Ecuaciones características: definición, forma general y ejemplos

Ecuaciones características: definición, forma general y ejemplos

Utilizando ecuaciones características es importante cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales homogéneas. Saber encontrar ecuaciones características y saber utilizarlas son requisitos previos si se quiere saber de memoria ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

Las ecuaciones características son esencial a la hora de resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Usamos las raíces de la ecuación característica para establecer la solución general de la ecuación diferencial homogénea.

El objetivo de nuestra discusión es asegurarse de que sepa cómo encontrar las ecuaciones características a partir de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. También le mostraremos el significado de las ecuaciones características al resolver ecuaciones diferenciales y también le proporcionaremos algunos ejemplos en los que trabajar.

¿Cuál es la ecuación característica?

La ecuación característica de una ecuación diferencial lineal homogénea es una ecuación algebraica que utilizamos para resolver este tipo de ecuaciones. Aquí hay un ejemplo de un par de una ecuación diferencial homogénea y su ecuación característica correspondiente:

begin {alineado} y ^ { prime prime} -2y ^ { prime} + y & = 0 \ flecha hacia abajo phantom {x} \ r ^ 2 – 2r + r & = 0 end {alineado }

Ahora, generalicemos esto para todas las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con una forma general como se muestra a continuación.

begin {alineado} ay ^ { prime prime} + par ^ { prime} + cy & = 0 end {alineado}

La solución más simple que podemos probar para esta ecuación es $ y = e ^ {rx} $, por lo que también tendremos $ y ^ { prime} = re ^ {rx} $ y $ y ^ { prime prime} = r ^ 2e ^ {ex} $. Reemplaza estas expresiones en la ecuación diferencial.

begin {alineado} ar ^ 2e ^ {rx} + bre ^ {rx} + ce ^ {rx} & = 0 \ e ^ {rx} (ar ^ 2 + br + c) & = 0 end {alineado }

Dado que $ e ^ {rx} $ nunca será igual a cero, el siguiente factor, $ ar ^ 2 + br + c $, debe ser igual a cero para que $ y = e ^ {rx} $ sea cero.

begin {alineado} ar ^ 2 + br + c & = 0 end {alineado}

Podemos resolver $ r $ usando técnicas algebraicas que hemos aprendido en el pasado. Estas raíces determinarán la forma de la naturaleza de la solución homogénea. El proceso de elaboración de reglas para ecuaciones características de orden superior y ecuaciones homogéneas más complejas será similar.

¿Cómo encontrar la ecuación característica y aplicarla a ecuaciones diferenciales?

De la sección anterior, encontramos la ecuación característica asignando los diferenciales como una variable. Por ejemplo, cuando se trabaja con ecuaciones homogéneas de segundo orden, $ ay ^ { prime prime} + by ^ { prime} + cy = $ 0.

Hemos demostrado que podemos reescribir lo siguiente: $ y ^ { prime prime} $ con $ r ^ 2 $, $ y ^ { prime} $ con $ r $ y $ y $ con $ 1 $. Aquí hay algunos otros ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y sus correspondientes ecuaciones características:

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Ecuaciones características

begin {alineado} y ^ { prime prime} –4y ^ { prime} -5y & = 0 end {alineado}

begin {alineado} r ^ 2–4r-5 & = 0 end {alineado}

begin {alineado} y ^ { prime prime} + 6y ^ { prime} + 9y & = 0 end {alineado}

begin {alineado} r ^ 2 + 6r + 9 & = 0 end {alineado}

begin {alineado} 4y ^ { prime prime} – 12y ^ { prime} + 9y & = 0 end {alineado}

begin {alineado} 4r ^ 2–12r + 9 & = 0 end {alineado}

Ahora trabajemos en la primera ecuación diferencial dada, $ y ^ { prime prime} – 4y ^ { prime} + 4y = $ 0. Hemos establecido que $ y = e ^ {rx} $, $ y ^ { prime} = re ^ {rx} $ y $ y ^ { prime prime} = r ^ 2e ^ {rx} $. Esta ecuación se reduce a una ecuación cuadrática, como se muestra a continuación:

begin {alineado} y ^ { prime prime} – 4y ^ { prime} – 5y & = 0 \ r ^ 2e ^ {rx} – 4re ^ {rx} -5e ^ {rx} & = 0 r ^ 2-4r -5 & = 0 \ (r -5) (r + 1) & = 0 \ r = -1, r & = 5 end {alineado}

Esto significa que $ y = e ^ {- x} $ y $ y = e ^ {5x} $ son dos soluciones independientes, por lo que nuestra ecuación diferencial homogénea tendrá una solución general de:

begin {alineado} y & = C_1e ^ {- x} + C_2e ^ {5x} end {alineado}

Ahora, generalicemos este proceso para encontrar la ecuación característica y la solución de la ecuación lineal homogénea de $ n $ -ésimo orden,

begin {alineado} a_ny ^ {(n)} + a_ {n -1} y ^ {(n -1)} +… + a_1y ^ { prime} + a_0y & = 0, end {alineado}

donde $ a_n, a_ {n -1},…, a_1, a_0 $ son constantes y $ a_0 $ no es cero. Podemos escribir la ecuación característica como se muestra a continuación.

begin {alineado} a_nr ^ n + a_ {n -1} r ^ {n -1} +… + a_1r + a_0 & = 0 end {alineado}

Usamos las ecuaciones características y las raíces para encontrar las soluciones de ecuaciones lineales homogéneas. En nuestra discusión de ecuaciones homogéneas, explicamos cómo encontrar soluciones generales de ecuaciones diferenciales homogéneas de acuerdo con sus ecuaciones características.

Naturaleza de las raíces

Forma general de la solución

Las raíces de la ecuación característica son reales y distintas.

begin {alineado} y (x) & = C_1e ^ {r_1 x} + C_2e ^ {r_2 x} +… + C_ne ^ {r_n x} end {alineado}

Hay raíces idénticas en las soluciones de la ecuación característica.

$ m $ raíces: $ {r_1, r_2,…, r_m } $

La multiplicidad puede variar, así que generalicemos la multiplicidad de la siguiente manera:

multiplicidad: $ {k_1, k_2,…, k_m } $

begin {alineado} y (x) & = C_1e ^ {r_1 x} + C_2xe ^ {r_1 x} +… + C_ {k_1} x ^ {k_1 – 1} e ^ {r_1 x} +… \ & + C_ {n -k_m +1} e ^ {r_m x} + C_ {n -k_ {m} + 2} xe ^ {r_m x} +… + C_nx ^ {k_m -1} e ^ {r_m x} end {alineado}

Las raíces de la ecuación característica son complejas y únicas.

begin {alineado} r_ {1,2} & = alpha + beta i \ r_ {3,4} & = gamma- delta i \ &. \ &. \ &. end { alineado}

begin {alineado} y = {e ^ { alpha x}} left ({{C_1} cos beta x + {C_2} sin beta x} right) + {e ^ { gamma x} } izquierda ({{C_3} cos delta x + {C_4} sin delta x} right) + cdots end {alineado}

Hemos cubierto todo lo que necesitamos saber sobre ecuaciones características y ecuaciones homogéneas. Es hora de que probemos diferentes ecuaciones para profundizar nuestro conocimiento de las ecuaciones características.

Ejemplo 1

Tenga en cuenta las ecuaciones características de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas a continuación.

una. $ y ^ { prime prime} – 10y ^ { prime} + 25y = $ 0
B. $ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + 6 dfrac {dy} {dx} = – 9y $
vs. $ y ^ { prime prime prime} + 5y ^ { prime prime} –10y ^ { prime} + 25y = $ 0

Solución

Dado que las tres ecuaciones son ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, podemos usar las reglas que establecimos en nuestra discusión al escribir las ecuaciones características.

begin {alineado} y ^ { prime prime} –10y ^ { prime} + 25y & = 0 end {alineado}

Reemplaza $ y ^ { prime prime} $ con $ r ^ 2 $, $ y ^ { prime} $ con $ r $ y $ y $ con $ 1 $. Por lo tanto, tenemos la ecuación característica a continuación.

begin {alineado} (a) fantasma {x} r ^ 2 – 10r + 25 & = 0 end {alineado}

Para la segunda ecuación, vuelva a escribirla primero para que esté en la forma estándar de ecuaciones homogéneas. Aplicamos el mismo proceso para encontrar la ecuación característica de la segunda ecuación diferencial.

begin {alineado} dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + 6 dfrac {dy} {dx} & = – 9y \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + 6 dfrac { dy} {dx} + 9y & = 0 \ (b) phantom {x} r ^ 2 + 6r + 9 & = 0 end {alineado}

Para la tercera ecuación diferencial homogénea, usamos el mismo proceso pero esta vez tenemos un nuevo término: $ y ^ { prime prime prime} = r ^ 3 $.

begin {alineado} y ^ { prime prime prime} + 5y ^ { prime prime} – 10y ^ { prime} + 25y & = 0 \ (c) phantom {x} r ^ 3 + 5r ^ 2-10r + 25 & = 0 end {alineado}

Ejemplo 2

Encuentre las soluciones de la ecuación diferencial, $ y ^ { prime prime} + 7y ^ { prime} + 10y = $ 0.

Solución

La ecuación es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, por lo que podemos usar la ecuación característica para encontrar la solución a la ecuación. Comenzamos señalando la característica de la ecuación.

begin {alineado} y ^ { prime prime} + 7y ^ { prime} + 10y & = 0 \ flecha hacia abajo phantom {xxx} \ r ^ 2 + 7r + 10 & = 0 end {alineado }

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática resultante factorizando el lado derecho de la expresión.

begin {alineado} (r + 2) (r + 5) & = 0 \ r = -2, r & = – 5 end {alineado}

Esto significa que $ y = e ^ {- 2x} $ y $ y = e ^ {- 5x} $ son soluciones independientes, por lo que podemos usarlas para escribir la solución general de la ecuación diferencial.

begin {alineado} y & = C_1e ^ {- 2x} + C_2e ^ {- 5x} end {alineado}

Ejemplo 3

Encuentre la solución de la ecuación diferencial, $ y ^ { prime prime prime} + 4 ^ { prime prime} -7y ^ { prime} -10y = $ 0.

una. Escribe la solución general de la ecuación diferencial homogénea.
B. Determine la solución particular de la ecuación con las siguientes condiciones iniciales:
begin {alineado} {y (0) = -2, y ^ { prime} (0) = 6, y ^ { prime prime} (0) = -12 } end {alineado}

Solución

La ecuación es una ecuación diferencial lineal homogénea, así que escribamos su ecuación característica como se muestra a continuación.

begin {alineado} y ^ { prime prime prime} + 4y ^ { prime prime} – 7y ^ { prime} – 10y & = 0 \ flecha hacia abajo phantom {xxxxx} \ r ^ 3 + 4r ^ 2 – 7r – 10 & = 0 end {alineado}

Factoriza la expresión cúbica y luego resuelve las raíces de la ecuación.

begin {alineado} (r +1) (r + 5) (r -2) & = 0 \ r = -1, r = -5, r & = 2 end {alineado}

Tenemos las siguientes soluciones independientes para la ecuación diferencial: $ y = e ^ {- x} $, $ y = e ^ {- 5x} $ y $ y = e ^ {2x} $. Por tanto, tenemos la solución general de la ecuación.

begin {alineado} y & = C_1e ^ {- x} + C_2e ^ {- 5x} + C_3e ^ {2x} end {alineado}

Ahora use la solución general para encontrar las expresiones para $ y ^ { prime} $ y $ y ^ { prime prime} $.

begin {alineado} y & = C_1e ^ {- x} + C_2e ^ {- 5x} + C_3e ^ {2x} \ y ^ { prime} & = -C_1e ^ {- x} – 5C_2e ^ {- 5x } + 2C_3e ^ {2x} \ y ^ { prime prime} & = C_1e ^ {- x} + 25C_2e ^ {- 5x} + 4C_3e ^ {2x} end {alineado}

Establezca el sistema de tres ecuaciones lineales y luego encuentre los valores de $ C_1 $, $ C_2 $ y $ C_3 $.

begin {align} -2 = y (0) & = C_1 + C_2 + C_3 \ 6 = y ^ { prime} (0) & = -C_1- 5C_2 + 2C_3 \ – 12 = y ^ { prime prime} (0) & = C_1 + 25C_2 + 4C_3 end {alineado}

Aplique técnicas algebraicas (o también puede usar un solucionador de ecuaciones para esta parte) para resolver el sistema de ecuaciones lineales. Tenemos las siguientes constantes: $ C_1 = – dfrac {13} {6} $, $ C_2 = – dfrac {1} {2} $ y $ C_3 = dfrac {2} {3} $. Esto significa que nuestro problema de valor inicial tendrá la solución particular que se muestra a continuación.

begin {alineado} y & = – dfrac {13} {6} e ^ {- x} – dfrac {1} {2} e ^ {- 5x} + dfrac {2} {3} e ^ { 2x} end {alineado}

Preguntas practicas

1. Observe las ecuaciones características de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas que se muestran a continuación.
una. $ 6y ^ { prime prime} – 36y ^ { prime} + 54y = $ 0
B. $ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + 18 dfrac {dy} {dx} = – 81y $
vs. $ y ^ { prime prime prime} + 8y ^ { prime prime} – 24y ^ { prime} + 36y = $ 0
2. Encuentre las soluciones de la ecuación diferencial, $ y ^ { prime prime} + 2y ^ { prime} -24y = $ 0.
3. Encuentre la solución de la ecuación diferencial, $ 2y ^ {(4)} + 16y ^ { prime prime} + 32y = $ 0.
4. Encuentre la solución de la ecuación diferencial, $ 2y ^ {(5)} + 8y ^ { prime prime prime} = $ 0.
una. Escribe la solución general de la ecuación diferencial homogénea.
B. Determine la solución particular de la ecuación con las siguientes condiciones iniciales:
begin {alineado} {y (0) = -2, y ^ { prime} (0) = 6, y ^ { prime prime} (0) = -12 } end {alineado}

Clave de respuesta

1.
una. $ 6r ^ 2 – 36r + 54 = $ 0
B. $ r ^ 2 + 18r + 81 = $ 0
vs. $ r ^ 3 + 8r ^ 2 – 24r + 36 = $ 0
2. $ y = C_1e ^ {- 4x} + C_2e ^ {6x} $
3. $ y = C_1 sin (2x) + C_2 cos (3x) + C_3x sin (2x) + C_4x cos (2x) $
4.
una. $ y = C_1 sin (2x) + C_2 cos (2x) + C_3 + C_4x + C_5x ^ 2 $
B. $ y = dfrac {1} {8} sin (2x) + dfrac {1} {16} cos (2x) + dfrac {31} {16} + dfrac {1} {16} x + dfrac {1} {8} x ^ 2 $