En cierta universidad, $6% de todos los estudiantes son de fuera de los Estados Unidos. Los estudiantes que ingresan se asignan aleatoriamente a los dormitorios de primer año, donde los estudiantes viven en grupos residenciales de primer año de $ 40 que comparten una sala de estar común.

  • ¿Cuántos estudiantes internacionales espera encontrar en un grupo típico?

  • ¿Con qué desviación estándar?

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar el número esperado de estudiantes internacionales en un grupo típico, así como su desviación estándar.

Considere qué es una variable aleatoria: un conjunto de valores numéricos que resultan de un proceso aleatorio. El promedio ponderado de las ocurrencias independientes se utiliza para obtener los valores esperados. En general, utiliza la probabilidad para predecir las ocurrencias requeridas a largo plazo. La desviación estándar es una medida de qué tan lejos está un conjunto de valores numéricos de su media.

Los estudiantes internacionales son la variable aleatoria (número de éxitos) en esta pregunta, y la proporción de estudiantes internacionales es la probabilidad de éxito.

Respuesta experta

Cada estudiante puede ser un estudiante internacional o un residente permanente de los Estados Unidos. La probabilidad de un estudiante extranjero es independiente de la probabilidad de otros estudiantes en ese contexto; por lo tanto, debemos usar la distribución binomial.

Sea $X$ el número de éxitos, $n$ el número de intentos y $p$ la probabilidad de éxito. La probabilidad de falla será entonces $1-p$.

El valor esperado de $X$ se especifica como

$mu=E(X)=np$

Y la desviación estándar es

$sigma=sqrt{V(X)}=sqrt{npq}=sqrt{np(1-p)}$

Donde la varianza es $V(X)$.

Teniendo en cuenta el problema planteado anteriormente:

La probabilidad de éxito es la de los estudiantes internacionales. Como hay 6 $%$ de estudiantes internacionales,

$p=6%=0.06$

Además, tenemos muestras de estudiantes de $40, así que,

$n=40$

Los resultados numéricos

$mu=E(X)=np=(40)(0.06)=2.4$

$sigma=sqrt{np(1-p)}=sqrt{(40)(0,06)(1-0,06)}=sqrt{(40)(0,06)(0,94)}=1,5$

Por lo tanto, se esperan $2.4 estudiantes internacionales en un grupo típico que tenga una desviación estándar de $1.5 estudiantes.

Solución alternativa

La probabilidad de éxito $=p$

Entonces probabilidad de falla $=q=1-p$

Como $p=0.06$ entonces $q=1-0.06=0.94$

$mu=E(X)=np=(40)(0.06)=2.4$

Y la desviación estándar es

$sigma= sqrt{npq}= sqrt{(40)(0.06)(0.94)}=1.5$

El problema anterior se ilustra gráficamente de la siguiente manera:

Exportación de Geogebra

Ejemplo

Un ensayo binomial tiene $60$ de ocurrencias. La probabilidad de fracaso de cada ensayo es de $0,8. Encuentre el valor esperado y la varianza.

Aquí, el número de intentos $n=60$ y la probabilidad de fracaso $q=0,8$

Es bien sabido que

$q=1-p$

Entonces,

$p=1-q=1-0.8=0.2$

De este modo,

$mu=E(X)=np=(60)(0.2)=12$

$sigma^2=npq=(60)(0.2)(0.8)=9$

Entonces, del ejemplo, podemos observar los mismos resultados cuando se da la probabilidad de éxito o fracaso.

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.