Desplazamiento horizontal: definición, proceso y ejemplos

Desplazamiento horizontal: definición, proceso y ejemplos

los desplazamiento horizontal resalta cómo el valor de entrada de la función afecta su gráfico. Cuando se trata de compensaciones horizontales, la atención se centra únicamente en cómo se comportan el gráfico y la función a lo largo del eje $x$. Es importante entender cómo funcionan las compensaciones horizontales, especialmente cuando se grafican funciones complejas.

El desplazamiento horizontal se produce cuando un gráfico se desplaza a lo largo de la $boldsymbol{x}$-eje por $boldsymbol{h}$ unidades, ya sea izquierda o derecha.

Junto con otras transformaciones, es importante saber identificar y aplicar horizontales en diferentes funciones, incluidas las funciones trigonométricas. Este artículo cubre todos los conceptos clave necesario para dominar este tema!

¿Qué es un desplazamiento horizontal?

Un desplazamiento horizontal es una traslación que mueve la gráfica de la función a lo largo del eje $x$. Describe cómo se mueve una función hacia la derecha o hacia la izquierda para encontrar la posición gráfica de la nueva función. Durante un desplazamiento horizontal, la función $f(x)$ se desplaza horizontalmente en unidades de $h$ y hace que la función se traduzca a $f(x pm h)$.

Examina las gráficas de las tres funciones: $f(x) = x^2$, $g(x) = (x + 3)^2$ y $h(x) = (x – 3)^ 2$. Con $f(x)$ como función madre o función base de funciones cuadráticas, las dos funciones restantes son el resultado de un desplazamiento horizontal $f(x)$.

  • Cuando $f(x) =x^2$ se desplaza $3$ unidades hacia la izquierda, su valor de entrada se desplaza $+3$ unidades a lo largo del eje $x$. Por lo tanto, la función traducida es igual a $g(x) = (x- 3)^2$.
  • De manera similar, cuando la función principal se desplaza $3$ unidades hacia la derecha, el valor de entrada se desplaza $-3$ unidades horizontalmente. Esto da como resultado la función traducida $h(x) = (x -3)^2$.

Este comportamiento es cierto para todos los desplazamientos horizontalespor lo que es mejor establecer una regla general de qué esperar cuando la función $f(x)$ se desplaza $h$ unidades a la derecha o $h$ unidades a la izquierda.

Reglas para desplazamiento horizontal

Suponga que $h$ es mayor que cero y $f(x)$ se desplaza $h$ unidades a lo largo del eje $x$, esto da como resultado las siguientes funciones:

1. $boldsymbol{y = f(x – h)}$ : un desplazamiento horizontal de $h$ unidades hacia correcto.

2. $boldsymbol{y = f(x + h)}$ : un desplazamiento horizontal de $h$ unidades hacia la izquierda.

Cuando mueve una función o su gráfico horizontalmente, el tamaño y la forma de la función siguen siendo los mismos.

Para comprender mejor cómo se ven afectadas las coordenadas de las características después de un desplazamiento horizontal, construir una tabla de valores para $f(x) = x^2$, $g(x) = (x + 1)^2$, y $h(x) = (x – 1)^2$.

begin{alineado} boldsymbol{x} end{alineado}

begin{alineado}-2end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}2end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=x^2} end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=(x-1)^2} end{alineado}

begin{alineado}9end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado} boldsymbol{y=(x+1)^2} end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}4end{alineado}

begin{alineado}9end{alineado}

La tabla de valores confirma que para $y = (x -1)^2$, los valores de la función se desplazan $1$ unidad a la derecha. De manera similar, los valores de la función se desplazan $1$ unidades hacia la izquierda para $y = (x + 1)^2$ con respecto a $y =x^2.

Comprender el desplazamiento horizontal en trigonometría

El desplazamiento horizontal es una técnica útil para graficar y estudiar funciones trigonométricas. En trigonometría, el desplazamiento horizontal a veces se denomina cambio de fase. El proceso sigue siendo el mismo: cuando el valor de entrada de una función trigonométrica se desplaza a lo largo del eje $x$, su gráfico hace lo mismo.

Echa un vistazo a los dos gráficos, $g(x)$ es el resultado de un desplazamiento horizontal $y= sin x$ por $dfrac{pi}{2}$ unidades a la derecha. De hecho, si el dominio está limitado a $2pi$, $g(x)$ refleja la gráfica de $y = cos x$, confirmando que $cos x = sin left(x – dfrac{ pi}{2} derecho)$.

Graficar funciones trigonométricas es mucho más fácil cuando se realizan transformaciones como se aplican compensaciones horizontales o de fase. Como las gráficas de las funciones trigonométricas fundamentales están estudiadas y bien establecidas, será mucho más fácil graficarlas y luego aplicar los desplazamientos.

Desplazamiento horizontal para trigonometría

Dadas funciones trigonométricas como la forma general de seno que se muestra a continuación:

begin{alineado}y = Asen [B(x – C)] + D end{alineado}

El desplazamiento horizontal es $C$ unidades a la derecha. Lo mismo se aplica a:

begin{alineado}y = Asen [B(x – C)] + D, end{alineado}

el desplazamiento horizontal es $C$ unidades a la izquierda.

Esta sección ha cubierto todos los fundamentos del desplazamiento horizontal, por lo que es hora de aprender a aplicar traslaciones horizontales. Las próximas dos secciones establecerán el proceso y cubrirán ejemplos de movimientos horizontales.

¿Cómo encontrar el desplazamiento horizontal?

Para encontrar el desplazamiento horizontal aplicado a un gráfico o función, determinar los cambios de eje $x$.

  • Cuando reciba el gráfico, observe los puntos clave del gráfico original y luego determine cuánto se ha movido el nuevo gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha.
  • Cuando se le dé la función, reescriba la expresión para resaltar $(x – h)$ y el valor de $h$ para determinar el desplazamiento horizontal aplicado a la función.

Reglas y condiciones de uso establecido en el apartado anterior para resolver problemas de desplazamientos horizontales.

Encontrar el desplazamiento horizontal de un gráfico

Cuando se le da un gráficoobservar qué tan lejos de la pre-imagen (normalmente la función principal correspondiente) es la imagen resultante después de ser desplazada horizontalmente por $h$ unidades.

  • Caso 1: Si el gráfico resultante está a $h$ unidades a la derecha del gráfico, esto significa que de $f(x)$, la expresión de la función traducida ahora es $f(x – h)$.
  • Caso 2: Si el gráfico resultante está a $h$ unidades a la izquierda del gráfico $f(x)$, la expresión de la función traducida ahora es $f(x + h)$.

Utilice esta guía para describir el desplazamiento horizontal que ha ocurrido en un gráfico dado. Por ejemplo, para conocer el desplazamiento horizontal aplicado en la función madre de la función que se muestra a continuación, observe el movimiento en el gráfico trasladado de $y = x$ con respecto al eje $x$.

Al describir el desplazamiento horizontal, centrarse en cómo se comportan los puntos y la curva de la función a lo largo de la eje $x$. Construya la gráfica de su función principal, $y =x$, para ver cómo se ha movido el punto $(3, 0)$.

A partir de ahí, podemos ver que desde $(0, 0)$, el punto se ha movido a $(3, 0)$ o $3$ unidades a la derecha. Esta observación sigue siendo cierta para los demás puntos de la gráfica. Eso significa que la función principal se desplaza $3$ unidades a la derecha en orden. A partir de esta información, también es posible encontrar la expresión de la función.

begin{alineado}(0, 0) &rightarrow (3, 0)\ x &rightarrow x – 3\y=x &rightarrow y=x – 3end{alineado}

Esto significa que al encontrar el desplazamiento horizontal, se demostró que la función mostrada tiene una expresión de $y = x – 3$.

Hallar el desplazamiento horizontal de una función

Cuando se dan la función y su expresión, encuentre el desplazamiento horizontal por reescribió su expresión para resaltar la diferencia con la función actual de su función madre.

begin{alineado}f(x) rightarrow f(x – h)end{alineado}

Supongamos que $f(x)$ representa la función principal y $f(x –h)$ es la función traducida, el desplazamiento horizontal dependerá de $h$. Es simple cuando se trabaja con funciones más simples como $y = x -3$.

Hay casos, sin embargo, donde es difícil identificar el desplazamiento horizontal inmediatamente. Use la guía a continuación para reescribir la función donde sea fácil identificar el desplazamiento horizontal.

begin{alineado}f(cx pm d) &= f left(cleft(x pm dfrac{d}{c}right)right)end{alineado}

Eso significa que al identificar el desplazamiento horizontal en $(3x + 6)^2$, reescríbelo factorizando los factores como se muestra a continuación.

begin{alineado}(3x + 6)^2 &= [3(x + 2)]^2end{alineado}

Esto destaca la presencia de desplazamiento horizontal y otras transformaciones. presente en la función con respecto a su función madre.

Ejemplo 1

Grafica las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = (x + 1)^3$. Usando el gráfico, describe $g(x)$ en términos de $f(x)$.

Solución

Construye una tabla de valores para las dos funciones. para ayudar a construir sus gráficos. La tabla de valores también dará una pista sobre el desplazamiento horizontal aplicado en $f(x)$ para obtener $g(x)$.

begin{alineado}boldsymbol{x}end{alineado}

begin{alineado}-2end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}2end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{f(x)}end{alineado}

begin{alineado}-8end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}8end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{g(x)}end{alineado}

begin{alineado}-1end{alineado}

begin{alineado}0end{alineado}

begin{alineado}1end{alineado}

begin{alineado}8end{alineado}

begin{alineado}27end{alineado}

La tabla de valores muestra que los valores de la función se han desplazado una unidad a la izquierda. Ahora, volviendo a verificar esto con los gráficos resultantes para ambas funciones, $g(x)$ es el resultado de mover $f(x)$ unidad $1$ a la derecha.

Ejemplo 2

Usa el desplazamiento horizontal para mostrar que $cos left(x- dfrac{pi}{2}right)= sin x$.

Solución

En un plano $xy$, dibujar las curvas de $sen x$ y $cosx$. Utilice la tabla de valores si es necesario. Usa los gráficos resultantes para observar cómo $cos x$ se desplaza para llegar a la curva de $sin x$.

Esto muestra que la curva de $sen x$ es simplemente el resultado de moverse $cos x$ curva $dfrac{pi}{2}$ unidades a la derecha. Esto significa que en términos de $sin x$, $cos x$ es equivalente a desplazar el valor de entrada de $y =sin x$ por $- dfrac{pi}{2}$.

begin{alineado}cos x = sin left(x – dfrac{pi}{2}right)end{alineado}

Preguntas prácticas

1. Observa las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ como se muestra a continuación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. $f(x)$ es el resultado cuando $g(x)$ se traslada $4$ unidades a la derecha.
B. $g(x)$ es el resultado cuando $f(x)$ se traslada $4$ unidades a la izquierda.
C. $g(x)$ es el resultado cuando $f(x)$ se traslada $8$ unidades a la derecha.
D. $f(x)$ es el resultado cuando $g(x)$ se traslada $8$ unidades a la derecha.

2. Suponga que $y = sqrt{x}$ se desplaza $15$ unidades a la izquierda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones muestra la expresión de la función desplazada?

R. $y = sqrt{x} – $15
B. $y = sqrt{x + 15}$
C. $y = sqrt{15 -x}$
D. $y = sqrt{x – 15}$

corregido

1.B

2.B

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.