Diferencia común: fórmula, explicación y ejemplos

Diferencia común: fórmula, explicación y ejemplos

Aprender más sobre las diferencias comunes puede ayudarnos a comprender y observar mejor los patrones. Cuando trabajamos con sucesiones y series aritméticas, será inevitable que no discutamos la diferencia común.

La diferencia común refleja cómo difiere cada par de dos términos consecutivos de una serie aritmética.

En este artículo, entenderemos el importante papel que juega la diferencia común de una secuencia dada. Descubriremos ejemplos y consejos sobre cómo detectar diferencias comunes en una secuencia determinada.

También exploraremos diferentes tipos de problemas que destacan el uso de diferencias comunes en secuencias y series. Es por esto que repasando lo que hemos aprendido sobre sucesiones aritméticas es esencial.

Por ahora, comencemos por entender cómo las diferencias comunes afectan los términos de una sucesión aritmética.

¿Cuál es la diferencia común?

La diferencia común es un elemento esencial en la identificación de sucesiones aritméticas. Son la diferencia constante compartida compartida entre dos términos consecutivos.

¿Por qué no echar un vistazo a los dos ejemplos a continuación?

common difference examples

¿Por qué no echar un vistazo a los dos ejemplos a continuación?

  • Para la primera secuencia, cada par de términos consecutivos comparte una diferencia común de $4$.
  • La segunda secuencia muestra que cada par de términos consecutivos comparte una diferencia común de $d$.

En general, cuando se da una sucesión aritmética, esperamos que la diferencia entre dos términos consecutivos permanezca constante a lo largo de la sucesión.

Definición de diferencia común

Digamos que tenemos una secuencia aritmética, ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n-1}, a_n}$, esta secuencia solo será una secuencia aritmética si y solo si cada par de términos consecutivos compartirá el la misma diferencia.

Llamamos a esto la diferencia común y normalmente se etiqueta como $d$. Esto quiere decir que si ${a_1, a_2, a_3, …, a_{n-1}, a_n}$ es una secuencia aritmética, tenemos esto:

begin{alineado} a_2 – a_1 &= d\ a_3 – a_2 &= d\.\.\.\a_n – a_{n-1} &=d end{alineado}

Podemos usar la definición que discutimos en esta sección para encontrar la diferencia común compartida por los términos de una secuencia aritmética dada.

¿Cómo encontrar la diferencia común?

Cuando damos algunos términos consecutivos de una sucesión aritmética, encontramos el común diferencia compartida entre cada par de términos consecutivos.

Digamos que tenemos ${8, 13, 18, 23, …, 93, 98}$. Podemos encontrar la diferencia común restando términos consecutivos. También podemos confirmar que la sucesión es una sucesión aritmética si podemos demostrar que hay una diferencia común.

begin{alineado} 13 – 8 &= 5\ 18 – 13 &= 5\23 – 18 &= 5\.\.\.\98 – 93 &= 5end{alineado}

Esto muestra que la sucesión tiene una diferencia común de $5$ y confirma que es una sucesión aritmética.

También podemos encontrar el quinto término de la sucesión sumando $23$ a $5, por lo que el quinto término de la sucesión es $23 + 5 = $28.

¿Qué pasa si recibimos información limitada y necesitamos la diferencia común de una secuencia aritmética?

Fórmula de diferencia común

Es posible que no siempre tengamos múltiples términos de la secuencia que observamos. Sin embargo, todavía podemos encontrar la diferencia común de los términos de una secuencia aritmética utilizando los diferentes enfoques que se indican a continuación.

Aquí hay algunas fórmulas útiles para tener en cuenta y compartiremos algunos consejos útiles sobre cuándo es mejor usar una fórmula en particular.

$d = a_{k + 1}– a_k$

Esta fórmula para la diferencia común es más útil cuando tenemos dos términos consecutivos, $a_{k + 1}$ y $a_k$. Esto también muestra que, dados $a_k$ y $d$, podemos encontrar el siguiente término usando $a_{k + 1} = a_k + d$.

$d = dfrac{a_n – a_1}{n – 1} $

Esta fórmula para la diferencia común se aplica mejor cuando solo conocemos el primer y el último término, $a_1 y a_n$, de la sucesión aritmética y el número total de términos, $n$.

Aprenderemos cómo aplicar estas fórmulas en los problemas que siguen, así que asegúrese de revisar sus notas antes de sumergirse directamente en los problemas que se presentan a continuación.

Ejemplo 1

Encuentra la diferencia común de las siguientes sucesiones aritméticas.

una. ${4, 11, 18, 25, 32, …}$
B. ${-20, -24, -28, -32, -36, …}$
contra $izquierda{dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}, dfrac{5}{2}, dfrac{7}{2}, dfrac{9}{2}, … derecho}$
D. $izquierda{-dfrac{3}{4}, -dfrac{1}{2}, -dfrac{1}{4},0,…derecha}$

Solución

Cada sucesión aritmética contiene una serie de términos, por lo que podemos usarlos para encontrar la diferencia común restando cada par de términos consecutivos.

Comencemos con ${4, 11, 18, 25, 32, …}$:

begin{alineado} 11 – 4 &= 7\ 18 – 11 &= 7\25 – 18 &= 7\32 – 25&= 7\.\.\.\d&= 7end {alineado}

Esto significa que el la diferencia común es igual a $7.

Pasando a ${-20, -24, -28, -32, -36, …}$, tenemos:

begin{alineado} -24 – (-20) &= -4\ -28 – (-24) &= -4\-32 – (-28) &= -4\-36 – (-32 ) &= -4\.\.\.\d&= -4end{alineado}

Por lo tanto, la segunda secuencia la diferencia común es igual a $-4$.

Vamos y comprobamos $left{dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}, dfrac{5}{2}, dfrac{7}{2}, dfrac{9 } {2}, … derecha}$:

begin{alineado} dfrac{3}{2} – dfrac{1}{2} &= 1\ dfrac{5}{2} – dfrac{3}{2} &= 1\ dfrac{7}{2} – dfrac{5}{2} &= 1\ dfrac{9}{2} – dfrac{7}{2} &= 1\.\.\. \d&= 1end{alineado}

Esto significa que la tercera secuencia tiene un la diferencia común es igual a $1$.

Travailler sur la dernière suite arithmétique,$left{-dfrac{3}{4}, -dfrac{1}{2}, -dfrac{1}{4},0,…right}$ ,se tiene:

begin{alineado} -dfrac{1}{2} – left(-dfrac{3}{4}right) &= dfrac{1}{4}\ -dfrac{1}{4 } – left(-dfrac{1}{2}right) &= dfrac{1}{4}\ 0 – left(-dfrac{1}{4}right) &= dfrac {1}{4}\.\.\.\d&= dfrac{1}{4}end{alineado}

Por lo tanto, la cuarta sucesión aritmética tendrá un diferencia común de $dfrac{1}{4}$.

Ejemplo 2

¿Cuál de los siguientes términos no puede ser parte de una sucesión aritmética?
una. $11, 14, 17$
B. $-36, -39, -42$
c.$-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{5}{2}$
D. $-4 dfrac{1}{4}, -2 dfrac{1}{4}, dfrac{1}{4}$

Solución

Como mencionamos, la diferencia común es un identificador esencial de las sucesiones aritméticas. Si la secuencia de términos comparte una diferencia común, pueden ser parte de una secuencia aritmética.

De $11, $14, $17 tenemos $14 – 11 = $3 y $17 – 14 = $3. Esto demuestra que las tres secuencias de términos comparten una diferencia común al ser parte de una secuencia aritmética.

Pasando a $-36, -39, -$42, tenemos $-39 – (-36) = -$3 y $-42 – (-39) = -$3. Esto significa que también pueden ser parte de una secuencia aritmética.

En cuanto a $-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{3}{2}$, tenemos $dfrac{1}{2} – left(-dfrac {1}{2}right) = 1$ y $dfrac{5}{2} – dfrac{1}{2} = 2$. Como sus diferencias son diferentes, no pueden ser parte de una secuencia aritmética.

Para el cuarto grupo, $-4 dfrac{1}{4}, -2 dfrac{1}{4}, dfrac{1}{4}$, podemos ver que $-2 dfrac{1} {4} – left(- 4 dfrac{1}{4}right) = 2$ y $- dfrac{1}{4} – left(- 2 dfrac{1}{4}right ) = $2. Esto significa que los tres términos también pueden ser parte de una secuencia aritmética.

Entonces $-dfrac{1}{2}, dfrac{1}{2}, dfrac{5}{2}$ nunca puede ser parte de una sucesión aritmética.

Ejemplo 3

El primer y último término de una sucesión aritmética son respectivamente $9$ y $14$. Si la sucesión contiene términos $100$, ¿cuál es el segundo término de la sucesión?

Solución

Cuando se nos da el primer y último término de una secuencia aritmética, podemos usar la fórmula, $d = dfrac{a_n – a_1}{n – 1}$, donde $a_1$ y $a_n$ son el primer y último término de la secuencia También tenemos $n = 100$, así que avancemos y encontremos la diferencia común, $d$.

begin{alineado}d &= dfrac{a_n – a_1}{n – 1}\&=dfrac{14 – 5}{100 – 1}\&= dfrac{9}{99}\ &= dfrac{1}{11}end{alineado}

El primer y segundo término también deben compartir una diferencia común de $dfrac{1}{11}$, por lo que el segundo término es igual a $9 dfrac{1}{11}$ o $dfrac{100}{11 } PS

Ejemplo 4

Considere la secuencia aritmética, ${4a + 1, a^2 – 4, 8a – 4, 8a + 12,… }$, ¿qué podría ser $a$?

Solución

Para que la sucesión, ${4a + 1, a^2 – 4, 8a – 4, 8a + 12,… }$, sea una sucesión aritmética, deben compartir una diferencia común.

La diferencia común entre los términos tercero y cuarto se da a continuación.

begin{alineado}8a + 12 – (8a – 4)&= 8a + 12 – 8a – (-4)\&=0a + 16\&= 16end{alineado}

En términos de $a$, también tenemos la diferencia común del primer y segundo término que se dan a continuación.

begin{alineado}a^2 – 4 – (4a +1) &= a^2 – 4 – 4a – 1\&=a^2 – 4a – 5end{alineado}

Como todos estos términos pertenecen a una sucesión aritmética, las dos expresiones deben ser iguales. Ponga los dos juntos y resuelva para $a$.

begin{alineado}a^2 – 4a – 5 &= 16\a^2 – 4a – 21 &=0 \(a – 7)(a + 3)&=0\\a&=7 a&=-3end{alineado}

Esto significa que $a$ puede ser $-3$ o $7$.