El propósito de esta pregunta es probar que $n$ es un número entero positivo y par si y solo si $7n + 4$ también es par.
Los números pares se pueden dividir por igual en dos pares o grupos y son completamente divisibles por dos. Por ejemplo, $2, $4, 6, $8, etc. Se dice que son números pares, que se pueden dividir en grupos iguales. Este tipo de emparejamiento no se puede realizar para números como $5, $7, $9 o $11. Por lo tanto, $5, $7, $9 o $11 no son números pares. La suma y la diferencia de dos números pares también son un número par. El producto de dos números pares es par y es divisible por $4$. El número par deja un resto de $0$ cuando es divisible por $2$.
Los números impares son aquellos que simplemente no se pueden dividir por dos en partes iguales. Por ejemplo, $1, 3, 5, $7, etc. son enteros impares. Un número impar deja un resto de $1$ cuando se divide por $2$. Los números impares son la noción inversa de los números pares. Los números impares no se pueden emparejar. De manera más general, todos los números que no sean múltiplos de $2$ son impares.
Respuesta experta
Supongamos que $n$ es par, entonces por definición hay un entero $k$ tal que $n=2k$. Reemplazando esto con $7n + 4$:
$7(2k)+$4
$=14k+4$
$=2(7k+2)$
Por lo tanto, se puede encontrar un entero $m=7k+2$ tal que $7n+4=2m$. O dicho de otro modo, $7n+4$ es un número par.
Ahora, para probar que si $7n+4$ es un número par, entonces $n$ es par. Para hacer esto, supongamos que $n$ es impar, entonces por definición hay un entero $k$ tal que $n=2k+1$. Reemplazando esto con $7n + 4$:
$7(2k+1)+4$
$=14k+7+4$
$=14k+10+$1
$=2(7k+5)+1$
Por lo tanto, se puede encontrar un entero $m=7k+5$ tal que $7n+4=2m+1$. O dicho de otro modo, $7n+4$ es un número impar que es una contradicción. Por lo tanto, la contradicción surge debido a una suposición incorrecta y, por lo tanto, $n$ es un número par.
Ejemplo
Demuestra que la diferencia entre dos números impares es un número par.
La solución
Supongamos que $p$ y $q$ son dos números impares, entonces por definición:
$p=2k_1+1$ y $q=2k_2+1$, donde $k_1$ y $k_2$ pertenecen al conjunto de los enteros.
Ahora $pq=2k_1+1-(2k_2+1)$
$pq=2k_1-2k_2$
$pq=2(k_1-k_2)$
lo que dejará un resto de $0$ cuando se divide por $2$ y, por lo tanto, se demuestra que la diferencia entre dos números impares es un número par.
