No debe confundirse con la desigualdad. “Menor que”, “Mayor que” y “Mayor que” redirigen aquí. Para el uso de los signos “” como puntuación, consulte Corchete. Para la marca de seguros del Reino Unido “More Th>n”, consulte RSA Insurance Group. En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando son diferentes (ver también: igualdad). La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. No dice que uno sea más grande que el otro, ni siquiera que se puedan comparar en tamaño. Si los valores en cuestión son miembros de un conjunto ordenado, como números enteros o números reales, se pueden comparar en tamaño. La notación ab significa que a es mayor que b. En ambos casos, a no es igual a b. Estas relaciones se denominan desigualdades estrictas. La notación a) y (en el caso de aplicar una función) funciones monótonas se restringen a funciones estrictamente monótonas. Transitividad La propiedad transitiva de la desigualdad establece: Para todos los números reales a, b, c: Si a ≥ byb ≥ c, entonces a ≥ c. Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. Si alguna de las premisas es una desigualdad estricta, entonces la conclusión es una desigualdad estricta. Por ejemplo, si a ≥ byb > c, entonces a > c Una igualdad es, por supuesto, un caso particular de desigualdad no estricta. Por ejemplo, si a = b y b > c, entonces a > c Inversa Las relaciones ≤ y ≥ son recíprocas: Para todos los números reales a y b: Si a ≤ b, entonces b ≥ a. Si a ≥ b, entonces b ≤ a. Suma y resta Una constante común c se puede sumar o restar de ambos lados de una desigualdad: Para cualquier número real a, b, c Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c y a − c ≤ b − c . Si a ≥ b, entonces a + c ≥ b + c y a − c ≥ b − cie, los números reales son un grupo ordenado por suma. Multiplicación y división Las propiedades que tienen que ver con la multiplicación y la división son: Para cualquier número real, a, b y distinto de cero c: Si c es positivo, entonces multiplicar o dividir por c no cambia la desigualdad: Si a ≥ b y c > 0 , entonces ac ≥ bc y a/c ≥ b/c. Si a ≤ b y c > 0, entonces ac ≤ bc y a/c ≤ b/c. Si c es negativo, entonces multiplicar o dividir por c invierte la desigualdad: si a ≥ b y cb, entonces 1/a > 1/b. Estos también se pueden escribir en notación de cadena de la siguiente manera: Para todos los números reales distintos de cero a y b: Si 0 0. Si a ≤ b 1/a ≥ 1/b. Si aa ≥ b, entonces 1/a ≤ 1/b 0, entonces 0 0 > b, entonces 1/a > 0 > 1/b. Aplicar una función a ambos lados Cualquier función monótona creciente se puede aplicar a ambos lados de una desigualdad (siempre que estén en el dominio de esa función) y seguirá siendo válida. Aplicar una función monótonamente decreciente a ambos lados de una desigualdad significa que ahora se cumple la desigualdad opuesta. Las reglas para los inversos aditivos y multiplicativos son dos ejemplos de la aplicación de una función monótona decreciente. Si la desigualdad es estricta (ab) y la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad sigue siendo estricta. Si solo una de estas condiciones es estricta, entonces la desigualdad resultante no es estricta. Las reglas para los inversos aditivos y multiplicativos son dos ejemplos de la aplicación de una función decreciente estrictamente monótona. Como ejemplo, considere aplicar el logaritmo natural a ambos lados de una desigualdad cuando a y b son números reales positivos: a ≤ b ⇔ ln(a) ≤ ln(b). a sobre los números reales son órdenes totales estrictas.
