Determine si cada una de estas funciones es una biyección de R en R.

1654796950 SOM Questions and Answers
  1. $f(x)= −3x+4$
  2. $f(x)= −3(x)^2+7 $
  3. $f(x)= dfrac{x+1}{x+2}$
  4. $f(x)= (x)^5 + 1$

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar cuál de las funciones mencionadas anteriormente es una biyección de R en R.

Una biyección también se llama función uno a uno o correspondencia uno a uno. Una función se llama función biyectiva si cumple las condiciones de las funciones “Sobre” y “Uno a uno”. Para que una función sea biyectiva, cada elemento del codominio debe tener un elemento en el dominio tal que:

[ f(x) = y ]

Aquí hay algunas propiedades de la función uno a uno:

  1. Cada artículo en el dominio $X$ debe tener un artículo en el rango $Y$.
  2. Los elementos de dominio no deben tener más de una imagen en el rango.
  3. Cada elemento en el rango $Y$ debe tener un elemento en el dominio $X$.
  4. Los elementos de rango no deben tener más de una imagen en el dominio.

Para demostrar que la función dada es biyectiva, siga los pasos que se mencionan a continuación:

  1. Demostrar que la función dada es una función inyectiva (uno a uno).
  2. Demuestre que la función dada es una función sobreyectiva (sobre).

Se dice que una función es inyectiva si cada elemento de su dominio está emparejado con un solo elemento en su rango.

[ f(x) = f (y) ]

Tal que $x = y$.

Se dice que una función es sobreyectiva si cada elemento del rango $Y$ corresponde a un elemento del dominio $X$.

[ f(x) = y ]

Respuesta experta:

Para las opciones dadas, averigüemos cuál de ellas es una función uno a uno.

Parte 1:

[ f(x)= −3x+4 ]

Primero, determinemos si es una función inyectiva o no.

[ f(y) = -3y+4 ]

[ f(x) = f(y) ]

[ x = y ]

Por lo tanto, es una función uno a uno.

Ahora veamos si es una función sobreyectiva o no.

Descubre la inversa de la función:

[ f(-x) = -f(x) ]

[ f(-x) = -(-3y+4) ]

Por lo tanto, también es una función sobreyectiva.

Por lo tanto, la parte 1 es una función biyectiva.

Parte 2

[ f(x)= −3(x)^2+7 ]

No es una función de biyección porque es una función cuadrática. Una función cuadrática no puede ser una biyección.

Además, [ f(-x) neq -f(x) ]

Por lo tanto, la parte 2 no es una función biyectiva.

Parte 3:

[ f(x)= dfrac{x+1}{x+2} ]

Tampoco es una función biyectiva porque no hay un número real, tal que:

[ f(x)= dfrac{x+1}{x+2} = 1 ]

Además, la función dada se vuelve indefinida cuando $x = -2$ porque el denominador es cero. Se debe definir una función uno a uno para cada elemento.

Por lo tanto, la parte 3 no es una función biyectiva.

Parte 4:

[ f(x)= (x)^5 + 1 ]

Es una función creciente.

Por lo tanto, la parte 4 es una función biyectiva.

Ejemplo:

Determine si cada una de estas funciones es una biyección de R en R.

[ f(x)= 2x+1 ]

[ f(x)= (x)^2+1 ]

Para la parte 1:

[ f(x)= 2x+1 ]

Sean a y b in mathbb{R}, entonces:

[ f(a) = f(b) ]

[ 2a+1 = 2b+1 ]

[ a = b ]

Por tanto, es una función inyectiva.

Dado que el dominio de esta función es similar al rango, también es una función sobreyectiva.

Esta función es una función de biyección.

Para la parte 2:

[ f(x)= (x)^2+1 ]

Es una función cuadrática.

Por lo tanto, no es una función de biyección.