial de $ F_1 $ con respecto a $ x $. La diferencia entre las dos expresiones será el bucle $ textbf {F} $.
  • Si $ textbf {F} = $ y tiene tres dimensiones, escribimos la matriz a continuación como guía.

begin {alineado} nabla times textbf {F} & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} \ dfrac { parcial} { parcial x } & dfrac { parcial} { y parcial} & dfrac { parcial} { parcial z} \ F_1 & F_2 & F_3 end {vmatrix} end {alineado}

  • Ahora evalúe la matriz para devolver el bucle de un vector.

begin {alineado} nabla times textbf {F} & = left end {alineado}

Vamos a mostrar cómo evaluar la curva de un vector en $ mathbb {R} ^ 2 $ y $ mathbb {R} ^ 3 $. Comenzando por evaluar el ciclo de $ textbf {F} = PS Tenemos $ F_1 (x, y) = y $ y $ F_2 (x, y) = -x $, así que tome las derivadas parciales de $ F_1 (x, y) $ y $ F_2 (x, y) $ con par en relación con $ y $ y $ x $, respectivamente. Resta las dos expresiones para encontrar el ciclo de $ textbf {F} $.

begin {alineado} nabla times textbf {F} & = left ( dfrac { Particular F_2} { Particular x} – dfrac { Particular F_1} { Particular y} right) textbf { k} \ & = left[dfrac{partial }{partial y}(-x) -dfrac{partial }{partial y}(y) right ] textbf {k} \ & = (-1 -1) textbf {k} \ & = -2 textbf {k} end {alineado}

Esto muestra que el ciclo de $ textbf {F} = $ es un vector constante ubicado a lo largo de la dirección $ z $.

Ahora intentemos evaluar el ciclo de $ textbf {F} = PS Esta vez estamos trabajando con un vector tridimensional, por lo que tenemos los siguientes componentes:

begin {alineado} F_1 & = 4x ^ 2 \ F_2 & = 2z \ F_3 & = -2x end {alineado}

Observe el ciclo de $ textbf {F} (x, y, z) $ usando su forma matricial y, opcionalmente, evaluando las derivadas parciales de $ F_1 $, $ F_2 $ y $ F_3 $.

begin {alineado} nabla times textbf {F} & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} \ dfrac { parcial} { parcial x } & dfrac { parcial} { y parcial} & dfrac { parcial} { parcial z} \ 4x ^ 2 & 2z & -2x end {vmatrix} \ & = left\ & = left\ & = end {alineado}
Le hemos mostrado cómo aplicar la fórmula para el bucle. Por supuesto, la mejor manera de comprender el proceso de evaluación de bucles es practicar, ¡así que hemos preparado más preguntas para que las pruebe!

Ejemplo 1

Usa el ciclo de $ textbf {F} = $ para determinar si el campo vectorial es conservador.

Solución

Cuando el bucle de un campo vectorial es cero, podemos concluir que el campo vectorial es conservador. Esto significa que tendremos que ver si $ nabla times textbf {F} $ es cero o no. Tenemos $ F_1 (x, y, z) = x ^ 2y $, $ F_2 (x, y, z) = 2xyz $, y $ F_3 (x, y, z) = xy ^ 2 $, así que vayamos y evaluar $ nabla times textbf {F} $.

begin {alineado} nabla times textbf {F} & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} \ dfrac { parcial} { parcial x } & dfrac { parcial} { y parcial} & dfrac { parcial} { parcial z} \ x ^ 2y & 2xyz & xy ^ 2 end {vmatrix} \ & = left\ & = left\ & = \ & neq 0 end {alineado}

Dado que $ nabla times textbf {F} $ no es cero, nuestro campo vectorial no es conservador.

Ejemplo 2

Evalúe el ciclo de $ textbf {F} = $ en el punto, $ left ( dfrac { pi} {2}, 0, dfrac { pi} {2} right) $.

Solución

Primero, busquemos la expresión para $ nabla times textbf {F} = PS Aquí hay un resumen de los cálculos para encontrar $ nabla times textbf {F} $.

begin {alineado} nabla times textbf {F} & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} \ dfrac { parcial} { parcial x } & dfrac { parcial} { y parcial} & dfrac { parcial} { parcial z} \ sin x sin z & cos y cos z &, sin x cos y end {vmatrice} \ & = left\ & = left\ & = end {alineado}

Ahora que tenemos el campo vectorial curl, podemos continuar y evaluar la función vectorial resultante en $ x = dfrac { pi} {2} $, $ y = 0 $ y $ z = dfrac { pi} { 2} $.

begin {alineado} nabla times textbf {F} left ( dfrac { pi} {2}, 0, dfrac { pi} {2} right) & = left\ & = left\ & = left end {alineado}

Esto significa que el bucle del campo vectorial en el punto $ left ( dfrac { pi} {2}, 0, dfrac { pi} {2} right) $, es el vector, $ left $ o $ -2 textbf {j} $.

Preguntas practicas

1. Evalúe la curva de los siguientes campos vectoriales en $ mathbb {R} ^ 2 $.
una. $ textbf {F} = PS
B. $ textbf {F} = PS
vs. $ textbf {F} = y ^ 3 textbf {i} -2xy textbf {j} $
D. $ textbf {F} = ln (xy) textbf {i} – e ^ x cos y textbf {j} $
2. Utilice el ciclo de $ textbf {F} = $ para determinar si el campo vectorial es conservador.
3. Evalúe el ciclo de $ textbf {F} = $ en el punto, $ left (1, 1, 1 a la derecha) $.
4. Evalúe la curva de los siguientes campos vectoriales en $ mathbb {R} ^ 3 $.
una. $ textbf {F} = PS
B. $ textbf {F} = PS
vs. $ textbf {F} = e ^ {xy} textbf {i} + e ^ {yz} textbf {j} + e ^ {zx} textbf {k} $
D. $ textbf {F} = sin xy textbf {i} + cos yz textbf {j} + sin xz textbf {k} $

Clave de respuesta

1.
una. $ nabla times textbf {F} = 0 $
B. $ nabla times textbf {F} = 4y textbf {k} $
vs. $ nabla times textbf {F} = – dfrac {ye ^ x cos y + 1} {y} textbf {k} $
D. $ nabla times textbf {F} = -y (3y + 2) textbf {k} $
2. $ nabla times textbf {F} = 0 $, por lo que el campo vectorial es conservador.
3. $ nabla times textbf {F} = left$, entonces en $ left (1, 1, 1 right) $, es igual a $$ o $ e textbf {i} $.
4.
una. $ nabla times textbf {F} = 0 $
B. $ nabla times textbf {F} = = – cos x cos z textbf {j} $
vs. $ nabla times textbf {F} = = -ye ^ {yz} textbf {i} -ze ^ {xz} textbf {j} -xe ^ {xy} textbf {k} $
D. $ nabla times textbf {F} = = y sin yz textbf {i} -z cos xz textbf {j} – x cos xy textbf {k} $

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.