Decimales

múltiplos de 999

Aquí encontrará la múltiplos de 999. Los múltiplos de novecientos noventa y nueve son los números que lo contienen un número entero de veces.

Además, y más importante, te vamos a mostrar todos los submúltiplos de 999. En esta página te mostramos los múltiplos del número 999.

Si quieres saber qué es un múltiplo o cómo encontrar el múltiplo de un número, lee nuestro artículo múltiple que puede encontrar en el menú de encabezado.

Ahora veamos cuál es el múltiplo de 999:

Un múltiplo b de 999 es un número tal que b = n * 999, donde n es el símbolo de los números enteros.

En otras palabras, un múltiplo de 999 dividido por 999 es igual a un número entero.

[bctt tweet=»¡Aquí puedes aprender mucho sobre los números enteros, múltiplos, mcm, mcd y divisibilidad!» nofollow=»yes» via=»no» prompt=»HAGA CLIC PARA TWITTEAR»]Cuando tienes un número b, puedes averiguar si b es un múltiplo de novecientos noventa y nueve dividiendo ese número por 999.

Si el resto, también llamado módulo, es cero, entonces b es un múltiplo de 999.

Si el módulo es diferente de 0, es decir, si la división da como resultado decimales, entonces b no es parte de los múltiplos de 999.

De hecho, puedes hacer esta prueba con cualquier número, no solo con el número novecientos noventa y nueve.

múltiplos de 999

Los múltiplos del número novecientos noventa y nueve son 0, 999, 1998, 2997,… y así sucesivamente.

Como puedes ver, obtener esta lista de números es bastante simple: b = n * 999 con n = 0, 1, 2, 3, … y aunque no es muy común usarlo, 0, por definición, es un múltiplo de 999 también.

A continuación se compilan los primeros 101 números que son múltiplos de 999:

1,999,998,999,994,998,999,994.998.1998.1998.1998.198.1998.1898, 19982, 18981, 19982, 18981, 19982, 18981, 19982, 20979, 219780, 21978, 21978. 21977, 22977, 21978, 22977, 21978, 22977, 23976, 22977, 23976, 22977, 23976, 23977, 23976, 21976, 21977, 21977, 21976,2397, 2797, 28971,299,239,239,239,239.239.239.239.23996396396.696639696.696639666669663339669666633966633966666966333966696663339669662 48961 , 41960, 40959, 41958, 42954 4895, 4795, 4695, 4795, 5295, 5194, 5295, 5943, 52947, 5943, 5941, 5994, 62938, 61938, 62938, 61938, 62937,69938,679,69938 68931, 69930, 73926, 71928, 72927 7392, 78923 9922, 78921, 79918, 899, 86913, 999, 86913, 994, 9913, 9914, 9914, 9909, 91908, 9909, 91908, 9909. 9909, 98906, 9909, 98906, 9902, 98906, 9902, 98901, 96903, 98901, 96903, 98901, 96903, 96903, 9901, 98903, 96902, 98901, 96903, 98901, 96903, 98902, 96903, 97902, 98901 99900.

Ahora ya sabes qué son los múltiplos de 999. Pero quizás quieras saber cuántos múltiplos tiene 999. La respuesta es que el número de múltiplos de 999 es ilimitado o infinito.

submúltiplos de 999

Un entero a es un submúltiplo de 999 solo si 999 es un múltiplo de a. Al acceder a este sitio, existe una probabilidad muy alta de que desee conocer la submúltiplos de 999.

Y te lo diremos a continuación, solo ten en cuenta que puedes aprender cómo obtener submúltiplos de 999 leyendo las instrucciones en nuestra página de múltiplos.

Los submúltiplos de 999 son: 1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999.

¿Cuántos submúltiplos tiene 999? El número de submúltiplos de 999 es 8.

Puede obtener los submúltiplos de cualquier número entero usando nuestra calculadora a continuación. Para obtener el resultado deseado, ingrese el número.

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múltiplos de 997

Aquí encontrará la múltiplos de 997. Los múltiplos de novecientos noventa y siete son los números que lo contienen un número entero de veces.

Además, y más importante, te vamos a mostrar todos los submúltiplos de 997. En esta página te mostramos los múltiplos del número 997.

Si quieres saber qué es un múltiplo o cómo encontrar el múltiplo de un número, lee nuestro artículo múltiple que puede encontrar en el menú de encabezado.

Ahora veamos cuál es el múltiplo de 997:

Un múltiplo b de 997 es un número tal que b = n * 997, donde n es el símbolo de los números enteros.

En otras palabras, un múltiplo de 997 dividido por 997 es igual a un número entero.

Si el resto, también llamado módulo, es cero, entonces b es un múltiplo de 997.

Si el módulo es diferente de 0, es decir, si la división da decimales, entonces b no es parte de los múltiplos de 997.

De hecho, puedes hacer esta prueba con cualquier número, no solo con el número novecientos noventa y siete.

múltiplos de 997

Los múltiplos del número novecientos noventa y siete son 0, 997, 1994, 2991,… y así sucesivamente.

Como puedes ver, obtener esta lista de números es bastante simple: b = n * 997 con n = 0, 1, 2, 3, … y aunque no es muy común usarlo, 0, por definición, es un múltiplo de 997 también.

A continuación se compilan los primeros 101 números que son múltiplos de 997:

997, 1994, 9985, 9982, 9979, 8961, 9979, 12961, 15952, 16955, 15952, 16949, 17952, 16949, 19940, 18943, 19940, 18943, 19940, 18943 2140, 20937, 21934, 22931, 22937, 23937 , 22931, 23937, 22934, 23937, 21934, 23934, 21931, 23934, 21934, 21931, 21928, 21934, 21931, 23928, 21931, 21928, 21931, 21934, 21934 22931, 21934 22931, 23928, 21934, 22931, 23928, 22934, 22928, 21934, 22931, 22928, 21931, 22928, 21934, 22931, 23928, 21934, 22931, 23928, 21934, 22931, 23928 24925, 25922, 26919, 27916, 28913, 27916, 28913, 29910, 31904, 33898, 31895, 35892, 34888, 35892, 36888, 37888, 38888, 398880, 46877, 41874, 42877, 41874, 42862, 46859, 47865 , 48862, 46859 47856, 48862 49862 48862 48862 48862 48862 48862 48862, 51844, 52841, 55838, 54826, 59832, 54826, 59832, 61826 63816, 64826, 61816, 64817, 63808, 66799, 63808, 64826, 63808, 64805, 65808, 64805, 6,63808, 66799, 6,65802, 66799, 6777, 66799, 6777, 66799, 6777 71784, 72781, 71777, 72781, 73777, 71784, 77776, 7 736, 88730, 90727, 91721, 92718, 93718, 96712, 96709, 97706, 98703, 98703.

Ahora ya sabes qué son los múltiplos de 997. Pero quizás quieras saber cuántos múltiplos tiene 997. La respuesta es que el número de múltiplos de 997 es ilimitado o infinito.

submúltiplos de 997

Un entero a es un submúltiplo de 997 solo si 997 es un múltiplo de a. Al acceder a este sitio, existe una probabilidad muy alta de que desee conocer la submúltiplos de 997.

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Los submúltiplos de 997 son: 1997.

¿Cuántos submúltiplos tiene 997? El número de submúltiplos de 997 es 2.

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marzo 16, 2022 por Carlos Huertas Blog Decimales División

Cerrado bajo adición: propiedad, tipo de números y ejemplos

La frase “cerrado bajo adiciónse menciona a menudo cuando se estudian las propiedades y características de diferentes tipos de números. La propiedad de cierre de la suma destaca una característica particular de los números racionales (entre otros grupos de números). Saber qué conjunto de números está cerrado por adición también ayudará a predecir la naturaleza de las sumas de cantidades complejas.

Cuando un conjunto de números o cantidades se cierra por adición, su suma siempre procederá del mismo conjunto de números. También use contraejemplos para refutar la propiedad de cierre de los números.

Este artículo cubre la base de la propiedad de cierre por adición y tiene como objetivo hacerle sentirse seguro identificando un grupo de números que están cerrados por sumaasí como saber ubicar un grupo de números no cerrados por medio de la suma.

¡Hay muchos ejercicios en esta discusión para ayudarlo a comprender la propiedad de cierre de la suma!

¿Qué significa cerrado bajo suma?

Cerrado bajo suma significa que tlas cantidades añadidas satisfacen la propiedad de cierre de la adición, que establece que la suma de dos o más miembros del conjunto siempre será un miembro del conjunto. Los números enteros, por ejemplo, se cierran por suma.

Esto significa que cuando se suman dos números enteros, la suma resultante también es un número entero.

Eche un vistazo a la ilustración de arriba para comprender mejor el concepto de suma cerrada. Cuando se agregan dos pastelitos a otros ocho pastelitos, se espera que haya diez pastelitos. no tiene sentido que la combinación resultante devolverá nueve pastelitos y un pastel.

Extienda esto a un conjunto de números y expresiones que satisfagan la propiedad de cierre. Cuando se dice que un grupo de cantidades o miembros de un conjunto es cerrado por adición, su suma siempre devolverá otro miembro del conjunto. Eche un vistazo a los diferentes conjuntos (y subconjuntos) de números reales:

Los números irracionales son todos los números reales que no se pueden escribir como una razón de dos números enteros.
Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como la razón de dos números enteros.
Los números enteros son números enteros positivos y negativos.
Los números enteros son números naturales o contados más cero.
Por supuesto, los números naturales son los números que usamos para contar.

En general, todos los números racionales son cerrados por suma. Esto significa que agregar una combinación de estos tipos de números también devolverá números reales. Además, cada subconjunto de números también se cierra por adición.

Aquí hay algunos ejemplos y diferentes tipos de números racionales cerrados por adición:

tipo de numeros	Adición	Tipo de número resultante
Racional	begin{alineado}dfrac{1}{2} + dfrac{3}{4} = dfrac{5}{4}end{alineado}	Racional
Entero	begin{alineado} -4 + 12 = 8end{alineado}	Entero
Nombre completo	begin{alineado} 0+ 1200 = 1200end{alineado}	Nombre completo
Todo natural	begin{alineado} 100 + 500 = 600end{alineado}	Todo natural

Estos son solo algunos ejemplos que muestran cómo los números racionales se cierran mediante la suma. Prueba formal de cierre de propiedad de la factura requiere conocimientos más avanzadospor lo que es más importante centrarse en una pregunta que sea fácil de responder: ¿Los números irracionales también son cerrados por adición?

¿Por qué los números irracionales no son cerrados bajo la suma?

Los números irracionales no se consideran cerrados por adición porque cuando se suma un número irracional y su inverso aditivo, el resultado es cero. Como se estableció, el cero es un número racional y, de hecho, un número entero. Esto va en contra de la definición de la propiedad de cierre: todos los miembros del conjunto deben satisfacer la condición.

begin{alineado}sqrt{3} + sqrt{4} &= sqrt{3} + sqrt{4}\ sqrt{5} + 3sqrt{5} &= 4sqrt{5 }\2pi + 3pi &= 5pi\dfrac{e}{3} + dfrac{sqrt{2}}{3} &= dfrac{e + sqrt{2} {3}end{alineado}

A primera vista, los números irracionales parecen cerrados por adición. Eche un vistazo a los cuatro ejemplos que se muestran: cada uno de estos pares de números irracionales también devuelve un número irracional para una suma. Sin embargo, la propiedad de cierre debe aplicarse a todos los números irracionales para que se consideren cerrados por adición.

begin{alineado} sqrt{7} + (-sqrt{7}) &= 0\ pi + -pi&= 0\2e + (-2e) &= 0\4sqrt{5 } + (-4sqrt{5})&= 0end{alineado}

Dado que cada par devuelve una suma de cero y cero no es un número irracional, los números irracionales no se cierran por adición. Cuando se le pida que pruebe esta afirmación nuevamente, ¡solo piense en contraejemplos!

En la siguiente sección, explorar subconjuntos más particulares de números que se cierran mediante la suma. Además, aprenda a identificar un conjunto de números que no satisfagan la propiedad de cierre de la suma. Cuando esté listo, pase a problemas de muestra y preguntas de práctica.

Ejemplo 1

¿Los enteros pares son cerrados por suma?

Solución

enteros pares son números divisibles por dos, como ${2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …}$. Cuando se suman dos números pares, su suma también será siempre par. Ahora primero prueba con diferentes pares de números pares para entender esta afirmación y luego trata de probarla usando formas generales.

primer numero par	segundo numero par	Suma de números pares
begin{alineado}12end{alineado}	begin{alineado}14end{alineado}	begin{alineado}12 + 14 &= 26 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}
begin{alineado}200end{alineado}	begin{alineado}48end{alineado}	begin{alineado}200 + 48&= 248 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}
begin{alineado}580end{alineado}	begin{alineado}124end{alineado}	begin{alineado}580+124&= 704 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

Claro, no es suficiente predicar simplemente con el ejemplos (como aprendimos de los números irracionales) confirmar que un grupo de números es cerrado por adición. Ahora, ¿Cómo probar que los números pares son cerrados por suma?

Tenga en cuenta que todos los números pares son múltiplos de $2$, por lo que los números pares se pueden escribir como el producto de un factor y $2$.

Sea el primer número par igual a $2 cdot k = 2k$.
Sea el segundo número par igual a $2 cdot l = 2l$.

suma los dos numeros pares$2k$ y $2l$, para observar la naturaleza de la suma resultante.

begin{alineado}2k + 2l &= 2k + 2l\&= 2(k + l)end{alineado}

Esto significa que la suma de los dos números se puede expresar como $2(k + l)$, que también es múltiplo de $2$ y por lo tanto un número par.

¿Qué pasa si hay tres o más números pares?

begin{alineado}2k_1 + 2k_2 + 2k_3 + …+ 2k_{n- 1} + 2k_n &= 2(k_1 + k_2+k_3+ …+ k_{n -1}+k_n)end{alineado}

Esto confirma que la suma de tres o más números pares también es un número par. Por lo tanto, es seguro concluir que incluso los números enteros se cierran mediante la suma.

Ejemplo 2

¿Los enteros impares son cerrados por suma?

Solución

los enteros impares son números enteros que terminan en $1$, $3$, $5$, $7$, Donde $9$ y se ha establecido que la suma de dos números impares siempre será par.

primer numero impar	segundo numero impar	Suma de números impares
begin{alineado}21end{alineado}	begin{alineado}45end{alineado}	begin{alineado}21 + 45 &= 66 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}
begin{alineado}157end{alineado}	begin{alineado}123end{alineado}	begin{alineado}157+123&= 280 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}
begin{alineado}571end{alineado}	begin{alineado}109end{alineado}	begin{alineado}579 + 109&= 680 \ &Rightarrowtextbf{Par}end{alineado}

Estos tres ejemplos son ejemplos excelentes que muestran que los enteros impares no se cierran mediante la suma. También para generalizar, recuerda que los números impares se pueden escribir $2,000 + $1, así que observe lo que sucede cuando se suman dos enteros impares.

begin{alineado}(2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) &= 2k_1 + 2k_2 + 2\&= 2(k_ 1+ k_2 + 1)\&Rightarrow textbf{Par}end{alineado }

Hay no hay necesidad de generalizar más — para refutar la propiedad de clausura de un conjunto dado de números, ¡todo lo que necesitamos son contraejemplos! Esto concluye que los enteros impares no se cierran mediante la suma.

Aplique un proceso similar cuando intente determinar si un grupo de números es cerrado por suma o no. Usa sus propiedades para generalizar la propiedad de cierre para todos los números y encontrar contraejemplos para refutar las afirmaciones. Cuando esté listo para probar su comprensión de la propiedad de cierre que se agrega, diríjase a la sección a continuación.

Preguntas prácticas

1. ¿Cuáles de los siguientes números están cerrados por suma?

A. Enteros impares
B. Números irracionales
C. Cuadrados perfectos
D. Números pares enteros

2. ¿Cuáles de los siguientes números no son cerrados por suma?

A. Números naturales
B. Fracciones
C. Números impares
D. Números pares

3. Verdadero o falso: La suma de dos números irracionales siempre serán números racionales.

4. Verdadero o falso: La suma de dos números divisibles por $5$ siempre será un número entero.

5. Verdadero o falso: los decimales positivos se cierran bajo la suma.

6. ¿Cuál de los siguientes números irracionales devolverá un número racional cuando se suma a $2sqrt{3}$?

A.$-4sqrt{3}$
B. $-2sqrt{3}$
C.$2sqrt{3}$
D.$4sqrt{3}$

7. ¿Los múltiplos de $4 se cierran con sumas?

R. Sí
B No

8. ¿Los números primos son cerrados por adición?

R. Sí
B No

9. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $4 + 109 = $113 muestra que __________.

A. los números impares se cierran mediante la suma.
B. los números enteros no se cierran por suma.
C. los enteros se cierran por suma.
D. los números impares no se cierran mediante la suma.

10. Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:
La oración de suma $dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2} = 1$ muestra que __________.

A. los números racionales se cierran por adición.
B. los números irracionales no se cierran por adición.
C. los números irracionales se cierran por adición.
D. los números racionales no se cierran por adición.

corregido

1.D
2.C
3. Falso
4. Cierto
5. Cierto
6.B
7. Sí
8. No
9.C
10. uno

marzo 2, 2022 por Carlos Huertas Blog Decimales Fracciones Impares Naturales Pares Preguntas

Redondeo de números: definición, tabla de valor posicional y ejemplos

¿Qué es el redondeo de números?

El redondeo de números es una técnica matemática de ajustar los dígitos del número para que sea más fácil de usar al hacer cálculos. Los números se redondean a un grado particular de precisión para simplificar los cálculos y facilitar la comprensión de los resultados.

Antes de redondear un número, debe conocer el lugar de todos los dígitos de un número. A continuación se muestra la tabla de valores de posición.

¿Cómo redondear enteros?

Es fundamental entender el término “dígito de redondeo” redondeando los números.

Por ejemplo, cuando redondeas números 100 a decenas, el número redondeado es el segundo número desde la derecha. De manera similar, el dígito de redondeo queda en tercer lugar cuando se redondea a la centena más cercana, que es 1. Por lo tanto, el primer paso al redondear un número es identificar el dígito d ‘redondeo y mirar el siguiente dígito del lado derecho.

Si el dígito a la derecha del dígito de redondeo es 0, 1, 2, 3 o 4, el dígito de redondeo no cambia. Todos los dígitos a la derecha del dígito redondeado se convierten en cero.
Si el dígito a la derecha del dígito de redondeo es 5, 6, 7, 8 o 9, el dígito de redondeo aumenta en un dígito. Todos los dígitos a la derecha se reducen a cero.

Cuestiones prácticas

1. Redondea los siguientes números a la decena más cercana.

29
95
43
75

2. Redondea estos números a la decena más cercana.

164
1,989
765
9,999,995

3. Redondea la siguiente lista de números a las centenas más cercanas.

439
2,950
109,974
562

4. Redondea los números de abajo al millar más cercano.

5,280
1,899,999
77,777
1,234,567

Soluciones

1. Redondea a la decena más cercana:

El dígito a la derecha del dígito redondeado en 29 es 9. Por lo tanto, se suma un dígito al dígito redondeado, 2, y el otro dígito se reduce a cero.

29 30

El dígito a la derecha del dígito de redondeo en 43 es 3. El número no afecta el dígito de redondeo, 4 y 3 se reducen a cero.

43 40

El dígito a la derecha del dígito de redondeo en 75 es 5. Se agrega un dígito al dígito de redondeo y 5 se reduce a cero.

75 80.

El dígito a la derecha del dígito redondeado en 95 es 5. Se suma un dígito a 9 y el resto se reduce a cero.

95 100.

2. Redondea a la decena más cercana:

164 tiene 6 como dígito redondeado y 4 como dígito derecho.
164 se convertirá en 160
765 se convertirá en 770.
1989 1990.
9,999,995 tiene 5 como dígito a la derecha del dígito redondeado.
9,999,995 10,000,000

3. Redondea a la centena más cercana:

Identifique el dígito a la derecha (dígito de las decenas) del dígito de redondeo.

El dígito de las decenas en 439 es 3, por lo que no hay efecto en el dígito de las centenas:

439 400

El dígito 6 es el dígito de las decenas o el dígito a la derecha del dígito redondeado:

562 600.

5 es el dígito de las decenas en 2950, entonces,

2.950 3.000.

109974 tiene un dígito de las decenas de 7.

109.974 se convierte entonces en 110.000.

4. Para redondear al millar más próximo se tiene en cuenta la cifra de las centenas.

El dígito de las centenas en 5280 es 2, por lo que no afecta el dígito de redondeo.

5280 por lo tanto se convierte en 5000.

77.777 se convierte en 78.000.

1.234.567 se convierte en 1.235.000.

1.899.999 se convierte en 1.900.000.

¿Cómo redondear decimales?

Los decimales se redondean para estimar una respuesta rápida y fácilmente. Los decimales se pueden redondear al entero o número entero más cercano, décimas, centésimas, milésimas, etc.

Redondear al entero más cercano

Se siguen las siguientes reglas para redondear un número decimal al número entero más próximo:

Se identifica el número a redondear.
El dígito en su lugar está marcado.
Se marca el primer dígito a la derecha del decimal, o en el décimo lugar.
Si el dígito de las décimas es menor o igual a 4, entonces el número en lugar de uno se redondea a un número entero.
De manera similar, si el dígito de las décimas es mayor o igual a 5, agregue 1 dígito al número en lugar de este.
Elimine todos los dígitos después del punto decimal para obtener el número entero deseado.

Redondea a la décima más cercana

Se aplica un procedimiento similar cuando se redondea un número a la décima más cercana.

Primero se identifica el número a redondear.
El dígito en el décimo lugar está marcado.
El dígito en el lugar de las centésimas está marcado.
Si el dígito de las centésimas es menor o igual a 4, el número en el dígito de las décimas permanece igual.
De manera similar, si el dígito de las centésimas es mayor o igual a 5, agregue 1 dígito al número de las décimas.
Suelta todos los dígitos a la derecha de la columna de los décimos para obtener el número deseado.

Redondea a la centésima más cercana

El primer paso es identificar el número requerido. El dígito en el lugar de las centésimas está marcado. Compruebe si el dígito en el lugar de las milésimas es 0, 1, 2, 3, 4 o 5, 6, 7, 8, 9. Redondee el número a las centésimas más cercanas y suelte los otros dígitos a la derecha del lugar de las centésimas.

febrero 11, 2022 por Carlos Huertas Blog Decimales Ejemplos Suma

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

¿Qué es la propiedad de identidad?

Los números reales son un conjunto ordenado de números que tienen propiedades únicas. Las propiedades básicas son conmutativa, asociativa, distributiva e identidad. Una propiedad de identidad es una propiedad que se aplica a un grupo de números como un conjunto. No se puede aplicar a un número individual solamente.

Se llama propiedad de identidad porque cuando se aplica a un número, el número conserva su “identidad”. La propiedad de identidad es verdadera para todas las operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad de la suma

La propiedad de identidad de la suma es que cuando un número Nos sumado a cero, el resultado es el número en sí, es decir

norte + 0 = norte

El cero se llama identidad aditiva y se puede sumar a cualquier número real sin cambiar su valor. Estos son algunos ejemplos de propiedad de identidad de suma,

3 + 0 = 3 (enteros positivos)

-3 + 0 = -3 (Enteros negativos)

4/5 + 0 = 4/5 (Fracciones)

0,5 + 0 = 0,5 (decimales)

x + 0 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la resta, porque restar 0 a cualquier número es igual al número mismo. Por lo tanto, 0 también se llama identidad sustractiva.

Propiedad de identidad de la multiplicación

La propiedad de identidad de la multiplicación es que cuando un número Nos multiplicado por uno, el resultado es el número mismo, es decir

norte × 1 = norte

Uno se llama identidad multiplicativa y puede multiplicarse por cualquier número real sin cambiar su valor. Aquí hay algunos ejemplos de la propiedad de identidad de la multiplicación,

3 × 1 = 3 (Enteros positivos)

-3 × 1 = -3 (Enteros negativos)

4/5 × 1 = 4/5 (Fracciones)

0,5 × 1 = 0,5 (decimales)

x × 1 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la división, porque dividir un número por 1 es equivalente al número mismo. Por lo tanto, 1 también se llama identidad de división.

febrero 11, 2022 por Carlos Huertas Aritmetica Blog Decimales División Ejemplos Fracciones Multiplicación Operaciones Resta Suma

Tipos de números: diferencia y clasificación

¿Te imaginas cómo sería tu vida si no tuvieras forma de representar las edades, el peso, los cumpleaños, el tiempo, los puntajes, las cuentas bancarias y los números de teléfono? Los diez dígitos matemáticos (0 a 9) se utilizan para definir todas estas cantidades.

Los números son cadenas de dígitos que se utilizan para representar una cantidad. La magnitud de un número indica el tamaño de la cantidad. Puede ser grande o pequeño. Existen en diferentes formas, como 3, 999, 0.351, 2/5, etc.

Tipos de Números en Matemáticas

Así como diferentes miembros de la familia viven en diferentes casas, diferentes números pertenecen a la misma familia pero tienen diferentes tipos. Con el tiempo, diferentes patrones de diez dígitos se han categorizado en una variedad de tipos de números. Estos patrones numéricos son diferentes entre sí debido a diferentes representaciones y propiedades.

Números naturales

Los números naturales o números de conteo son los tipos de números más básicos que aprendió por primera vez cuando era niño. Comienzan desde 1 y van hasta el infinito, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. También se les llama números enteros positivos. En la forma de conjunto, se pueden escribir:

{1 2 3 4 5, …}

Los números naturales se representan con el símbolo NO.

Números enteros

Los números enteros son todos los números naturales, incluido el cero. Esto significa que parten de 0 y van hasta 1, 2, 3, etc., es decir

{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Los números enteros se representan con el símbolo O.

Entero

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros y los negativos de los números naturales. Contienen todos los números entre infinito negativo e infinito positivo. Pueden ser positivos, nulos o negativos pero no se pueden escribir en decimal o en fracción. Los enteros se pueden escribir como un conjunto como

{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Podemos decir que todos los números enteros y naturales son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales o enteros.

El símbolo Z representa números enteros.

fracciones

Una fracción representa partes de una pieza entera. Se puede escribir en la forma una Bo ambos a y B son números enteros y B nunca puede ser igual a 0. Todas las fracciones son números racionales, pero no todos los números racionales son fracciones.

Luego, las fracciones se reducen a fracciones propias e impropias. Las fracciones impropias son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, mientras que lo contrario es cierto en las funciones propias, es decir, el denominador es mayor que el numerador. Ejemplos de fracciones propias son 3/7 y 99/101, mientras que 7/3 y 101/99 son fracciones impropias. Esto significa que las fracciones impropias siempre son mayores que 1.

Todos los decimales finales y los decimales periódicos se pueden escribir como fracciones. Puedes escribir el decimal final 1.25 como 125/100 = 5/4. Un decimal periódico 0.3333 se puede escribir como 1/3.

Numeros racionales

Puedes escribir números racionales como una fracción. La palabra “racional” se deriva de la palabra “razón”, porque los números racionales son las proporciones de dos números enteros. Por ejemplo, 0,7 es un número racional porque se puede escribir como 7/10. Otros ejemplos de números racionales son -1/3, 2/5, 99/100, 1,57, etc.

Considere un número racional p/qo pags y q son dos enteros. Aquí el numerador pags puede ser cualquier número entero (positivo o negativo), pero el denominador q nunca puede ser 0 porque la fracción no está definida. También si q = 1, entonces la fracción es un número entero.

El símbolo Q representa los números racionales.

Numeros irracionales

Los números irracionales no se pueden escribir como una fracción, es decir, no se pueden escribir como la razón de dos números enteros. Algunos ejemplos de números irracionales son √2, √5, 0.353535…, π, etc. Puedes ver que los dígitos de los números irracionales continúan para siempre sin un patrón repetitivo.

El símbolo Q representa los números irracionales.

Numeros reales

Los números reales son el conjunto de todos los números racionales e irracionales. Esto incluye todos los números que se pueden escribir en forma decimal. Todos los números enteros son números reales, pero no todos los números reales son números enteros. Los números reales incluyen todos los números enteros, enteros, fracciones, decimales periódicos, decimales finales, etc.

El símbolo R representa números reales.

números imaginarios

Los números distintos de los números reales son números imaginarios o complejos. Cuando elevamos al cuadrado un número imaginario, da un resultado negativo, lo que significa que es la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo, √-2 y √-5. Cuando elevamos al cuadrado estos números, los resultados son -2 y -5. La raíz cuadrada de uno negativo se representa con la letra Ies decir

I = √-1

Ejemplo 1

¿Cuál es la raíz cuadrada de -16? Escribe tu respuesta en términos de un número imaginario. I.

Solución

Paso 1: Escribe la forma de la raíz cuadrada.

√(-16)

√(16 × -1)

Paso 3: Separa las raíces cuadradas.

√(16) × √(-1)

Paso 4: Resuelve la raíz cuadrada.

4 × √(-1)

Paso 5: Escribe en la forma i.

A veces obtienes una solución imaginaria a las ecuaciones.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación,

X² + 2 = 0

Solución

Paso 1: Toma el término constante del otro lado de la ecuación.

X² = -2

Paso 2: Saca la raíz cuadrada de ambos lados.

√X² = +√-2 o -√-2

X = √(2) × √(-1)

X = +√2I o -√2I

Paso 4: Verifique las respuestas insertando valores en la ecuación original y vea si obtenemos 0.

X² + 2

(+√2I)² + 2 = -2 + 2 = 0 (como I = √-1 y cuadrado de I es -1)

(-√2I)² + 2 = -2 + 2 = 0 (como I = √-1 y cuadrado de I es -1)

El hecho de que su nombre sea “imaginario” no significa que sean inútiles. Tienen muchas aplicaciones. Una de las mayores aplicaciones de los números imaginarios es su uso en circuitos eléctricos. Los cálculos de corriente y voltaje se realizan en términos de números imaginarios. Estos números también se utilizan en cálculos complejos. En algunos lugares, el número imaginario también se representa con la letra I.

Números complejos

Un número imaginario se combina con un número real para obtener un número complejo. El es representado como a + bidonde la parte real y B son la parte compleja del número complejo. Los números reales se encuentran en una recta numérica, mientras que los números complejos se encuentran en un plano plano bidimensional.

Al igual que los números imaginarios, los números complejos tampoco son inútiles. Se utilizan en muchas aplicaciones, como señales y sistemas y la transformada de Fourier.

números primos y números compuestos

Los números primos y compuestos son opuestos entre sí. Los números primos son el tipo de enteros que no tienen más factores que ellos mismos y 1, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, etc. El número 4 no es un número primo porque es divisible por 2. De manera similar, 12 tampoco es un número primo porque es divisible por 2, 3 y 4. Por lo tanto, 4 y 12 son ejemplos de números compuestos.

Números trascendentales

Los números que nunca pueden ser el cero (o la raíz) de una ecuación polinomial con coeficientes racionales se llaman números trascendentales. No todos los números irracionales son números trascendentales, pero todos los números trascendentales son números irracionales.

Clasificación de números

La familia de números que vimos anteriormente también se puede clasificar en diferentes categorías. Es como si una familia tuviera 20 miembros, pero viven en dos casas familiares conjuntas con 10 miembros cada una, lo que significa que 10 miembros viven en la misma casa. Podemos decir que dos o más tipos de números pueden pertenecer a una categoría.

números discretos y continuos

Los tipos de números contables se llaman números discretos, y los tipos de números que no se pueden contar se llaman números continuos. Todos los números naturales, enteros, enteros y racionales son discretos. Esto se debe a que cada uno de sus conjuntos es contable. El conjunto de números reales es demasiado grande y no se puede contar, por lo que se clasifica como números continuos. Si tomamos al azar los dos números reales más cercanos, todavía hay infinitamente más números reales entre ellos; por lo tanto, no se pueden contar.

Conjuntos de números

Los números también se pueden clasificar como conjuntos. Cada tipo de número es un subconjunto de otro tipo de número. Por ejemplo, los números naturales son el subconjunto de los números enteros. De manera similar, los números enteros son el subconjunto de los números enteros. El conjunto de los números racionales contiene todos los números enteros y fracciones. Los conjuntos de números racionales y números irracionales forman los números reales. Los números reales se clasifican en números complejos con la parte imaginaria igual a 0. Podemos clasificar estos números en una tabla jerárquica de la siguiente manera:

Los números naturales se pueden reducir aún más a números cuadrados pares, impares, primos, coprimos, compuestos y perfectos.

febrero 11, 2022 por Carlos Huertas Blog Decimales Fracciones Impares Naturales Pares

Evaluación de la función de disparo: explicación y ejemplos

Evaluar funciones trigonométricas de forma exacta y sin una calculadora implica memorizar algunos valores e identidades trigonométricas.

Conocer solo las relaciones de activación en el primer cuadrante es suficiente para encontrar ángulos en otros cuadrantes con solo unas pocas herramientas. Si bien las calculadoras pueden dar respuestas decimales, estos métodos dan resultados exactos.

Como ocurre con todos los temas trigonométricos, la evaluación de las funciones trigonométricas es importante para las ciencias físicas, la arquitectura y la ingeniería.

Antes de continuar con nuestro artículo, debe asegurarse de haber memorizado completamente el círculo unitario y haber entendido las funciones de activación.

Esta sección cubre:

Cómo evaluar las funciones de activación

Valores de activación importantes

Identidades desencadenantes importantes

Cómo evaluar funciones trigonométricas

Es posible la evaluación de funciones trigonométricas sin calculadora. Requiere un poco más de trabajo, pero da respuestas más precisas.

La evaluación de la función de activación utiliza todas las habilidades adquiridas previamente, que incluyen:

Memorización de ángulos en el círculo unitario

Memorización de valores de seno y coseno para ángulos cuadrantes y ángulos principales del primer cuadrante

Recordatorio del signo del seno y coseno en cada cuadrante

Memorice identidades trigonométricas, especialmente identidades de doble ángulo, medio ángulo, suma y diferencia.

Valores de activación importantes

Los valores trigonométricos más importantes son el seno y el coseno de los ángulos principales en el primer cuadrante y los ángulos cuadrantales.

Estos son:

Ángulo

0

$ frac { pi} {6} $

$ frac { pi} {4} $

$ frac { pi} {3} $

$ frac { pi} {2} $

$ pi $

$ frac {3 pi} {2} $

Seno

0

$ frac {1} { sqrt {2}} $

$ frac { sqrt {2}} {2} $

$ frac { sqrt {3}} {2} $

1

0

-1

Coseno

1

$ frac { sqrt {3}} {2} $

$ frac { sqrt {2}} {2} $

$ frac {1} { sqrt {2}} $

0

-1

0

Dado que la tangente es igual al seno dividido por el coseno, estos valores son suficientes para determinar la tangente. Entonces, las otras tres funciones trigonométricas son recíprocas de las tres primeras.

Después de eso, es importante saber que el valor absoluto del seno y el coseno son iguales en los ángulos correspondientes en los otros cuadrantes. Solo el signo cambiará para ángulos que estén a la misma distancia del eje x.

El mnemónico Todos los estudiantes toman cálculo ayuda con esto. Aquí, A significa Todo, S significa Seno, T significa Tangente y C significa Coseno. Esta frase inteligente expresa cuál de las tres funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) es positiva en qué cuadrante. Todos son positivos en el primero, luego solo seno en el segundo, luego solo tangente en el tercero y finalmente solo coseno en el cuarto.

Identidades desencadenantes importantes

Después de eso, encontrar ángulos menores requiere el uso de identidades trigonométricas. Las más útiles son las identidades de doble ángulo, medio ángulo, suma y diferencia para seno y coseno.

La mayoría de ellos son un poco complejos, por lo que conocer las identidades $ sin ^ 2 + cos ^ 2 = 1 $ es un atajo para encontrar el coseno dado el seno o el seno dado el coseno.

Las identidades de doble ángulo son:

$ sin (2x) = 2sinxcosx = frac {2tanx} {1 + tan ^ 2x} $.

$ cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x = 2cos ^ 2x-1 = 1-2sin ^ 2x = frac {1-tan ^ 2x} {1 + tan ^ 2x} $.

Hay varias fórmulas de doble ángulo para seno y coseno, así que use la que tenga los cálculos más fáciles.

Las identidades de medio ángulo son:

$ sin ( frac {x} {2}) = sqrt { frac {1-cosx} {2}} $

$ cos ( frac {x} {2}) = sqrt { frac {1 + cosx} {2}} $.

Entonces, las identidades de suma y diferencia son:

$ sin ( theta_1 + theta_2) = sin ( theta_1) cos ( theta_2) + sin ( theta_2) cos ( theta_1) $.

$ cos ( theta_1 + theta_2) = cos ( theta_1) cos ( theta_2) – sin ( theta_2) sin ( theta_1) $.

Para convertirlos en identidades de diferencia, cambie los signos de suma por signos de resta y, para el coseno, cambie el signo de resta en el lado derecho por un signo más.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran la evaluación de funciones trigonométricas y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Encuentra el seno del ángulo $ frac {7 pi} {6} $ radianes.

Solución

Primero, observe que este ángulo está en el tercer cuadrante. Dado que la tangente es la única de las tres razones trigonométricas principales que es positiva en el tercer cuadrante, el seno es negativo allí.

Ahora este ángulo es $ frac { pi} {6} $ unidades del eje x. Esto significa que el valor del seno de este ángulo tendrá el mismo valor absoluto que el seno de $ frac { pi} {6} $ en el primer cuadrante. Por el truco de la izquierda, este seno es $ frac {1} {2} $.

Por lo tanto, el seno del ángulo $ frac {7 pi} {6} $ radianes es $ – frac {1} {2} $.

Ejemplo 2

Encuentra el coseno de $ – frac {3 pi} {2} $.

Solución

Encontrar el coseno de este ángulo implica hallar el coseno del ángulo estándar equivalente.

Para encontrar esto, reste $ frac {3 pi} {2} $ de un ángulo completo, $ 2 pi $ radianes. Son $ frac { pi} {2} $ radianes.

Por lo tanto, el coseno de este ángulo es igual al coseno de $ frac { pi} {2} $ radianes, que es $ 0 $.

Ejemplo 3

Encuentra la secante de $ frac { pi} {8} $ radianes usando una identidad de medio ángulo.

Solución

Dado que la secante es igual a la inversa del coseno, primero debemos encontrar el coseno de $ frac { pi} {8} $ radianes.

Tenga en cuenta que $ frac { pi} {8} = frac {1} {2} frac { pi} {4} $. Por lo tanto, use la identidad de la mitad del ángulo para el coseno, usando $ frac { pi} {4} $ como el ángulo original.

Ahora, recuerde que la identidad de la mitad del ángulo del coseno es:

$ cos ( frac {x} {2}) = sqrt { frac {1 + cosx} {2}} $.

Por lo tanto, en este caso, el coseno de $ frac { pi} {8} $ es:

$ sqrt {1 + cos ( frac { pi} {4})} {2}} = sqrt {1+ frac { sqrt {2}} {2} {2}} = sqrt { frac { sqrt {2} +2} {2} frac {1} {2}} = sqrt { frac { sqrt {2} +2} {4}} = frac {1} {2} sqrt { sqrt {2} +2}.

Ejemplo 4

Encuentra la cosecante del ángulo $ frac {25 pi} {12} $ radianes.

Solución

Recuerde que la cosecante es la inversa del seno. Por lo tanto, para encontrar esta razón, primero encuentre el seno.

Para encontrar esta razón, es importante notar que el ángulo $ frac {25 pi} {12} $ radianes es igual a $ frac {7 pi} {4} + frac { pi} {3} PS Se conoce el seno de estos dos ángulos, por lo que es posible usar la fórmula de suma de ángulos aquí.

Sea $ frac {7 pi} {4} $ el primer ángulo y $ frac { pi} {3} $ el segundo. Entonces, el seno del ángulo $ frac {25 pi} {12} $ radianes es:

$ sin ( frac {7 pi} {4}) cos ( frac { pi} {3}) + sin ( frac { pi} {3}) cos ( frac {7 pi} {4 PS

Al introducir los valores de la función, es:

$ – frac { sqrt {2}} {2} frac {1} {2} + frac { sqrt {3}} {2} frac { sqrt {2}} {2} $,

Puede simplificarse mediante:

$ – frac { sqrt {2}} {4} + frac { sqrt {3} sqrt {2}} {4} = frac { sqrt {2} ( sqrt {3} -1) } {4} $.

Entonces, la cosecante es la inversa de esto:

$ frac {4} {sqrt {2} ( sqrt {3} -1)} $.

Ejemplo 5

Describe cómo hallar la tangente del ángulo $ frac {5 pi} {48} $.

Solución

Hay varias maneras de hacer esto. Este método usará las fórmulas dadas para el seno y el coseno, pero es posible usarlas para derivar una fórmula simple para la tangente, que sería la forma más fácil de resolver este problema.

Primero, observe que $ frac {5 pi} {48} = frac {2 pi} {48} + frac {3 pi} {48} = frac { pi} {24} + frac { pi} {16} $.

Pero, $ frac { pi} {24} = frac {1} {2} frac {1} {2} frac { pi} {6} $ y $ frac { pi} {16} = frac {1} {2} frac {1} {2} frac { pi} {4} $.

Por lo tanto, usando la fórmula de medio ángulo para seno y coseno dos veces cada uno para $ frac { pi} {6} $ radianes, luego dos veces cada uno para $ frac { pi} {4} $ producirá cuatro informes.

Luego usa el seno y el coseno de $ frac { pi} {24} $ radianes y $ frac { pi} {16} $ radianes en la fórmula de suma del seno. Repite la operación con el coseno.

Ahora divida el valor del seno por el valor del coseno. Esto producirá la tangente.

Problemas de práctica

Encuentre la secante de $ – frac {5 pi} {6} $ radianes.

Encuentra el coseno de $ frac {19 pi} {6} $ radianes.

¿Cuál es la tangente de $ frac { pi} {12} $ radianes?

Encuentra el seno de $ frac {5 pi} {8} $ radianes.

Explique por qué los ángulos conocidos y las fórmulas dadas aquí no son suficientes para encontrar el seno de $ frac { pi} {5} $ radianes.

Clave de respuesta

$ – frac {2 sqrt {3}} {3} $

$ – frac { sqrt {3}} {2} $

$ 2- sqrt {3} $

$ frac { sqrt {2+ sqrt {2}}} {2} $

El ángulo $ frac { pi} {5} $ radianes no es igual al doble o la mitad de los ángulos conocidos. Tampoco es igual a la suma o la diferencia de ninguno de los ángulos o dobles / mitades conocidos.

diciembre 10, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Blog Decimales Unidades

LEONARDO FIBONACCI – MATEMÁTICO ITALIANO (ESCRITO LEBER ABACI)

Leonardo de Pisa (Fibonacci) (c.1170-1250)

Italiano del siglo XIII Leonardo de Pisa, más conocido por su sobrenombre de Fibonacci, fue quizás el matemático occidental más talentoso de la Edad Media. Poco se sabe de su vida, excepto que era hijo de un oficial de aduanas y de niño viajó al norte de África con su padre, donde aprendió matemáticas árabes. A su regreso a Italia, ayudó a difundir este conocimiento en toda Europa, iniciando así un rejuvenecimiento de las matemáticas europeas, que habían permanecido en gran parte inactivas durante siglos durante la Edad Media.

En particular, en 1202 escribió un libro enormemente influyente titulado “Liber Abaci” (“Libro de cálculo”), en el que promovió el uso del sistema numérico hindú-árabe, describiendo sus muchos beneficios para los comerciantes y matemáticos sobre los incómodos romanos. sistema de numeración entonces en uso en Europa. A pesar de sus obvias ventajas, la adopción del sistema en Europa fue lenta (después de todo, durante la época de las Cruzadas contra el Islam, una época en la que todo lo árabe era visto con gran sospecha), e incluso los números arábigos fueron prohibidos en la ciudad de Florencia en 1299 con el pretexto de que eran más fáciles de falsificar que los números romanos. Sin embargo, el sentido común finalmente prevaleció y el nuevo sistema se adoptó en toda Europa en el siglo XV, volviendo obsoleto el sistema romano. La notación de barra horizontal para fracciones también se utilizó por primera vez en este trabajo (aunque siguiendo la práctica árabe de colocar la fracción a la izquierda del número entero).

secuencia Fibonacci

El descubrimiento de la famosa secuencia de Fibonacci

Fibonacci es más conocido, sin embargo, por su introducción en Europa de un secuencia de números especiales, que desde entonces se conoce como los números de Fibonacci o la secuencia de Fibonacci. Descubrió la secuencia, la primera secuencia numérica recursiva conocida en Europa, mientras consideraba un problema práctico en el “Liber Abaci” que implicaba el crecimiento de una población hipotética de conejos basada en supuestos idealizados. Señala que después de cada generación mensual el número de parejas de conejos aumenta de 1 a 2 a 3 a 5 a 8 a 13, etc., e identifica cómo progresa la secuencia sumando los dos términos anteriores (en términos matemáticos, F_metro = F_metro-1 + F_metro-2), una secuencia que teóricamente podría extenderse indefinidamente.

La secuencia, que de hecho era conocida por los matemáticos indios desde el siglo VI, tiene muchas propiedades matemáticas interesantes, y muchas de las implicaciones y relaciones de la secuencia no se descubrieron hasta varios siglos después de la muerte de Fibonacci. Por ejemplo, la secuencia se regenera a sí misma de una manera sorprendente: un número F de cada tres es divisible por 2 (F₃ = 2), uno de cada cuatro números F es divisible por 3 (F₄ = 3), cada quinto número F es divisible por 5 (F₅ = 5), cada sexto número F es divisible por 8 (F₆ = 8), cada séptimo número F es divisible por 13 (F₇ = 13), etc. También se ha demostrado que los números en la secuencia son de naturaleza ubicua: entre otras, muchas especies de plantas con flores tienen números de pétalos en la secuencia de Fibonacci; los arreglos en espiral de las piñas aparecen en 5 y 8, los de piñas en 8 y 13, y las semillas de cabezas de girasol aparecen en 21, 34, 55 o incluso más en la secuencia; etc.

La proporción áurea φ

La proporción áurea se puede derivar de la secuencia de Fibonacci

En la década de 1750, Robert Simson observó que la relación de cada término en la secuencia de Fibonacci con el término anterior se aproxima, con mayor precisión cuanto más altos son los términos, una relación de aproximadamente 1: 1,6180339887 (c ‘es de hecho un número irracional igual a ^{(1 + √5)}??₂ que desde entonces se ha calculado con miles de decimales). Este valor se conoce como proporción áurea, también conocida como proporción áurea, sección áurea, proporción divina, etc., y generalmente se la conoce como la letra griega phi (o, a veces, la letra mayúscula Phi Φ). Esencialmente, dos cantidades están en la proporción áurea si la proporción de la suma de las cantidades a la mayor cantidad es igual a la proporción de la mayor cantidad a la más pequeña. La proporción áurea en sí tiene muchas propiedades únicas, como ¹??_?? = φ – 1 (0,618…) y² = φ + 1 (2.618…), y hay innumerables ejemplos de esto tanto en la naturaleza como en el mundo humano.

Un rectángulo con lados en una proporción de 1: φ se conoce como el rectángulo áureo, y muchos artistas y arquitectos a lo largo de la historia (que se remontan al antiguo Egipto y Grecia, pero particularmente popular en el arte renacentista de Leonardo da Vinci y sus contemporáneos) proporcionaron sus funciona aproximadamente utilizando la proporción áurea y los rectángulos áureos, que se consideran ampliamente estéticos por naturaleza. Un arco que conecta puntos opuestos de rectángulos dorados anidados cada vez más pequeños forma una espiral logarítmica, conocida como la espiral dorada. La proporción áurea y la espiral áurea también se pueden encontrar en un sorprendente número de casos de la naturaleza, desde conchas marinas y flores hasta cuernos de animales, cuerpos humanos, sistemas de tormentas y galaxias.

Debe recordarse, sin embargo, que la secuencia de Fibonacci era, de hecho, solo un elemento muy menor en “Liber Abaci”; de hecho, a la secuencia solo se le dio el nombre de Fibonacci en 1877 cuando Eduouard Lucas decidió rendirle homenaje dándole su nombre. a la serie, y que el propio Fibonacci no fue responsable de identificar ninguna de las propiedades matemáticas interesantes de la secuencia, su relación con la proporción áurea y los rectángulos y espirales áureos, etc.

Multiplicación de redes

Fibonacci introdujo la multiplicación de redes en Europa

Sin embargo, la influencia del libro en las matemáticas medievales es innegable, y también incluye discusiones de una serie de otros problemas matemáticos, como el teorema chino del resto, números primos y perfectos, fórmulas para aritmética en serie y números de pirámides cuadradas, demostraciones geométricas euclidianas y un estudio de ecuaciones lineales simultáneas a lo largo de las líneas de Diofanto y Al-Karaji. También describió el método de multiplicación de celosía (o tamiz) para multiplicar números grandes, un método, desarrollado originalmente por matemáticos islámicos como Al-Khwarizmi, algorítmicamente equivalente a una multiplicación larga.

Tampoco fue el único libro de “Liber Abaci” Fibonacci, aunque fue el más importante. Su “Liber Quadratorum” (“El libro de los cuadrados”), por ejemplo, es un libro de álgebra, publicado en 1225 en el que aparece una declaración de lo que ahora se llama identidad de Fibonacci, a veces también conocido como el nombre de identidad de Brahmagupta después del pozo anterior. -conocido matemático indio que también llegó a las mismas conclusiones- que el producto de dos sumas de dos cuadrados es en sí mismo una suma de dos cuadrados, por ejemplo (1² + 4²) (2² + 7²) = 26² + 15² = 30² +1².

diciembre 3, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Aritmetica Blog Decimales Fracciones Multiplicación

MATEMÁTICAS Y MATEMÁTICOS DE LA INDIA

La evolución de los números arábigos hindúes

Aunque se desarrollaron de forma bastante independiente de las matemáticas chinas (y probablemente también de las matemáticas babilónicas), en la India se hicieron muy pronto descubrimientos matemáticos muy avanzados.

Mantras desde el comienzo del período védico (antes del 1000 aC. Un texto sánscrito del siglo IV informa que Buda enumeró números hasta 10⁵³, así como la descripción de otros seis sistemas de numeración además de estos, dando como resultado un número equivalente a 10⁴²¹. Dado que hay alrededor de 10⁸⁰ átomos en todo el universo, está tan cerca del infinito como cualquiera en el mundo antiguo. También describe una serie de iteraciones decrecientes, con el fin de demostrar el tamaño de un átomo, que se acerca notablemente al tamaño real de un átomo de carbono (alrededor de 70 billones de metros).

Ya en el siglo VIII a. C., mucho antes de Pitágoras, un texto conocido como “Sutras Sulba” (Dónde “Sulva Sutras“) enumeró varios triples pitagóricos simples, así como un enunciado del teorema de Pitágoras simplificado para los lados de un cuadrado y para un rectángulo (de hecho, parece bastante probable que Pitágoras aprendiera su geometría básica de”Sutras SulbaLos Sutras también contienen soluciones geométricas de ecuaciones lineales y cuadráticas con una sola incógnita, y dan una cifra notablemente precisa para la raíz cuadrada de 2, obtenida sumando 1 + ¹??₃ + ¹??_(3×4) – ¹??_(3x4x34), que da un valor de 1.4142156, corregido a 5 decimales.

Ya en el siglo III o II a.C., los matemáticos jainistas reconocieron cinco tipos diferentes de infinitos: infinito en una dirección, en dos direcciones, en área, infinito en todas partes y perpetuamente infinito. La literatura budista antigua también demuestra una conciencia premonitoria de números indeterminados e infinitos, y se cree que los números son de tres tipos: contables, incontables e infinitos.

Al igual que los chinos, los indios descubrieron las ventajas de un sistema numérico de valor decimal desde el principio, y ciertamente lo estaban utilizando antes del siglo III d.C. Ellos refinaron y perfeccionaron el sistema, en particular la representación escrita de dígitos, creando los antepasados de los nueve dígitos que (gracias a su difusión por los matemáticos árabes medievales) usamos en todo el mundo hoy, a veces considerado como una de las mayores innovaciones intelectuales de todas. tiempo.

Primer uso registrado de un carácter circular como número cero

El primer uso de un carácter circular para el número cero fue en India

Los indios también fueron responsables de otro desarrollo extremadamente importante en matemáticas. los primer uso registrado de un carácter redondo para el número cero se suele atribuir a un Siglo noveno grabado en un templo de Gwalior en la India central. Pero el brillante salto conceptual de incluir el cero como número completo (en lugar de solo como marcador de posición, espacio en blanco o espacio en blanco en un número, como se había tratado hasta entonces) se atribuye generalmente a los matemáticos indios del siglo VII. Brahmagupta, o quizás otro indio, Bhaskara I, aunque puede haber sido utilizado en la práctica durante siglos antes de eso. El uso del cero como un número que se puede utilizar en cálculos e investigaciones matemáticas, revolucionaría las matemáticas.

Brahmagupta estableció las reglas matemáticas básicas para tratar con cero: 1 + 0 = 1; 1 – 0 = 1; y 1 x 0 = 0 (el avance que daría sentido a la aparentemente loca operación 1 0 también sería para un indio, el matemático del siglo XII Bhaskara II). Brahmagupta también estableció reglas para tratar con números negativos y señaló que las ecuaciones cuadráticas podrían, en teoría, tener dos posibles soluciones, una de las cuales podría ser negativa. Incluso intentó escribir estos conceptos bastante abstractos, usando las iniciales de los nombres de los colores para representar incógnitas en sus ecuaciones, una de las primeras indicaciones de lo que ahora llamamos álgebra.

El dicho Edad de oro de las matemáticas indias Se puede decir que se extiende desde el siglo V al XII, y muchos de sus descubrimientos matemáticos son anteriores a descubrimientos similares en Occidente por varios siglos, lo que lleva a algunas acusaciones de plagio por parte de matemáticos europeos posteriores, incluso algunos menos probablemente estaban al tanto de los primeros descubrimientos de la India. trabaja. Ciertamente, parece que las contribuciones de la India a las matemáticas no han recibido el debido reconocimiento hasta muy recientemente en la historia moderna.

Los astrónomos indios utilizaron tablas de trigonometría

Los astrónomos indios utilizaron tablas de trigonometría para estimar la distancia relativa de la Tierra al Sol y la Luna.

Matemáticos indios de la edad de oro hizo avances fundamentales en la teoría de la trigonometría, un método de relacionar geometría y números desarrollado por primera vez por los griegos. Utilizaron ideas como las funciones seno, coseno y tangente (que relacionan los ángulos de un triángulo con las longitudes relativas de sus lados) para estudiar la tierra a su alrededor, navegar por los mares e incluso mapear los cielos.

Por ejemplo, Los astrónomos indios utilizaron trigonometría para calcular las distancias relativas entre la Tierra y la Luna. y la Tierra y el Sol. Se dieron cuenta de que cuando la Luna está medio llena y directamente opuesta al Sol, el Sol, la Luna y la Tierra forman un triángulo rectángulo y pudieron medir con precisión el ángulo como ¹??₇°. Sus tablas de senos dieron una relación para los lados de dicho triángulo de 400: 1, lo que indica que el Sol está 400 veces más lejos de la Tierra que la Luna.

Aunque los griegos pudieron calcular la función seno de ciertos ángulos, los astrónomos indios querían poder calcular la función seno de cualquier ángulo dado. Un texto llamado “Surya Siddhanta”, de autores desconocidos y que data de alrededor del año 400 EC, contiene las raíces de la trigonometría moderna, incluido el uso real más antiguo de senos, cosenos, senos inversos, tangentes y secantes.

Ya en el siglo VI d.C., el gran matemático y astrónomo indio Aryabhata produjo definiciones categóricas de seno, coseno, verso y seno inverso, y especificó tablas completas de senos y versos, a intervalos de 3, 75 ° de 0 ° a 90. °, con una precisión de 4 decimales. Aryabhata también demostró soluciones a las ecuaciones cuadráticas simultáneas y produjo una aproximación del valor de ?? equivalente a 3,1416, corregido a cuatro decimales. Lo usó para estimar la circunferencia de la Tierra, llegando a una cifra de 24,835 millas, a solo 70 millas de su valor real. Pero, quizás aún más asombroso, parece haberse dado cuenta de que ?? es un número irracional, y que cualquier cálculo solo puede ser una aproximación, lo que no se probó en Europa hasta 1761.

Infinito como el recíproco del cero

Ilustración del infinito como inverso de cero

Bhaskara II, que vivió en el siglo XII, fue uno de los más consumados de todos los grandes matemáticos de la India. Se le atribuye haber explicado la operación de división por cero previamente mal entendida. Se dio cuenta de que dividir uno en dos partes da la mitad, por lo que 1 ¹??₂ = 2. Del mismo modo, 1 ¹??₃ = 3. Entonces, dividiendo 1 entre facciones cada vez más pequeñas, obtenemos un número cada vez mayor de piezas. Por lo tanto, en última instancia, dividir uno en trozos de tamaño cero daría como resultado una infinidad de trozos, lo que indica que 1 0 = ∞ (el símbolo del infinito).

Sin embargo, Bhaskara II también hizo contribuciones importantes a muchas áreas diferentes de las matemáticas, desde soluciones de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas (incluidas soluciones negativas e irracionales) hasta soluciones de ecuaciones diofánticas de segundo orden hasta conceptos preliminares, cálculo y análisis esférico matemático. trigonometría y otros aspectos de la trigonometría. Algunos de sus hallazgos son anteriores a descubrimientos similares en Europa por varios siglos, e hizo importantes contribuciones en términos de sistematizar (entonces) el conocimiento actual y métodos mejorados para soluciones conocidas.

Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala fue fundada a finales del siglo XIV por Madhava de Sangamagrama, a veces llamado el mayor matemático-astrónomo de la India medieval. Desarrolló aproximaciones en series infinitas para una variedad de funciones trigonométricas, que incluyen ??, senos nasales, etc. Algunas de sus contribuciones a la geometría y el álgebra y sus primeras formas de diferenciación e integración para funciones simples pueden haber sido transmitidas a Europa a través de los misioneros jesuitas, y es posible que el desarrollo europeo posterior del cálculo haya sido influenciado por su trabajo en cierta medida.

noviembre 30, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Blog Decimales Definiciones

El fundador de la escuela de Kerala

Madhava de Sangamagrama (c. 1350-1425)

Madhava a veces llamado el más grande matemático-astrónomo de la India medieval. Es originario de la ciudad de Sangamagrama en Kerala, cerca del extremo sur de la India, y fundó la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala a fines del siglo XIV.

Aunque casi todos El trabajo original de Madhava se pierde, se menciona en el trabajo de los matemáticos posteriores de Kerala como la fuente de varias expansiones en series infinitas (incluidas las funciones seno, coseno, tangente y arco tangente y el valor de ??), que representa las primeras etapas de los procesos finitos tradicionales desde el álgebra hasta las consideraciones del infinito, con sus implicaciones para el desarrollo futuro del cálculo y el análisis matemático.

A diferencia de la mayoría de las culturas anteriores, que habían estado bastante nerviosas por el concepto de infinito, Madhava estaba más que feliz de jugar con el infinito, especialmente la serie infinita. Mostró cómo, aunque uno puede aproximarse sumando la mitad más un cuarto más un octavo más un dieciseisavo, etc. muchas fracciones.

Serie Madhava

$El método de Madhava para aproximar π por una serie infinita de fracciones$

El método de Madhava para aproximar π por una serie infinita de fracciones

Pero Madhava fue más allá y vinculó la idea de una serie infinita a la geometría y la trigonometría. Se dio cuenta de que al sumar y restar sucesivamente diferentes fracciones de números impares en el infinito, podía concentrarse en una fórmula exacta para ?? (Pasaron dos siglos antes de que Leibniz llegara a la misma conclusión en Europa). Mediante su aplicación de esta serie, Madhava tiene un el valor de ?? correcto a un asombroso número de 13 decimales.

Luego usó las mismas matemáticas para obtener expresiones en series infinitas para la fórmula del seno, que luego podría usarse para calcular el seno de cualquier ángulo con cualquier grado de precisión, así como para otras funciones trigonométricas como coseno, tangente y arcotangente. Quizás aún más notable, sin embargo, es que también dio estimaciones del término de error o el término de corrección, lo que implica que entendió completamente la naturaleza limitante de la serie infinita.

El uso de Madhava de series infinitas para aproximar un rango de funciones trigonométricas, que fueron desarrollados por sus sucesores en la escuela de Kerala, sentó las bases para un mayor desarrollo del cálculo y el análisis, y él o sus seguidores desarrollaron una forma temprana de integración para funciones simples. Algunos historiadores han sugerido que el trabajo de Madhava, a través de los escritos de la escuela de Kerala, puede haber sido transmitido a Europa a través de los misioneros y comerciantes jesuitas que estuvieron activos alrededor del antiguo puerto de Cochin (Kochi) en el período, y puede haber tenido una influencia en posteriores desarrollos europeos en cálculo.

Entre sus otras contribuciones, Madhava descubrió las soluciones de algunas ecuaciones trascendentales a través de un proceso de iteración y encontró aproximaciones para algunos números trascendentales a través de fracciones continuas. En astronomía, descubrió un procedimiento para determinar las posiciones de la Luna cada 36 minutos y métodos para estimar los movimientos de los planetas.

noviembre 29, 2021 por Carlos Huertas Blog Decimales Fracciones Impares Pares Resta Suma

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