Encuentra el punto de la hipérbola $xy = 8$ que está más cerca del punto $(3.0)$.

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Para resolver esta cuestión, debemos determinar el punto de la hipérbola $xy = 8$ más cercano al punto $(3,0)$.

Una hipérbola se define como una sección cónica que se produce por la intersección de un plano y un cono circular en un ángulo dado, de modo que las mitades del cono circular se bisecan. Esta bisección genera dos curvas similares que son imágenes especulares exactas entre sí llamadas Hipérbola.

Aquí hay algunos términos importantes asociados con la construcción de una hipérbola:

  • Centro de hipérbola $O$
  • Focos de hipérbola $F$ y $F^{‘}$
  • eje mayor
  • eje menor
  • Cumbres
  • Excentricidad $(e>1)$, definida como $e = c/a $ donde $c$ es la distancia al foco y $a$ es la distancia a los vértices.
  • eje transversal
  • Eje conjugado

La ecuación estándar de la hipérbola está dada por:

[ dfrac{x^2}{a^2} – dfrac{y^2}{b^2} = 1]

Otra ecuación estándar para la hipérbola viene dada por:

[ dfrac{y^2}{a^2} – dfrac{x^2}{b^2} = 1]

Solución experta:

La ecuación de la hipérbola está dada por:

[ xy= 8 ]

Modificando la ecuación nos da:

[ y = dfrac{8}{x} ]

Por lo tanto, cualquier punto de la hipérbola dada se puede definir de la siguiente manera:

[ (x, y) = bigg( x, dfrac{8}{x}bigg) ]

Ahora encuentra la distancia entre $ bigg(x, dfrac{8}{x} bigg)$ y el punto dado $(3,0)$ en la hipérbola.

La fórmula de cálculo de la distancia está dada por:

[ distance = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} ]

Los dos puntos son:

$(x_1, y_1)$ = $(3, 0)$

$(x_2, y_2)$ = $bigg(x, dfrac{8}{x}bigg)$

La distancia viene dada por:

[ d = sqrt {(x – 3)^2 + bigg(dfrac{8}{x} – 0 bigg)^2} ]

[ d = sqrt{(x^2 – 6x + 9) + bigg(dfrac{64}{x^2}bigg)} ]

Los resultados numéricos:

Para calcular la distancia mínima se toma la derivada de la distancia $d$ con respecto a $x$ y se iguala a cero.

[ d = sqrt {(x^2 – 6x + 9) + bigg(dfrac{64}{x^2}bigg)} ]

Cuadratura en ambos lados:

[ d^2 = x^2 – 6x + 9 + dfrac{64}{x^2} ]

Tomando la derivada de ambos lados con respecto a $x$:

[ dfrac{d(d^2)}{dx} = dfrac{d(x^2)}{dx} – dfrac{6d(x)}{dx} + dfrac{d(9)}{dx} + dfrac{64d(x^{-2})}{dx} ]

[ 2dd’ = 2x – 6 + 0 – dfrac{128}{x^3} ]

[ 2dd’ = x – 3+ 0 – dfrac{64}{x^3} ]

Ecuación de la ecuación cero:

[ 0 = x – 3 – dfrac{64}{x^3} ]

[ x^4 – 3x^3 – 64 = 0 ]

Resolviendo la ecuación anterior nos da:

[ x = 4 ]

[ x = -2.949 ]

Si se considera $x=4$ como $x=4$, la ecuación $x^4 – 3x^3 – 64$ equivale a $0$.

Así, el punto está dado por:

[ bigg(x, dfrac{8}{x}bigg) = bigg(4, dfrac{8}{4}bigg) ]

[ bigg(x, dfrac{8}{x}bigg) = (4,2) ]

Por lo tanto, $(4.2)$ es el punto de hipérbola más cercano a $(3.0)$.

También se puede representar gráficamente mediante la ecuación:

[ d’ = f’(x) = x^4 -3x^3 – 64 ]

qwe

$Figura 1$

Por lo tanto, el gráfico se muestra en la $Figura 1$ e indica que los mínimos locales ocurren en $(4.0).

Entonces, el punto más cercano a $(3.0)$ es $(4.2)$.

Ejemplo:

Encuentra el punto de la hipérbola $xy= -8$ más cercano al punto $(-3.0)$.

La ecuación de la hipérbola está dada por:

[ xy = -8 ]

[ y = dfrac{-8}{x} ]

Usando la fórmula de la distancia para calcular la distancia,

[ distance = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} ]

[ distance = sqrt{(x + 3)^2 + bigg(dfrac{-8}{x} – 0bigg)^2} ]

[ distance = sqrt{(x^2 + 6x + 9 ) + bigg(dfrac{64}{x^2}bigg)} ]

Elevando al cuadrado ambos lados nos da:

[ d^2 = x^2 + 6x + 9 + dfrac{64}{x^2} ]

Tomando la derivada con respecto a $x$:

[ 2dd’ = 2x + 6 – dfrac{128}{x^3} ]

Igualando la ecuación anterior a cero para calcular la distancia mínima nos da:

[ x^4 + 3x^3 – 64 = 0 ]

Resolviendo la ecuación:

[ x = -4 ]

[ x = 2.29]

Si se considera $x=4$ como $x=4$, la ecuación $x^4 – 3x^3 – 64$ equivale a $0$.

[ bigg(x, dfrac{8}{x}bigg) = (-4, -2) ]

Se puede representar gráficamente por:

wer

$Figura 2$

Por lo tanto, el gráfico de la $Figura 2$ nos muestra que los mínimos locales ocurren en $(-4.0).

Por lo tanto, el punto más cercano a $(3.0)$ es $(-4, -2)$.

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean utilizando Geogebra.