Declaración condicional: definición y ejemplos

Declaración condicional: definición y ejemplos

Una declaración condicional donde la verdad de un evento garantiza la verdad de otro.

Las declaraciones condicionales a veces se denominan declaraciones “si / entonces”. Son esenciales en muchas ramas de las matemáticas, especialmente en la lógica.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es una declaración condicional?
  • Definición de declaración condicional
  • Ejemplos de declaraciones condicionales

¿Qué es una declaración condicional?

Una declaración condicional describe una relación entre dos eventos donde la verdad de un evento implica la verdad del otro.

Si un evento, $ P $, implica la verdad de un evento $ Q $, entonces el enunciado condicional que describe la relación es “Si $ P $, entonces $ Q $. Alternativamente, es “$ P $ implica $ Q $”. En lógica, esto es $ P rightarrow Q $.

Una declaración condicional puede ser verdadera o falsa. Una declaración verdadera es verdadera pase lo que pase, mientras que una declaración falsa es falsa en uno o más casos. Hay ejemplos a continuación.

El evento en el lado izquierdo de la flecha se llama antecedente de la instrucción, mientras que el evento en el lado derecho de la flecha se llama el resultado de la declaración. Un antecedente se denomina “condición suficiente” porque saber que es verdadero es suficiente para saber que la consecuencia es verdadera (cuando el enunciado en sí mismo es verdadero). La consecuencia se denomina condición necesaria porque es un requisito previo para que el antecedente sea verdadero en un enunciado verdadero.

Los enunciados condicionales tienen inversos, inversos y contrapuestos. Más precisamente, para una instrucción $ P rightarrow Q $:

Reverso: $ Q rightarrow P $

Inversa: $ neg P rightarrow neg Q $

Contrapositivo: $ neg Q rightarrow neg P $.

El valor de verdad del enunciado condicional siempre será el mismo que el valor de verdad del enunciado contrapositivo. Asimismo, el valor de verdad de la inversa siempre será el mismo que el valor de verdad de la inversa.

Tenga en cuenta que solo porque un evento $ P $ implica un evento $ Q $, el evento $ Q $ no necesariamente significa el evento $ P $.

Una declaración bicondicional es aquella que describe una relación entre dos eventos donde cada uno implica al otro. Se escriben $ P leftrightarrow Q $ y se leen “$ P $ si y solo si $ Q $”. A veces, la relación también se escribe $ P $ ssi. $ Q $.

Un enunciado bicondicional es verdadero si y solo si el enunciado y su recíproco son ambos verdaderos.

Definición de declaración condicional

Una declaración condicional conecta dos eventos donde el segundo evento depende del primero. Esta afirmación puede ser verdadera o falsa.

Las declaraciones condicionales también se conocen como declaraciones “si / entonces” porque si un evento $ Q $ resulta de un evento $ P $, la declaración condicional es “si $ P $, entonces $ Q $”.

En lógica formal, es:

“$ P rightarrow Q $”.

Esto se lee:

“$ P $ implica $ Q $”.

En este caso, $ P $ se llama antecedente, y $ Q $ se llama resultado.

Ejemplos de declaraciones condicionales

Considere los siguientes eventos:

$ P $: Un animal es un gato.

$ Q $: Un animal es un mamífero.

$ R $: Un animal es un pez.

A continuación, considere las siguientes declaraciones condicionales:

  1. $ P flecha derecha Q $
  2. $ Q flecha derecha P $
  3. $ R flecha derecha Q $

Todos estos son ejemplos de declaraciones condicionales. Sin embargo, solo uno representa una declaración verdadera.

$ P rightarrow Q $ es cierto porque si un animal es un gato, debe ser un mamífero.

Pero $ Q rightarrow P $ es falso. Aunque un animal sea un mamífero, puede que sea un gato o no. Si una declaración es falsa en una sola circunstancia, se etiqueta como falsa.

Finalmente, $ R rightarrow Q $ siempre es falso. Ningún pez es un mamífero.

Tenga en cuenta que las consecuencias y los antecedentes pueden ser más complejos que esto. Pueden incluir los operadores “y” y “o”, por ejemplo.

Ejemplos de

Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran declaraciones condicionales y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Decide si cada enunciado condicional matemático es verdadero o falso. Si es falso, dé al menos un contraejemplo específico.

  1. Si es un número primo, entonces es impar.
  2. Si es la suma de dos números pares, entonces es impar.
  3. Si es un cuadrado, entonces es un cuadrilátero.

Solución

La primera afirmación es incorrecta. Todos los números primos excepto $ 2 $ son impares. Incluso si solo hay una excepción, toda la declaración es falsa.

La declaración podría cambiarse a “si es un número primo distinto de dos, entonces es impar”. Sería cierto.

La segunda afirmación sigue siendo incorrecta, pero es suficiente para encontrar un contraejemplo. $ 2 $ y $ 4 $ son números pares, pero su suma es $ 6 $, que no es impar.

Esta afirmación es cierta al apelar a las definiciones. Dado que las figuras de cuatro lados son cuadriláteros y un cuadrado es una figura de cuatro lados, un cuadrado es un cuadrilátero.

Ejemplo 2

Dé un ejemplo concreto para mostrar por qué la contraposición de un enunciado verdadero debe ser verdadera, pero no al revés.

Solución

Considere el tercer enunciado del ejemplo 1. “Si es un cuadrado, entonces es un cuadrilátero.

La contraposición de esta afirmación es “si no es un cuadrilátero, entonces no es un cuadrado”.

Las cosas que no son cuadriláteros tienen un número de lados mayor o menor que cuatro. Dado que un cuadrado tiene cuatro lados, la figura que no es un cuadrilátero no puede ser un cuadrado.

Pero considere lo contrario “si no es un cuadrado, entonces no es un cuadrilátero”. Esta afirmación es falsa porque, por ejemplo, un rectángulo es un cuadrilátero que no es un cuadrado.

Ejemplo 3

Dé un ejemplo concreto de un enunciado bicondicional, especificando el enunciado condicional, el inverso, el inverso y el contrapuesto.

Solución

Las declaraciones bicondicionales son generalmente definitorias. Un ejemplo famoso es “es un ángulo recto si y sólo si es de 90 grados”. Esta es la declaración condicional y es verdadera por definición.

Converse: “Si no es un ángulo recto, no es de 90 grados. Nuevamente, esto debe ser cierto porque los ángulos de 90 grados son ángulos rectos.

Reverso: “Si son 90 grados, entonces es un ángulo recto. Una vez más, la definición sostiene que esto es cierto.

Contrapositivo: “Si no es de 90 grados, entonces no es un ángulo recto. Dado que el enunciado condicional original es verdadero, ese enunciado también es verdadero.

Ejemplo 4

¿Es verdadero o falso el siguiente enunciado condicional?

Si $ x $ es un número real y $ x ^ 2 $ es positivo, entonces $ x $ es positivo.

Solución

Esta afirmación es falsa. Una vez más, basta con encontrar un contraejemplo, aunque hay un número infinito de ellos.

Sea $ x = -2 $. Entonces $ x $ es un número real y $ x ^ 2 = 4 $ es positivo. Sin embargo, $ x $ en sí mismo es negativo. Por tanto, la afirmación es falsa.

Ejemplo 5

$ P rightarrow Q $ es cierto.

$ Q rightarrow R $ es cierto.

$ P rightarrow R $? ¿Puedes pensar en algún evento que coincida con esta relación?

Solución

En este caso, sí.

$ P rightarrow R $ significa que si $ P $ es verdadero, entonces $ R $ debe ser verdadero.

Si $ P $ es verdadero, $ Q $ debe ser verdadero por el primer enunciado condicional. Del mismo modo, si $ Q $ es verdadero, entonces $ R $ debe ser verdadero según el segundo enunciado condicional.

Entonces, si $ P $ es verdadero, entonces $ Q $ es verdadero, y luego $ R $ es verdadero. Entonces, $ P rightarrow R $ es cierto.

Considere este ejemplo. Sea $ P $ el evento “es un gato”, $ Q $ el evento “es un felino” y $ R $ el evento “es un mamífero”.

Si un animal es un gato, es un felino. Si un animal es un felino, es un mamífero. Asimismo, todos los gatos son mamíferos.

Sin embargo, tenga en cuenta que no todos los felinos son gatos (al menos no gatos domésticos). Algunos son tigres o leones. Asimismo, no todos los mamíferos son felinos. Algunos son primates, otros caninos, etc.

Problemas de práctica

  1. Dado que la contraposición de un enunciado es siempre verdadera, demuestre que si el inverso de un enunciado es verdadero, entonces lo contrario también es cierto.
  2. ¿$ Neg (P cap Q) rightarrow ( neg P cap neg Q) $?
  3. ¿Es $ neg (P cap Q) rightarrow ( neg P cup neg Q) $?
  4. ¿Es verdadero el enunciado “Si tiene tres ángulos de 60 grados, entonces es un triángulo equilátero”? ¿Cómo podría cambiarse?
  5. Demuestre que el enunciado “Si es divisible por 3, entonces es impar” es falso.

Clave de respuesta

  1. Considere un enunciado condicional $ P rightarrow Q $. Si esta afirmación es verdadera, entonces la contraposición $ neg Q rightarrow neg P $ también es verdadera.
    Ahora, suponga lo contrario, $ Q rightarrow P $ es cierto. El reverso de esta afirmación es $ neg P rightarrow neg Q $. Sin embargo, esto es lo contrario de la declaración original. Por lo tanto, un verdadero inverso implica un verdadero inverso porque el inverso es la contraposición del recíproco.
  2. No. $ neg (P cap Q) $ “no es $ P $ y $ Q $. Es decir, ambos no son verdaderos. Por lo tanto, al menos uno es falso. Sin embargo, $ neg P cap neg Q $ significa ambos son falsos, por lo que $ neg P cap Q $ es un contraejemplo.
  3. Es verdad. Como antes, $ neg (P cap Q) $ significa que al menos uno de $ P $ o $ Q $ es falso. Es decir, $ neg P cup neg Q $. Tenga en cuenta que esto incluye el caso donde ambos son falsos, el caso donde $ P $ es falso y $ Q $ es verdadero, y el caso donde $ Q $ es verdadero y $ P $ es falso.
  4. A primera vista, esta afirmación parece cierta. $ 60 + 60 + 60 = $ 180. Sin embargo, nada dice que la figura con tres ángulos de 60 grados tenga solo tres lados. Por ejemplo, podría ser un pentágono con tres lados a 60 grados y otros dos lados que sumen 360 (debería ser un pentágono cóncavo). Cambiar esta afirmación a “Si solo tiene tres lados y cada lado mide 60 grados, entonces es un triángulo equilátero” lo hace inconfundiblemente cierto.
  5. Basta encontrar un contraejemplo. Considere el número $ 6 $, que es par y divisible por $ 3.