¿En qué punto la curva tiene máxima curvatura? ¿Qué sucede con la curvatura cuando $x$ tiende a infinito $y=lnx$

1656039309 SOM Questions and Answers

El propósito de esta pregunta es encontrar el punto en un curva donde el la curvatura es maxima.

La pregunta se basa en el concepto de cálculos diferenciales que se utiliza para encontrar la valor máximo de curvatura Además, si queremos calcular el valor de curvatura como $(x)$ tiende a infinito, se deducirá encontrando primero el límite de curvatura en $(x)$ que tiende a infinito.

[K=frac{left| f^{primeprime} left(xright)right|} {left[1+left(f^primeleft(xright) right)^2right]^esp{3}{2}}]

Respuesta experta

La función está dada por:

[fleft(xright) = ln{x}]

[f^primeleft(xright) = frac{1}{x}]

[f^{primeprime}left(xright) = -frac{1}{x^2}]

Ahora ponlo en el fórmula de curvaturase tiene:

[kleft(xright) = dfrac{left| f^{primeprime} left(xright)right|} { left[1+left(f^prime left(xright)right)^2 right]^esp{3}{2}}]

[kleft(xright) = dfrac{ left|-dfrac{1}{x^2} right|} { left[1+{(dfrac{1}{x})}^2right]^ frac{3}{2}}]

[kleft(xright) = frac{1}{x^2 left[1+dfrac{1}{x^2} right]^esp{3}{2}}]

ahora tomando derivado de $ kleft(xright)$, tenemos:

[kleft(xright) = frac{1}{x^2 left[1+dfrac{1} {x^2}right]^ frac{3}{2}}]

[kleft(xright) = x^{-2} left[1 + frac{1}{x^2}right]^ frac{-3}{2}]

[k^primeleft(xright) = -2 x^{-3} left[1+frac{1}{x^2}right]^frac{3}{2} + x^{-2}. frac{-3}{2} izquierda[1 +frac{1}{x^2}right]^frac{-5}{2} (-2x^{-3})]

[k^primeleft(xright) = frac{-2}{x^3 left[1+dfrac{1}  {x^2}right]^frac{3}{2}} + frac{3}{x^5 izquierda[1+dfrac{1} {x^2}right]^frac{5}{2}}]

[k^primeleft(xright) = frac{-2 x^2 (1+dfrac{1}{x^2})+ 3}{x^5 left[1+dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

[k^primeleft(xright) = frac{-2 x^2 -2+ 3}{x^5   left[1+dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

[k^primeleft(xright) = frac{-2 x^2 + 1}{x^5 left[1+ dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

[k^primeleft(xright) = frac{1 – 2 x^2 }{x^5 left[1 +dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

Poniendo $ k^primeleft(xright) =0$, obtenemos:

[0 = frac{1 – 2 x^2 }{x^5 left[1+dfrac{1}{x^2}right]^frac{5}{2}}]

[0 = 1 – 2 x^2 ]

Resolviendo para $x$ tenemos la ecuación:

[ 2 x^2 = 1]

[x^2=frac{1}{2}]

[x=frac{1}{sqrt2}approx 0.7071]

sabemos que el dominio de $ln{x}$ no incluye ninguna raíz negativa, por lo que el máximo el intervalo puede ser:

[left(0,0,7right): K^primeleft(0,1right) approx 0.96]

[left(0,7,inftyright): K^primeleft(1right) approx -0.18]

Podemos notar que $k$ es creciente y entonces descendiendo, entonces será máximo en el infinito:

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{x^2 left[1+dfrac{1}{x^2}right]^esp{3}{2}}}]

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{infty left[1+dfrac{1}{infty}right]^esp{3}{2}}}]

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{infty left[1+0right]^frac{3}{2}}}= ]

Entonces el curvatura se acerca a $0$.

Los resultados numéricos

$k$ será máximo en el infinito

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{x^2 left[1+dfrac{1}{x^2}right]^esp{3}{2}}}]

[lim_{xrightarrowinfty}{frac{1}{infty left[1+0right]^frac{3}{2}}}= ]

Por lo tanto, la curvatura se aproxima a $0$.

Ejemplo

Para la función dada $y = sqrt x$, encuentra el curvatura y Rayo de curvatura en $x=1$ valor.

La función está dada por:

[y = sqrt x]

Primero derivado de la función será:

[y^prime = (sqrt x)^prime]

[y^prime = frac{1}{2sqrt x}]

los segunda derivada de la función dada será:

[y^{primeprime} = (frac{1}{2sqrt x})^prime]

[y^{primeprime} = (frac{1}{2}x^{frac{-1}{2}})^prime]

[y^{primeprime} = frac{-1}{4}x^{frac{-3}{2}}]

[y^{primeprime} = frac{-1}{4sqrt {x^{3}}} ]

Ahora ponlo en el fórmula de curvaturase tiene:

[kleft(xright) = frac{left|f^{primeprime} left(xright)right| }{ left[1+left(f^primeleft(xright)right)^2right]^esp{3}{2}}]

[kleft(xright) = frac{left|y^{primeprime}right|}{ left[1+ left(y^primeright)^2right]^frac{3}{2} }]

[k left(xright) = frac{left|dfrac{-1}{4sqrt {x^{3}}}right|}{  left[1+left(dfrac{1}{2sqrt x}right)^2right]^esp{3}{2}}]

[kleft(xright) = frac{dfrac{1}{4sqrt {x^{3}}}}{ left(1+ dfrac{1}{4 x}right)^frac{3}{2}}]

[kleft(xright) = frac{dfrac{1}{4sqrt {x^{3}}}}{   left(dfrac{4x+1}{4 x}right)^frac{3}{2}}]

[k left(xright) = frac{2} {left(4 x +1right)^frac{3}{2}}]

Ahora, poniendo $x=1$ en el curvatura de la fórmula de la curva:

[kleft(1right) =frac{2} {left(4 (1) +1right)^frac{3}{2}}]

[kleft(1right) =frac{2} {5 sqrt 5}]

sabemos que el radio de curvatura es el recíproco de la curvatura:

[R =frac{1}{K}]

Poner el valor de curvatura y calcule arriba en $x=1$ en la fórmula de radio de curvaturalo que resultará en:

[R = frac{1}{dfrac{2} {5 sqrt 5}}]

[R = frac {5 sqrt 5}{2}]