Distancia entre coordenadas polares – Derivación, proceso y ejemplos

Distancia entre coordenadas polares – Derivación, proceso y ejemplos

Podemos encontrar la distancia entre las coordenadas polares revisando la fórmula de la distancia. Conocer esta técnica será útil cuando queramos encontrar la distancia entre dos o más coordenadas polares, y no queramos convertirlas a sus formas rectangulares.

Podemos encontrar la distancia entre dos coordenadas polares usando los valores de sus radios y sus argumentos.

Este artículo mostrará cómo podemos derivar la fórmula de la distancia a partir de coordenadas polares y aprenderá cómo aplicarla en diferentes ejemplos y problemas. Antes de hacerlo, asegúrese de revisar sus notas sobre los siguientes puntos:

  • Asegúrese de comprender los diferentes componentes necesarios para que apliquemos el fórmula de distancia en coordenadas rectangulares.
  • Mejora tu conocimiento de las formas polares y convierte expresiones rectangulares en sus formas polares.
  • Refresca tus conocimientos de los más comunes. identidades trigonométricas has aprendido en el pasado.

Avancemos y sumerjámonos directamente en la fórmula y el proceso de encontrar la distancia entre dos o más coordenadas polares.

¿Cómo encontrar la distancia entre coordenadas polares?

La mejor manera de entender cómo podemos aplicar la fórmula de distancia para coordenadas polares es derivar la fórmula de la fórmula de distancia para coordenadas rectangulares.

visualizing two polar coordinates

Aquí hay una visualización de cómo dos coordenadas polares están en un sistema de coordenadas $xy$. Recuerda que la distancia entre dos puntos, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, es igual a $sqrt{(y_2 – y_1)^2 + (x_2 – x_1)^2}$.

Podemos expresar los dos puntos como dos coordenadas polares, $(r_1 cos theta_1, r_1 sin theta_1)$ y $(r_2 cos theta_1, r_2 sin theta_1)$. Luego podemos reescribir la fórmula de la distancia como una función del argumento del radio y las coordenadas polares.

begin{alineado}d &= sqrt{(y_2 – y_1)^2 + (x_2 – x_1)^2}\d &= sqrt{(r_2 sintheta_2 – r_1 sintheta_1)^2 + (r_2 cos theta_2 – r_1 cos theta_1)^2}end{alineado}

Podemos expandir los términos dentro de la raíz cuadrada usando la propiedad algebraica, $(a -b)^2 = a^2 -2ab + b^2$, y luego simplificar los términos como se muestra a continuación.

begin{alineado}d &= sqrt{(r_2^{phantom{x}2} sintheta_2 -2 r_1r_2costheta_1sintheta_2 + r_1^{phantom{x}2} sin ^2theta_1) + (r_2^{phantom{x}2} costheta_2 -2 r_1r_2sintheta_1costheta_2 + r_1^{phantom{x}2} cos^2theta_1) }\&= sqrt{ (r_1^{phantom{x}2}cos^2theta_1 + r_1^{phantom{x}2} sin^2theta_1) + (r_2^{phantom {x}2}cos^2theta_2 + r_2^{phantom{x}2} sin^2theta_2) -(2 r_1r_2costheta_1sintheta_2 +2 r_1r_2sintheta_1cos theta_2) }\&= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} (cos^2theta_1 + sin^2theta_1) + r_2^{phantom{x}2}(cos ^2theta_2 + sin^2theta_2)-2r_1r_2(costheta_1sintheta_2 +sintheta_1costheta_2) }end{alineado}

¿Te resulta familiar la pareja? Esto se debe a que podemos reescribirlos usando las siguientes identidades trigonométricas:

  • $sin^2 A + cos^2 A = 1$
  • $cos(A -B) = cos A cos B + sin A sin B$

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} (1) + r_2^{phantom{x}2}(1) -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } \&= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } end{alineado}

Por lo tanto, le mostramos que podemos encontrar la distancia entre dos coordenadas polares usando la fórmula de distancia de coordenadas polares que se muestra a continuación:

begin{alineado}&fantasma{xxxxx}(r_1, theta_1)\ &fantasma{xxxxx}(r_2, theta_2)\\d &= sqrt{ r_1^{fantasma{x}2 } + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) } end{alineado}

Aplicación de fórmula de distancia entre coordenadas polares

La fórmula anterior indica que no es necesario para nosotros convertir las coordenadas polares en coordenadas rectangulares para que podamos calcular su distancia. Dados dos puntos, $(r_1, theta_1)$ y $(r_2, theta_2)$, podemos aplicar los siguientes pasos:

  • Encuentra los valores de $r_1$ y posiblemente el valor de $r_1^{phantom{x}2}$ .
  • Podemos hacer lo mismo para $r_2$ y $ r_2^{phantom{x}2}$.
  • Encuentra la diferencia entre sus ángulos, $(theta_1 – theta_2)$.
  • Usa estos componentes para encontrar la distancia entre dos puntos usando la fórmula, $d = sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos (theta_1 – theta_2) }$.

Digamos que tenemos $(-3, 75^{circ})$ y $(6, 45^{circ})$, podemos determinar la distancia entre los dos puntos usando la fórmula de distancia en coordenadas polares. Podemos comenzar identificando los componentes y valores esenciales de la fórmula:

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1 &=-3\r_1^{phantom{x}2} &= 9end{alineado}

begin{alineado}r_2 &= 6\r_2^{phantom{x}2} &= 36end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= 75^{circ} – 45^{circ}\&= 75^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {9 + 36 -2(-3)(6)cos 30^{circ} }\&=sqrt{45+36cos30^{circ}}\ &=sqrt{45+36 cdot dfrac{sqrt{3}}{2}}\&=sqrt{45 + 18sqrt{3}}end{alineado}

También podemos usar nuestra calculadora para estimar el valor exacto de la distancia entre las dos coordenadas polares. Esto significa que $d = sqrt{45 + 18sqrt{3}} approx 8,73$ unidades.

Ahora le mostramos cómo derivar y aplicar la fórmula para la distancia a partir de coordenadas polares, por lo que es hora de que pruebe sus conocimientos respondiendo a los problemas que se presentan a continuación.

Ejemplo 1

Determina la longitud del segmento de recta que une las coordenadas polares $(6, 80^{circ})$ y $(3, 20^{circ})$.

Solución

Comience por identificar los valores importantes que necesitamos para calcular la distancia entre las dos coordenadas polares.

  • $r_1 = 6$, $theta_1 = 80^{circ}$
  • $r_2 = 3$, $theta_2 = 20^{circ}$

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1^{phantom{x}2} &= 36end{alineado}

begin{alineado}r_2^{phantom{x}2} &= 9end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= 80^{circ} – 20^{circ}\&= 60^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {36 + 9 -2(6)(3)cos 60^{circ} }\&=sqrt{45 – 36cos 60^{circ}}\ &=sqrt{45 – 36 cdot dfrac{1}{2}}\&=sqrt{45 – 18}\&= sqrt{27}\&= 3sqrt{3} end{alineado}

Esto significa que la distancia entre las dos coordenadas polares, $(6, 80^{circ})$ y $(3, 20^{circ})$, es igual a $3sqrt{3}$ o aproximadamente 5 .20 $$ unidades.

Ejemplo 2

Dados dos puntos polares, $P_1$ y $P_2$, calcula la distancia entre los puntos.

begin{alineado}P_1 &= left(4, dfrac{2pi}{3}right)\P_2 &= left(8, dfrac{pi}{6}right)end {alineado}

Solución

Aplicaremos la misma fórmula para encontrar la distancia entre $P_1$ y $P_2$, pero esta vez estamos trabajando con ángulos en radianes. Como antes, tomemos nota de los componentes importantes que necesitaremos para la fórmula de la distancia.

  • $r_1 = 4$, $theta_1 = dfrac{2pi}{3}$
  • $r_2 = 8$, $theta_2 = dfrac{pi}{6}$

begin{alineado}boldsymbol{r_1^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{r_2^{phantom{x}2}}end{alineado}

begin{alineado}boldsymbol{theta_1 – theta_2}end{alineado}

begin{alineado}r_1^{phantom{x}2} &= 16end{alineado}

begin{alineado}r_2^{phantom{x}2} &= 64end{alineado}

begin{alineado}theta_1 – theta_2 &= dfrac{2pi}{3} – dfrac{pi}{6}\&= dfrac{pi}{2}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {16 + 64 -2(4)(8)cosdfrac{pi}{2} }\&=sqrt{80 – 64cos dfrac{pi}{2}}\ &= sqrt{80 – 0}\&=sqrt{80}\&= 4sqrt{5}end{alineado}

Esto significa que la distancia entre $P_1$ y $P_2$ es igual a $4sqrt{5}$ o aproximadamente 8,94$ unidades.

Antes de pasar al tercer ejemplo, tenga en cuenta lo importante que es familiarizarse con el ángulos especiales en trigonometría. Conocer sus valores trigonométricos hará que calcular la distancia sea mucho más rápido. Otro consejo: verifica el modo de grado de tu calculadora ($text{DEG}$ para $^{circ}$ y $text{RAD}$ para radianes).

Ejemplo 3

Las cuatro coordenadas polares, $A$, $B$, $C$ y $D$, se trazan en un sistema de coordenadas $xy$ como se muestra a continuación.

finding the distances of polar coordinates

Halla las distancias de los siguientes pares de puntos.
una. Distancia entre $A$ y $C$.
B. Distancia entre $B$ y $C$.
contra Distancia entre $B$ y $D$.
Usa el resultado para encontrar cuál de los tres segmentos, $overline{AC}$, $overline{BC}$ y $overline{BD}$, es el más corto y el más largo.

Solución

Podemos encontrar las distancias de todos los pares usando la misma fórmula de distancia para coordenadas polares como se muestra a continuación.

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }end{alineado}

Podemos comenzar con el primer par de coordenadas polares: $A$ y $C$.

  • $r_1 = 6$, $theta_1 = 150^{circ}$
  • $r_2 = 6$, $theta_2 = 240^{circ}$

Ingrese estos valores en la fórmula de distancia y obtenga los siguientes resultados:

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {36 + 36 -2(6)(6)cos(240^{circ}-150^{circ})}\&=sqrt{72 – 72cos 90^{circ}} &=raíz cuadrada{72 – 0}\&=raíz cuadrada{72}\&= 6raíz cuadrada{2}end{alineada}

De esto podemos ver que la distancia entre $A$ y $B$ es igual a $6sqrt{2}$ unidades o aproximadamente, $8.49$ unidades. Podemos aplicar un enfoque similar para encontrar las distancias entre b) $B$ y $C$ yc) $B$ y $D$. Podemos resumir los resultados en una tabla como se muestra a continuación:

Primera coordenada polar

Segunda coordenada polar

Distancia

Valor aproximado

begin{alineado}B &= (8 cos 300^{circ}, 8 sin 300^{circ})\r_1&= 8\theta_1 &= 300^{circ}end{alineado }

begin{alineado}C&= (6 cos 240^{circ}, 6 sin 240^{circ})\r_2&= 6\theta_2 &= cos 240^{circ}end{ alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {64 + 36 -2(8)(6)cos(300^{circ}-240^{circ})}\&=sqrt{100 – 96cos 60^{circ}} &=raíz cuadrada{100 – 96cdotdfrac{1}{2}}\&=raíz cuadrada{100-48}\&=raíz cuadrada{52}\&=2raíz cuadrada{13} end{alineado}

begin{alineado}d &aprox. 7,21end{alineado}

begin{alineado}B &= (8 cos 300^{circ}, 8 sin 300^{circ})\r_1&= 8\theta_1 &= cos 300^{circ}end {alineado}

begin{alineado}D&= (8 cos 30^{circ}, 8 sin 30^{circ})\r_2&= 8\theta_2 &= 30^{circ}end{alineado}

begin{alineado}d &= sqrt{ r_1^{phantom{x}2} + r_2^{phantom{x}2} -2r_1r_2cos(theta_1 -theta_2) }\&= sqrt {64 + 64 -2(8)(8)cos(300^{circ}-30^{circ})}\&=sqrt{128 – 128cos 270^{circ}} &=sqrt{128 – 0}\&=sqrt{128}\&=8sqrt{2}end{alineado}

begin{alineado}d &aprox. 11,31end{alineado}

Te hemos mostrado las distancias entre los dos pares de puntos. Ahora, para responder a la pregunta de seguimiento, podemos comparar las distancias de $overline{AC}$, $overline{BC}$ y $overline{BD}$.

begin{alineado}overline{AC} &= 8,49text{ unidades}\overline{BC} &= 7,21text{ unidades}\overline{BD} &= 11,31text{ unidades}end {alineado}

Al comparar los tres, podemos ver que el segmento más largo será $overline{BD}$ y el segmento más corto será $overline{BC}$.