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Madhava de Sangamagrama (c. 1350-1425) |
Madhava a veces llamado el más grande matemático-astrónomo de la India medieval. Es originario de la ciudad de Sangamagrama en Kerala, cerca del extremo sur de la India, y fundó la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala a fines del siglo XIV.
Aunque casi todos El trabajo original de Madhava se pierde, se menciona en el trabajo de los matemáticos posteriores de Kerala como la fuente de varias expansiones en series infinitas (incluidas las funciones seno, coseno, tangente y arco tangente y el valor de ??), que representa las primeras etapas de los procesos finitos tradicionales desde el álgebra hasta las consideraciones del infinito, con sus implicaciones para el desarrollo futuro del cálculo y el análisis matemático.
A diferencia de la mayoría de las culturas anteriores, que habían estado bastante nerviosas por el concepto de infinito, Madhava estaba más que feliz de jugar con el infinito, especialmente la serie infinita. Mostró cómo, aunque uno puede aproximarse sumando la mitad más un cuarto más un octavo más un dieciseisavo, etc. muchas fracciones.
Serie Madhava
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El método de Madhava para aproximar π por una serie infinita de fracciones |
Pero Madhava fue más allá y vinculó la idea de una serie infinita a la geometría y la trigonometría. Se dio cuenta de que al sumar y restar sucesivamente diferentes fracciones de números impares en el infinito, podía concentrarse en una fórmula exacta para ?? (Pasaron dos siglos antes de que Leibniz llegara a la misma conclusión en Europa). Mediante su aplicación de esta serie, Madhava tiene un el valor de ?? correcto a un asombroso número de 13 decimales.
Luego usó las mismas matemáticas para obtener expresiones en series infinitas para la fórmula del seno, que luego podría usarse para calcular el seno de cualquier ángulo con cualquier grado de precisión, así como para otras funciones trigonométricas como coseno, tangente y arcotangente. Quizás aún más notable, sin embargo, es que también dio estimaciones del término de error o el término de corrección, lo que implica que entendió completamente la naturaleza limitante de la serie infinita.
El uso de Madhava de series infinitas para aproximar un rango de funciones trigonométricas, que fueron desarrollados por sus sucesores en la escuela de Kerala, sentó las bases para un mayor desarrollo del cálculo y el análisis, y él o sus seguidores desarrollaron una forma temprana de integración para funciones simples. Algunos historiadores han sugerido que el trabajo de Madhava, a través de los escritos de la escuela de Kerala, puede haber sido transmitido a Europa a través de los misioneros y comerciantes jesuitas que estuvieron activos alrededor del antiguo puerto de Cochin (Kochi) en el período, y puede haber tenido una influencia en posteriores desarrollos europeos en cálculo.
Entre sus otras contribuciones, Madhava descubrió las soluciones de algunas ecuaciones trascendentales a través de un proceso de iteración y encontró aproximaciones para algunos números trascendentales a través de fracciones continuas. En astronomía, descubrió un procedimiento para determinar las posiciones de la Luna cada 36 minutos y métodos para estimar los movimientos de los planetas.
