Encuentra el volumen del sólido que está rodeado por el cono y la esfera.

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Esta pregunta tiene como objetivo encontrar el volumen del sólido rodeado por el cono y una esfera usando el método de coordenadas polares para encontrar el volumen. Las coordenadas cilíndricas extienden las coordenadas bidimensionales a las coordenadas tridimensionales.

En una esfera, la distancia desde el origen $(0,0)$ hasta el punto $P$ se llama radio $r$. Al unir la línea desde el origen hasta el punto $P$, el ángulo formado por esta línea radial desde el $eje $ se llama ángulo theta, representado por $theta$. Radius $r$ y $theta$ tienen valores que se pueden usar dentro de los límites de integración.

Respuesta experta

El eje $z$ se proyecta en un plano cartesiano con el plano $xy$ para formar un plano tridimensional. Este plano está representado por $(r, theta, z)$ en términos de coordenadas polares.

Para encontrar los límites de $z$, sacaremos la raíz cuadrada de los conos dobles. La raíz cuadrada positiva representa el vértice del cono. La ecuación del cono es:

[z = sqrt{(x^2 + y^2)}]

La ecuación de la esfera es:

[ x^2 + y^2 + z^2 = 2]

Esta ecuación se deriva de la fórmula de coordenadas polares, donde $x^2 + y^2 = r^2$ cuando $z = r^2$.

Estas dos ecuaciones se pueden representar en el plano cartesiano:

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Ponga el valor de $r^2$ en lugar de $z^2$ usando coordenadas polares:

[ x^2 + y^2 + z^2 = 2]

[r^2 + z^2 = 2]

[z = sqrt{2- r^2}]

Igualaremos las dos ecuaciones para encontrar el valor de $r$ cuando $z$ = $r$ por:

[z = sqrt{(x^2 + y^2)}]

[z = sqrt{(r^2)}]

[z = r]

Para encontrar $r$:

[r = sqrt{2 – r^2}]

[2r^2 = 2]

[r = 1]

Cuando entramos desde el $eje-z$, nos encontramos con la parte superior de la esfera y la parte inferior del cono. Integraremos desde $0$ hasta $2pi$ en la región esférica. Los límites en estos puntos son:

int_{a}^bint_{c}^df(x,y)dxdy$

[int_{0}^{2pi} int_{0}^1 int_{r}^sqrt{2-r^2} dzrdrdtheta]

Integre con respecto a $z$ y establezca límites de $z$

[int_{0}^{2pi} int_{0}^1 rsqrt{2-r^2} – r^2 drdtheta]

Separaremos las integrales para sustituir $u$:

[int_{0}^{2pi} [int_{0}^1 rsqrt{2-r^2}dr – int_{0}^1 r^2 dr] dtheta]

[u = 2 – r^2 , du = -2rdr]

Por simplificación, obtenemos:

[int_{0}^{2pi} [int_{1}^2 frac{-1}{2} sqrt{u}du – int_{0}^1 r^2 dr] dtheta]

[int_{0}^{2pi} [int_{1}^2 frac{1}{2} sqrt{u}du – int_{0}^1 r^2 dr] dtheta]

Integración con respecto a $u$ y $r$:

[int_{0}^{2pi} [int_{1}^2 frac{1}{2} sqrt{u}du – int_{0}^1 r^2 dr] dtheta]

[int_{0}^{2pi} frac{2}{3} (sqrt{2} – 1) dtheta]

Solución numérica:

Integrando con respecto a $theta$ y luego estableciendo sus límites nos da:

[V = frac{4pi}{3} large(sqrt{2} – 1)]

Los dibujos de imagen/matemáticos se crean en Geogebra