Definiciones

Identidades pares e impares: explicación y ejemplos

Las identidades pares e impares para funciones trigonométricas implican el uso de la regularidad o rareza de la función trigonométrica para encontrar los valores trigonométricos de ángulos negativos.

Más precisamente, seno, tangente, cosecante y cotangente son funciones impares. Las funciones coseno y secante son pares.

Como todas las identidades trigonométricas, las identidades pares e impares juegan un papel importante en las ciencias físicas y la ingeniería.

Antes de continuar con esta sección, revise las funciones pares e impares y las identidades de activación.

Esta sección cubre:

Incluso identidades

¿Cómo saber si una función sinusoidal es par o impar?

Identidades extrañas

Las identidades impares son identidades trigonométricas que surgen del hecho de que una función trigonométrica dada es una función impar.

Recuerde que una función impar es una función $ f (x) $ tal que $ f (-x) = -f (x) $. Es decir, las correspondientes entradas positivas y negativas tienen salidas con el mismo valor absoluto. Sin embargo, las señales de estas salidas serán diferentes.

Al reflejar una función impar en el eje $ x $ y luego en el eje $ y $ (o viceversa) se asigna la función a sí misma. Es decir, las funciones impares son simétricas con respecto al origen.

En trigonometría, las funciones seno, cosecante, tangente y cotangente son impares. Este hecho da las cuatro extrañas identidades:

$ sin (-x) = -sin (x) $

$ csc (-x) = -csc (x) $

$ tan (-x) = -tan (x) $

$ cuna (-x) = -cot (x) $

Las funciones trigonométricas inversas arcoseno y arcotangente también son impares. Por lo tanto, también hay dos identidades trigonométricas inversas impares:

$ arcosen (-x) = -arcosen (x) $

$ arctan (-x) = -arctan (x) $

Incluso identidades

Incluso las identidades en trigonometría son identidades que surgen del hecho de que una función trigonométrica dada es par.

Recuerde que una función par es una función $ f $ tal que $ f (-x) = f (x) $. Es decir, las correspondientes entradas positivas y negativas tienen la misma salida. Estas funciones son simétricas con respecto al eje y, y al reflejarlas en el eje y, se asignan a sí mismas.

Hay dos funciones trigonométricas pares, coseno y secante. Por tanto, hay dos identidades trigonométricas pares:

$ cos (-x) = cos (x) $

$ seg (-x) = seg (-x) $

Ni siquiera hay funciones trigonométricas inversas.

¿Cómo saber si una función sinusoidal es par o impar?

Es posible determinar si una función trigonométrica es par o impar algebraicamente o gráficamente.

Hacer esto gráficamente es más fácil. Si el eje y es un eje de simetría para la función, entonces es par. Si la característica es simétrica con respecto al origen (ya sea girándola 180 grados o reflejándola en ambos ejes), entonces es extraña.

Algebraicamente, debemos probar que, para cualquier $ x $, $ f (-x) = f (x) $ para que una función sea par y que $ f (-x) = -f (x) $ para una función sea extraño.

Pruebas algebraicas de pares e impares

Con las funciones trigonométricas, esto se hace observando las definiciones básicas de seno y coseno en el contexto del círculo unitario.

Recuerde que un ángulo negativo en el círculo unitario mide en sentido horario, mientras que un ángulo positivo mide en sentido antihorario.

En el círculo unitario, el seno de un ángulo es igual a la altura del triángulo rectángulo formado con el radio terminal y el eje x. En la figura ilustrada, el seno del ángulo $ BAD $ es $ DI $. El ángulo negativo correspondiente a $ BAD $ mide en el sentido de las agujas del reloj, por lo que es $ BAE $. En la figura, el seno de este ángulo es $ IE $.

Dado que $ DI $ se extiende hacia arriba desde el eje x, su longitud es positiva. Dado que $ IE $ se extiende hacia abajo, su longitud es negativa. Pero sus tamaños serán los mismos.

Asimismo, el seno de $ BAF $ es $ FH $ y el seno de $ BAG $, el ángulo negativo correspondiente, es $ HG $. Estas dos líneas también tienen la misma amplitud pero diferentes senos.

Por lo tanto, los senos de dos ángulos de la misma magnitud pero medidos en la dirección opuesta tendrán la misma magnitud pero diferentes signos. Por tanto, el seno es impar.

Sin embargo, tenga en cuenta que los cosenos (la línea horizontal del triángulo rectángulo del ángulo) están en el mismo lado del eje x. Para $ BAD $ y $ BAE $, es $ AI $. Para $ BAF $ y $ BAG, es $ AH $. Por tanto, el coseno no cambia según el signo del ángulo. Entonces el coseno es par.

La impar o regularidad de otras funciones trigonométricas se deriva de la impar o regularidad del seno y el coseno.

Transformaciones pares e impares

Tenga en cuenta que las transformaciones de la función pueden afectar si son pares o impares.

En particular, las compensaciones horizontales y verticales pueden hacer que una función impar sea par o una función par impar. Por ejemplo, $ cos (x- frac { pi} {2}) $ coincide con el coseno con el seno. Por lo tanto, $ cos (x- frac { pi} {2}) $ es impar.

Las transformaciones también pueden hacer que una función no sea ni impar ni par. La transformación $ sin (x) -1 $ es un ejemplo.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran identidades trigonométricas pares e impares y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Usa la regularidad y el número impar del seno y el coseno para demostrar que la función tangente es impar.

Solución

Debemos demostrar que la tangente es impar. Es decir que :

$ tan (-x) = -tanx $.

Recuerde que $ tanx = frac {sinx} {cosx} $. Entonces:

$ tan (-x) = frac {sin (-x)} {cos (-x)} $.

Dado que el seno es impar y el coseno es par, esto se simplifica a:

$ tan (-x) = frac {-sinx} {cosx} = – frac {sinx} {cosx} = -tanx $.

Ejemplo 2

¿Es la función $ y = sinx-1 $ par, impar o ninguna de las dos?

Solución

Una manera fácil de probar si una función es par, impar o ninguna es encontrar el valor de la función para un ángulo negativo y un ángulo positivo con la misma amplitud. En este caso, use los ángulos $ frac { pi} {2} $ y $ – frac { pi} {2} $.

En $ frac { pi} {2} $, el seno es igual a $ 1 $. Por lo tanto, $ sinx-1 = $ 0.

En $ – frac { pi} {2} $, el seno es igual a $ -1 $. Por lo tanto, $ sinx-1 = -2 $.

Por tanto, esta función no es ni par ni impar.

Sin embargo, tenga en cuenta que este método puede dar una pista sobre si una función es par o impar, pero no lo prueba. Por ejemplo, $ sin ( pi) = 0 = sin (- pi) $. En estos dos puntos, la función $ sinx-1 $ vale $ 1 $, pero la función no es par.

Ejemplo 3

Encuentra el seno de $ frac { pi} {4} $ y $ – frac { pi} {4} $.

Solución

Recuerda que el seno de $ frac { pi} {4} $ es $ frac { sqrt {2}} {2} $. Además, dado que el seno es impar $ sin (-x) = -sinx $. Por lo tanto, $ sin (- frac { pi} {4}) = -sin ( frac { pi} {4}) $.

Entonces, $ sin (- frac { pi} {4}) = – frac { sqrt {2}} {2} $.

Ejemplo 4

Encuentre la secante de $ – frac { pi} {6} $.

Solución

Recuerde que la función secante es la inversa de la función coseno. Es decir, $ secx = frac {1} {cosx} $. Como el coseno, es uniforme.

Entonces:

$ seg (- frac { pi} {6}) = seg ( frac { pi} {6}) $.

Dado que la secante del ángulo $ frac { pi} {6} $ radianes es $ frac {1} { frac { sqrt {3}} {2}} = frac {2 sqrt {3}} {3} $, la secante del ángulo $ – frac { pi} {6} $ también es $ frac {2 sqrt {3}} {3} $.

Ejemplo 5

Utilice el hecho de que el coseno es par para demostrar que $ cos (xy) = cos (yx) $.

Solución

Para empezar, observe que $ yx = – (xy) $.

Por lo tanto, $ cos (yx) = cos (- (xy)) $. Sin embargo, dado que el coseno es par, $ cos (- (xy)) = cos (xy) $. Por lo tanto, $ cos (yx) = cos (xy) $ para todos los ángulos $ x $ y $ y $.

Problemas de práctica

¿Es la función $ 4sinx $ impar, par o ninguna de las dos?

Encuentra $ cos (- frac { pi} {3}) $.

Demuestre que la cotangente es impar usando identidades pares e impares.

Encuentra $ csc (- frac { pi} {2}) $.

Utilice las identidades par e impar para demostrar que $ cosxsin ^ 2x $ es una función par.

Clave de respuesta

Impar

$ frac {1} {2} $

$ cot (-x) = frac {cos (-x)} {sin (-x)} = frac {cos (x)} {- sin (x)} = – frac {cosx} {sinx} = -cotx $.

$ -1 $

$ cos (-x) sin ^ 2 (-x) = cos (-x) sin (-x) sin (-x) = cosx (-1) sinx (-1) sinx = cosxsinxsinx = cosxsin ^ 2x $.

Las imágenes / objetos matemáticos se crean con GeoGebra.

diciembre 10, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Blog Definiciones Impares Pares Transformaciones

PLATO – EL FILÓSOFO ATENIO

Biografía: ¿Por qué se conoció a Platón?

Platón (c. 428-348 a. C.)

Aunque hoy en día se recuerda generalmente a un filósofo, Platón también fue uno de los patrocinadores más importantes de las matemáticas en la antigua Grecia. Inspirado por Pitágoras, fundó su Academia en Atenas en 387 a. C., donde enfatizó las matemáticas como una forma de comprender mejor la realidad. En particular, estaba convencido de que la geometría era la clave para descubrir los secretos del universo. El letrero sobre la entrada de la Academia decía: “No dejes que nadie sin geometría entre aquí”.

Platón jugó un papel importante alentando e inspirando a los intelectuales griegos a estudiar matemáticas y filosofía. Su Academia enseñó matemáticas como una rama de la filosofía, como había hecho Pitágoras, y los primeros 10 años del curso de 15 años en la Academia involucraron el estudio de las ciencias y las matemáticas, incluida la geometría plana y los sólidos, la astronomía y los armónicos. Platón se hizo conocido como el “hacedor de matemáticos”, y su Academia incluía a algunos de los matemáticos más eminentes del mundo antiguo, incluidos Eudoxo, Theaetetus y Archytas.

Exigió definiciones precisas, suposiciones claramente establecidas y pruebas lógicas deductivas de sus estudiantes, e insistió en que las pruebas geométricas se demostraran sin más ayuda que una regla y un compás. Entre los muchos problemas matemáticos que planteó Platón para la investigación de sus estudiantes estaban los tres problemas clásicos (“cuadrar el círculo”, “doblar el cubo” y “trisecar el ángulo”) y, hasta cierto punto, estos problemas. Platón. , aunque no fue el primero en preguntarles.

Sólidos platónicos

Sólidos platónicos

Platón, el matemático, es quizás mejor conocido por su identificación de 5 formas tridimensionales simétricas regulares, que dijo que eran la base de todo el universo, y que tienen ser conocido como los sólidos platónicos: el tetraedro (formado por 4 triángulos regulares, que para Platón representaba el fuego), el octaedro (formado por 8 triángulos, que representan el aire), el icosaedro (compuesto por 20 triángulos y que representa el agua), El cubo (compuesto por 6 cuadrados y que representa la tierra), y el dodecaedro (compuesto por 12 pentágonos, que Platón describió oscuramente como “el dios solía organizar las constelaciones por todo el cielo“).

El tetraedro, el cubo y el dodecaedro probablemente le eran familiares a Pitágoras, y el octaedro y el icosaedro probablemente fueron descubiertos por Theetetus, un contemporáneo de Platón. Además, le correspondía a Euclides, medio siglo después, demostrar que estos eran los únicos poliedros convexos regulares posibles. Sin embargo, se hicieron conocidos popularmente como los sólidos platónicos e inspiraron a matemáticos y topógrafos durante muchos siglos. Por ejemplo, alrededor de 1600, el astrónomo alemán Johannes Kepler ideó un ingenioso sistema de esferas y sólidos platónicos anidados para aproximar bastante bien las distancias de los planetas conocidos al Sol (aunque era lo suficientemente científico como para abandonar su elegante modelo cuando “ resultó que no era así ”). sea lo suficientemente preciso).

diciembre 4, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Blog Definiciones

MATEMÁTICAS Y MATEMÁTICOS DE LA INDIA

La evolución de los números arábigos hindúes

Aunque se desarrollaron de forma bastante independiente de las matemáticas chinas (y probablemente también de las matemáticas babilónicas), en la India se hicieron muy pronto descubrimientos matemáticos muy avanzados.

Mantras desde el comienzo del período védico (antes del 1000 aC. Un texto sánscrito del siglo IV informa que Buda enumeró números hasta 10⁵³, así como la descripción de otros seis sistemas de numeración además de estos, dando como resultado un número equivalente a 10⁴²¹. Dado que hay alrededor de 10⁸⁰ átomos en todo el universo, está tan cerca del infinito como cualquiera en el mundo antiguo. También describe una serie de iteraciones decrecientes, con el fin de demostrar el tamaño de un átomo, que se acerca notablemente al tamaño real de un átomo de carbono (alrededor de 70 billones de metros).

Ya en el siglo VIII a. C., mucho antes de Pitágoras, un texto conocido como “Sutras Sulba” (Dónde “Sulva Sutras“) enumeró varios triples pitagóricos simples, así como un enunciado del teorema de Pitágoras simplificado para los lados de un cuadrado y para un rectángulo (de hecho, parece bastante probable que Pitágoras aprendiera su geometría básica de”Sutras SulbaLos Sutras también contienen soluciones geométricas de ecuaciones lineales y cuadráticas con una sola incógnita, y dan una cifra notablemente precisa para la raíz cuadrada de 2, obtenida sumando 1 + ¹??₃ + ¹??_(3×4) – ¹??_(3x4x34), que da un valor de 1.4142156, corregido a 5 decimales.

Ya en el siglo III o II a.C., los matemáticos jainistas reconocieron cinco tipos diferentes de infinitos: infinito en una dirección, en dos direcciones, en área, infinito en todas partes y perpetuamente infinito. La literatura budista antigua también demuestra una conciencia premonitoria de números indeterminados e infinitos, y se cree que los números son de tres tipos: contables, incontables e infinitos.

Al igual que los chinos, los indios descubrieron las ventajas de un sistema numérico de valor decimal desde el principio, y ciertamente lo estaban utilizando antes del siglo III d.C. Ellos refinaron y perfeccionaron el sistema, en particular la representación escrita de dígitos, creando los antepasados de los nueve dígitos que (gracias a su difusión por los matemáticos árabes medievales) usamos en todo el mundo hoy, a veces considerado como una de las mayores innovaciones intelectuales de todas. tiempo.

Primer uso registrado de un carácter circular como número cero

El primer uso de un carácter circular para el número cero fue en India

Los indios también fueron responsables de otro desarrollo extremadamente importante en matemáticas. los primer uso registrado de un carácter redondo para el número cero se suele atribuir a un Siglo noveno grabado en un templo de Gwalior en la India central. Pero el brillante salto conceptual de incluir el cero como número completo (en lugar de solo como marcador de posición, espacio en blanco o espacio en blanco en un número, como se había tratado hasta entonces) se atribuye generalmente a los matemáticos indios del siglo VII. Brahmagupta, o quizás otro indio, Bhaskara I, aunque puede haber sido utilizado en la práctica durante siglos antes de eso. El uso del cero como un número que se puede utilizar en cálculos e investigaciones matemáticas, revolucionaría las matemáticas.

Brahmagupta estableció las reglas matemáticas básicas para tratar con cero: 1 + 0 = 1; 1 – 0 = 1; y 1 x 0 = 0 (el avance que daría sentido a la aparentemente loca operación 1 0 también sería para un indio, el matemático del siglo XII Bhaskara II). Brahmagupta también estableció reglas para tratar con números negativos y señaló que las ecuaciones cuadráticas podrían, en teoría, tener dos posibles soluciones, una de las cuales podría ser negativa. Incluso intentó escribir estos conceptos bastante abstractos, usando las iniciales de los nombres de los colores para representar incógnitas en sus ecuaciones, una de las primeras indicaciones de lo que ahora llamamos álgebra.

El dicho Edad de oro de las matemáticas indias Se puede decir que se extiende desde el siglo V al XII, y muchos de sus descubrimientos matemáticos son anteriores a descubrimientos similares en Occidente por varios siglos, lo que lleva a algunas acusaciones de plagio por parte de matemáticos europeos posteriores, incluso algunos menos probablemente estaban al tanto de los primeros descubrimientos de la India. trabaja. Ciertamente, parece que las contribuciones de la India a las matemáticas no han recibido el debido reconocimiento hasta muy recientemente en la historia moderna.

Los astrónomos indios utilizaron tablas de trigonometría

Los astrónomos indios utilizaron tablas de trigonometría para estimar la distancia relativa de la Tierra al Sol y la Luna.

Matemáticos indios de la edad de oro hizo avances fundamentales en la teoría de la trigonometría, un método de relacionar geometría y números desarrollado por primera vez por los griegos. Utilizaron ideas como las funciones seno, coseno y tangente (que relacionan los ángulos de un triángulo con las longitudes relativas de sus lados) para estudiar la tierra a su alrededor, navegar por los mares e incluso mapear los cielos.

Por ejemplo, Los astrónomos indios utilizaron trigonometría para calcular las distancias relativas entre la Tierra y la Luna. y la Tierra y el Sol. Se dieron cuenta de que cuando la Luna está medio llena y directamente opuesta al Sol, el Sol, la Luna y la Tierra forman un triángulo rectángulo y pudieron medir con precisión el ángulo como ¹??₇°. Sus tablas de senos dieron una relación para los lados de dicho triángulo de 400: 1, lo que indica que el Sol está 400 veces más lejos de la Tierra que la Luna.

Aunque los griegos pudieron calcular la función seno de ciertos ángulos, los astrónomos indios querían poder calcular la función seno de cualquier ángulo dado. Un texto llamado “Surya Siddhanta”, de autores desconocidos y que data de alrededor del año 400 EC, contiene las raíces de la trigonometría moderna, incluido el uso real más antiguo de senos, cosenos, senos inversos, tangentes y secantes.

Ya en el siglo VI d.C., el gran matemático y astrónomo indio Aryabhata produjo definiciones categóricas de seno, coseno, verso y seno inverso, y especificó tablas completas de senos y versos, a intervalos de 3, 75 ° de 0 ° a 90. °, con una precisión de 4 decimales. Aryabhata también demostró soluciones a las ecuaciones cuadráticas simultáneas y produjo una aproximación del valor de ?? equivalente a 3,1416, corregido a cuatro decimales. Lo usó para estimar la circunferencia de la Tierra, llegando a una cifra de 24,835 millas, a solo 70 millas de su valor real. Pero, quizás aún más asombroso, parece haberse dado cuenta de que ?? es un número irracional, y que cualquier cálculo solo puede ser una aproximación, lo que no se probó en Europa hasta 1761.

Infinito como el recíproco del cero

Ilustración del infinito como inverso de cero

Bhaskara II, que vivió en el siglo XII, fue uno de los más consumados de todos los grandes matemáticos de la India. Se le atribuye haber explicado la operación de división por cero previamente mal entendida. Se dio cuenta de que dividir uno en dos partes da la mitad, por lo que 1 ¹??₂ = 2. Del mismo modo, 1 ¹??₃ = 3. Entonces, dividiendo 1 entre facciones cada vez más pequeñas, obtenemos un número cada vez mayor de piezas. Por lo tanto, en última instancia, dividir uno en trozos de tamaño cero daría como resultado una infinidad de trozos, lo que indica que 1 0 = ∞ (el símbolo del infinito).

Sin embargo, Bhaskara II también hizo contribuciones importantes a muchas áreas diferentes de las matemáticas, desde soluciones de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas (incluidas soluciones negativas e irracionales) hasta soluciones de ecuaciones diofánticas de segundo orden hasta conceptos preliminares, cálculo y análisis esférico matemático. trigonometría y otros aspectos de la trigonometría. Algunos de sus hallazgos son anteriores a descubrimientos similares en Europa por varios siglos, e hizo importantes contribuciones en términos de sistematizar (entonces) el conocimiento actual y métodos mejorados para soluciones conocidas.

Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala fue fundada a finales del siglo XIV por Madhava de Sangamagrama, a veces llamado el mayor matemático-astrónomo de la India medieval. Desarrolló aproximaciones en series infinitas para una variedad de funciones trigonométricas, que incluyen ??, senos nasales, etc. Algunas de sus contribuciones a la geometría y el álgebra y sus primeras formas de diferenciación e integración para funciones simples pueden haber sido transmitidas a Europa a través de los misioneros jesuitas, y es posible que el desarrollo europeo posterior del cálculo haya sido influenciado por su trabajo en cierta medida.

noviembre 30, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Blog Decimales Definiciones

Divergencia de un campo vectorial: definición, fórmula y ejemplos

los divergencia de un campo vectorial nos ayuda a comprender el comportamiento de un campo vectorial. Saber cómo evaluar la divergencia de un campo vectorial es importante cuando se estudian cantidades definidas por campos vectoriales como los campos gravitacionales y de fuerza.

La divergencia de un campo vectorial nos permite devolver un valor escalar de un campo vectorial dado diferenciando el campo vectorial.

En este artículo, cubriremos las definiciones básicas de divergencia. También le mostraremos cómo calcular la divergencia de campos vectoriales en tres sistemas de coordenadas: formas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

¿Cuál es la divergencia de un campo vectorial?

La divergencia del campo vectorial, $ textbf {F} $, es un vector con valores escalares definido geométricamente por la siguiente ecuación.

begin {alineado} text {div} textbf {F} (x, y, z) & = lim _ { Delta V rightarrow 0} dfrac { anint textbf {A} cdot dS} { Delta V} end {alineado}

Para esta definición geométrica, $ S $ representa una esfera centrada en $ (x, y, z) $ que está orientada hacia afuera. Como $ Delta V rightarrow 0 $, la esfera se vuelve más pequeña y se contrae hacia $ (x, y, z) $. Podemos interpretar la divergencia del campo vectorial como el flujo que se desvía en una unidad de volumen por segundo a medida que se acerca a cero. Ahora veamos la divergencia de campos vectoriales como una función escalar resultante de la siguiente ecuación.

begin {alineado} text {div} textbf {F} (x, y, z) & = nabla cdot textbf {F} end {alineado}

A través de esta definición de divergencia de campo vectorial, podemos ver cómo la divergencia de $ textbf {F} $ es simplemente el producto escalar del operador nabla ($ nabla $) y el campo vectorial:

begin {alineado} text {div} textbf {F} (x, y, z) & = nabla cdot textbf {F} end {alineado}

Esto significa que cuando $ textbf {F} (x, y, z) = [P(x, y, z), Q(x, y,z), R(x, y, z)]$, podemos escribir $ text {div} textbf {F} $ como la suma de las derivadas parciales de $ P $, $ Q $ y $ R $ con respecto a $ x $, $ y $ y $ z $ , respectivamente.

begin {alineado} textbf {Coordenadas rectangulares:} \ text {div} textbf {F} (x, y, z) & = dfrac { partial} { partial x} P (x, y, z) + dfrac { parcial} { y parcial} Q (x, y, z) + dfrac { parcial} { z parcial} R (x, y, z) end {alineado}

También podemos extender esta definición de divergencia a campos vectoriales en sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas.

begin {alineado} textbf {Coordenada cilíndrica} &: textbf {F} ( rho, phi, z) = [P(rho, phi, z), Q(rho, phi, z), R(rho, phi, z)]\ text {div} textbf {F} ( rho, phi, z) & = dfrac {1} { rho} dfrac { partial} { partial rho} P + dfrac {1 } { rho} dfrac { parcial} { parcial phi} Q + dfrac { parcial} { parcial z} R \\ textbf {Coordenadas esféricas} &: textbf {F} (r , theta, phi) = [P(r, theta, phi), Q(r, theta, phi), R(r, theta, phi)]\ text {div} textbf {F} (r, theta, phi) & = dfrac {1} {r ^ 2} dfrac { partial} { partial r} r ^ 2P + dfrac {1} {r sin theta} dfrac { parcial} { parcial theta} Q sin theta + dfrac {1} {r sin theta} dfrac { parcial} { parcial phi} R end {alineado}

Ahora que hemos establecido la definición básica de divergencia, veamos cómo evaluar $ nabla cdot textbf {F} $ para encontrar la divergencia de un campo vectorial.

¿Cómo encontrar la divergencia de un campo vectorial?

Podemos encontrar la divergencia de un campo vectorial tomando el producto escalar del operador de nabla y del campo vectorial. Aquí hay algunas pautas para recordar al encontrar el valor de $ textbf {div} textbf {F} $ en un sistema de coordenadas rectangular, cilíndrico o esférico:

Observe la expresión para $ textbf {F} $ e identifique si es rectangular, cilíndrica o esférica:

Cuando el vector no refleja ningún ángulo, estamos seguros de que el vector tiene forma rectangular.

Cuando el vector está definido por un ángulo, estamos trabajando con $ textbf {F} $ en forma cilíndrica.

Cuando el vector está definido por dos ángulos, $ theta $ y $ phi $, el campo vectorial tiene forma esférica.

Observe los tres componentes del campo vectorial y luego tome sus derivadas parciales con respecto a los valores de entrada.

Aplique la fórmula de divergencia apropiada y luego simplifique la expresión, $ nabla cdot textbf {F} $.

Comencemos con el sistema de coordenadas más simple: el sistema de coordenadas rectangular. Supongamos que tenemos $ textbf {F} (x, y, z) = 4x textbf {i} – 6y textbf {j} + 8z textbf {k} $, podemos tomar la divergencia de $ textbf {F } $ tomando las derivadas parciales de los siguientes elementos: 4x $ con respecto a $ x $, $ -6y $ con respecto a $ y $ y $ 8z $ con respecto a $ z $. Agregue las expresiones resultantes para encontrar $ nabla cdot textbf {F} $.

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial x} (4x) = 4 end {alineado}

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial y} (-6y) = -6 end {alineado}

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial z} (8z) = 8 end {alineado}

$ parcial} { parcial z} (8z) \ & = 4 + (-6) + 8 \ & = 6 end {alineado}

Esto significa que la divergencia de $ textbf {F} (x, y, z) = 4x textbf {i} – 6y textbf {j} + 8z textbf {k} $ es igual a $ 6 $. Sí, evaluar las divergencias de diferentes campos vectoriales es sencillo. Con algunos ejercicios más, sabrá de memoria las tres fórmulas de divergencia y es por eso que hemos preparado más problemas de muestra en los que puede trabajar.

Ejemplo 1

Encuentre la divergencia del campo vectorial, $ textbf {F} = cos (4xy) textbf {i} + sin (2x ^ 2y) textbf {j} $.

Solución

Estamos trabajando con un campo vectorial de dos componentes en forma cartesiana, así que tome las derivadas parciales de $ cos (4xy) $ y $ sin (2x ^ 2y) $ con respecto a $ x $ y $ y $, respectivamente.

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial x} cos (4xy) & = y dfrac { parcial} { parcial x} cos (4x) \ & = y left (4 cdot – sin x right) \ & = -4y sin x end {alineado}

begin {alineado} dfrac { parcial} { y parcial} sin (2x ^ 2y) & = cos (2x ^ 2y) dfrac { parcial} { parcial y} (2x ^ 2y) \ & = cos (2x ^ 2y) cdot 2x ^ 2 \ & = 2x ^ 2 cos (2x ^ 2y) end {alineado}

begin {alineado} nabla cdot textbf {F} & = dfrac { parcial} { parcial x} cos (4xy) + dfrac { parcial} { parcial y} sin (2x ^ 2y ) \ & = -4y sin x + 2x ^ 2 cos (2x ^ 2y) \ & = 2x ^ 2 cos (2x ^ 2y) -4y sin x end {alineado}

Esto significa que la divergencia de $ textbf {F} = cos (4xy) textbf {i} + sin (2x ^ 2y) textbf {j} $ es igual a $ 2x ^ 2 cos (2x ^ 2y ) -4y sin x $.

Ejemplo 2

Encuentre la divergencia del campo vectorial, $ textbf {F} =<2rho^2 cos theta, sin theta, 4z^2 sin theta>PS

Solución

El vector tiene solo un ángulo ($ theta $), lo que nos dice que estamos trabajando con un campo vectorial en un sistema de coordenadas cilíndrico. Esto significa que para encontrar la divergencia del campo vectorial tendremos que usar la siguiente fórmula.

begin {alineado} textbf {Coordenada cilíndrica} &: textbf {F} ( rho, phi, z) = [P(rho, phi, z), Q(rho, phi, z), R(rho, phi, z)]\ text {div} textbf {F} ( rho, phi, z) & = dfrac {1} { rho} dfrac { partial} { partial rho} P + dfrac {1 } { rho} dfrac { parcial} { parcial phi} Q + dfrac { parcial} { parcial z} R end {alineado}

Para nuestro ejemplo, tenemos $ P = 2r ^ 2 cos theta $, $ Q = sin theta $ y $ R = 4z ^ 2 sin theta $. Considere las derivadas parciales de $ P $, $ Q $ y $ R $ con respecto a $ rho $, $ phi $ y $ z $, respectivamente. Aplique la fórmula de divergencia y use las derivadas parciales resultantes para encontrar la divergencia del campo vectorial.

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial rho} 2 rho ^ 2 cos theta & = 2 cos theta dfrac { parcial} { parcial rho} rho ^ 2 & = 2 cos theta (2 rho) \ & = 4 rho cos theta end {alineado}

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial theta} sin theta & = cos theta end {alineado}

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial z} 4z ^ 2 sin theta & = 4 sin theta dfrac { parcial} { parcial z} z ^ 2 \ & = (4 sin theta) (2z) \ & = 8z sin theta end {alineado}

begin {alineado} nabla cdot textbf {F} & = dfrac {1} { rho} dfrac { parcial} { parcial rho} P + dfrac {1} { rho} dfrac { parcial} { parcial phi} Q + dfrac { parcial} { parcial z} R \ & = dfrac {1} { rho} (4 rho cos theta) + dfrac { 1} { rho} cos theta + 8z sin theta \ & = 4 cos theta + dfrac {1} { rho} cos theta + 8z sin theta end {alineado}

Esto muestra que la divergencia del campo vectorial, $ textbf {F} =<2rho^2 cos theta, sin theta, 4z^2 sin theta>$, en forma cilíndrica es igual a $ 4 cos theta + dfrac {1} { rho} cos theta + 8z sin theta $.

Ejemplo 3

Encuentre la divergencia del campo vectorial, $ textbf {F} =PS

Solución

Dado que el campo vectorial contiene dos ángulos, $ theta $ y $ phi $, sabemos que estamos trabajando con el campo vectorial en una coordenada esférica. Esto significa que usaremos la fórmula de divergencia para las coordenadas esféricas:

begin {alineado} textbf {Coordenadas esféricas} &: textbf {F} (r, theta, phi) = [P(r, theta, phi), Q(r, theta, phi), R(r, theta, phi)]\ text {div} textbf {F} (r, theta, phi) & = dfrac {1} {r ^ 2} dfrac { partial} { partial r} r ^ 2P + dfrac {1} {r sin theta} dfrac { parcial} { parcial theta} Q sin theta + dfrac {1} {r sin theta} dfrac { parcial} { parcial phi} R end {alineado}

Para nuestro caso, tenemos $ P = r ^ 3 cos theta $, $ Q = r theta $ y $ R = 2 sin phi cos theta $. Considere las derivadas parciales de $ r ^ 2P $, $ Q sin theta $ y $ R $, con respecto a $ r $, $ theta $ y $ phi $, respectivamente. Usa el resultado y la fórmula para encontrar el valor de $ textbf {div} textbf {F} $.

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial r} r ^ 2 (r ^ 3 cos theta) & = cos theta dfrac { parcial} { parcial r} r ^ 5 \ & = cos theta (5r ^ 4) \ & = 5r ^ 4 cos theta end {alineado}

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial theta} (r theta) sin theta & = r dfrac { parcial} { parcial theta} ( theta sin theta) & = r ( sin theta + theta cos theta) \ & = r sin theta + r theta cos theta end {alineado}

begin {alineado} dfrac { parcial} { parcial phi} 2 sin phi cos theta & = 2 cos theta dfrac { parcial} { parcial phi} sin phi & = 2 cos theta cos phi end {alineado}

begin {alineado} nabla cdot textbf {F} & = dfrac {1} {r ^ 2} dfrac { parcial} { parcial r} r ^ 2P + dfrac {1} {r sin theta} dfrac { parcial} { parcial phi} Q sin theta + dfrac {1} {r sin theta} dfrac { parcial} { parcial phi} R \ & = dfrac {1} {r ^ 2} (5r ^ 4 cos theta) + dfrac {1} {r sin theta} (r sin theta + r theta cos theta) + dfrac {1} {r sin theta} dfrac { partial} { partial phi} (2 cos theta cos phi) \ & = 5r ^ 2 cos theta + left (1 + theta cot theta right) + dfrac {2} {r} cot theta cos phi \ & = 5r ^ 2 cos theta + cot theta left ( theta + dfrac {2} {r} cos phi right) + 1 end {alineado}

Por lo tanto, hemos demostrado que la divergencia de $ textbf {F} =$ es igual a $ 5r ^ 2 cos theta + cot theta left ( theta + dfrac {2} {r} cos phi right) + 1 $.

Preguntas practicas

1. Encuentre la divergencia del campo vectorial, $ textbf {F} = <3x^2yz, 4xy^2z, -4xyz^2>PS
2. Encuentre la divergencia del campo vectorial, $ textbf {F} = <4rho^2 costheta, 2cos theta, z^2sin theta>PS
3. Encuentre la divergencia del campo vectorial, $ textbf {F} = PS

Clave de respuesta

1. $ nabla cdot textbf {F} = 6xyz $
2. $ nabla cdot textbf {F} = 8 cos theta + 2 sin theta left (z – dfrac {1} { rho} right) $
3. $ nabla cdot textbf {F} = dfrac {1} {r}[(3cot theta)(3theta r + sin 2phi) ] + 4r cos (2 theta) + $ 3

octubre 7, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Blog Definiciones Preguntas

Ángulo agudo – Explicación y ejemplos

Un ángulo agudo es un ángulo mayor que un ángulo cero y menor que un ángulo recto.

En grados, un ángulo agudo tiene más de $ 0 grados y menos de $ 90 grados. En radianes, un ángulo agudo es un ángulo cuya medida es mayor que 0 $ radianes y menor que $ frac { pi} {2} $ radianes.

Los ángulos agudos se utilizan matemáticamente en geometría, trigonometría y cálculo. También tienen aplicaciones en ciencia e ingeniería, incluidas la astronomía y la arquitectura.

Antes de pasar a esta sección, asegúrese de revisar las propiedades y los tipos de ángulos. Un vistazo rápido a los triángulos también podría ayudar.

Esta sección cubre:

¿Qué es un ángulo agudo?

Triángulos agudos

Ángulos complementarios

Definición de ángulo agudo

Ejemplo de ángulo agudo

¿Qué es un ángulo agudo?

Un ángulo agudo es un ángulo con una medida menor que la medida de un ángulo recto. Dado que muchos sistemas (incluidos los que se utilizan para funciones trigonométricas) utilizan ángulos negativos, las definiciones generalmente establecen que un ángulo agudo también debe ser mayor que un ángulo cero.

En grados, un ángulo agudo $ alpha $ tiene una medida entre $ 0 $ y $ 90 $ grados. En radianes, la medida de alfa está entre $ 0 y $ frac { pi} {2} $ radianes.

Un mnemónico fácil de recordar, la definición de agudo en inglés proviene del uso común de la palabra “lindo” para describir algo pequeño, como un cachorro. Por tanto, los ángulos agudos son ángulos pequeños.

Triángulo agudo

Todos los triángulos tienen al menos dos ángulos agudos.

Esto se debe a que un triángulo con dos ángulos rectos tiene un tercer ángulo con una medida de $ 0, por lo que ese “triángulo” es en realidad una línea recta. Si un triángulo tiene dos o más ángulos obtusos, la medida de su ángulo interior excede los $ 180 grados.

Por tanto, la medida del tercer ángulo se utiliza para clasificar los triángulos por tipos de ángulos. Si el tercer ángulo es mayor que un ángulo recto, el triángulo es obtuso. Del mismo modo, si el tercer ángulo es recto, entonces el triángulo es recto.

Sin embargo, si los tres ángulos son agudos, entonces el triángulo es un triángulo agudo. Esto puede suceder si, por ejemplo, cada ángulo es de $ 60 grados. Tal triángulo tiene una medida de ángulo interior de $ 180 grados, pero los ángulos individuales son cada uno más pequeño que un ángulo recto.

Ángulos complementarios

Los ángulos complementarios son dos ángulos que juntos tienen la medida de un ángulo recto.

Suponiendo que ambos ángulos son positivos, dos ángulos complementarios serán ambos agudos.

Definición de ángulo agudo

Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto pero mayor que un ángulo cero.

Dicho ángulo tiene una medida entre 0 $ y 90 $ grados no incluidos o entre 0 $ y $ frac { pi} {2} $ radianes no incluidos.

Ejemplo de ángulo agudo

Hay una infinidad de ángulos agudos ya que hay una infinidad de números entre $ 0 $ y $ 90 $ o $ 0 $ y $ frac { pi} {2} $.

En grados, los ejemplos de ángulos agudos incluyen:

0.0001 $ grados

$ 15 grados

$ 45 grados

$ 75 grados

$ 89,999 grados.

En radianes, los ejemplos de ángulos agudos incluyen:

$ frac {1} {1000} pi $

$ frac {1} {10} pi $

$ frac {3} {8} pi $

$ frac {2} {5} pi $

$ frac {49} {100} pi $.

Ejemplos comunes

Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos agudos y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Clasifica cada ángulo como agudo o no agudo.

A. $ frac {27} {53} pi $ radianes

B. $ frac {23} {51} pi $ radianes

C. $ -2 $ grados

D. $ 2 $ grados

Solución

En este caso, los ángulos B y D son agudos, mientras que los ángulos A y C no lo son.

Para problemas que involucran radianes, observe el coeficiente de $ pi $. Si es menor que $ frac {1} {2} $ y mayor que $ 0 $, el ángulo es agudo.

En este caso, considere $ frac {27} {53} $. La mitad de $ 53 es igual a $ 26,5. Dado que $ 27> $ 26.5, $ frac {27} {53} $ es mayor que $ frac {1} {2} $. Por tanto, $ frac {27} {53} pi $ es mayor que $ frac { pi} {2} $. Por tanto, el ángulo es obtuso.

Pero la mitad de $ 51 son $ 25,5. Dado que $ 23 es menos de $ 25,5, $ frac {23} {51} $ es menos de la mitad. Por lo tanto, $ frac {23} {51} pi $ es menor que $ frac { pi} {2} $, por lo que el ángulo B es agudo.

Es una medida de grado negativa. Esto significa que el ángulo es menor que un ángulo cero, por lo que no es agudo. Tenga en cuenta que esto solo importa cuando la orientación del ángulo en el espacio es importante o cuando se usa algebraicamente.

El último ángulo, D, sin embargo, está entre $ 0 y $ 90 grados no incluidos. Por tanto, es agudo.

Ejemplo 2

¿El siguiente triángulo es agudo? ¿Por qué o por qué no?

Solución

Este triángulo es agudo.

Aunque solo se dan dos ángulos, la información es suficiente para determinar que el tercer ángulo es agudo. Dado que los dos ángulos dados son igualmente agudos, los tres ángulos son agudos. Por tanto, el triángulo es agudo.

¿Por qué?

Recuerde que las medidas del ángulo interior de un triángulo (en grados) suman $ 180 grados. Esto significa que la medida del tercer ángulo es igual a $ 180 – (87,7 + 56,5) = 180-144,2 = $ 35,8 grados.

Dado que $ 35.8, $ 56.5 y $ 87.7 son todos menos de $ 90 grados, el triángulo debe ser agudo.

Ejemplo 3

Encuentra el complemento de ángulo para un ángulo con una medida de $ frac {4} {9} pi $ radianes.

Solución

El complemento de ángulo de un ángulo es otro ángulo que se puede agregar al primero para crear un ángulo recto.

El ángulo dado $ frac {4} {9} pi $ radianes es más pequeño que un ángulo recto porque $ 4 $ es menor que $ 4.5 $, y $ frac {4.5} {9} pi = frac {1 } {2} pi $ radianes, la medida de un ángulo recto en radianes.

Por tanto, en este caso, el complemento es la diferencia entre $ frac { pi} {2} $ radianes y $ frac {4} {9} pi $ radianes.

Esto es igual a:

$ frac {4.5} {9} pi – frac {4} {9} pi = frac {0.5} {9} pi = frac {1} {18} pi $.

Por lo tanto, el complemento de ángulo tiene una medida de $ frac {1} {18} pi $ radianes.

Ejemplo 4

¿Cuál es el menor número de ángulos agudos necesarios para crear un ángulo recto?

Solución

Recuerda que un ángulo recto es igual en medida a dos ángulos rectos. En grados, es $ 180 grados. También es igual a $ pi $ radianes.

Dado que cada ángulo agudo tiene menos de 90 $ grados o $ frac { pi} {2} $ radianes, dos ángulos agudos deben tener un ángulo de menos de 180 $ grados o menos de $ pi $ radianes.

Es decir, dos ángulos agudos siempre serán más pequeños que un ángulo recto. Pero, dos ángulos agudos cercanos a un ángulo recto más un ángulo pequeño podrían equivaler a una línea recta.

Por ejemplo, dos ángulos que miden $ 89 grados y $ 88 grados tienen una suma de $ 177 grados. Un ángulo adicional de $ 3 grados crearía una línea recta.

Del mismo modo, un ángulo de radianes $ frac {49} {100} pi $ y un ángulo de radianes $ frac {47} {100} pi $ tienen una medida total de $ frac {97} {100} pi $ radianes. Pero, un ángulo adicional $ frac {3} {100} pi $ radianes sería suficiente para crear una línea recta.

Ejemplo 5

Considere un círculo con un centro $ A $ y dos puntos distintos $ B $ y $ C $ en la circunferencia.

Demuestre que el ángulo $ ACB $ es agudo para cualquier punto $ C $ de la circunferencia del triángulo.

Solución

Primero, observe que los segmentos de línea $ AC $ y $ AB $ tienen la misma longitud porque ambos son radios del mismo círculo.

Por lo tanto, el triángulo $ ABC $ siempre será al menos isósceles y, a veces, equilátero.

Pero, un triángulo isósceles siempre tiene ángulos de base iguales. Esto significa que los ángulos $ ACB $ y $ ABC $ siempre serán iguales sin importar dónde se encuentre $ C $ en la circunferencia.

Estos dos ángulos no pueden ser obtusos porque la medida del ángulo interno total del triángulo sería mayor que dos ángulos rectos.

Del mismo modo, los dos ángulos no pueden ser rectos porque entonces el ángulo $ CAB $ sería un ángulo cero. Esto significa que $ C $ y $ B $ deben estar en la misma línea en el mismo lado de $ A $ y en la circunferencia. Entonces, en tal caso, $ C $ y $ B $ serían el mismo punto. Sin embargo, la configuración de este problema indica que $ C $ y $ B $ deben ser puntos separados.

Por lo tanto, ambos ángulos deben ser nítidos. En particular, $ ACB $ es agudo para cualquier punto distinto $ C $ en la circunferencia.

Problemas de práctica

Un triángulo tiene dos ángulos cuyos grados suman $ 91 grados. ¿Es el triángulo agudo? ¿Por qué o por qué no? ¿Puedes usar este ejemplo para establecer una regla general para determinar si un triángulo es agudo o no en base a las medidas de dos ángulos?

¿Cuál es el número mínimo de ángulos agudos necesarios para hacer un círculo?

Demuestre que el único polígono agudo posible es un triángulo. Es decir, pruebe que para cualquier n-gon que tenga más de tres lados, es imposible que todos los ángulos sean agudos.

Sea $ ABC $ un triángulo cuyo ángulo $ ABC $ es mayor que el ángulo $ BCA $. Muestre que $ BCA $ es un ángulo agudo.

Demuestre que el ángulo adicional de cualquier ángulo obtuso es agudo.

Clave de respuesta

Este triángulo no es necesariamente agudo. Aunque el tercer ángulo es $ 180-91 = $ 89 grados y, por lo tanto, agudo, nunca se especificó que los ángulos más pequeños totalizaran $ 91 grados. Es posible que el triángulo tenga un ángulo recto. Por ejemplo, podría tener un ángulo recto y un ángulo de grado de $ 1. Incluso podría ser obtuso porque las medidas de grados son continuas. Si tuviera, por ejemplo, un ángulo con una medida de $ 0.5 y otro de $ 90.5 grados, sería obtuso.
Pero, si dos ángulos agudos suman $ 91 grados, entonces el triángulo es agudo. En general, si los dos ángulos más pequeños de un triángulo (que siempre deben ser agudos) tienen una medida mayor que la medida de un ángulo recto, el triángulo es agudo.

Se necesitan $ 5 ángulos agudos.

Muéstralo por contradicción. Sea $ n $ un número natural mayor o igual que $ 4 $. Entonces la suma de los ángulos interiores debe ser igual a 180 $ (n-2) = 180n-360 $.
Suponga que todos los ángulos del n-ido son menores que un ángulo recto. En grados, su medida es menos de $ 90 grados. Entonces la suma de los ángulos interiores, $ alpha $, es menor que $ 90n $.
Pero la suma de los ángulos interiores es igual a 180n-360 $. Por lo tanto, 180n-360 $ <90n $. Al mover los términos $ n $ a la izquierda y los otros términos a la derecha, se obtienen $ 90n <$ 360. Entonces, la división da $ n <$ 4.
Pero, el único polígono con menos de $ 4 en lados es un triángulo. Por tanto, el único polígono agudo es un triángulo.

Los dos ángulos más pequeños de cada triángulo son agudos. Por lo tanto, $ ABC $ es el mayor de los dos ángulos agudos y $ BCA $ es el menor de los dos o $ ABC $ es el ángulo mayor del triángulo y $ BCA $ es uno de los dos ángulos agudos más pequeños. En el último caso, ya sea que $ ABC $ sea agudo, obtuso o directo, $ BCA $ siempre es agudo. En el primer caso, $ BCA $ también es agudo. Por lo tanto, el ángulo debe ser agudo si no es el ángulo más grande.

Un ángulo obtuso mide más que un ángulo recto y un suplemento de ángulo trabaja con otro ángulo para formar un ángulo recto. En grados, un ángulo recto equivale a $ 180 grados. El suplemento para cualquier ángulo es de $ 180 – alpha $. Si $ alpha $ es obtuso, entonces $ alpha> 90 $ grados. Por lo tanto, $ 180 – alpha <$ 90. Entonces, el suplemento es inferior a $ 90 grados y, por lo tanto, obtuso.

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octubre 6, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Blog Definiciones

Propiedad transitiva de la igualdad – Explicación y ejemplos

La propiedad transitiva de la igualdad establece que dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.

Establece una relación entre varias cantidades iguales y tiene importantes aplicaciones en aritmética, lógica y álgebra.

Aunque puede demostrarse utilizando la propiedad de sustitución de la igualdad y la propiedad reflexiva de la igualdad, generalmente se trata como axiomática. Es decir, no está probado que sea cierto, pero se supone que lo es.

Antes de leer esta sección, asegúrese de revisar las propiedades de la igualdad.

Esta sección cubre:

¿Qué es la propiedad transitiva de la igualdad?

Propiedad transitiva de la igualdad Definición

¿Es la propiedad transitiva de la igualdad un axioma?

Ejemplo de propiedad transitiva de igualdad

¿Qué es la propiedad transitiva de la igualdad?

La propiedad transitiva de la igualdad describe la relación entre dos cantidades que son iguales a una tercera cantidad. Estas dos cantidades también serán iguales.

Como otros axiomas, puede parecer intuitivo y decirlo puede parecer innecesario. Sin embargo, afirmarlo asegura que la aritmética sea rigurosa. Es decir, resiste el examen lógico.

Darle a la propiedad un nombre y una definición formal también facilita la referencia a la evidencia.

Esto es exactamente lo que hizo Euclides cuando describió la propiedad transitiva al comienzo del libro 1 de la Elementos. Lo llamó “noción común 1” y formó la base de las etapas lógicas de su trabajo.

Propiedad transitiva de la igualdad Definición

Dentro ElementosEuclides define la propiedad transitiva de la igualdad cuando define la noción común 1. Sus definiciones dicen que “las cosas que son iguales a lo mismo también son iguales entre sí”.

Es decir, la propiedad transitiva de la igualdad afirma que dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Aritméticamente, es:

Si $ a = b $ y $ b = c $, entonces $ a = c $ también.

La propiedad transitiva de la igualdad es verdadera para todos los números reales.

¿Es la propiedad transitiva de la igualdad un axioma?

La propiedad transitiva de la igualdad es también uno de los axiomas de Peano. Es un conjunto de axiomas, o hechos que se dan por sentados en las pruebas, establecidos por el matemático Giuseppe Peano en la década de 1800. Sus axiomas se aplicaban solo a los números naturales, aunque la mayoría de los principios se han extendido.

Otros habían hecho listas de axiomas antes que Peano. Por ejemplo, las nociones comunes de Euclides en su Elementos pueden considerarse como axiomas porque no están probados. La de Peano fue notable porque quería que su lista le ayudara a hacer la aritmética más rigurosa a medida que despegaba la lógica matemática formal.

Sin embargo, dos de los axiomas, a saber, la propiedad transitiva de la igualdad y la propiedad simétrica de la igualdad, pueden deducirse de otros axiomas. Desde entonces, se han considerado fundamentales y se han utilizado históricamente. Sin embargo, Peano siempre los ha incluido. Otros suelen hacer lo mismo y los ven como axiomas por derecho propio.

La deducción de la propiedad transitiva de la propiedad de sustitución de la igualdad se muestra a continuación en el Ejemplo 3. El problema práctico 3 requiere deducir la propiedad transitiva de la propiedad reflexiva de la igualdad.

Ejemplo de propiedad transitiva de igualdad

Un ejemplo famoso de la propiedad transitiva de la igualdad está en la prueba de la construcción común de un triángulo equilátero usando una regla y un compás. La prueba tiene como objetivo mostrar que el objeto construido es de hecho un triángulo equilátero.

La construcción comienza con un segmento de línea dado, AB. Luego se construyen dos círculos. Uno tiene centro A y radio AB, mientras que el otro tiene centro B y radio BA.

La intersección de los dos círculos está marcada como C. Luego, conectando A con C y B con C crea el triángulo equilátero ABC.

¿Por qué?

AB es el radio del círculo con centro A y radio AB (el círculo amarillo). AC es también un radio de este círculo y todos los radios son iguales, entonces AB = AC.

AB es también el radio del círculo con centro B y radio BA porque AB = BA por la propiedad reflexiva de la adición. Dado que BC también es un radio de este círculo, AB = BC.

Dado que AB = BC y AB = AC, la propiedad transitiva de la igualdad establece que AC = BC. Por lo tanto, las tres líneas son iguales entre sí, lo que hace que ABC sea un triángulo equilátero.

Ejemplos de

Esta sección cubre problemas comunes que utilizan la propiedad transitiva de la igualdad y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Suponga $ a = b, b = c $ y $ c = d $. ¿Cuáles de los siguientes son equivalentes?

$ a $ y $ c $

$ b $ y $ d $

$ a $ y $ d $

Solución

Estos tres pares son iguales, pero tenemos que usar la primera ecuación para demostrar la última.

Dado que $ a = b $ y $ b = c, a = c $ por la propiedad transitiva de la igualdad.

Asimismo, dado que $ b = c $ y $ c = d $, la propiedad transitiva de la igualdad establece que $ b = d $.

Ahora sabemos que $ a = c $ desde el primer punto. También sabemos que $ c = d $. Por lo tanto, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad, $ a = d $.

Ejemplo 2

Tres hermanas comparan sus tamaños.

Miranda tiene la misma altura que Shaylee.

Shaylee tiene la misma altura que Tia.

¿Cómo se compara la altura de Miranda con la de Tia?

Solución

Sea $ m $ la altura de Miranda, $ s $ la altura de Shaylee y $ t $ la altura de Tia.

Los enunciados dados nos dicen que $ m = s $ y $ s = t $.

El uso de la propiedad transitiva de la igualdad nos da $ m = t $.

Por lo tanto, la altura de Miranda también debe ser igual a la altura de Tia.

Ejemplo 3

Explica cómo usar la propiedad de sustitución de la igualdad para demostrar la propiedad transitiva de la igualdad.

Solución

Recuerde que la propiedad transitiva de la igualdad generalmente se enumera como axiomática. Es decir, la mayoría de las lógicas matemáticas no prueban que la propiedad transitiva sea verdadera. En cambio, asume esto como un hecho básico.

Sin embargo, la propiedad transitiva se puede deducir de otras propiedades de igualdad. Es decir, la propiedad transitiva se sigue de la propiedad de sustitución.

Recuerde que la propiedad transitiva de la igualdad establece que si $ a = b $ y $ b = c $, entonces $ a = c $.

Sean $ a, b, c $ números reales tales que $ a = b $ y $ b = c $.

Entonces, la propiedad de sustitución de la igualdad establece que, dado que $ b = c $, $ c $ puede reemplazar $ b $ en cualquier ecuación.

Por lo tanto, $ a = c $ por la propiedad de sustitución.

Pero esto prueba la propiedad transitiva. CQFD.

Ejemplo 4

La propiedad transitiva de la igualdad establece que si $ a, b, $ y $ c $ son números reales como $ a = b $ y $ b = c $, entonces $ a = c $. ¿Es cierto lo contrario?

En otras palabras, si $ a, b, $ y $ c $ son números reales como $ a neq b $ y $ b neq c $, entonces $ a neq c $.

Solución

Lo contrario no es cierto en este caso.

Recuerde que en matemáticas, un enunciado solo es verdadero si siempre es correcto. Es falso si es falso en un solo caso.

Por esta razón, la afirmación “todos los números primos son impares” es falsa. Solo hay un número primo par, 2, pero eso es suficiente para que toda la afirmación sea falsa.

Para demostrar que una afirmación es falsa, debe encontrar un solo contraejemplo.

En este caso, debemos encontrar tres números $ a, b, $ y $ c $ como $ a = c $ pero $ a neq b $ y $ c neq b $.

Un ejemplo de un posible contador es si $ a = $ 1, $ b = $ 0 y $ c = $ 1.

En este caso, la propiedad transitiva de la igualdad establece que desde $ a = 1 $ y $ c = 1 $, $ a = c $.

Pero $ a neq b $ y $ c neq b $. Por tanto, la inversa de la propiedad transitiva de la igualdad no es cierta.

Ejemplo 5

Sean $ w, x, y $ y $ z $ números reales como:

$ 3y-2w + 2z = 7z + 2y $

y

$ -4x + 4w-3z = 2z + 6w-5x $

Utilice la propiedad transitiva para mostrar que $ x = y $.

Solución

Este problema requiere primero resolver $ x $ y $ y $ usando las propiedades de igualdad de suma y resta.

Si $ 3y-2w + 2z = 7z + 2y $, la propiedad de resta de igualdad indica que es posible restar $ 2y $ en ambos lados.

$ 3a-2a-2w + 2z = 7z + 2a-2a $

Esto se simplifica mediante:

$ y-2w + 2z = $ 7z

Luego agregue $ 2w-2z $ en ambos lados. La propiedad de suma de la igualdad dice que es posible hacer esto y mantener la igualdad.

$ y-2w + 2z + 2w-2z = 7z + 2w-2z $

Esto se simplifica mediante:

$ y = 5z + 2w $

Luego usa las propiedades de suma y resta de igualdad y simplificación para resolver $ x $.

$ -4x + 4w-3z = 2z + 6w-5x $

Primero, use la propiedad de suma de igualdad para sumar 5x en ambos lados.

$ -4x + 5x + 4w-3z = 2z + 6w-5x + 5x $

Esto se simplifica mediante:

$ x + 4w-3z = 2z + 6w $

Luego reste 4w-3z de ambos lados. La propiedad de resta de igualdad indica que no afectará la igualdad.

$ x + 4w-3z- (4w-3z) = 2z + 6w- (4w-3z) $

Se vuelve :

$ x + 4w-3z-4w + 3z = 2z + 6w-4w + 3z $

que se simplifica en:

$ x = 5z + 2w $

Dado que $ y $ es igual a $ 5z + 2w $ y $ x $ también es igual a $ 5z + 2w $, la propiedad transitiva de igualdad afirma que $ x = y $.

Problemas de práctica

Sean $ a, b, c, d $ números reales tales que $ a = b $, $ 2b = c $ y $ 2c = d $. ¿Cuáles de los siguientes son equivalentes?
A. $ a + a $ y $ c $
B. $ 4b $ y $ d $
C. $ frac {1} {4} d $ y $ a $

Un artista tiene dos lienzos del mismo tamaño. Pinta un cuadro en el primero. Luego, lleva el segundo a una tienda de bricolaje y le pide al empleado que la ayude a encontrar otro lienzo que tenga las mismas dimensiones. El empleado lo hace y el artista lo compra. ¿Cómo se comparan las dimensiones del lienzo que el artista compró en la tienda de bricolaje con las dimensiones del lienzo con una imagen?

Utilice la propiedad reflexiva de la igualdad para demostrar la propiedad transitiva de la igualdad. Consejo: haz una serie de términos conectados por signos.

Sean $ a, b, $ y $ c $ números reales. Es cierto que si $ a neq c $ y $ a = b $, entonces $ b neq c $. Demuestre esto usando una prueba por contradicción. Es decir, demuestre que si $ b = c $ esto conduce a una contradicción lógica.

El triángulo ABC es similar al triángulo DEF y el triángulo DEF es similar al triángulo GHI. La medida del ángulo ABC es $ 55 ^ { circ} $. ¿Cuál es la medida del ángulo GHI? Utilice la propiedad transitiva como ayuda.
Consejo: recuerda que en triángulos semejantes los ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Clave de respuesta

Los tres pares son iguales.

Las dimensiones del nuevo lienzo son las mismas que las dimensiones del lienzo con una imagen. Los dos lienzos tienen las mismas dimensiones que el lienzo en blanco que ya tenía el artista.

Sean $ a, b, $ y $ c $ números reales tales que $ a = b $ y $ b = c $. La propiedad reflexiva de la igualdad establece que $ b = b $. Por lo tanto, $ a = b = b = c $. Entonces, $ a = c $.

Suponga $ b = c $. Entonces, por la propiedad transitiva, ya que $ a = b $ y $ b = c $, $ a = c $. Pero $ a $ no es igual a $ c $ por hipótesis. Entonces $ b neq c $.

$ angle ABC = angle DEF $ porque ABC y DEF son similares. Asimismo, $ angle DEF = angle GHI $. La propiedad transitiva indica que $ angle ABC = angle GHI $. Dado que $ 55 ^ { circ} = angle ABC $, la propiedad transitiva de la igualdad también dice que $ angle GHI = 55 ^ { circ} $.

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agosto 21, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Aritmetica Blog Definiciones Impares Naturales Pares

Declaración condicional: definición y ejemplos

Una declaración condicional donde la verdad de un evento garantiza la verdad de otro.

Las declaraciones condicionales a veces se denominan declaraciones “si / entonces”. Son esenciales en muchas ramas de las matemáticas, especialmente en la lógica.

Esta sección cubre:

¿Qué es una declaración condicional?

Definición de declaración condicional

Ejemplos de declaraciones condicionales

¿Qué es una declaración condicional?

Una declaración condicional describe una relación entre dos eventos donde la verdad de un evento implica la verdad del otro.

Si un evento, $ P $, implica la verdad de un evento $ Q $, entonces el enunciado condicional que describe la relación es “Si $ P $, entonces $ Q $. Alternativamente, es “$ P $ implica $ Q $”. En lógica, esto es $ P rightarrow Q $.

Una declaración condicional puede ser verdadera o falsa. Una declaración verdadera es verdadera pase lo que pase, mientras que una declaración falsa es falsa en uno o más casos. Hay ejemplos a continuación.

El evento en el lado izquierdo de la flecha se llama antecedente de la instrucción, mientras que el evento en el lado derecho de la flecha se llama el resultado de la declaración. Un antecedente se denomina “condición suficiente” porque saber que es verdadero es suficiente para saber que la consecuencia es verdadera (cuando el enunciado en sí mismo es verdadero). La consecuencia se denomina condición necesaria porque es un requisito previo para que el antecedente sea verdadero en un enunciado verdadero.

Los enunciados condicionales tienen inversos, inversos y contrapuestos. Más precisamente, para una instrucción $ P rightarrow Q $:

Reverso: $ Q rightarrow P $

Inversa: $ neg P rightarrow neg Q $

Contrapositivo: $ neg Q rightarrow neg P $.

El valor de verdad del enunciado condicional siempre será el mismo que el valor de verdad del enunciado contrapositivo. Asimismo, el valor de verdad de la inversa siempre será el mismo que el valor de verdad de la inversa.

Tenga en cuenta que solo porque un evento $ P $ implica un evento $ Q $, el evento $ Q $ no necesariamente significa el evento $ P $.

Una declaración bicondicional es aquella que describe una relación entre dos eventos donde cada uno implica al otro. Se escriben $ P leftrightarrow Q $ y se leen “$ P $ si y solo si $ Q $”. A veces, la relación también se escribe $ P $ ssi. $ Q $.

Un enunciado bicondicional es verdadero si y solo si el enunciado y su recíproco son ambos verdaderos.

Definición de declaración condicional

Una declaración condicional conecta dos eventos donde el segundo evento depende del primero. Esta afirmación puede ser verdadera o falsa.

Las declaraciones condicionales también se conocen como declaraciones “si / entonces” porque si un evento $ Q $ resulta de un evento $ P $, la declaración condicional es “si $ P $, entonces $ Q $”.

En lógica formal, es:

“$ P rightarrow Q $”.

Esto se lee:

“$ P $ implica $ Q $”.

En este caso, $ P $ se llama antecedente, y $ Q $ se llama resultado.

Ejemplos de declaraciones condicionales

Considere los siguientes eventos:

$ P $: Un animal es un gato.

$ Q $: Un animal es un mamífero.

$ R $: Un animal es un pez.

A continuación, considere las siguientes declaraciones condicionales:

$ P flecha derecha Q $

$ Q flecha derecha P $

$ R flecha derecha Q $

Todos estos son ejemplos de declaraciones condicionales. Sin embargo, solo uno representa una declaración verdadera.

$ P rightarrow Q $ es cierto porque si un animal es un gato, debe ser un mamífero.

Pero $ Q rightarrow P $ es falso. Aunque un animal sea un mamífero, puede que sea un gato o no. Si una declaración es falsa en una sola circunstancia, se etiqueta como falsa.

Finalmente, $ R rightarrow Q $ siempre es falso. Ningún pez es un mamífero.

Tenga en cuenta que las consecuencias y los antecedentes pueden ser más complejos que esto. Pueden incluir los operadores “y” y “o”, por ejemplo.

Ejemplos de

Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran declaraciones condicionales y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Decide si cada enunciado condicional matemático es verdadero o falso. Si es falso, dé al menos un contraejemplo específico.

Si es un número primo, entonces es impar.

Si es la suma de dos números pares, entonces es impar.

Si es un cuadrado, entonces es un cuadrilátero.

Solución

La primera afirmación es incorrecta. Todos los números primos excepto $ 2 $ son impares. Incluso si solo hay una excepción, toda la declaración es falsa.

La declaración podría cambiarse a “si es un número primo distinto de dos, entonces es impar”. Sería cierto.

La segunda afirmación sigue siendo incorrecta, pero es suficiente para encontrar un contraejemplo. $ 2 $ y $ 4 $ son números pares, pero su suma es $ 6 $, que no es impar.

Esta afirmación es cierta al apelar a las definiciones. Dado que las figuras de cuatro lados son cuadriláteros y un cuadrado es una figura de cuatro lados, un cuadrado es un cuadrilátero.

Ejemplo 2

Dé un ejemplo concreto para mostrar por qué la contraposición de un enunciado verdadero debe ser verdadera, pero no al revés.

Solución

Considere el tercer enunciado del ejemplo 1. “Si es un cuadrado, entonces es un cuadrilátero.

La contraposición de esta afirmación es “si no es un cuadrilátero, entonces no es un cuadrado”.

Las cosas que no son cuadriláteros tienen un número de lados mayor o menor que cuatro. Dado que un cuadrado tiene cuatro lados, la figura que no es un cuadrilátero no puede ser un cuadrado.

Pero considere lo contrario “si no es un cuadrado, entonces no es un cuadrilátero”. Esta afirmación es falsa porque, por ejemplo, un rectángulo es un cuadrilátero que no es un cuadrado.

Ejemplo 3

Dé un ejemplo concreto de un enunciado bicondicional, especificando el enunciado condicional, el inverso, el inverso y el contrapuesto.

Solución

Las declaraciones bicondicionales son generalmente definitorias. Un ejemplo famoso es “es un ángulo recto si y sólo si es de 90 grados”. Esta es la declaración condicional y es verdadera por definición.

Converse: “Si no es un ángulo recto, no es de 90 grados. Nuevamente, esto debe ser cierto porque los ángulos de 90 grados son ángulos rectos.

Reverso: “Si son 90 grados, entonces es un ángulo recto. Una vez más, la definición sostiene que esto es cierto.

Contrapositivo: “Si no es de 90 grados, entonces no es un ángulo recto. Dado que el enunciado condicional original es verdadero, ese enunciado también es verdadero.

Ejemplo 4

¿Es verdadero o falso el siguiente enunciado condicional?

Si $ x $ es un número real y $ x ^ 2 $ es positivo, entonces $ x $ es positivo.

Solución

Esta afirmación es falsa. Una vez más, basta con encontrar un contraejemplo, aunque hay un número infinito de ellos.

Sea $ x = -2 $. Entonces $ x $ es un número real y $ x ^ 2 = 4 $ es positivo. Sin embargo, $ x $ en sí mismo es negativo. Por tanto, la afirmación es falsa.

Ejemplo 5

$ P rightarrow Q $ es cierto.

$ Q rightarrow R $ es cierto.

$ P rightarrow R $? ¿Puedes pensar en algún evento que coincida con esta relación?

Solución

En este caso, sí.

$ P rightarrow R $ significa que si $ P $ es verdadero, entonces $ R $ debe ser verdadero.

Si $ P $ es verdadero, $ Q $ debe ser verdadero por el primer enunciado condicional. Del mismo modo, si $ Q $ es verdadero, entonces $ R $ debe ser verdadero según el segundo enunciado condicional.

Entonces, si $ P $ es verdadero, entonces $ Q $ es verdadero, y luego $ R $ es verdadero. Entonces, $ P rightarrow R $ es cierto.

Considere este ejemplo. Sea $ P $ el evento “es un gato”, $ Q $ el evento “es un felino” y $ R $ el evento “es un mamífero”.

Si un animal es un gato, es un felino. Si un animal es un felino, es un mamífero. Asimismo, todos los gatos son mamíferos.

Sin embargo, tenga en cuenta que no todos los felinos son gatos (al menos no gatos domésticos). Algunos son tigres o leones. Asimismo, no todos los mamíferos son felinos. Algunos son primates, otros caninos, etc.

Problemas de práctica

Dado que la contraposición de un enunciado es siempre verdadera, demuestre que si el inverso de un enunciado es verdadero, entonces lo contrario también es cierto.

¿$ Neg (P cap Q) rightarrow ( neg P cap neg Q) $?

¿Es $ neg (P cap Q) rightarrow ( neg P cup neg Q) $?

¿Es verdadero el enunciado “Si tiene tres ángulos de 60 grados, entonces es un triángulo equilátero”? ¿Cómo podría cambiarse?

Demuestre que el enunciado “Si es divisible por 3, entonces es impar” es falso.

Clave de respuesta

Considere un enunciado condicional $ P rightarrow Q $. Si esta afirmación es verdadera, entonces la contraposición $ neg Q rightarrow neg P $ también es verdadera.
Ahora, suponga lo contrario, $ Q rightarrow P $ es cierto. El reverso de esta afirmación es $ neg P rightarrow neg Q $. Sin embargo, esto es lo contrario de la declaración original. Por lo tanto, un verdadero inverso implica un verdadero inverso porque el inverso es la contraposición del recíproco.

No. $ neg (P cap Q) $ “no es $ P $ y $ Q $. Es decir, ambos no son verdaderos. Por lo tanto, al menos uno es falso. Sin embargo, $ neg P cap neg Q $ significa ambos son falsos, por lo que $ neg P cap Q $ es un contraejemplo.

Es verdad. Como antes, $ neg (P cap Q) $ significa que al menos uno de $ P $ o $ Q $ es falso. Es decir, $ neg P cup neg Q $. Tenga en cuenta que esto incluye el caso donde ambos son falsos, el caso donde $ P $ es falso y $ Q $ es verdadero, y el caso donde $ Q $ es verdadero y $ P $ es falso.

A primera vista, esta afirmación parece cierta. $ 60 + 60 + 60 = $ 180. Sin embargo, nada dice que la figura con tres ángulos de 60 grados tenga solo tres lados. Por ejemplo, podría ser un pentágono con tres lados a 60 grados y otros dos lados que sumen 360 (debería ser un pentágono cóncavo). Cambiar esta afirmación a “Si solo tiene tres lados y cada lado mide 60 grados, entonces es un triángulo equilátero” lo hace inconfundiblemente cierto.

Basta encontrar un contraejemplo. Considere el número $ 6 $, que es par y divisible por $ 3.

agosto 18, 2021 por Carlos Huertas Ángulos Blog Definiciones Impares Pares

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