Encuentra el polinomio de Taylor $T3(x)$ para la función $f$ centrada en el número a. $f(x) = x + e^{−x}, a = 0$

Este problema tiene como objetivo encontrar la Polinomios de Taylor hasta $3$ lugares para una función dada $f$, centrada en un punto $a$. Para entender mejor el problema, necesita saber Serie de potenciaporque constituye la base de la Serie Taylor.

Serie Taylor de una función se define como una suma infinita de términos derivados de esta función en un solo punto. La fórmula para esta serie se deriva de la Serie de potencia y se puede escribir:

[ sum_{k=0}^{infty} dfrac{f^{k}(a)}{k!} (x-a)^k ]

donde $F(k)(aps significa el noi-ésima derivada de $f $ evaluado en el punto $a$ y $k$ es el grado del polinomio. Si $a$ se establece en 0, se llama Serie Maclaurin.

Pero no todas las funciones tienen una extensión de la serie de Taylor.

Respuesta experta:

Primero, extienda la serie para $k = 3$ como $T3$

[  T3(x) = f(a) + dfrac{f`(a)}{1!}(x-a) + dfrac{f“(a)}{2!}(x-a)^ 2 + dfrac{f“`(a)}{3!}(x-a)^ 3 ]

A continuación, encontraremos las derivadas de $f(x)$ que se conectarán a la ecuación $T3(x)$:

[ f(x) =x + e^{-x},      f(0) = 1 ]

Primera derivada:

[ f`(x) = 1 – e^{-x},     f`(0) = 0 ]

Segunda derivada:

[ f“(x) = e^{-x},         f“(0) = 1 ]

Tercera derivada:

[ f“`(x) = – e^{-x},     f“`(0) = -1 ]

La sustitución de las derivadas anteriores en $T3(x)$ se convierte en:

[ T3(x) = f(a) +dfrac{f`(a)}{1!}(x-a) + dfrac{f“(a)}{2!}(x-a)^2 + dfrac{f“`(a)}{3!}(x-a)^ 3 ]

Simplificación de la ecuación:

[ = 1 +dfrac{0}{1!}(x-0) + dfrac{1}{2!}(x-2)^ 2 + dfrac{-1}{3!}(x-0)^ 3 ]

[ T3(x) = 1 +dfrac{x^ 2} {2} – dfrac{x^ 3} {6} ]

Resultado numérico:

Finalmente tenemos nuestro Extensión de la serie de Taylor:

[ T3(x) = 1 +dfrac{x^ 2} {2} – dfrac{x^ 3} {6} ]

Taylor Series expansion of fx x e^ x

Figura 1

Ejemplo:

encuentra el polinomio de taylor $t3(x)$ para la función $f$ centrado en el número a. $f(x) = xcos(x), a = 0$

Expandiendo la serie para $k = 3$ como $T3$ nos da:

[  T3(x) = f(a) + dfrac{f`(a)}{1!}(x-a) + dfrac{f“(a)}{2!}(x-a)^ 2 + dfrac{f“`(a)}{3!}(x-a)^ 3 ]

A continuación, encontraremos las derivadas de $f(x)$ que se conectarán a la ecuación $T3(x)$:

[ f(x) =xcos(x),                         f(0) = 0 ]

[ f`(x) = cos(x) – xsin(x),         f`(0) = 1 ]

[ f“(x) = -xcos(x) -2sin(x),     f“(0) = 0 ]

[ f“`(x) = xsin(x) -3cos(x),     f“`(0) = -1 ]

La sustitución de las derivadas anteriores en $T3(x)$ se convierte en:

[ T3(x) = f(a) +dfrac{f`(a)}{1!}(x-a) + dfrac{f“(a)}{2!}(x-a)^ 2 + dfrac{f“`(a)}{3!}(x-a)^ 3 ]

Introduce los valores en la ecuación $T3(x)$.

[ = dfrac{1}{1!}x + 0 + dfrac{-3}{3!}x^ 3  ]

Finalmente tenemos nuestro Extensión de la serie de Taylor:

[ T3(x) = x – dfrac{1}{2}x^ 3  ]

ejemplo de la serie de taylor

Figura 2

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.