encuentra el volumen del paralelepípedo con vértice en el origen y vértices adyacentes en $(1, 3, 0), (-2, 0, 2),(-1, 3, -1)$.

1655289568 SOM Questions and Answers

Este problema tiene como objetivo encontrar el volumen de un paralelepípedo, un vértice del cual es el origen $(0,0)$ y los otros $3$ se dan vértices. Para resolver este problema, es necesario saber formas tridimensionales con su áreas y volúmenes y calcular los determinantes de la matriz cuadrada $3times3$.

Respuesta experta

A paralelepípedo es una figura tridimensional formada por seis paralelogramos individuales. Está vinculado a un paralelogramo al igual que un cubo está vinculado a un cuadrado.

Para simplificar las cosas, construiremos una matriz $3 times 3$ $A$, donde las entradas de la columna son las coordenadas de los vértices adyacentes del paralelepípedo dado.

[A=left[begin {matrix}1&-2&-1\3& &3\0&2&-1\end {matrix}right]]

La fórmula para encontrar el volumen es un producto escalar de la base del paralelogramo y su altura inclinada. Pero en notación matricial, el volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del determinante de $A$.

Volumen = $|det(A)|$

Ajustar la matriz $A$ en la fórmula nos da:

[volume=left|begin{matrix}1&-2&-1\3&0&3\0&2&-1\end{matrix}right|]

A continuación, resolveremos para $det(A)$. Tenga en cuenta que el determinante solo se puede encontrar en una matriz cuadrada como $A$.

Encontramos el determinante usando expansión del cofactor a través de la primera columna.

[=left|begin{matrix}0&3\2&-1\end{matrix}right|-3left|begin{matrix}-2& -1\2& -1\ end {matrix} right| +0  left |begin {matrix}  -2 & -1\ 0 & 3\ end {matrix} right| ]

Respuesta numérica

Expandir la primera columna solo nos da 2 entradas porque $a_13$ es igual a 0, pero aquí se proporciona una solución completa para simplificar.

[  = [ (0)(-1) – (2)(3) ] + (-3)[ (-2)(-1) – (2)(-1) ] ]

[  = -6 + (-3)[ 2 +2] ]

[  = -6 + (-3)(4)]

[  = -6 + (-3)(4)]

[ = -6 – 12]

[ volume = -18 ]

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo dado es igual a $18$.

Ejemplo

Encuentra el volumen del paralelepípedo con un vértice en el origen y vértices adyacentes en $(1, 0, -3), (1, 2, 4), (5, 1, 0)$.

Primero, construiremos una matriz $3times3$ $A$, cuyas entradas de columna son las coordenadas de los vértices adyacentes del paralelepípedo dado.

[A = left [begin {matrix} 1 & 1 & 5 \ 0 & 2 & 1\ -3 & 4 & 0\ end {matrix} right] ]

El volumen del paralelepípedo se puede calcular tomando el valor absoluto del determinante de $A$.

[ Volume = |det(A)| ]

Ajustar la matriz $A$ en la fórmula nos da:

[ volume  = left |begin {matrix} 1 & 1 & 5 \ 0 & 2 & 1\ -3 & 4 & 0\ end {matrix} right| ]

A continuación, resolveremos para $det(A)$ usando expansión del cofactor en la primera columna.

[ = left |begin {matrix}  2 & 1\ 4 & 0\ end {matrix} right| -(0) left |begin {matrix}  1 & 5\ 4 & 0\ end {matrix} right| +(-3) left |begin {matrix}  1 & 5\ 2 & 1\ end {matrix} right| ]

La ecuación se convierte en:

[  v = -4+27 ]

[ volume = 23 ]

Así, el volumen del paralelepípedo sale en $23.