Encuentra una expresión para la función cuya gráfica es la curva dada. La expresión de la curva es $x^2 + (y – 4)^2 = 9$.

1657572004 SOM Questions and Answers
graph of the given curve circle

Figura 1

Esta pregunta tiene como objetivo encontrar un expresión para el función a quién cuadro es dado por el curva $x^2 ​​+ (y – 4)^2 = $9. El gráfico se muestra en la Figura 1.

Esta pregunta se basa en el concepto de geometría del círculo y cálculo básico. Podemos encontrar un expresión de la función de la ecuación de la curva simplemente dada resolver para su valor de salida. los ecuación de la curva se da, representando un circulo se muestra en la Figura 1.

Respuesta experta

los ecuación circular, cuando se resuelve para $y$, produce dos expresiones, una positivo y el otro negativo, en razón de raíz cuadrada. Estas expresiones representan la dos mitades de la mismo círculo. los expresión positiva enséñalo semicírculo superior, mientras que la negativo la expresión muestra la semicírculo inferior.

La ecuación de la circunferencia viene dada por:

[ x^2 + (y – 4)^2 = 9 ]

Si resolvemos la salida de esta ecuación, es decir, $y$, podemos encontrar el expresión para el función.

[ (y – 4)^2 = 9 – x^2 ]

Enchufe raíz cuadrada a ambos lados:

[ sqrt {(y – 4)^2} =  pm sqrt {9 – x^2} ]

[ y – 4 = pm sqrt {9 – x^2} ]

[ y = pm sqrt {9 – x^2} + 4 hspace {0.4in} (1) ]

La ecuación $(1)$ muestra la dos mitades de la circulo. tomamos el expresión positiva para mostrar su gráfico en la Figura 2, que es el mitad superior del circulo.

top half of the circle

Figura 2

Los resultados numéricos

los expresión para el función dado curva se resuelve de la siguiente manera:

[ y = pm sqrt {9 – x^2} + 4 ]

También podemos escribir esta ecuación en la forma función de $x$:

[ f(x) = pm sqrt {9 – x^2} + 4 ]

Solución alternativa

Dado que ecuación circular, podemos resolver directamente para $y$.

[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r ]

[ y = pm sqrt {r – (x – a)^2} + b ]

Usando la ecuación anterior, podemos calcular directamente la expresión para la función de la curva dada.

Ejemplo

los ecuación de la curva viene dado por $(x – 4)^2 + y^2 = 25$, que representa un círculo. Encuentra la expresión de la función.

La ecuación $(x -4)^2 + y^2 = $25 representa un círculo que se muestra en la Figura 3.

circle graph given by equation of the circle

imagen 3

Resuelve el la salida de la ecuación, podemos encontrar la expresión de la función.

[ (x – 4)^2 + y^2 = 25 ]

[ y^2 = 25 – (x – 4)^2 ]

[ sqrt {y^2} = pm sqrt {25 – (x – 4)^2} ]

[ y = pm sqrt {25 – (x – 4)^2} ]

Podemos representar esta ecuación como función de $x$ como:

[ f(x) = pm sqrt {25 – (x – 4)^2} ]

Esta función representa la dos mitades de la círculos se muestra en la Figura 3. Solo tomamos expresión positiva representar a su cuadro en la Figura 4 a continuación.

graph of the top half of the circle

Figura 4

Las imágenes/dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.