Ejemplos

Números primos y compuestos – Explicación con ejemplos

Números primos y compuestos – Explicación con ejemplos

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un entero positivo mayor que 1 y es divisible solo por 1 o por sí mismo, sin resto. En otras palabras, un número primo es un entero positivo que tiene dos divisores positivos, incluido el 1 y él mismo. Por ejemplo, 5 solo se puede dividir entre 1 y 5.

Hechos

  • 2 es el único número primo par. Todos los demás números pares son divisibles por 2.
  • Todos los números primos excepto el 2 son impares y se llaman primos impares.
  • Ningún número primo más allá de 5 tiene el último dígito que termina en 5. Todos los números mayores que 5 que terminan en 5 son divisibles por 5.
  • 0 y 1 no son números primos.

Lista de números primos

La siguiente tabla muestra todos los números primos entre 0 y 1000:

2 3 5 siete 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227
229 233 239 241 251 257 263 269 271 277
281 283 293 307 311 313 317 331 337 347
349 353 359 367 373 379 383 389 397 401
409 419 421 431 433 439 443 449 457 461
463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599
601 607 613 617 619 631 641 643 647 653
659 661 673 677 683 691 701 709 719 727
733 739 743 751 757 761 769 773 787 797
809 811 821 823 827 829 839 853 857 859
863 877 881 883 887 907 911 919 929 937
941 947 953 967 971 977 983 991 997

¿Qué es un número compuesto?

Mientras que los números primos son números de dos factores, los números compuestos son números enteros positivos o números enteros con más de dos divisores. Por ejemplo, 23 tiene solo dos factores, 1 y 23 (1 × 23), y por lo tanto es un número primo. Sin embargo, el número 4 tiene tres divisores: 1,2 y 4 (1 × 4 y 2 × 2).

Lista de números compuestos

A continuación se muestra una lista de todos los números compuestos hasta el 300.

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, 159, 160, 161, 162, 164, 165, 166, 168, 169, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 180, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 192, 194, 195, 196, 198, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226, 228, 230, 231, 232, 234, 235, 236, 237, 238, 240, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 252, 253, 254, 255, 256, 258, 259, 260, 261, 262, 264, 265, 266, 267, 268, 270, 272, 273, 274, 27 5, 276, 278, 279, 280, 282, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300

¿Cómo identificar números primos y compuestos?

Para comprobar si un número es primo o compuesto se realiza el test de divisibilidad de los órdenes 2, 5, 3, 11, 7 y 13. Un número compuesto es divisible por uno de los factores anteriores. Un número menor que 121 no es divisible por 2, 3, 5 o 7 es primo. De lo contrario, se marca el número. Un número menor que 289, que no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11 o 13, también es primo. De lo contrario, se marca el número.

Ejemplo 1

Identifica los números primos y compuestos en la siguiente lista.

185, 253, 253 y 263.

Solución

Realice la prueba de divisibilidad para identificar números compuestos y primos.

263 es un número primo. 263 termina en un número impar 3, y por lo tanto no es divisible por 2. Dado que su último dígito no es ni 0 ni 5, el número tampoco es divisible por 5. Finalmente, la raíz numérica de 263 es 2, es decir

(2 + 6 + 3) = 11 y (1 + 1) = 2, por lo que no es divisible por 3.

El número 185 tiene el 5 como último dígito, por lo que 185 es divisible por 5. En este caso, el número es compuesto.

El número 253 tiene el último dígito 3, que es un número impar. Asimismo, no termina en 0 o 5, 253 no es divisible por 5. La raíz numérica de 253 se calcula como (2 + 5 + 3) = 10. (1 + 0) = 1, que n no es divisible por 3. Por lo tanto, 253 es un número compuesto.

El número 243 tiene como última cifra 3, por lo que no es divisible por 2. El número no tiene como última cifra ni 0 ni 5 y por tanto no es divisible por 5. Su raíz numérica se obtiene como (2 + 4 + 3) = 9, que es divisible por 3. Por lo tanto, 243 es compuesto.

Ejemplo 2

¿Cuáles de los siguientes números son números compuestos o primos?

3, 9, 11 y 14

Solución

El número 3 es un número primo porque sus factores son solo 1 y 3. El número 9 es un número compuesto porque sus factores son 1, 3 y 9. El número 14 es un número compuesto porque es divisible por 1, 2, 7. y 14. El número 11 también es un número primo porque solo tiene dos divisores: 1 y 11

Ejemplo 3

Identifique los números primos y compuestos en la siguiente lista:

73, 65, 172 y 111

Solución

El número 73 es un número primo. El último dígito no es 0 ni 5, y no es un múltiplo de 7. El número 65 es un número compuesto porque el último dígito termina en 5 y es divisible por 5. La raíz numérica del número 111 es 3, al igual que divisible por 3. El número 111 está compuesto. El número 172 también es un compuesto porque es par y, por lo tanto, divisible por 2.

Ejemplo 4

¿Cuál de los siguientes números es primo o compuesto?

23, 91, 51 y 113

Solución

El número 23 es primo por los siguientes casos: 23 no es un número par, su raíz numérica es 5 y el número en sí no es un múltiplo de 7. La raíz numérica de 51 es 6, que es un múltiplo de 3. Número 51 por lo tanto se compone.

El número 91 está compuesto porque la raíz numérica es un múltiplo de 7. El número 113 es impar y no termina en 0 ni en 5. La raíz numérica de 113 no es divisible ni por 3 ni por 2. Por lo tanto, el número 113 es primo.

Ejemplo 5

Diferencie los números primos y compuestos de la siguiente lista.

169, 143, 283 y 187

Solución

El número 143 es divisible por 11 y, por lo tanto, está compuesto. El número 169 también es compuesto porque es divisible por 13. El número 187 es divisible por 11. En este caso, el número es compuesto. El número 283 es ​​primo porque el último dígito no es ni 5 ni 0, y la raíz numérica es 4, que no es divisible por 2, 3 o 5. Tampoco es múltiplo de once, es decir (+2 – 8 + 3 ) = 3.

números pares e impares

números pares e impares

¿Qué son los números pares e impares?

Un número entero que se puede dividir por 2 es un número par, mientras que un número entero que no se puede dividir por 2 es un número impar. Pueden ser positivos o negativos. Los números impares siempre están entre números pares y viceversa.

Para diferenciar entre números pares e impares, siempre buscas su dígito final. El último dígito de un número par siempre es 0, 2, 4, 6 u 8, mientras que el último dígito de un número impar siempre es 1, 3, 5, 7 o 9.

Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de números pares:

-22, -10, 0, 6, 18, 234.

Los números anteriores son pares porque terminan en 0, 2, 4, 6 u 8.

Estos son algunos ejemplos de números impares:

-101, -17, 1, 9, 23, 985.

Los números anteriores son impares porque terminan en 1, 3, 5, 7 o 9.

Propiedades

Los números pares e impares tienen propiedades especiales con respecto a las operaciones algebraicas (suma, resta y multiplicación). Siempre que aplicamos operaciones algebraicas a dos números pares o impares, siempre obtenemos un número par o impar. Excluimos la división aquí porque la división a veces te da el resultado en fracciones al hablar de propiedades particulares.

  • Cuando sumamos o restamos dos números pares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 6 + 4 = 10

    6 – 4 = 2

  • Cuando sumamos o restamos un número par y un número impar, el resultado siempre es impar.Por ejemplo, 7 + 4 = 11

    7 – 4 = 3

  • Cuando sumamos o restamos dos números impares, el resultado siempre es un número par.Por ejemplo, 7 + 3 = 10

    7 – 3 = 4

  • Cuando multiplicamos dos números pares, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
    6 × 4 = 24
  • Cuando multiplicamos un número par y un número impar, el resultado siempre es un número par. Por ejemplo,
    7 × 4 = 28
  • Cuando multiplicamos dos números impares, el resultado siempre es un número impar. Por ejemplo,
    7 × 3 = 21

Generalización de números pares e impares

También podemos generalizar números pares e impares. Por ejemplo, si ‘n’ es un número par, entonces el siguiente número impar es ‘n+1’, y el siguiente número par es ‘n+2’, y así sucesivamente. De manera similar, si ‘n’ es un número impar, entonces el siguiente número par es ‘n + 1’, y el siguiente número impar es ‘n + 2’, y así sucesivamente.

Por ejemplo, si queremos escribir una secuencia de cinco números impares a partir del 73, podemos escribirla así:

73, 73+2, 73+4, 73+6, 73+7

73, 75, 77, 79, 81

tabla de numeros

La siguiente tabla es la tabla de números del 1 al 100, donde el los números impares están resaltados en amarillo y el los números pares se resaltan en verde.

Odd and Even numbers Chart

Propiedad conmutativa

Propiedad conmutativa

La palabra ‘conmutativo‘está tomado de la palabra francesa’viajar diariamente,‘ que significa moverse. Para que los números o las variables tengan la propiedad conmutativa, pueden moverse (dentro de una expresión) como un viajero y dar el mismo resultado cuando se les aplica una operación particular. Desde la antigüedad se conocía la propiedad conmutativa, pero los matemáticos empezaron a utilizarla a finales del siglo XVIII.y siglo.

el la propiedad conmutativa está relacionada con las operaciones binarias y funciones Si ambos elementos siguen la propiedad conmutativa bajo una operación, se dice que están conmutados bajo esa operación en particular.

¿Qué es la propiedad conmutativa?

Si cambiar el orden de los números no cambia el resultado de una determinada expresión matemática, entonces la operación es conmutativa. Solo la suma y la multiplicación son conmutativas, mientras que la resta y la división no son conmutativas.

Propiedad conmutativa de la suma

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la suma, si los números se suman en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se suma al número b y el resultado es igual a algún número pagsentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a pags es decir

un + segundo = segundo + un = pag

Los números a y b se llaman sumandos.

Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir

un + segundo + c + re = re + c + segundo + un

Ejemplo 1

Demostrar que los siguientes números cumplen la propiedad conmutativa de la suma:

2, 4, 6 y 9

2 + 4 + 6 + 9 = 21

9 + 6 + 4 + 2 = 21

El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,

2 + 4 + 6 + 9 = 9 + 6 + 4 + 2

El ejemplo concreto es que si desea realizar una encuesta en su sociedad sobre la cantidad de niños en cada casa, puede comenzar desde cualquier casa y contar la cantidad de niños en cada casa y sumarlos. El orden de la casa no es importante aquí.

Los otros ejemplos reales usan un par de guantes, un par de zapatos y un par de calcetines son ejemplos de la propiedad conmutativa.

Propiedad conmutativa de la multiplicación

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, si los números se multiplican en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se multiplica por el número b y el resultado es igual a algún número qentonces si intercambiamos las posiciones de a y b, el resultado siempre es igual a q es decir

un × segundo = segundo × un = q

Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir

un × segundo × c × re = re × c × segundo × un

Las composiciones de funciones y la multiplicación de matrices tampoco son conmutativas.

Ejemplo 2

Demuestre que los siguientes números obedecen la propiedad conmutativa de la multiplicación:

2, 4, 6 y 9

2×4×6×9 = 432

9 × 6 × 4 × 2 = 432

El resultado es el mismo en ambos casos. De donde,

2×4×6×9 = 9×6×4×2

¿Por qué la resta y la división no son conmutativas?

Para entender por qué la resta y la división no siguen la regla conmutativa, sigue los ejemplos a continuación.

Ejemplo 3

Indica si la siguiente expresión es verdadera.

un – segundo = segundo – un

  • Paso 1: ¿Qué debes mostrar?

un – segundo = segundo – un

  • Paso 2: Toma el lado izquierdo y trata de probar que es igual al lado derecho.

una B

–1 (– a + b) = – (– a + b)

  • Paso 4: Invertir los sumandos.

– (b – a)

  • Paso 5: Vea si obtiene el resultado deseado.

a – b = – (b – a)

  • Paso 6: Exponga sus conclusiones.

Ya que,

a – b = – (b – a)

De donde,

un – segundo ≠ segundo – un

Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.

Ejemplo 4

Indica si la siguiente expresión es verdadera.

2a ÷ a = a ÷ 2a

  • Paso 1: ¿Qué debes mostrar?

2a ÷ a = a ÷ 2a

  • Paso 2: Tome el lado izquierdo.

2a ÷ un

2a ÷ uno = 2

  • Paso 4: Resuelve el lado derecho ahora.

uno ÷ 2a = 1/2

  • Paso 5: Exponga sus conclusiones.

Ya que,

2a ÷ uno = 2

uno ÷ 2a = 1/2

De donde,

2a ÷ un ≠ un ÷ 2a

Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

Propiedad Distributiva – Definición y Ejemplos

De todas las propiedades en matemáticas, la Propiedad distributiva se usa bastante a menudo. De hecho, cualquier método para multiplicar números por otro número utiliza la propiedad distributiva. Esta propiedad fue introducida a principios del s.y siglo cuando los matemáticos comenzaron a analizar resúmenes y propiedades de los números.

La palabra distributiva se toma de la palabra “distribuirlo que significa que rompes algo en varias partes. Esta propiedad distribuye o descompone expresiones en la suma o resta de dos números.

¿Qué es la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva es una propiedad de multiplicación que se usa en sumas y restas. Esta propiedad indica que dos o más términos de suma o resta con un número son iguales a la suma o resta del producto de cada uno de los términos con este número.

Propiedad distributiva de la multiplicación

Según la propiedad distributiva de la multiplicación, el producto de un número por suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. La propiedad de distribución de la multiplicación también es cierta para la resta, donde puedes restar números primero y multiplicar o multiplicar números primero y luego restar.

Considere tres números a, B y contrala suma de a y B multiplicado por contra es igual a la suma de cada suma multiplicada por contraes decir

(a + B) × contra = corriente alterna + antes de Cristo

De manera similar, puedes escribir la propiedad de distribución de la multiplicación para la resta,

(aB) × contra = corriente alternaantes de Cristo

Propiedad distributiva con variables

Como se indicó anteriormente, la propiedad distributiva se usa con bastante frecuencia en matemáticas. Por lo tanto, también es muy útil para simplificar ecuaciones algebraicas.

Para encontrar el valor desconocido en la ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:

  • Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.
  • Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en lados opuestos de la ecuación.
  • Resuelve la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con exponentes

La propiedad distributiva también es útil en ecuaciones con exponentes. Un exponente significa el número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Si hay una ecuación en lugar de un número, la propiedad también es verdadera.

Debe seguir los pasos a continuación para resolver un problema de exponente usando la propiedad distributiva:

  • Expande la ecuación dada.
  • Encuentra todos los productos.
  • Sumar o restar términos similares.
  • Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Propiedad distributiva con fracciones

Aplicar la propiedad distributiva a ecuaciones con fracciones es un poco más difícil que aplicar esta propiedad a cualquier otra forma de ecuación.

Usa los siguientes pasos para resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad distributiva:

  • Identifica las fracciones.
  • Convierte la fracción a números enteros usando la propiedad distributiva. Para hacer esto, multiplique ambos lados de las ecuaciones por el MCM.
  • Encuentre los productos.
  • Aislar términos con variables y términos con constantes.
  • Resuelve o simplifica la ecuación.

En la última sección se da un ejemplo.

Ejemplos

Para resolver problemas verbales distributivos, siempre tienes que encontrar una expresión numérica en lugar de encontrar respuestas. Repasaremos algunos temas básicos antes de abordar los problemas de palabras.

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

9 (X – 5) = 81

Solución

  • Paso 1: Encuentra el producto de un número con los otros números entre paréntesis.

9 (X) – 9 (5) = 81

9x – 45 = 81

  • Paso 2: Ordena los términos de modo que los términos constantes y variables estén en el lado opuesto de la ecuación.

9X – 45 + 45 = 81 + 45

9X = 126

  • Paso 3: Resuelve la ecuación.

9X = 126

X = 126/9

X = 14

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

(sieteX + 4)2

Solución

  • Paso 1: Expande la ecuación.

(sieteX + 4)2 = (7X + 4) (7X + 4)

  • Paso 2: Encuentra todos los productos.

(sieteX + 4) (7X + 4) = 49X2 + 28X + 28X + 16

  • Paso 3: Agregue términos similares.

49X2 + 56X + 16

Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación usando la propiedad distributiva.

X – 5 = X/5 + 1/10

Solución

  • Paso 1: Identifica las fracciones.

Hay dos fracciones en el lado derecho.

  • Paso 2: encuentra el MCM de 5, 10, que es 10.

Multiplica con MCM en ambos lados.

diez (X – 5) = 10 (X/5 + 1/10)

diezX – 50 = 2X + 1

  • Paso 4: Aislar términos con variables y términos con constantes.

diezX – 2X = 1 + 50

8X = 51

X = 51/8

Ejemplo 4

Tienes dos amigos, Mike y Sam, nacidos el mismo día. Tienes que regalarles el mismo conjunto de camisas y pantalones para su cumpleaños. Si la camisa vale $12 y los pantalones $20, ¿cuál es el gasto total para comprar los regalos?

Solución

Hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

  • Paso 1: Encuentra el costo total de cada juego.

$12 + $20 = $32

  • Paso 2: Como hay dos amigos, multiplique por 2 para obtener el costo total.

$32 × 2

  • Paso 3: Encuentra el costo total.

$32 × 2 = $64

Método 2:

  • Paso 1: Como hay 2 amigos, duplica el precio de la camiseta.

$12 × 2 = $24

  • Paso 2: Como hay 2 amigos, duplica el precio de los pantalones.

$20 × 2 = $40

  • Paso 3: Encuentra el costo total.

$24 + $40 = $64

Ejemplo 5

Tres amigos tienen cada uno dos centavos, tres centavos y diez centavos. ¿Cuánto dinero tienen en total?

Solución

Una vez más, hay dos formas de resolver este problema.

Método 1:

  • Paso 1: encuentre el costo total de cada tipo de habitación.

Diez centavos:

2 × 10 ¢ = 20 ¢

Níquel:

3 × 5¢ = 15¢

Centavos:

10 × 1 ¢ = 10 ¢

  • Paso 2: Hay tres amigos, así que multiplica cada tipo de moneda por 3.

Diez centavos:

3 × 20¢ = 60¢

Níquel:

3 × 15 ¢ = 45 ¢

Centavos:

3 × 10¢ = 30¢

  • Paso 3: Encuentra la cantidad total de dinero.

60¢ + 45¢ + 30¢ = 135¢

Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Método 2:

  • Paso 1: Cada persona tiene dos centavos, tres centavos y diez centavos.

2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢

  • Paso 2: Total de dinero que tiene cada persona.

2 × 10¢ + 3 × 5¢ + 1 × 10¢ = 45¢

  • Paso 3: Dinero total que tienen tres personas.

45¢ + 45¢ + 45¢ = 135¢

  • Paso 4: Convierte a dólares.

135/100 = $1,35

Ejemplo 6

El largo de un rectángulo es 3 más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas, encuentra el largo y el ancho del rectángulo.

Solución

  • Paso 1: Defina la longitud y el ancho de un rectángulo.

La longitud está representada por X.

Entonces ancho = X + 3

  • Paso 2: El área del rectángulo es de 18 unidades cuadradas.

área = largo × ancho

X(X + 3) = 18

  • Paso 3: Usa la propiedad distributiva.

X2 + 3X = 18

  • Paso 4: reescribir como una ecuación cuadrática.

X2 + 3X – 18 = 0

  • Paso 5: factoriza y resuelve.

X2 + 6X – 3X – 18 = 0

X(X + 6) – 3(X + 6) = 0

(X – 3)(X + 6) = 0

x = 3, −6

  • Paso 6: Indique la respuesta.

La longitud no puede ser negativa. Entonces longitud = X = 3, y ancho = X + 3 = 6

Redondeo de números: definición, tabla de valor posicional y ejemplos

Redondeo de números: definición, tabla de valor posicional y ejemplos

¿Qué es el redondeo de números?

El redondeo de números es una técnica matemática de ajustar los dígitos del número para que sea más fácil de usar al hacer cálculos. Los números se redondean a un grado particular de precisión para simplificar los cálculos y facilitar la comprensión de los resultados.

Antes de redondear un número, debe conocer el lugar de todos los dígitos de un número. A continuación se muestra la tabla de valores de posición.

¿Cómo redondear enteros?

Es fundamental entender el término “dígito de redondeo” redondeando los números.

Por ejemplo, cuando redondeas números 100 a decenas, el número redondeado es el segundo número desde la derecha. De manera similar, el dígito de redondeo queda en tercer lugar cuando se redondea a la centena más cercana, que es 1. Por lo tanto, el primer paso al redondear un número es identificar el dígito d ‘redondeo y mirar el siguiente dígito del lado derecho.

  • Si el dígito a la derecha del dígito de redondeo es 0, 1, 2, 3 o 4, el dígito de redondeo no cambia. Todos los dígitos a la derecha del dígito redondeado se convierten en cero.
  • Si el dígito a la derecha del dígito de redondeo es 5, 6, 7, 8 o 9, el dígito de redondeo aumenta en un dígito. Todos los dígitos a la derecha se reducen a cero.

Cuestiones prácticas

1. Redondea los siguientes números a la decena más cercana.

29
95
43
75

2. Redondea estos números a la decena más cercana.

164
1,989
765
9,999,995

3. Redondea la siguiente lista de números a las centenas más cercanas.

439
2,950
109,974
562

4. Redondea los números de abajo al millar más cercano.

5,280
1,899,999
77,777
1,234,567

Soluciones

1. Redondea a la decena más cercana:

El dígito a la derecha del dígito redondeado en 29 es 9. Por lo tanto, se suma un dígito al dígito redondeado, 2, y el otro dígito se reduce a cero.

29 30

El dígito a la derecha del dígito de redondeo en 43 es 3. El número no afecta el dígito de redondeo, 4 y 3 se reducen a cero.

43 40

El dígito a la derecha del dígito de redondeo en 75 es 5. Se agrega un dígito al dígito de redondeo y 5 se reduce a cero.

75 80.

El dígito a la derecha del dígito redondeado en 95 es 5. Se suma un dígito a 9 y el resto se reduce a cero.

95 100.

2. Redondea a la decena más cercana:

  • 164 tiene 6 como dígito redondeado y 4 como dígito derecho.
  • 164 se convertirá en 160
  • 765 se convertirá en 770.
  • 1989 1990.
  • 9,999,995 tiene 5 como dígito a la derecha del dígito redondeado.
  • 9,999,995 10,000,000

3. Redondea a la centena más cercana:

Identifique el dígito a la derecha (dígito de las decenas) del dígito de redondeo.

El dígito de las decenas en 439 es 3, por lo que no hay efecto en el dígito de las centenas:

439 400

El dígito 6 es el dígito de las decenas o el dígito a la derecha del dígito redondeado:

562 600.

5 es el dígito de las decenas en 2950, ​​entonces,

2.950 3.000.

109974 tiene un dígito de las decenas de 7.

109.974 se convierte entonces en 110.000.

4. Para redondear al millar más próximo se tiene en cuenta la cifra de las centenas.

El dígito de las centenas en 5280 es 2, por lo que no afecta el dígito de redondeo.

5280 por lo tanto se convierte en 5000.

77.777 se convierte en 78.000.

1.234.567 se convierte en 1.235.000.

1.899.999 se convierte en 1.900.000.

¿Cómo redondear decimales?

Los decimales se redondean para estimar una respuesta rápida y fácilmente. Los decimales se pueden redondear al entero o número entero más cercano, décimas, centésimas, milésimas, etc.

Redondear al entero más cercano

Se siguen las siguientes reglas para redondear un número decimal al número entero más próximo:

  • Se identifica el número a redondear.
  • El dígito en su lugar está marcado.
  • Se marca el primer dígito a la derecha del decimal, o en el décimo lugar.
  • Si el dígito de las décimas es menor o igual a 4, entonces el número en lugar de uno se redondea a un número entero.
  • De manera similar, si el dígito de las décimas es mayor o igual a 5, agregue 1 dígito al número en lugar de este.
  • Elimine todos los dígitos después del punto decimal para obtener el número entero deseado.

Redondea a la décima más cercana

Se aplica un procedimiento similar cuando se redondea un número a la décima más cercana.

  • Primero se identifica el número a redondear.
  • El dígito en el décimo lugar está marcado.
  • El dígito en el lugar de las centésimas está marcado.
  • Si el dígito de las centésimas es menor o igual a 4, el número en el dígito de las décimas permanece igual.
  • De manera similar, si el dígito de las centésimas es mayor o igual a 5, agregue 1 dígito al número de las décimas.
  • Suelta todos los dígitos a la derecha de la columna de los décimos para obtener el número deseado.

Redondea a la centésima más cercana

El primer paso es identificar el número requerido. El dígito en el lugar de las centésimas está marcado. Compruebe si el dígito en el lugar de las milésimas es 0, 1, 2, 3, 4 o 5, 6, 7, 8, 9. Redondee el número a las centésimas más cercanas y suelte los otros dígitos a la derecha del lugar de las centésimas.

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

Propiedad de identidad: explicación con ejemplos

¿Qué es la propiedad de identidad?

Los números reales son un conjunto ordenado de números que tienen propiedades únicas. Las propiedades básicas son conmutativa, asociativa, distributiva e identidad. Una propiedad de identidad es una propiedad que se aplica a un grupo de números como un conjunto. No se puede aplicar a un número individual solamente.

Se llama propiedad de identidad porque cuando se aplica a un número, el número conserva su “identidad”. La propiedad de identidad es verdadera para todas las operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad de la suma

La propiedad de identidad de la suma es que cuando un número Nos sumado a cero, el resultado es el número en sí, es decir

norte + 0 = norte

El cero se llama identidad aditiva y se puede sumar a cualquier número real sin cambiar su valor. Estos son algunos ejemplos de propiedad de identidad de suma,

3 + 0 = 3 (enteros positivos)

-3 + 0 = -3 (Enteros negativos)

4/5 + 0 = 4/5 (Fracciones)

0,5 + 0 = 0,5 (decimales)

x + 0 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la resta, porque restar 0 a cualquier número es igual al número mismo. Por lo tanto, 0 también se llama identidad sustractiva.

Propiedad de identidad de la multiplicación

La propiedad de identidad de la multiplicación es que cuando un número Nos multiplicado por uno, el resultado es el número mismo, es decir

norte × 1 = norte

Uno se llama identidad multiplicativa y puede multiplicarse por cualquier número real sin cambiar su valor. Aquí hay algunos ejemplos de la propiedad de identidad de la multiplicación,

3 × 1 = 3 (Enteros positivos)

-3 × 1 = -3 (Enteros negativos)

4/5 × 1 = 4/5 (Fracciones)

0,5 × 1 = 0,5 (decimales)

x × 1 = x (notación algebraica)

Esta propiedad también es válida para la división, porque dividir un número por 1 es equivalente al número mismo. Por lo tanto, 1 también se llama identidad de división.

Parametrización de un círculo: ecuaciones, gráficos y ejemplos

Parametrización de un círculo: ecuaciones, gráficos y ejemplos

Aprender a parametrizar un círculo es útil, especialmente cuando queremos visualizar la posición de un objeto determinado a lo largo del tiempo. Al igual que con otras aplicaciones de ecuaciones paramétricas, puede ayudarnos a modelar relaciones que no necesariamente funcionan por sí solas.

Podemos parametrizar un círculo expresando $boldsymbol{x}$ y $boldsymbol{x}$ en términos de coseno y seno, respectivamente.

Hemos aprendido ecuaciones paramétricas en el pasado, y este artículo es una extensión de ese conocimiento, centrándose en el proceso de los círculos paramétricos. Antes de sumergirse directamente en la esencia de este artículo, asegúrese de repasar su conocimiento de lo siguiente:

¿Listo para saber más? Avancemos y comencemos repasando lo que sabemos sobre las ecuaciones paramétricas y veamos cómo podemos aplicarlas a los círculos.

¿Cómo configurar un círculo?

Cuando se nos da una ecuación en forma rectangular, podemos expresar $x$ y $y$ en términos de $t$. El nuevo elemento, $t$, es ahora nuestro nuevo parámetro, de ahí el nombre de la relación compartida por $x$, $y$ y $t$.

begin{alineado}x &= f
(function(d, s, id) {
var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0];
if (d.getElementById(id)) return;
js = d.createElement(s);
js.id = id;
js.src = “//connect.facebook.net/en_US/sdk.js#xfbml=1&version=v2.5”;
fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs);
}(document, ‘script’, ‘facebook-jssdk’));

Parametrización de una línea – Ecuaciones, gráficos y ejemplos

Parametrización de una línea – Ecuaciones, gráficos y ejemplos

Podemos parametrizar líneas y segmentos de línea para entender las posiciones inicial y final de los objetos que observamos. Conocer los pasos para parametrizar una línea puede ayudar a describir el movimiento de un objeto o el comportamiento del objeto dado el tercer parámetro.

Puede parametrizar una línea reescribiendo los valores de $boldsymbol{x}$ y $boldsymbol{y}$ en términos de un tercer parámetro, pero todavía satisfacen la ecuación original.

Este tema será particularmente útil si ya has descubierto la idea detrás de las ecuaciones paramétricas y, por supuesto, la ecuación de una línea.

En este artículo, nos centraremos en reescribir ecuaciones lineales en formas paramétricas, aprenderemos a graficar líneas a partir de ecuaciones paramétricas y exploraremos problemas relacionados con la parametrización de ecuaciones lineales.

¿Cómo configurar una línea?

Es importante recordar que cualquier función puede expresarse como una curva paramétrica. Digamos que tenemos $y = f(x)$, podemos encontrar una manera de expresar $x$ y $y$ en términos de otro parámetro, $t$.

Al parametrizar ecuaciones lineales, podemos empezar por dejar $x = f
(function(d, s, id) {
var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0];
if (d.getElementById(id)) return;
js = d.createElement(s);
js.id = id;
js.src = “//connect.facebook.net/en_US/sdk.js#xfbml=1&version=v2.5”;
fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs);
}(document, ‘script’, ‘facebook-jssdk’));

Ángulo de referencia: explicación y ejemplos

Ángulo de referencia: explicación y ejemplos

Un ángulo de referencia es un ángulo agudo entre el radio terminal de un ángulo dado y el eje x.

Los ángulos de referencia son siempre positivos y el ángulo de referencia de un ángulo puede ser él mismo.

Los ángulos de referencia son útiles en trigonometría y en las ciencias que los utilizan, como la astronomía, la arquitectura y la ingeniería.

Antes de continuar con esta sección, asegúrese de revisar los ángulos y las funciones trigonométricas.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es un ángulo de referencia?
  • Cómo encontrar el ángulo de referencia
  • Ángulos de referencia en trigonometría

¿Qué es un ángulo de referencia?

Un ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo o un ángulo recto. Cada ángulo tiene una referencia, que se puede encontrar localizando un ángulo agudo formado por el ángulo terminal del ángulo dado y el eje x.

Esto significa que un ángulo agudo o un ángulo recto es su propio ángulo de referencia.

Los ángulos de referencia facilitan el cálculo de relaciones trigonométricas para ángulos obtusos y reflejos al relacionarlos con un rango de ángulos más pequeño. Esto hace que la memorización de relaciones trigonométricas comunes para ángulos entre un ángulo cero y un ángulo recto sea suficiente para memorizar todos los ángulos posibles.

Ángulos obtusos

Cuando el ángulo dado es obtuso, su medida es mayor que 90 $ grados ($ frac { pi} {2} $ radianes) y menos de 180 $ grados ( pi radianes).

Ahora, el ángulo de referencia para un ángulo obtuso es fácil de visualizar usando el círculo unitario. Es el ángulo formado por el lado terminal del ángulo obtuso y el radio que se extiende hacia la izquierda a lo largo del eje horizontal.

Para encontrar este ángulo algebraicamente, reste el ángulo dado de 180 $ grados o $ pi $ radianes. Recuerde que este ángulo siempre se da como un ángulo positivo.

Reference Angle Illustration Unit Circle

Ángulos reflejos

Recuerde que los ángulos reflejos son ángulos mayores a $ 180 grados pero menores a $ 360 grados.

Para un ángulo reflejo entre 180 $ y 270 $ grados ($ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes), el ángulo reflejo es el ángulo formado por el lado terminal del ángulo dado y el radio extendiéndose hacia la izquierda a lo largo del eje x. Para un ángulo entre $ 270 $ y $ 360 $ grados ($ frac {3 pi} {2} $ y $ 2 pi $ radianes), es el ángulo formado por el ángulo terminal y el radio que se extiende hacia la derecha. a lo largo del eje x.

Por lo tanto, las fórmulas para estos ángulos son $ alpha-180 $ grados o $ alpha- pi $ radianes para los ángulos, $ alpha $ entre $ 180 $ y $ 270 $ grados o entre $ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes.

Para ángulos dados, $ beta $ entre $ 270 $ y $ 360 $ grados o $ frac {3 pi} {2} $ y $ 2 pi $ radianes, el ángulo de referencia es $ 360- beta $ o $ 2 pi- beta $.

Ángulos mayores que un ángulo completo

Para ángulos mayores que un ángulo completo o para ángulos negativos, encuentre el ángulo estándar coterminal entre $ 0 $ y $ 360 $ grados o $ 0 $ y $ 2 pi $ radianes. Luego, encuentre el ángulo de referencia para ese ángulo estándar.

Cómo encontrar el ángulo de referencia

En base a esto, la fórmula para encontrar el ángulo de referencia, $ gamma $ grados, para un ángulo dado de $ alpha $ grados varía según el valor de $ alpha $.

  • $ gamma = alpha $ por 0 $ leq alpha leq 90 $ grados
  • $ gamma = 180- alpha $ por $ 90 < alpha leq 180 $ grados
  • $ gamma = alpha-180 $ por 180 $ < alpha leq 270 $ grados
  • $ gamma = 360- alpha $ por $ 270 < alpha <360 $ grados.

Cuando $ gamma $ y $ alpha $ están en radianes, estas fórmulas son:

  • $ gamma = alpha $ por 0 $ leq alpha leq frac { pi} {2} $ radianes
  • $ gamma = pi- alpha $ por $ frac { pi} {2} < alpha leq pi $ radianes
  • $ gamma = alpha- pi $ para $ pi < alpha leq frac {3 pi} {2} $ radianes
  • $ gamma = 360- alpha $ por $ frac {3 pi} {2} < alpha <2 pi $ radianes.

Ángulos de referencia en trigonometría

¡Tenga en cuenta que memorizar las relaciones trigonométricas para cada ángulo es mucho! Sin embargo, el uso de identidades trigonométricas y ángulos de referencia significa que uno puede memorizar al menos las relaciones principales entre el ángulo $ 0 y un ángulo recto y conocer muchas otras relaciones.

Por ejemplo, suponga que alguien conoce las relaciones seno y coseno de solo dos ángulos que miden $ 45 grados y $ 30 grados. Esta persona también conoce las identidades de suma y diferencia, a saber que:

$ sin {( alpha pm beta)} = sin { alpha} cos { beta} pm cos { alpha} sin { beta} $

Y

$ cos {( alpha + beta)} = cos { alpha} cos { beta} – sin { alpha} sin { beta} $

Entonces también conocerían las relaciones de activación para un ángulo que mide $ 30 + 45 = $ 75, $ 45-30 = $ 15 y $ 45 + 45 + 30 = $ 130 grados, por ejemplo.

Si esa persona también supiera el seno y el coseno de un ángulo recto, entonces podría usar ángulos de referencia para encontrar $ 180-45 = $ 135 grados o $ 180-75 = $ 105 grados.

Esto abre muchas posibilidades con muy poca memorización.

Además, las identidades $ sin {(- theta)} = -sin ( theta) $ y $ cos {(- theta)} = cos ( theta) $ abren los cálculos para números negativos.

Ejemplos de

Esta sección repasa ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos de referencia y sus ejemplos paso a paso.

Ejemplo 1

Dado que el seno y el coseno de los ángulos de $ 45 grados son $ frac {1} { sqrt {2}} $, calcula el seno de $ 135 grados.

Solución

Recuerde las fórmulas del seno y el coseno:

$ sin {( alpha pm beta)} = sin { alpha} cos { beta} pm cos { alpha} sin { beta} $

$ cos {( alpha + beta)} = cos { alpha} cos { beta} – sin { alpha} sin { beta} $.

Por lo tanto, para encontrar el seno de $ 135 = 45 + 45 + $ 45, primero debemos encontrar $ sin90 $ y $ cos90 $.

$ sin {(45 + 45)} = sin {45} cos {45} + cos {45} sin {45} $

Como reemplazo, es:

$ frac {1} { sqrt {2}} times frac {1} { sqrt {2}} + frac {1} { sqrt {2}} times frac {1} { sqrt {2}} $

Entonces, simplificándolo, es:

$ frac {1} {2} + frac {1} {2} = $ 1.

Por coseno de $ 90:

$ cos {(45 + 45)} = cos {45} cos {45} – sin {45} sin {45} $.

Ahora esto se simplifica a:

$ cos {90} = frac {1} {2} – frac {1} {2} $.

Por lo tanto, $ sin135 $ es

$ sin {45} cos {90} + cos {45} sin {90} $.

Finalmente, se simplifica mediante:

$ frac {1} { sqrt {2}} times0 + frac {1} { sqrt {2}} times1 = frac {1} { sqrt {2}} $.

Ejemplo 2

Tenga en cuenta que el seno de un ángulo de grado de $ 30 $ es $ frac {1} {2} $, y el coseno de un ángulo de grado de $ 30 $ es $ frac { sqrt {3}} {2} $ .

Dada esta información, encuentre un coseno de $ 75 grados.

Solución

Tenga en cuenta que el coseno y el seno de $ 45 grados se dieron en el Ejemplo 1. Por lo tanto, el coseno de $ 75 grados es igual a:

$ cos {30 + 45} = cos {30} cos {45} -sin {30} sin {45} $.

Como reemplazo, es:

$ frac { sqrt {3}} {2} times frac {1} { sqrt {2}} – frac {1} {2} times frac {1} { sqrt {2}} PS

Simplificarlo se convierte en:

$ frac { sqrt {3}} {2 sqrt {2}} – frac {1} {2 sqrt {2}} $.

En una fracción, es:

$ frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} $.

Ejemplo 3

El seno de un ángulo recto es $ 0 y el coseno de un ángulo recto es $ -1 $.

Encuentra el coseno de $ 105 grados.

Solución

Este problema se basa en los dos anteriores.

Dado que $ 105 = $ 180-75, este problema consiste en encontrar:

$ cos {180-75} = cos {180} cos {75} + sin {180} sin {75} $.

Dado que este es el coseno de la diferencia de ángulos, el signo menos a la derecha de la ecuación se convierte en un signo más.

Está:

$ -1 times frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} + 0 times sin {75} $.

Puede simplificarse mediante:

$ – frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} $.

Por lo tanto, $ cos {105} = -cos {75} $.

Ejemplo 4

Describe cómo usar el seno y el coseno de los ángulos $ 30, $ 45 y $ 180 para encontrar la tangente de un ángulo que mide $ 165 grados.

Solución

Un ángulo de $ 165 grados es igual a:

$ 180 – (45-30) $.

Por lo tanto, encuentre el seno y el coseno de $ 15 grados. Luego utilícelos para encontrar el seno y el coseno de $ 180-15 = $ 165 grados.

Finalmente, divida el seno de $ 165 grados por el coseno de $ 165 grados.

Ejemplo 5

Encuentra la cosecante de un ángulo con una medida de $ 120 grados.

Solución

Recuerde primero que la cosecante es igual a $ frac {1} {sinx} $.

Entonces tenga en cuenta que $ 120 = 45 + 45 + $ 30

Por lo tanto, para encontrar la cosecante de $ 120 grados, debe encontrar el seno de $ 120 grados, que se puede encontrar usando el seno de $ 45 y $ 30.

Sin embargo, dado que en el ejemplo 2 se dio el seno de $ 90, es $ 90 + $ 30.

Por lo tanto, un seno de $ 120 es

$ sin {90 + 30} = sin {90} cos {30} + sin {30} cos {90} $.

Esto luego se simplifica mediante:

$ 1 times frac { sqrt {3}} {2} + frac {1} {2} times 0 $.

Por tanto, el seno es:

$ frac { sqrt {3}} {2} $.

Entonces, esto significa que la cosecante es la recíproca,

$ frac {2} { sqrt {3}} $ o $ frac {2 sqrt {3}} {3} $.

Problemas de práctica

  1. Encuentra un coseno de 135 grados.
  2. Encuentra un seno de 75 grados.
  3. ¿Qué es el seno de 105 grados?
  4. Describe cómo usar el seno y el coseno de los ángulos $ 30, $ 45 y $ 180 para encontrar la cotangente de un ángulo que mide $ 195 grados.
  5. Encuentra la secante de un ángulo con una medida de 120 grados.

Clave de respuesta

  1. $ – frac {1} { sqrt {2}} $
  2. $ frac {1+ sqrt {3}} {2 sqrt {2}} $
  3. $ frac {1+ sqrt {3}} {2 sqrt {2}} $
  4. Para encontrar esto, primero encuentre el seno y el coseno en un ángulo de $ 15 grados. Esto es posible desde $ 45-30 = $ 15. Luego, encuentre el seno y el coseno de un ángulo de $ 195 grados recordando que $ 15 + 180 = $ 195. Finalmente, divida el coseno de $ 195 grados por un seno de $ 195 grados.
  5. $ -2 $

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean utilizando Geogebra.

Ángulos cuadrantales: explicación y ejemplos

Ángulos cuadrantales: explicación y ejemplos

Los ángulos cuadrantales son ángulos cuyo radio terminal se encuentra con uno de los dos ejes en un círculo unitario. Puedes ver ejercicios resueltos en esta web.

Por lo tanto, todos los ángulos cuadrantales son múltiplos enteros de un ángulo recto.

Los ángulos cuadrantales juegan un papel importante en la trigonometría y las aplicaciones se extienden a las ciencias físicas y la ingeniería.

Esta sección cubre:

  • ¿Qué es un ángulo cuadrantal?
  • Ejemplos de ángulos cuadrantales

¿Qué es un ángulo cuadrantal?

Un ángulo cuadrante es un ángulo cuya medida es un múltiplo entero de la medida de un ángulo recto. Estos ángulos tienen un radio terminal que se extiende a lo largo del eje xoy en el círculo unitario.

En grados, todos los ángulos cuadrantales tienen una medida de:

$ 90n $, donde $ n $ es un número entero.

En radianes, todos los ángulos cuadrantes tienen una medida de:

$ frac { pi} {2} n $, donde $ n $ es nuevamente un número entero.

Aunque hay un número infinito de ángulos cuadrantales, los de particular interés para la trigonometría son los cuatro ángulos cuadrantes “estándar” en el círculo unitario. Son $ 0, $ 90, $ 180 y $ 270 grados o $ 0, $ frac { pi} {2} $, $ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes.

Todos los demás ángulos cuadrantales son coterminales con estos ángulos. Esto significa que encontrar las seis razones trigonométricas para estos cuatro ángulos es información suficiente para conocer las seis razones trigonométricas para todos los ángulos cuadrantales.

Cuadrantes

Los ángulos cuadrantales separan el plano cartesiano en cuatro cuadrantes.

El primer cuadrante está arriba a la derecha. Contiene todos los ángulos entre $ 0 y $ 90 grados o entre $ 0 y $ frac { pi} {2} $ radianes.

El segundo cuadrante está arriba a la izquierda. Contiene todos los ángulos entre $ 90 y $ 180 grados o entre $ frac { pi} {2} $ y $ pi $ radianes.

El tercer cuadrante contiene ángulos entre 180 $ grados y 270 $ grados o $ pi $ y $ frac {3 pi} {2} $ radianes.

Finalmente, el cuarto cuadrante es el conjunto de ángulos entre $ 270 $ y $ 360 $ grados o $ frac {3 pi} {2} $ y $ 2 pi $ radianes.

Ejemplos de ángulos cuadrantales

A continuación, se muestran ejemplos de ángulos cuadrantales en grados:

  • 0 grados
  • 90 grados
  • 360 grados
  • -270 grados

En radianes, los ejemplos incluyen:

  • 0 radianes
  • $ frac { pi} {2} $ radianes
  • $ 2 pi $ radianes
  • $ – frac {3 pi} {2} $ radianes.

Ejemplos de

Esta sección revisa ejemplos comunes de problemas que involucran ángulos cuadrantales y sus soluciones paso a paso.

Ejemplo 1

Identifica si los siguientes ángulos son cuadrantes o no.

  1. $ 450 grados
  2. $ 9 pi $ radianes
  3. $ -1750 $ grados

Solución

A y B son ángulos cuadrantales, pero no C.

Para determinar si A es cuadrante o no, vea si hay un número entero $ n $ tal que $ 90n = 450 $. Resolver $ n $ da $ n = 5 $. Dado que $ 5 $ es un número entero, un ángulo de $ 450 $ grados es cuadrante.

Asimismo, hay un número entero $ n $ tal que $ frac { pi} {2} n = 9 pi $. La resolución da $ n = 18 $, que de hecho es un número entero.

Pero, no existe tal número entero para C. Resolver $ n $ en la ecuación $ 90n = -1750 $ da $ – frac {175} {9} $, que no es un número entero. Entonces no es un ángulo cuadrantal.

Ejemplo 2

Encuentra los senos de los cuatro ángulos cuadrantales principales.

Solución

Imagina un triángulo rectángulo. Ahora imagina que un ángulo se hace cada vez más pequeño. Esto significa que la hipotenusa del triángulo colapsa en el ángulo adyacente y el lado opuesto se vuelve cada vez más pequeño.

De hecho, si el ángulo llegara a ser cero, el lado opuesto no tendría longitud. Dado que el seno es igual al opuesto en la hipotenusa, su valor también sería cero.

Por otro lado, si el ángulo se agranda cada vez más, la longitud del lado opuesto se agranda cada vez más con la hipotenusa. Los dos se acercarían más y más a la misma longitud. Por lo tanto, el límite del seno cuando el ángulo se aproxima a un ángulo recto es $ 1.

Es más difícil imaginar lo que sucede cuando el seno aumenta más allá de un ángulo recto sin un círculo unitario.

Quadrantal Angles Example 2 Solution

El seno del ángulo rojo será el mismo que el seno del ángulo verde. Es casi lo mismo que la versión reflejada del triángulo que se movió en el eje y. Por lo tanto, cuando el lado del terminal $ AC $ se mueve al eje xy $ C $ converge al punto (-1, 0), la altura cambia a $ 0 $. Entonces, el seno de 180 $ grados o $ pi $ radianes es 0 $.

Asimismo, cuando el ángulo terminal aumenta a $ 270, la longitud de la hipotenusa y el lado opuesto convergen nuevamente. Esta vez, sin embargo, la longitud opuesta es negativa, por lo que el límite del seno cuando el ángulo alcanza los 270 $ grados o $ frac {3 pi} {2} $ es $ -1 $.

Ejemplo 3

Nombra dos ángulos cuadrantales coterminales con un ángulo recto.

Solución

Estos ángulos tomarán la forma $ 90 + 360n $ o $ frac { pi} {2} + 2n pi $, donde $ n $ es un número entero.

Hay infinitos ángulos que funcionan, pero $ 90 + 360 = $ 450 y $ 90-360 = $ -270 grados son dos. En radianes, estos ángulos son $ frac {5 pi} {2} $ y $ frac {-3 pi} {2} $.

Ejemplo 4

Identifica el cuadrante del ángulo $ 191 grados.

Solución

Este ángulo está en el tercer cuadrante porque es mayor de $ 180 grados y menor de $ 270 grados.

Tenga en cuenta que estos tipos de problemas suelen ser bastante sencillos cuando el ángulo dado está entre $ 0 y $ 360 grados o entre $ 0 y $ 2 pi $ radianes. Pero, como muestra el siguiente ejemplo, pueden ser un poco más complicados para ángulos más grandes o ángulos negativos.

Ejemplo 5

Identifica el cuadrante del ángulo $ frac {18 pi} {7} $ radianes.

Solución

$ frac {18 pi} {7} $ es mayor que $ 2 pi $ porque es igual a $ frac {14 pi} {2} $.

Por lo tanto, para encontrar el cuadrante, debemos encontrar el ángulo estándar equivalente a $ frac {18 pi} {7} $.

Esto es igual a $ frac {18 pi} {7} – frac {14 pi} {7} = frac {4 pi} {7} $.

¿Es este ángulo mayor o menor que un ángulo recto, $ frac { pi} {2} $?

Dado que la mitad de $ 7 es $ 3.5 y 4> $ 3.5, $ frac {4 pi} {7} $ es mayor que un ángulo recto. Pero, como $ 4 <$ 7, es más pequeño que un ángulo recto, $ pi $ radianes. Por lo tanto, el ángulo está en el segundo cuadrante.

Problemas de práctica

  1. ¿Es el ángulo $ -650 $ grados cuadrantal?
  2. Enumere dos ángulos cuadrantales coterminales con un ángulo $ frac {3 pi} {2} $.
  3. Encuentra el coseno de los cuatro ángulos cuadrantales.
  4. Identifica el cuadrante del ángulo $ frac {9 pi} {8} $ radianes.
  5. Identifica el cuadrante del ángulo $ 717 $ grados.

Clave de respuesta

  1. No
  2. Hay infinitas opciones. Dos son $ – frac { pi} {2} $ y $ frac {7 pi} {2} $.
  3. $ cos (0) = $ 1, $ cos (90) = $ 0, $ cos (180) = – $ 1 y $ cos (270) = $ 0.
  4. Tercer cuadrante.
  5. Cuarto cuadrante.

Todas las imágenes / dibujos de matemáticas se crean utilizando Geogebra.