Encuentra la ecuación de la esfera con centro en (-4, 1, 4) de radio 3. Da una ecuación que describa la intersección de esta esfera con el plano z = 6.

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Esta pregunta tiene como objetivo encontrar la ecuación de esfera centrada a (-4, 1, 4) dentro coordenadas 3D y también una ecuación para describir el intersección de esto esfera con un plano z=6.

La pregunta se basa en los conceptos de un geometria solida. Geometria solida es la parte de matemáticas geometría lo cual es sobre formas sólidas Como esferas, cubos, cilindros, conos, etc. Todas estas formas están representadas en Sistemas de coordenadas 3D.

Respuesta experta

La información proporcionada en esta pregunta es la siguiente:

[ Center of Sphere c = ( -4, 1, 4) ]

[ Radius of Sphere r = 3 ]

los ecuación general para toda esfera con centro $c = (x_0, y_0, z_0)$ y Rayo r se da de la siguiente manera:

[ ( x – x_0 )^2 + ( y – y_0 )^2 + ( z – z_0 )^2 = r^2 ]

Sustituyendo los valores de este esfera en el ecuación general, se tiene:

[ ( x – (-4))^2 + ( y – 1 )^2 + (z – 4 )^2 = 3^2 ]

[ ( x + 4)^2 + ( y – 1 )^2 + ( z – 4)^2 = 9 ]

Esta ecuación representa la esfera quien tiene un Rayo de 3y es centro a c = (-4, 1, 4).

Para encontrar la ecuación de intersección de la plano de esto esfera, Solo pon el valor de z el cual es un plano en la ecuacion de esfera. Al reemplazar el valor de z en la ecuación anterior, obtenemos:

[ ( x + 4)^2 + ( y – 1 )^2 + ( 6 – 4)^2 = 9 ]

[ ( x + 4)^2 + ( y – 1 )^2 + ( 2 )^2 = 9 ]

[ ( x + 4)^2 + ( y – 1 )^2 + 4 = 9 ]

[ ( x + 4)^2 + ( y – 1 )^2 = 9 – 4 ]

[ ( x + 4)^2 + ( y – 1 )^2 = 5 ]

Esto representa el intersección de la plano con el esfera.

resultado numérico

los ecuación de la esfera se calcula en:

[ ( x + 4)^2 + ( y – 1 )^2 + ( z – 4)^2 = 9 ]

los ecuación representando a la intersección de la esfera con el plano z=6 se calcula en:

[ ( x + 4)^2 + ( y – 1 )^2 = 5 ]

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la esfera centro a (1, 1, 1) y Rayo igual a 5.

[ Center of Sphere c = ( 1, 1, 1) ]

[ Radius of Sphere r = 5 ]

Al usar el ecuación general de la esfera, podemos calcular la ecuación de la esfera con Rayo 5 centrado a (1, 1, 1).

[ ( x – x_0 )^2 + ( y – y_0 )^2 + ( z – z_0 )^2 = r^2 ]

Sustituyendo los valores obtenemos:

[ ( x – 1 )^2 + ( y – 1 )^2 + ( z – 1 )^2 = 5^2 ]

[ ( x – 1 )^2 + ( y – 1 )^2 + ( z – 1 )^2 = 25 ]

es la ecuacion de la esfera centrada a (1, 1, 1) con un Rayo de 5 unidades