Contraejemplo: explicación y ejemplos

Contraejemplo: explicación y ejemplos

Un contraejemplo es un ejemplo específico en el que una declaración es falsa.

El contraejemplo de existencia prueba que el enunciado es falso, incluso si a menudo, en su mayor parte o casi en su totalidad es cierto.

Los contraejemplos son extremadamente importantes para la lógica, que, a su vez, es importante porque proporciona la base para casi todas las matemáticas.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es un contraejemplo?
  • Cómo escribir un contraejemplo

¿Qué es un contraejemplo?

Un contraejemplo es una instancia específica en la que una declaración dada es falsa.

En lógica formal, una declaración es “falsa” si no es verdadera en todas las circunstancias. Aunque esto es generalmente cierto o, a veces, cierto, es falso.

Por esta razón, encontrar incluso un caso en el que la afirmación es falsa, la convierte en falsa. A veces es posible modificar una declaración para hacerla verdadera haciéndola menos general. Por ejemplo, puede modificar una declaración para que no se aplique a todos los números reales, sino solo a los números positivos.

Cómo escribir un contraejemplo

Escribir un contraejemplo requiere encontrar un caso específico cuando una declaración es incorrecta y mostrar cómo el caso refuta la declaración.

Cuando se demuestra que una afirmación es falsa, es necesario utilizar un específico Ejemplo. A modo de ilustración, en lugar de decir “esto es falso para números negativos”, parece “esto es falso para $ -2 $”.

Aunque parece que la segunda afirmación tiene menos peso, de hecho es el contraejemplo apropiado. Es quien logra el objetivo de probar la falsedad de una determinada afirmación.

Tampoco es necesario incluir todos los contraejemplos. Puede volverse agotador rápidamente. Por ejemplo, si una afirmación es falsa para números pares, es imposible enumerarlos todos. Solo uno servirá.

La mayoría de las declaraciones probadas falsas por contraejemplos son declaraciones condicionales. Por tanto, también es necesario explicar cómo el contraejemplo satisface las condiciones del antecedente pero no las condiciones de la consecuencia.

Aunque abundan los ejemplos matemáticos de contraejemplos, también se encuentran en todas partes en la ciencia, la filosofía y otras disciplinas.

Ejemplos de

Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran contraejemplos y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Un amigo dice: “Todos los países de habla inglesa están en el hemisferio norte.

Convierta esta instrucción en una instrucción condicional. Luego, encuentra un contraejemplo. ¿Hay alguna forma de cambiar esta afirmación?

Solución

La declaración original se convierte fácilmente en: “Si es un país de habla inglesa, entonces está en el hemisferio norte”.

En este caso, el antecedente es “país de habla inglesa” y la consecuencia es “hemisferio norte”.

Sin embargo, sabe que hay varios países de habla inglesa en el hemisferio sur. Estos incluyen Australia, Nueva Zelanda y Sudáfrica.

Sin embargo, en lugar de decir “hay países de habla inglesa que no están en el hemisferio norte”, debemos decir un país en particular. Entonces dices, “Australia no está en el hemisferio norte”, y lo marcas en un mapa.

Esto refuta la afirmación. Dado que hay varios ejemplos, esta declaración no es fácil de modificar.

Ejemplo 2

Josie dice que la afirmación: “Todos los números impares menores de $ 10 son primos es cierta porque $ 7 es menos de $ 10 y $ 7 es primo”.

Explique por qué dar un ejemplo no prueba que un enunciado sea verdadero y proporcione un contraejemplo para el enunciado dado. ¿Se puede cambiar la afirmación para que sea verdadera?

Solución

Una declaración puede ser verdadera para un millón de instancias, pero si es falsa en una instancia, la declaración es falsa. Por lo tanto, nombrar instancias donde una declaración es verdadera para probar que es verdadera solo funciona cuando hay una lista finita de instancias para las cuales el antecedente es verdadero.

Este es de hecho el caso en este ejemplo. Solo hay $ 5 de números impares de menos de $ 10: $ 1, $ 3, $ 5, $ 7, $ 9. Josie podría demostrar que esto es cierto mostrando que cada uno de ellos es el primero.

Pero eso no funcionaría porque $ 9 no lo hace. Por tanto, esto constituye un excelente contraejemplo. Dado que $ 9 = 3 times3 $, $ 9 $ es compuesto.

Esta declaración puede cambiarse según la definición de prima utilizada. La definición clásica de un número divisible por $ 1 $ y en sí misma permite que $ 1 $ sea primo, pero no la definición moderna de un número divisible exactamente por $ 2 $. Por lo tanto, como medida de seguridad, cambie la declaración a “si un número impar es mayor que $ 1 y menor que $ 9, entonces es primo”.

También es importante tener en cuenta que $ 2 $. * No * es un contraejemplo de esta segunda afirmación.

Sí, $ 2 $ es un número primo, pero satisface la consecuencia y no el antecedente. Un contraejemplo adecuado debería satisfacer el antecedente pero no la consecuencia.

Ejemplo 3

Si un número está entre $ 1 ^ $ 2 y $ 10 ^ $ 2, entonces su raíz cuadrada está entre $ 1 y $ 10.

¿Por qué esta afirmación es falsa?

Solución

Esta afirmación es falsa porque cada número tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa. El negativo será menos de $ 1 ^ 2 = $ 1.

Sin embargo, la forma correcta de hacerlo es elegir un número aleatorio entre $ 1 ^ 2 $ y $ 10 ^ 2 $, preferiblemente un cuadrado perfecto. Luego demuestre que hay una raíz cuadrada negativa.

Elija $ 4. Mientras que $ 2 ^ 2 = $ 4, $ (- 2) ^ 2 = $ 4 también. Por lo tanto, $ -2 $ es una raíz cuadrada de $ 4 $, que está entre $ 1 ^ 2 y 10 ^ 2 $. Entonces la afirmación es falsa.

Sin embargo, esta afirmación es fácil de corregir. Simplemente reemplace “si un número está entre $ 1 ^ 2 y $ 10 ^ 2 $, entonces su raíz cuadrada está entre $ 1 y $ 10” por “si un número está entre $ 1 ^ 2 $ y $ 10 ^ 2 $, entonces el valor absoluto de su raíz cuadrada está entre $ 1 y $ 10. ) Tenga en cuenta que hay más de una forma de reformular esto, por lo que es cierto.)

Ejemplo 4

No hay números en el rango $ (1, 2) $.

Finn dice que hay números en el intervalo porque no todos los números son números enteros. Sin embargo, esto no es un contraejemplo.

¿Puedes pensar en un contraejemplo específico y una forma de cambiar la declaración?

Solución

Finn tiene razón en que todos los números no son números enteros, por lo que este intervalo no está vacío. Pero esto no es un contraejemplo porque no es una instancia específica.

Entonces, un contraejemplo específico es $ 1.3 $ o $ frac { pi} {2} $, o $ frac {8} {7} $. Uno de ellos es suficiente.

Una enmienda adecuada a la declaración es: “No hay números enteros en el rango $ (1, 2) $. “

Ejemplo 5

Tu amigo dice que la afirmación “Todos los perros alados tienen rayas” es incorrecta. No estas de acuerdo. ¿Por qué?

Solución

Para probar con certeza que esta afirmación es falsa, debe encontrar un contraejemplo específico. Es decir, tienes que encontrar una instancia específica de algo que satisfaga el antecedente pero no la consecuencia.

Pero no hay perros alados. Por lo tanto, no puede encontrar uno que no tenga arañazos. Por esta extraña razón, esta y otras afirmaciones absurdas son técnicamente ciertas.

Otro ejemplo es el siguiente enunciado: “Todos los números enteros menores de $ 100 que son igualmente divisibles por $ 1,000 también son primos”. Si un número es divisible por $ 1000 $, no es primo por definición. Pero, dado que no hay números enteros menores de $ 100 que sean divisibles de manera uniforme por $ 1,000, es imposible demostrar que esto es incorrecto con un contraejemplo.

Problemas de práctica

  1. Encuentre contraejemplos a estas afirmaciones sobre el reino animal.
    A. Ningún mamífero puede volar
    B. Si pone huevos, no es un mamífero.
    C. Si da a luz a una descendencia viva, entonces es un mamífero.
  2. “Las medidas de ángulos superiores a 89 grados son obtusas”. Encuentre un contraejemplo para esta declaración, luego modifíquelo.
  3. “Los números enteros de $ 90 a $ 96 son todos compuestos. Demuestre que esta afirmación es cierta probando cada instancia.
  4. ¿Es verdadero o falso el enunciado “Todos los planetas de nuestro sistema solar con más de 200 lunas no tienen anillos”?
  5. Algunos países tienen más de $ 100,000,000 habitantes. Explique cómo un ejemplo demuestra que esta afirmación es verdadera y no falsa.

Clave de respuesta

  1. R. Un murciélago frugívoro es un mamífero y puede volar.
    B. Un ornitorrinco pone huevos y es un mamífero.
    C. Un gran tiburón blanco da a luz crías vivas, pero no es un mamífero.
  2. Es falso. Considere un ángulo con una medida de $ 89,5 grados. Siempre es nítido porque es menor que un ángulo recto. La afirmación correcta es: “Las medidas de ángulos superiores a 90 grados son obtusas”.
  3. Solo hay números enteros de $ 7 en este rango. Para demostrar que cada número entero está compuesto, basta con demostrar que no es primo. En otras palabras, no es necesario encontrar todos los factores de los números. Solo uno que no sea $ 1 y es suficiente.
    90: Divisible por 2.
    91: Divisible por 7.
    92: Divisible por 2.
    93: Divisible por 3.
    94: Divisible por 2.
    95: Divisible por 5.
    96: Divisible por 2.
  4. Es imposible probar que esta afirmación sea falsa porque ningún planeta de nuestro sistema solar tiene más de 200 lunas según el mejor conocimiento científico actual.
  5. Estados Unidos tiene una población de aproximadamente $ 330,000,000, o más de $ 100,000,000. Por tanto, esta afirmación es cierta.