Para encontrar el área de la región sombreada de un círculo, necesitamos saber el tipo de área que está sombreada.
La regla general para encontrar el área sombreada de cualquier forma sería restar el área de la parte más significativa del área de la parte más pequeña de la forma geométrica dada. Siempre, en el caso de un círculo, el área sombreada del círculo puede ser un arco o un segmentoy el cálculo es diferente en los dos casos.
Esta guía le proporcionará materiales de buena calidad que le ayudarán entiendes el concepto del área del círculo. Al mismo tiempo, discutiremos en detalle cómo encontrar el área de la región sombreada del círculo. utilizando ejemplos numéricos.
¿Cuál es el área del sector de un círculo?
El área del sector de un círculo es básicamente el área del arco. La combinación de dos rayos forma el sector de un círculo mientras que el arco está entre estos dos rayos.
Considere la siguiente figura; se le pide encontrar el área del sector sombreado de un círculo. los Rayo del círculo está representado por “$r$” mientras que “$XY$” es el arca y delimita el sector, así el área del sector está dada por:
Área del sector = $dfrac{mXY}{360^{o}}. pi r^{2}$
Ejemplo 1:
Encuentra el área de la región sombreada de un círculo usando la fórmula del área del sector si el valor del radio es $8$cm y theta es $60^{o}$.
La solución:
El ángulo central del arco /sector, como se puede ver en la figura, es $60^{o}$. Entonces, sabemos que el área del sector sombreado se puede calcular de la siguiente manera:
Área del sector = $dfrac{60^{o}}{360^{o}}. pi r^{2}$
Área del sector = $dfrac{1}{6}. pi 8^{2}$
Área del sector = $dfrac{1}{6}. 3.1416. 64 = 33,5 cm^{2}$
Ejemplo 2:
Supongamos que el área del sector de un círculo es $50 cm^{2}$ mientras que el ángulo central del círculo es $30^{o}$. ¿Cuál será el valor del radio del círculo?
La solución:
Nos dan el área y el ángulo central del sector, por lo que podemos encontrar el radio del sector usando fórmula del área del sector.
Área del sector = $dfrac{theta}{360^{o}}. pi r^{2}$
$50 = dfrac{30^{o}}{360^{o}}. pi r^{2}$
$50 = dfrac{1}{12}. 3.1416. r^{2}$
$600 = 3,1416. r^{2}$
$r^{2} = $191
$r = $13,82cm
Ejemplo 3:
Supongamos que el área del sector de un círculo es $9pi cm^{2}$ mientras que el radio del círculo es $8$ cm. ¿Cuál será el ángulo central del sector?
La solución:
Nos dan el área y el radio del sector, por lo que podemos encontrar el ángulo central del sector usando fórmula del área del sector.
Área del sector = $dfrac{theta}{360^{o}}. pi r^{2}$
$9pi = dfrac{theta }{360^{o}}. pi 8^{2}$
$9pi = dfrac{theta }{360^{o}}. ft $64
$9 = dfrac{8theta }{45^{o}}$
$theta = dfrac{9 times 45^{o}}{8}$
$theta = 50,62^{o}$
Ejemplo 4:
Si el área del sector de un círculo es $60pi cm^{2}$ mientras que la longitud del arco del círculo es $10pi$, ¿cuál será el radio y el ángulo central del círculo?
La solución:
Nos dan la longitud del arco del círculo y la longitud del arco es una fracción/parte de la circunferencia del círculo.
La fórmula para la longitud del arco de un círculo es:
Longitud de arco = $dfrac{theta}{360^{o}}. 2pi r$
$10 = dfrac{theta}{360^{o}}. 2r$
$5 = dfrac{theta}{360^{o}}. R$ (1)
Del mismo modo, también se nos da el área del sector del círculo y fórmula del área del sector es dado como:
Área del sector = $dfrac{theta}{360^{o}}. pi r^{2}$
$60pi = dfrac{theta}{360^{o}}. pi r^{2}$
$60 = dfrac{theta}{360^{o}}. r^{2}$ (2)
Usando el método de sustitución para resolver el radio y el ángulo central del círculo usando las ecuaciones (1) y (2), ahora podemos reemplazar valor de longitud de arco en la fórmula del área del sector. Entonces podemos resolver para el radio y el ángulo central del círculo.
$60 = dfrac{theta}{360^{o}}. r^{2} = 60 = dfrac{theta}{360^{o}}. r .r$
60$ = 5r$
$r = dfrac{60}{5}= 30$cm
ahora podemos resolver el ángulo central usando la ecuación (1)
$5 = dfrac{theta}{360^{o}}. $
$1800 = theta. $30
$theta = dfrac{1800}{30} = 60^{o}$
¿Cuál es el área del segmento de un círculo?
El área del círculo encerrado en un segmento o la región sombreada dentro del segmento se llama el área de un segmento de un círculo. Un segmento es una parte interior del círculo. Si dibujamos una cuerda o una línea secante, entonces el área azul que se muestra en la figura a continuación se llama área del segmento.
Hay dos tipos de segmentos circulares:
- segmento menor
- gran segmento
La principal diferencia entre los segmentos mayor y menor es que el segmento mayor tiene un área más grande en relación con el segmento menor.
La fórmula para determinar el área del segmento sombreado del círculo se puede escribir en radianes o grados.
Área de un segmento de círculo (Radianes) = $dfrac{1}{2}. r^{2}(theta – sentheta)$
Área de un segmento de círculo (Radianes) = $dfrac{1}{2}. r^{2}((dfrac{pi}{180})theta – sintheta)$
Cómo encontrar el área de un segmento de un círculo
Las matemáticas requeridas para determinar el área de un segmento de un círculo son un poco complicadas, ya que debes tener una buena comprensión de cómo encontrar las áreas de un triángulo. La imagen de la sección anterior muestra que tenemos un sector y un triángulo.
Para determinar el área del segmento, primero debemos calcular el área del segmento, que es XOYZ ( A_XOYZ), y luego debemos calcula el area del triangulo $ triangulo triangulo XOY$.
Para calcular el área del segmento, necesitamos restar el área del sector del área del triángulo. Ya te hemos explicado cómo calcular el área del sector, mientras que puedes aprender en detalle cómo calcular el área de un triángulo. Con eso, podemos escribir la fórmula para el área del segmento XYZ como:
Área de segmento = Área de sector – Área de triángulo
Dónde,
Área del sector = $dfrac{theta}{360^{o}}. pi r^{2}$
Área del triángulo = $dfrac{1}{2} times base times height$
Ejemplo 5:
Determina el área del segmento sombreado del círculo cuando el ángulo central del círculo es $60^{o}$ y el radio del círculo es $5$ cm mientras que la longitud del XY es $9$ cm, como se muestra en la siguiente imagen:
La solución:
Área del sector = $dfrac{theta}{360^{o}}. pi r^{2}$
Área del sector = $dfrac{60^{o}}{360^{o}}. pi 5^{2}$
Área del sector = $dfrac{1}{6}. 3.1416. $25
Área del sector = $13,09 cm^${2}
Para determinar el área del triángulo, calcula la longitud del lado OM usando el teorema de pitagoras.
OM = $sqrt{r^{2}-(dfrac{XM}{2}XM)^{2}}$
OM = $raíz cuadrada{5^{2}- 4,5^2 }$
MO = $sqrt{4.75} = 2.2$
Área del triángulo = $dfrac{1}{2} times OM times XY$
Área del triángulo = $dfrac{1}{2} times 2.2 times 9$
Área del triángulo = $9,9 = 10 cm^{2}$
Área del segmento = $13,09 -10 = 3,09 cm^{2}$
Ejemplo 6:
Considere la figura exacta como en el Ejemplo 5. Halle el área del segmento sombreado del círculo cuando el ángulo central del círculo es $60^{o}$ y el radio del círculo es $7$ cm, como se muestra en la figura. imagen (se desconoce el valor del segmento de línea XY).
La solución:
El área azul del círculo es esencialmente la zona del sectory se puede calcular de la siguiente manera:
Área del sector = $dfrac{theta}{360^{o}}. pi r^{2}$
Área del sector = $dfrac{60^{o}}{360^{o}}. pi 7^{2}$
Área del sector = $dfrac{1}{6}. 3.1416. $49
Área del sector = $25,65 cm^{2}$
Para encontrar el área del triángulo, necesitamos calcular la longitud del lado OM, y dado que no se da la longitud de XM, no se puede usar el teorema de Pitágoras. En lugar, podemos encontrar el valor de OM como:
Área del triángulo = $dfrac{1}{2} times OM times XY$
OM = $r cos( dfrac{theta}{2})$
MO = $7 times cos(30)$
MO = $7 times dfrac{sqrt{3}}{2}$
MO = $6.06 cm$
XY = $2veces YM = 2veces 7 veces sen 30$
XY = $7$
Área del triángulo = $dfrac{1}{2} times 6,06 times 7$
Área del triángulo = $21,21 cm^{2}$
Área del segmento = $25,65 – 21,21 = 4,44 cm^${2}
El área de una parte circular sombreada de un círculo
Podemos calcular el área de una porción circular sombreada dentro de un círculo por restando el área del círculo más grande/mayor del área del círculo pequeño. Considere la imagen de abajo.
Área del círculo pequeño A = $pi r^{2}$
Área del círculo más grande B = $pi R^{2}$
Área de la región circular sombreada = Área del círculo A – Área del círculo B
Área de la región circular sombreada = $pi R^{2} – pi r^{2}$ = $pi ( r^{2}- R^{2})$
Di si $R = 2r$, entonces el área de la región sombreada sería:
Área de la región sombreada = Área del círculo A – Área del círculo B = $pi (2r)^{2} – pi r^{2}$
Área de la región sombreada = $4pi r^{2} – pi r^{2} = 3 pi r^{2}$
El área de la región circular sombreada también se puede determinar si nos dan solo el diámetro del círculo reemplazando “$r$” por “$2r$”.
Ejemplo 7:
Encuentre el área de la región sombreada en términos de pi para la figura a continuación.
La solución:
El radio del círculo más pequeño es = $5$ cm
El radio del círculo más grande/más grande es = $8$ cm
Área de la región circular sombreada = Área del círculo A – Área del círculo B
Área de la región circular sombreada = $pi R^{2} – pi r^{2}$
Área de la región circular sombreada = $pi 8^{2} – pi 5^{2}$
Área de la región circular sombreada = $pi (64 – 25) = 39pi$.
Espero que esta guía te haya ayudado a desarrollar el concepto de cómo encontrar el área de la región sombreada del círculo. Como viste en la sección sobre cómo encontrar el área de un segmento de un círculo, varias figuras geométricas presentadas como un todo causan problemas. Este tema se ser util durante tiempos como estos.
- Determine el área de la región sombreada de un triángulo.
- Determinar el área de la región sombreada de un cuadrado.
- Determine el área de la región sombreada de un rectángulo.
Conclusión
Podemos concluir que el cálculo del área de la región sombreada depende del tipo o parte del círculo que se sombrea.
- Si la región sombreada del círculo tiene la forma de un sector, entonces calcularemos el área del sector usando la fórmula: Área del sector = $dfrac{mXY}{360^{o}}. pi r^{2}$.
- Supongamos que la región sombreada es el segmento de un círculo. En este caso, podemos calcular el área del segmento del círculo usando la fórmula Área del segmento = Área del sector – Área de un triángulo.
- Si la región sombreada tiene forma de círculo, podemos calcular el área de la región sombreada restando el área del círculo más grande del área del círculo más pequeño.
Por lo tanto, es relativamente fácil encontrar el área de la región sombreada del círculo. Todo lo que tiene que hacer es distinguir qué parte o región del círculo está sombreada y aplicar las fórmulas en consecuencia para determinar el área de la región sombreada.
