Encuentra el área de la región que se encuentra dentro de las dos curvas.

1657677719 SOM Questions and Answers

[ boldsymbol{ r^2 = 50 sin(2θ), r = 5 } ]

El propósito de esta pregunta es entender la aplicación de la integración para encontrar el área bajo las curvas o el área delimitada por dos curvas.

Para resolver esta pregunta, primero combinamos las dos curvas sustituyendo el valor de $r$ de una curva a la otra. nos da un ecuación matemática única. Una vez que tenemos esta ecuación, simplemente encontramos el integración de funciones para encontrar el área bajo esta función matemática combinada que (en realidad) representa el región delimitada por las dos curvas.

Respuesta experta

Dado que:

[r^2 = 50sin2theta]

[r = 5]

Combinando las dos ecuaciones, obtenemos:

[(5)^2 = 50sin(2theta) ]

[25 = 50sin(2theta) ]

[Rightarrow theta = frac{sin^{-1}(frac{25}{50})}{2}]

[theta = frac{sin^{-1}(0.5)}{2}]

[Rightarrow theta = frac{pi}{12},frac{5pi}{12},frac{13pi}{12},frac{17pi}{12}]

Estos son los valores que representan límites en el área.

para encontrar el área delimitada por esa Región, tenemos que hacer lo siguiente la integración:

[A = 2 bigg { 2 times frac{1}{2} int_{0}^{frac{pi}{12}} bigg (sqrt{50sin(2theta)}bigg )^2 dtheta + 2 times frac{1}{2} int_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg ( 5^2 bigg ) bigg }]

Simplificar:

[A = 2 bigg { int_{0}^{frac{pi}{12}} 50sin(2theta) dtheta + int_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} (25) dtheta bigg }]

Aplicando la regla de la potencia de integración, obtenemos:

[A = 2 bigg { [-frac{50}{2}cos(2theta)]_ {0}^{frac{pi}{12}} + [25(theta)]_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg }]

Simplificar:

[A = 2 bigg { [-frac{50}{2}cos(2theta)]_ {0}^{frac{pi}{12}} + [25(theta)]_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg }]

[A = 2 bigg { [-(25)cos(2theta)]_ {0}^{frac{pi}{12}} + [25(theta)]_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg}]

[A = 2 bigg { -25[cos(2theta)]_ {0}^{frac{pi}{12}} + 25[theta]_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg }]

[A = 2 times 25 bigg { -[cos(2theta)]_ {0}^{frac{pi}{12}} + [theta]_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg}]

[A = 50 bigg { -[cos(2theta)]_ {0}^{frac{pi}{12}} + [theta]_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg}]

Evaluar el integrales definidas Usando los límites, obtenemos:

[A = 50 bigg { -[cos(2times frac{pi}{12}) – cos(2times 0)] + [frac{pi}{4} – frac{pi}{12}] grueso }]

[A = 50 bigg { -[cos(frac{pi}{6}) – cos(0)] + [frac{3pi-pi}{12}] grueso }]

Sustituyendo los valores de Funcion trigonometricase tiene:

[A = 50 bigg { -[frac{sqrt{3}}{2} – 1] + [frac{2pi}{12}] grueso }]

Simplificar:

[A = 50 bigg { -[frac{sqrt{3}}{2} – 1] + [frac{pi}{6}] grueso }]

[A = 50 bigg { -frac{sqrt{3}}{2} + 1 + frac{pi}{6} bigg }]

[A = -50 times frac{sqrt{3}}{2} + 50 times 1 + 50 times frac{pi}{6}]

resultado numérico

El área delimitada por dos curvas. se calcula de la siguiente manera:

[A = -25 times sqrt{3} + 50 + 25 frac{pi}{3}]

Ejemplo

Encuéntralo área delimitada siguiente dos curvas

[r = 20sin2theta]

[r = 10]

Combinando las dos ecuaciones, obtenemos:

[10 = 20sin(2theta) ]

[Rightarrow theta = frac{sin^{-1}(0.5)}{2}]

[Rightarrow theta = frac{pi}{12},frac{5pi}{12},frac{13pi}{12},frac{17pi}{12}]

eficiente La integración:

[A = 2 bigg { 2 times frac{1}{2} int_{0}^{frac{pi}{12}} bigg (sqrt{20sin(2theta)}bigg )^2 dtheta + 2 times frac{1}{2} int_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg ( 10 bigg ) bigg }]

[A = 2 bigg { [-10cos(2theta)]_ {0}^{frac{pi}{12}} + [10(theta)]_{frac{pi}{12}}^{frac{pi}{4}} bigg}]

[A = 2 bigg { -10[cos(2times frac{pi}{12}) – cos(2times 0)] + 10[frac{pi}{4} – frac{pi}{12}] grueso }]

[A = 2 bigg { -10[frac{sqrt{3}}{2} – 1] + 10[frac{pi}{6}] grueso }]

[A = -10 sqrt{3} + 20 + 10 frac{pi}{3}]

¿Cuál es el valor de la necesidad? Región.