División de Números Complejos – Técnicas, Explicación y Ejemplos

División de Números Complejos – Técnicas, Explicación y Ejemplos

Al dividir números complejos, usamos nuestro conocimiento de conjugados y la racionalización de expresiones racionales. Cuando encontramos el cociente de dos números complejos, en realidad devolvemos una fracción que contiene esos dos números complejos como numerador y denominador, respectivamente.

Los pasos necesarios para dividir números complejos se asemejan al proceso de racionalización del denominador.

La división de números complejos comienza con escribir la razón de los dos números complejos como una fracción.

La mayoría de las técnicas necesarias para dividir dos números complejos se basan en lecciones y habilidades que hemos aprendido en el pasado. Aquí hay algunos recursos que quizás desee consultar en caso de que necesite un repaso:

  • Saber cómo multiplicar números complejos es esencial si quieres dividir números complejos.
  • Comprender cómo los conjugados juegan un papel importante en la racionalización de los denominadores y la eliminación de $i$ del denominador.

En la siguiente sección, verás cómo se puede manipular el cociente de números complejos para que el denominador del cociente no contenga ningún número complejo. También practicaremos nuestras habilidades para multiplicar números complejos, así que revise sus notas.

¿Cómo dividir números complejos?

Dados dos números complejos, $a + bi$ y $m + ni$, podemos expresar su cociente dividiendo $a + bi$ por $m + ni$. Escribiéndolo como una razón, tenemos $ dfrac{a + bi}{m + ni}$.

Es la forma general del cociente de dos números complejos. Hay tres formas posibles para el divisor, $m$ y $n$, y el grado de dificultad dependerá de los valores ($m$ y $n$) presentes.

Técnicas para dividir números complejos

Caso 1: Cuando $boldsymbol{n = 0}$

Los casos más simples ocurren cuando la parte imaginaria del número complejo no está presente. Dado $dfrac{a+ bi}{m + ni}$, cuando $n = 0$, simplemente dividimos $a$ y $bi$ entre $n$.

Por ejemplo, si queremos dividir $4 – 12i$ entre $4$, dividimos cada término entre $4$ para encontrar su cociente.

$ begin{alineado} dfrac{4 – 12i}{4} &= dfrac{4}{4} – dfrac{12i}{4}\&=1 – 4iend{alineado}$

Caso 2: Cuando $boldsymbol{m = 0}$

Ahora veamos cuándo solo tenemos la parte imaginaria en el denominador (lo que significa que el número real no está presente o $m = 0$). Podemos multiplicar el numerador y el denominador por $i$ y usar el hecho de que $i^2 = -1$.

$ begin{alineado} dfrac{a + bi}{ni} &= dfrac{a + bi}{ni} cdot dfrac{i}{i}\&=dfrac{i(a + bi )}{i(ni)}\&= dfrac{ai + bi^2}{ni^2} \&= dfrac{ai + b(-1)}{n(-1)}\ &=dfrac{ai – b}{-n}\&= dfrac{b – ai}{ni}end{alineado}$

Es la forma general de todos los cocientes que pertenecen a este caso.

Caso 3: Cuando ambos $boldsymbol{m}$ y $boldsymbol{ni}$ están presentes

Cuando tenemos un cociente de la forma $dfrac{a + bi}{m + ni}$, estos son los pasos que tendremos en cuenta al simplificar ese cociente y reescribirlo, para que el denominador no contenga ningún imaginario parte.

  1. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado del denominador.
  2. Expande y simplifica el numerador usando el método FOIL (o la propiedad distributiva cuando el numerador tiene un término).
  3. Simplemente el denominador usando la propiedad, $(p – qi)(p + qi) = p^2 + q^2$.
  4. Exprese la nueva forma en los términos más bajos.

Tratemos de encontrar el cociente de $(3 – 2i)$ y $(5 – i)$ usando la guía de cuatro pasos. Podemos expresar su cociente como $dfrac{3 – 2i}{5 – i}$, por lo que podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado de $5 – i$, es decir, $5 + i $.

$ begin{alineado} dfrac{3 – 2i}{5 – i} &= dfrac{3 – 2i}{5 – i} cdot dfrac{color{azul}5 + i}{color{ azul}5 + i} \&= dfrac{(3 -2i)({color{azul}5 + i})}{(5 – i)({color{azul}5 + i})} end{alineado}$

Hemos multiplicado el numerador y el denominador por $5 + i$, así que ahora apliquemos el método FOIL para multiplicar los números complejos en el numerador. Simplifica el denominador usando el hecho de que el producto de los conjugados es igual a la suma de los cuadrados de sus coeficientes.

$ begin{alineado} dfrac{(3 -2i)(5 + i)}{(5 – i)(5 + i)} &= dfrac{3(5) + 3(i)+ 5(- 2i)+ i(-2i)}{(5 – i)(5 + i)}\&= dfrac{15 + 3i – 10i – 2i^2}{(5 – i)(5 + i)} \&= dfrac{15 + 3i – 10i + 2}{(5 – i)(5 + i)}\&= dfrac{(15 + 2) + (3 – 10)i}{(5 – i)(5 + i)}\&=dfrac{17 – 7i}{(5 – i)(5 + i)}\&= dfrac{17 – 7i}{5^2 + 1^ 2}\&= dfrac{17 – 7i}{26}end{alineado}$

Así, el cociente de $(3 – 2i)$ y $(5 – i)$ es igual a $dfrac{17 – 7i}{26}$ o $dfrac{17}{26} – dfrac{7 {26}yo$.

Aplicaremos pasos similares al encontrar el cociente y eliminar cualquier número imaginario en el denominador del cociente.

Ejemplo 1

Evalúa y simplifica las siguientes expresiones.

una. $dfrac{6 – 30i}{2}$
B. $dfrac{15i + 45}{-3}$
contra $dfrac{4 – 3i}{sqrt{2}}$

Solución

Divide cada término del numerador por el denominador ya que solo estamos trabajando con números reales.

Para la primera expresión, dividimos $6$ y $30i$ entre $2$.

$begin{alineado} dfrac{6 – 30i}{2}&= dfrac{6}{2}- dfrac{30i}{2}\&=3 – 15iend{alineado}$

una. Esto significa que el cociente de $6 – $30i y $2 es $3 – $15i.

Aplicaremos el mismo proceso para dividir $15 + $45 entre $-$3. Tenga cuidado al trabajar con números negativos y verifique dos veces su trabajo.

$begin{alineado} dfrac{15i + 45}{-3}&= dfrac{15i}{-3}- dfrac{45}{-3}\&=-5i – (-15) &= -5i + 15\&= 15 – 5iend{alineado}$

B. Entonces $dfrac{15i + 45}{-3} = 15 – 5i$.

Primero, racionalicemos $dfrac{4 – 3i}{sqrt{2}}$ multiplicando el numerador y el denominador por $sqrt{2}$.

$begin{alineado} dfrac{4 – 3i}{sqrt{2}} cdot dfrac{sqrt{2}}{sqrt{2}}&= dfrac{4 sqrt{2} – 3sqrt{2}i}{2}end{alineado}$

Luego podemos dividir cada término del numerador por $2$ para expresar el cociente resultante en la forma general de números complejos.

$begin{alineado}dfrac{4 sqrt{2} – 3sqrt{2}i}{2}&= dfrac{4 sqrt{2}}{2} – dfrac{3sqrt{ 2}i}{2}\&= 2sqrt{2} – dfrac{3sqrt{2}}{2}iend{alineado}$

contra Esto significa que $dfrac{4 – 3i}{sqrt{2}} = 2sqrt{2} – dfrac{3sqrt{2}}{2}i$.

Ejemplo 2

Evalúa y simplifica las siguientes expresiones.

una. $dfrac{2 – 5i}{6i}$
B. $dfrac{12i + 48}{-12i}$
contra $dfrac{8 – 3i}{sqrt{3}i}$

Solución

El denominador de cada uno de los cocientes solo contiene una parte imaginaria, entonces lo que podemos hacer es multiplicar $i$ a cada uno de sus numerador y denominador.

¿Por qué no empezar con $dfrac{2 – 5i}{6i}$? También asegúrese de reemplazar $i^2$ con $-1$.

$begin{alineado}dfrac{2 – 5i}{6i} cdot dfrac{i}{i}&= dfrac{(2 – 5i)i}{(6i)i}\&=dfrac {2i – 5i^2}{6i^2}\&= dfrac{2i – 5(-1)}{6(-1)}\&= dfrac{2i + 5}{-6} &=-dfrac{5}{6}-dfrac{2i}{6}\&= -dfrac{5}{6} – dfrac{1}{3}iend{alineado}$

una. Así, el cociente de $2 – 5i$ y $6i$ es igual a $-dfrac{5}{6} – dfrac{1}{3}i$.

Hacemos lo mismo para b, así que multiplicamos tanto el numerador como el denominador de $dfrac{12i + 48}{-12i}$ por $i$.

$begin{alineado}dfrac{12i +48}{-12i} cdot dfrac{i}{i} &= dfrac{12i^2 + 48i}{-12i^2}\&=dfrac {12(-1) + 48i}{-12(-1)}\&= dfrac{-12 + 48i}{12}end{alineado}$

Como todos los términos del numerador y el denominador comparten un factor común de $12, podemos dividir todos los términos entre $12 para simplificar aún más el cociente.

$begin{alineado} dfrac{-12 + 48i}{12} &= dfrac{-12}{12} + dfrac{48}{12}i\&=-1 +4iend{alineado PS

B. Esto significa que $dfrac{12i + 48}{-12i}$ es igual a $-1 + 4i$.

La tercera expresión es un poco más complicada ya que el denominador también contiene $sqrt{3}$. En lugar de $i$, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por $sqrt{3} i$.

$begin{alineado}dfrac{8 – 3i}{sqrt{3}i} cdot dfrac{sqrt{3}i}{sqrt{3}i} &= dfrac{8sqrt{ 3}i – 3sqrt{3}i^2}{(sqrt{3} cdot sqrt{3})(i cdot i)}\&= dfrac{8sqrt{3}i – 3sqrt{3}i^2}{3i^2}\&= dfrac{8sqrt{3}i – 3sqrt{3} (-1)}{3(-1)} &= dfrac{3sqrt{3} + 8sqrt{3}i}{-3}\&= -sqrt{3}- dfrac{8sqrt{3}}{3}i end{alineado}$

contra Por lo tanto, la forma simplificada de $dfrac{8 – 3i}{sqrt{3}i}$ es $-sqrt{3}- dfrac{8sqrt{3}}{3}i$.

Ejemplo 3

¿Cuál es el resultado si $4 – 5i$ se divide entre $2 – 3i$?

Solución

Podemos escribir el cociente en forma factorizada con el dividendo, $4 – 5i$, escrito en el numerador y el divisor, $2 – 3i$, en el denominador.

Entonces tenemos $dfrac{4 – 5i}{2 – 3i}$. Dado que el denominador siempre es un número complejo, para reescribirlo, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado de $2 – 3i$.

$begin{alineado}dfrac{4 – 5i}{2 – 3i} &= dfrac{4 – 5i}{2 – 3i} cdot dfrac{color{azul} 2 + 3i}{color{ azul} 2 + 3i}\ &= dfrac{(4 – 5i)({color{azul} 2+ 3i})}{(2 – 3i)({color{azul} 2+ 3i})} end{alineado}$

Aplique el método FOIL al numerador para simplificar la expresión.

$begin{alineado}dfrac{(4 – 5i)(2 + 3i)}{(2 – 3i)(2 + 3i)} &= dfrac{4(2) + 4(3i) + 2(- 5i) + 3i(-5i)}{(2 – 3i)(2 + 3i)}\&= dfrac{8 + 12i – 10i – 15i^2}{(2 – 3i)(2 + 3i)} \&= dfrac{8 + 12i – 10i – 15(-1)}{(2-3i)(2 + 3i)}\&= dfrac{(8 + 15) +(12 – 10)i }{(2-3i)(2 + 3i)}\&=dfrac{23 + 2i}{(2-3i)(2 + 3i)}end{alineado}$

Simplifica el denominador multiplicando los dos conjugados.

$begin{alineado}dfrac{23 + 2i}{(2-3i)(2 + 3i)} &= dfrac{23 + 2i}{(2)^2 + (3)^2}\& =dfrac{23+ 2i}{4 + 9}\&= dfrac{23 + 2i}{13}\&= dfrac{23}{13}+ dfrac{2}{13}i fin{alineado}$

Ejemplo 4

Evalúa y simplifica $dfrac{12}{3 – dfrac{2}{i}}$.

Solución

Esta expresión es una fracción compleja que contiene una parte imaginaria en el denominador de $dfrac{2}{i}$. Centrémonos en eliminar $i$ en el denominador multiplicando tanto el numerador como el denominador de $dfrac{2}{i}$ por $i$.

Usa el hecho de que $i^2$ es igual a $-1$ para simplificar aún más la expresión resultante.

$ begin{alineado}dfrac{2}{i} cdot dfrac{i}{i} &= dfrac{2i}{i^2}\&= dfrac{2i}{-1} &= -2iend{alineado}$

Reemplace $dfrac{2}{i}$ con $-2i$ y terminaremos con otro número complejo en el denominador.

$begin{alineado} dfrac{12}{3 – dfrac{2}{i}}&= dfrac{12}{3 – (-2i)}\&=dfrac{12}{3 + 2i} end{alineado}$

Reescribe el cociente multiplicando su numerador y denominador por el conjugado de $3 + 2i$, o $3 – 2i$.

$ begin{aligned} dfrac{12}{3 + 2i} &= dfrac{12}{3 + 2i} cdot dfrac{color{blue} 3 – 2i}{color{blue} 3 – 2i}\&= dfrac{12({color{azul} 3 – 2i})}{(3 + 2i)({color{azul} 3 – 2i})}\&= dfrac{12 (3) – 12(2i)}{(3 + 2i)(3 – 2i)}\&= dfrac{36 – 24i}{(3 + 2i)(3 – 2i)}end{alineado}$

Simplifica el denominador encontrando el producto de los dos conjugados.

$ begin{alineado} dfrac{36 – 24i}{(3 + 2i)(3 – 2i)} &= dfrac{36 – 24i}{(3)^2 + (2)^2}\& = dfrac{36 – 24i}{9 + 4}\&= dfrac{36 – 24i}{13}\&= dfrac{36}{13}- dfrac{24}{13}i fin{alineado}$

Esto significa que cuando se simplifica, $dfrac{12}{3 – dfrac{2}{i}}$ es equivalente a $dfrac{36}{13}- dfrac{24}{13}i $.