Considere la siguiente función. C(x) = x^{1/5}(x + 6). (Si no existe respuesta, ingrese DNE).

1658257502 SOM Questions and Answers

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar el intervalo de aumentar o intervalo de Minimizar de la función dada encontrando su puntos críticos primero.

El intervalo de aumento y disminución es el intervalo en el que la función real aumentará o disminuirá el valor de un variable dependiente. El aumento o disminución en el intervalo se puede encontrar comprobando el valor de primera derivada de la función dada.

Si la derivada es positivo, esto significa que el intervalo es creciente. Esto implica aumentar la función con la variable dependiente $x$. Si la derivada es negativo, esto significa que el intervalo es decreciente. Esto implica disminuir la función con la variable dependiente x.

Respuesta experta

O la función:

[f(x) = x ^frac{1}{5} ( x + 6 ) ]

Enchufe primera derivada de la función $f(x)$:

[f’ (x) =frac{1}{5} pi ^ frac{-4}{5} ( x + 6 ) + x^ frac{1}{5}]

[=frac{x + 6}{5x ^ {frac{4}{5}}} + x ^frac{1}{5}]

[=frac{ x + 6 + 5x ^ {frac{1}{5}+ frac{4}{5}}}{ 5x^{frac{4}{5}} }]

Tomando $6$ comunes, obtenemos:

[=frac{6 (x + 1) }{ 5x ^ {frac{4}{5}}}]

Para encontrar los puntos críticos, igualaremos la primera derivada a $0$:

[f’ (x) = 0]

[frac{ 6 (x + 1) }{ 5x ^ {frac{4}{5}} } = 0]

[x + 1 = 0]

[x = – 1]

Los puntos críticos son $x = – 1$ y $x = 0$

El intervalo es entonces:

[(- infty , – 1 ) , (- 1 , 0) , (0 , infty)]

Solución digital

En el intervalo dado $( – infty , – 1 )$, pon $x = -2$

[frac{ 6 (- 2 + 1) }{ 5( – 2) ^ {frac{4}{5}} } = – 0 . 68 < 0]

Así, $f (x)$ es decreciente en el intervalo $(- infty , – 1)$.

Tome el intervalo $( -1 , 0 )$ y establezca $x = – 0.5$:

[f’ (x) = frac{ 6 ( – 0.5 + 1) }{ 5( – 0.5 ) ^ {frac{4}{5}} } =  1.04 > 0]

Entonces $f (x)$ es creciente en el intervalo $( – 1 , 0 )$.

En el rango $(0 , infty)$, pon $x = 1$ :

[f’ (x) =frac{6 ( 1 + 1) }{5( 1) ^ {frac{4}{5}}} = 2.4 > 0]

Entonces $f(x)$ es creciente en el intervalo $(0 , infty)$.

Ejemplo

Encuentra los intervalos crecientes y decrecientes de la función $f(x)= -x^3 + 3x^2 +9$.

[f’(x) = -3x^2 + 6x]

[f’(x) = -3x (x – 2)]

Para encontrar puntos críticos:

[-3x (x – 2) = 0]

$x = 0$ o $x = 2$

Los rangos son $(- infty, 0)$ , $(0, 2)$ y $(2, infty)$.

Para el intervalo $(- infty , 0 )$, ponga $x = -1$:

[f’ (x) = -9 < 0]

es una funcion decreciente.

Para el intervalo $(0, 2)$, ponga $x =1$:

[f’ (x) = 3 > 0]

Es una función creciente.

Para el intervalo $(2, infty)$, establezca $x =4$:

[f’ (x) = -24 < 0]

es una funcion decreciente.

Los dibujos de imágenes/matemáticas se crean en Geogebra.