Datos discretos: explicación y ejemplos

Datos discretos: explicación y ejemplos

Los datos discretos son datos que solo ocurren en ciertos intervalos.

Los datos continuos son lo opuesto a los datos discretos porque incluyen todos los números posibles. Si bien el intervalo para datos discretos suele ser de 1 dólar, puede ser cualquier número real.

Todas las áreas de matemáticas y ciencias incluyen datos discretos. Esto es importante para los niños pequeños que aprenden matemáticas y para los estudiantes de doctorado que estudian teoría de grafos. De hecho, existe toda una rama de las matemáticas llamada datos discretos que se centra en el estudio de estructuras no continuas.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué son los datos discretos?
  • Definición de datos discretos
  • Ejemplos de datos discretos

¿Qué son los datos discretos?

Los datos discretos son datos que solo ocurren en ciertos intervalos. Básicamente, se trata de datos que no son continuos.

Piense en números enteros. Los conjuntos de números enteros son discretos porque no incluyen, por ejemplo, números entre $ 0 y $ 1 o entre $ 1 y $ 2.

A veces, los datos son discretos porque los instrumentos utilizados para medirlos tienen una precisión limitada. Por ejemplo, un termómetro podría medir solo al décimo de grado más cercano, por lo que las temperaturas solo se registrarían al décimo más cercano.

Otras veces, los datos son discretos porque la variable en sí no es continua. Por ejemplo, la moneda estadounidense se mide en incrementos de $ 0.01. No tendría sentido decir que alguien tiene $ frac {3} {8} $ un centavo o $ sqrt {2} $ centavos.

Definición de datos discretos

Los datos discretos son datos que solo ocurren en ciertos puntos en ciertos intervalos. Más precisamente, los datos discretos son contables y no continuos.

Tenga en cuenta que, con mayor frecuencia, los datos discretos se definen como datos no continuos.

Funciones de suelo y techo

Las funciones de suelo y techo son funciones no continuas que toman un valor definido para un rango de números. La característica del techo se vuelve redondeada mientras que las características del piso se redondean hacia abajo.

Por ejemplo, considere una función que toma la edad de un estudiante y escupe la calificación del estudiante. Suponga que un estado dice, por ejemplo, que todos los estudiantes que ganan $ 5 entre el 1 de septiembre del año anterior y el 31 de agosto de este año pueden ingresar al jardín de infantes este año. La edad del estudiante es continua, ya que teóricamente un estudiante podría ser $ 5.6293 en un momento dado. Sin embargo, el grado al que ingresa un estudiante es discreto. Esta función tomaría a todos los estudiantes de $ 5.0 a $ 5.9999 al 31 de agosto y los emparejaría con $ 0 (para el grado 0, jardín de infantes).

En este caso, entonces, una función de piso o techo mapea una variable continua a una variable discreta.

Ejemplos de datos discretos

Suponga que Amy va a la tienda y compra cajas de cereal. ¿Cuántas cajas puede comprar?

La caja de $ 1 está bien. Las cajas de $ 0 son buenas. Cajas de $ 5 o incluso cajas de $ 50 tienen sentido (¡incluso si eso es mucho cereal!).

Sin embargo, no tiene sentido decir que Amy compró cajas de cereal de $ 9 frac {3} {4}.

¿Por qué?

Los cereales se venden por caja. Por lo tanto, no puede comprar fracciones o decimales de un cuadrado. ¡Y ciertamente nadie está comprando una cantidad irracional de cajas!

No. Amy solo puede comprar un número entero de cajas. Por tanto, el número de cajas que compra es discreto con intervalos de 1 dólar.

Como se mencionó anteriormente, aunque $ 1 $ es un intervalo común para datos discretos, no es el único.

Considere, por ejemplo, las tallas de zapatos en los Estados Unidos. Las tallas de zapatos existen en incrementos de $ frac {1} {2} $. Por eso tiene sentido que alguien tenga una talla de zapato de 6 $ frac {1} {2} $ pero no una talla de zapato de 6 $ frac {7} {8} $.

Ciertamente, alguien podría tener un pie más grande que $ 6 frac {1} {2} $ y más pequeño que $ 7, pero esa persona probablemente solo tendría que tomar una talla superior.

Ejemplos comunes

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran datos discretos y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Una escuela se está preparando para un viaje escolar. Quieren llevar a los estudiantes en autobuses que transportan personas por valor de $ 54 cada uno.

Hay $ 625 personas que planean asistir a la excursión. ¿Cuántos autobuses tiene que contratar la escuela por día?

Solución

Al principio, parece un simple proyecto de división. El número de autobuses es igual al número de personas dividido por el número de personas que puede transportar cada autobús.

Sin embargo, la respuesta debe verse en contexto. Dividir $ 625 entre $ 54 da $ 11.5 bar {740} $. ¡No tiene sentido que la escuela rente un número decimal periódico de autobuses escolares!

En cambio, la escuela debería considerar alquilar una gran cantidad de autobuses escolares. Pueden alquilar autobuses escolares por $ 11 o autobuses escolares por $ 12. Si alquilan $ 11, habrá estudiantes que no se suban al autobús. Si alquilan $ 12, tendrán asientos vacíos.

Lo más probable es que la escuela prefiera el último caso y decida redondear los autobuses escolares a $ 12.

Ejemplo 2

Una compañía de electricidad, una compañía de gas, una compañía de agua y una compañía de Internet quieren operar líneas a casas de $ 5 en un vecindario en particular.

Cada servicio público quiere crear una línea que vaya desde su sede a cada vivienda. ¿Cuántas conexiones hacen?

Solución

De hecho, es un problema combinatorio

La combinatoria es el estudio de combinaciones y arreglos de conteo. Es una rama importante de las matemáticas discretas.

Este tipo de problema es un problema de coincidencia e implica la creación de vínculos entre dos o más categorías diferentes. En este caso, las categorías son viviendas y servicios públicos.

Para conectar servicios públicos de $ 4 a viviendas de $ 5, debe realizar una conexión desde cada servicio a cada hogar.

En este caso, cada utilidad tiene conexiones de $ 5, por lo que hay $ 4 times 4 = $ 20 conexiones en total.

Una versión más interesante de este problema es poder decir si estas conexiones se cruzarán o no, pero eso está más allá del alcance de este artículo.

Ejemplo 3

Un cajero automático solo dispensa billetes de $ 20. Si alguien necesita una cantidad menor o igual a $ 20, deberá obtener una factura de $ 20. Si necesitan más de $ 20 pero menos o igual a $ 40, necesitarán dos billetes de veinte dólares, y así sucesivamente.

Grafique una función que represente la cantidad de dinero que una persona necesita retirar del cajero automático según la cantidad de dinero que necesita gastar. Es decir, trace una gráfica de una función que tome cada número y lo asigne al siguiente múltiplo de $ 20 por encima de ese número.

Ceiling function

Solución

Es una especie de función de límite que usa veinte en lugar de unos.

Normalmente, una función de límite toma todos los números mayores que, digamos, $ 0 y menores o iguales que $ 1 y los asigna a $ 1.

En este caso, cada número es el múltiplo de $ 20 anterior. Esto significa que todos los números mayores a $ 0 y menores o iguales a $ 20 son iguales a $ 20. Asimismo, todos los números mayores de $ 20 y menores o iguales a $ 40 corresponden a $ 40 y así sucesivamente.

Dicho gráfico será una serie de líneas horizontales de $ 20 unidades de longitud ya intervalos de $ 20. El lado izquierdo de estas barras será un punto abierto y el lado derecho será un punto cerrado. Esto se debe a que si alguien necesita más de $ 20, incluso $ 20.01 dólares, tiene que sacar $ 40 del cajero automático porque $ 20 no serán suficientes.

También es importante tener en cuenta que si bien la plata es técnicamente discreta, ya que ocurre a intervalos de $ 0.01, la mayoría de los gráficos la muestran como continua porque los intervalos de $ 0.01 son tan pequeños que ‘tal gráfico termina pareciendo continuo’.

El gráfico final se ve así:

Ejemplo 4

¿Es posible que una medida de centralidad para un conjunto de datos discretos caiga entre los intervalos contados? ¿Cómo debe interpretarse esto?

Solución

Como se señaló anteriormente, existen muchas medidas de centralidad, pero las más comunes son la media, la mediana y la moda.

El modo no puede ser un número fuera de los valores posibles del conjunto de datos. De hecho, la moda es el valor más actual, que debe ser un valor que sea posible alcanzar.

Sin embargo, la media puede ser cualquier número racional con un denominador igual al número de términos en un conjunto de datos. Esto significa que puede estar fuera de los valores posibles.

Por ejemplo, considere lo que sucede cuando el número promedio de estudiantes por clase es $21. bar {7142857} $. En otras palabras, el número promedio de estudiantes es un número decimal que no se repite.

Asimismo, ¿qué sucede cuando el número promedio de estudiantes es de $ 21,5?

En tales casos, la media y la mediana se interpretan en contexto. A menudo, al igual que con el número de estudiantes en una clase de ejemplo, la media y la mediana se muestran como “más de $ 21”.

Ejemplo 5

Categorice los siguientes ejemplos de conjuntos de datos como discretos, continuos o ninguno.

A. Un sistema de clasificación por estrellas para restaurantes.

B. Una lista de los restaurantes favoritos de los consumidores.

C. La masa de sobras en un restaurante.

Solución

La opción A es discreta, la opción C es continua y la opción B no es ninguna. En particular, las opciones B son datos cualitativos que no se codifican fácilmente como datos cuantitativos.

¿Cómo determina esto? Básicamente, comience preguntando si todo es contable. ¿Se cuenta la calificación por estrellas de un restaurante? Si. Puede tener una, dos, tres, cuatro o cinco estrellas. Pero, ¿es contable la masa de restos de comida? No. Es posible tener 4,293 libras de comida sobrante. Y, cuando se trata de restaurantes favoritos, los números ni siquiera están involucrados.

Problemas de práctica

  1. Clasifique lo siguiente como discreto, continuo o ninguno:

    A. El color de una manta.

    B. El área de una manta.

    C. El número de puntos en una manta.

  2. Una aerolínea no cobra por equipaje de menos de 20 libras, pero sí cobra cinco dólares por cada dos libras de más de 20 libras. Haz una gráfica de función que represente el costo de traer diferentes pesos de equipaje.
  3. Interprete la mediana del siguiente conjunto de datos en contexto. El número de automóviles en diferentes familias es, según una encuesta, $ (0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 4) $.
  4. Un gerente quiere hacer un programa de capacitación donde un miembro senior supervisa a dos nuevos pasantes. Si hay 2 miembros senior y 4 pasantes, ¿de cuántas formas diferentes hay de emparejar a los miembros senior con los pasantes?
  5. Una pizza alimenta a $ 8 personas. Hay $ 66 personas en una fiesta. ¿Cuántas pizzas se necesitan para alimentar a todos?

Clave de respuesta

  1. A no es ninguno, B es continuo, C es discreto.
  2. Floor function
  3. La familia típica tiene más de un automóvil o al menos un automóvil.
  4. (Pregunta combinatoria) 24 formas.
  5. 9 pizzas.

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.